Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT Studium
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- Marcus Weiß
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1 Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT Studium Dr. B. Hallouet WS 16/17 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 1 / 31
2 Organisation Vorlesung (2 SWS): Do., 16:15 Uhr -17:45 Uhr, Hörsaal III, Geb. E2. 5 Lecture: Thursday, 4:15pm-5:45pm, Lecture Hall III, Building E2.5 Übungen (2 SWS): Mo. oder Di., 16:15 Uhr -17:45 Uhr, Seminarraum 2.21, Geb. E2. 6 Exercices: Monday or Tuesday, 4:15 pm-5:45 pm, Room 2.21, Building E2.6 SWS: Semesterwochenstunde (je 45 min) Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 2 / 31
3 Informationen Alle Unterlagen finden Sie auf der folgenden Webseite (Übungsblätter z.b.): Every document is available on the website (i.e. exercises sheets): Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 3 / 31
4 Vorlesung 1 (Lecture 1) Schulmathematik: Fachsprache und Wiederholung High-school mathematics: Language and repetition Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 4 / 31
5 A.1. 0, =? 10 5 wird als Zehn hoch minus fünf gesprochen. 2, , , Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 5 / 31
6 A.1. 0, =? 10 5 wird als Zehn hoch minus fünf gesprochen. 2, (wissenschaftliche Schreibweise / scientific notation) 2, , Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 5 / 31
7 A.2. ( 1) 7 =? , Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 6 / 31
8 A.2. ( 1) 7 =? , Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 6 / 31
9 A.3. 0, =? a b wird als a mal b gesprochen. a wird als a durch b oder a geteilt durch b oder a dividiert durch b b gesprochen , Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 7 / 31
10 A.3. 0, =? a b wird als a mal b gesprochen. a wird als a durch b oder a geteilt durch b oder a dividiert durch b b gesprochen , Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 7 / 31
11 A =? Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 8 / 31
12 A =? Operatorpriorität: Potenzieren (Bsp:2 3 ) vor Multiplikation und Division Multiplikation und Division vor Addition(+) und Subtraktion(-) = 4 ( ) = 4 ( ) = = 6 3 = Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 8 / 31
13 A.5. (1 3 4) ( ( 2)) = Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 9 / 31
14 A.5. (1 3 4) ( ( 2)) = Die Rechnung innerhalb der Klammer (parenthesis) wird zuerst (first) ausgeführt (1 3 4) }{{} 11 ( ( 2)) = 11 0 = 0 }{{} 0 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 9 / 31
15 A.6. Rechtwinkliges Dreieck (right-angled triangle) C Winkel. Angle. ACB = π 2, CAB = π 6, AB = 1, BC =? A B π Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 10 / 31
16 A.6. Rechtwinkliges Dreieck (right-angled triangle) C Winkel. Angle. ACB = π 2, CAB = π 6, AB = 1, BC =? A 1 1 B 2 = sin ( π 6 ) = sin( CAB) = BC AB = Gegenkathete Hypothenuse π Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 10 / 31
17 Bruchrechnen (Fractions) 3 liegt oberhalb (above) des Bruchstrichs und ist der Zähler (Numerator) 4 liegt unterhalb (below) des Bruchstrichs und ist der Nenner (Denominator) =? Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 11 / 31
18 Bruchrechnen (Fractions) 3 liegt oberhalb (above) des Bruchstrichs und ist der Zähler (Numerator) 4 liegt unterhalb (below) des Bruchstrichs und ist der Nenner (Denominator) }{{} = erweitern = }{{} kürzen 9 10 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 11 / 31
19 Bruchrechnen (Fractions) b a ist der Kehrwert (reciprocal) von a b =? Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 12 / 31
20 Bruchrechnen (Fractions) b a ist der Kehrwert (reciprocal) von a b = = = 15 7 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 12 / 31
21 Bruchrechnen (Fractions) =? Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 13 / 31
22 Bruchrechnen (Fractions) = = }{{} Hauptnenner = 3 28 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 13 / 31
23 Potenzen & Wurzeln (Exponentiation and n-th roots) a n = a a a a }{{} n-mal wobei a 0 = 1 a ist die Basis (base), n ist der Exponent (exponent) a n = 1 a n Bsp.: 2 3 = = 1 8 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 14 / 31
24 Potenzen & Wurzeln (Exponentiation and n-th roots) a n = a a a a }{{} n-mal wobei a 0 = 1 a ist die Basis (base), n ist der Exponent (exponent) a n = 1 a n Bsp.: 2 3 = = 1 8 a 1 n = n a (a 0 für n gerade) Bsp.: ( 8) 1 3 = 3 8 = 3 ( 2)3 = 2 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 14 / 31
25 Potenzen & Wurzeln (Exponentiation and n-th roots) a n = a a a a }{{} n-mal wobei a 0 = 1 a ist die Basis (base), n ist der Exponent (exponent) a n = 1 a n Bsp.: 2 3 = = 1 8 a 1 n = n a (a 0 für n gerade) Bsp.: ( 8) 1 3 = 3 8 = 3 ( 2)3 = 2 a m a n = a m+n Bsp.: = 10 5 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 14 / 31
26 Potenzen & Wurzeln (Exponentiation and n-th roots) a n = a a a a }{{} n-mal wobei a 0 = 1 a ist die Basis (base), n ist der Exponent (exponent) a n = 1 a n Bsp.: 2 3 = = 1 8 a 1 n = n a (a 0 für n gerade) Bsp.: ( 8) 1 3 = 3 8 = 3 ( 2)3 = 2 a m a n = a m+n Bsp.: = 10 5 (a m ) n = a m n Bsp.: (2 2 ) 3 = 2 6 = 64 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 14 / 31
27 B.2. Potenzen & Wurzeln (Exponentiation and n-th roots) 2x 2 3x 3 =? Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 15 / 31
28 B.2. Potenzen & Wurzeln (Exponentiation and n-th roots) 2x 2 3x 3 = 6x 2+3 = 6x oder 2x 2 3x 3 = 6 x3 x 2 = 6x Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 15 / 31
29 B.2. Potenzen & Wurzeln (Exponentiation and n-th roots) 2x 2 3x 3 = 6x 2+3 = 6x oder 2x 2 3x 3 = 6 x3 x 2 = 6x 400 ( ) 3 =? Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 15 / 31
30 B.2. Potenzen & Wurzeln (Exponentiation and n-th roots) 2x 2 3x 3 = 6x 2+3 = 6x oder 2x 2 3x 3 = 6 x3 x 2 = 6x 400 ( ) 3 = 400 ( ) 3 = = 3 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 15 / 31
31 B.2. Potenzen & Wurzeln (Exponentiation and n-th roots) 2x 2 3x 3 = 6x 2+3 = 6x oder 2x 2 3x 3 = 6 x3 x 2 = 6x 400 ( ) 3 = 400 ( ) 3 = = 3 (1 3) (1 + 3) =? Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 15 / 31
32 B.2. Potenzen & Wurzeln (Exponentiation and n-th roots) 2x 2 3x 3 = 6x 2+3 = 6x oder 2x 2 3x 3 = 6 x3 x 2 = 6x 400 ( ) 3 = 400 ( ) 3 = = 3 3 wird als die Wurzel aus 3 gesprochen. (1 3) (1 + 3) = 1 2 ( 3) 2 = 2 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 15 / 31
33 B.3. Gleichungen (Equations) (3 + 2t) ( 2 3t) =? Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 16 / 31
34 B.3. Gleichungen (Equations) (3 + 2t) ( 2 3t) = 5 + 5t Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 16 / 31
35 B.3. Gleichungen (Equations) (3 + 2t) ( 2 3t) = 5 + 5t 3 (2x 1 ) = 4 2 (1 x) x =? 2 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 16 / 31
36 B.3. Gleichungen (Equations) (3 + 2t) ( 2 3t) = 5 + 5t 3 (2x 1 2 ) = 4 2 (1 x) 6x 3 2 = 4 2+2x 4x = x = 7 8 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 16 / 31
37 B.3. quadratische Gleichung (quadratic equation) Allgemeine Form: ax 2 + bx + c = 0 a, b, c R Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 17 / 31
38 B.3. quadratische Gleichung (quadratic equation) Allgemeine Form: ax 2 + bx + c = 0 a, b, c R Diskriminante: = b 2 4ac Fallunterscheidung in R: Ist > 0 (größer als) gibt es zwei reelle Lösungen x 1,2 = b ± 2a Ist = 0 gibt es eine Lösung x = b 2a Ist < 0 (kleiner als) gibt es keine Lösung Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 17 / 31
39 B.3. quadratische Gleichung (quadratic equation) x 2 2x 3 = 0 x =? Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 18 / 31
40 B.3. quadratische Gleichung (quadratic equation) x 2 2x 3 = 0 x =? = b 2 4ac = ( 2) ( 3) = = 16 > 0 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 18 / 31
41 B.3. quadratische Gleichung (quadratic equation) x 2 2x 3 = 0 x =? = b 2 4ac = ( 2) ( 3) = = 16 > 0 x 1 = b 2a = ( 2) 16 2 = 1 und x 2 = b + 2a = 3 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 18 / 31
42 B.3. quadratische Gleichung (quadratic equation) x 2 2x 3 = 0 x =? = b 2 4ac = ( 2) ( 3) = = 16 > 0 x 1 = b 2a = ( 2) 16 2 = 1 und x 2 = b + 2a = 3 x 2 2x 3 = (x + 1) (x 3) Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 18 / 31
43 B.3. quadratische Gleichung (quadratic equation) x 2 x = 0 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 19 / 31
44 B.3. quadratische Gleichung (quadratic equation) x 2 x = 0 = b 2 4ac = ( 1) = 1 10 = 9 < 0 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 19 / 31
45 B.3. quadratische Gleichung (quadratic equation) x 2 x = 0 = b 2 4ac = ( 1) = 1 10 = 9 < 0 2 Keine Lösung in R Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 19 / 31
46 B.3. Gleichung drittes Grades Allgemeine Form: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 a, b, c, d R Keine einfache Formel. Hat man x 0 als Lösung der Gleichung gefunden, kann die Gleichung als (x x 0 ) (αx 2 + βx + γ) = 0 umgeschrieben werden (z.b durch Polynomdivision). Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 20 / 31
47 B.3. Gleichung drittes Grades 2x 3 9x 2 + 7x + 6 = 0 x =? Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 21 / 31
48 B.3. Gleichung drittes Grades x=2 ist eine Lösung der Gleichung 2x 3 9x 2 + 7x + 6 = 0 x =? Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 21 / 31
49 B.3. Gleichung drittes Grades x=2 ist eine Lösung der Gleichung 2x 3 9x 2 + 7x + 6 = 0 x =? 2x 3 9x 2 + 7x + 6 = (x 2) (αx 2 + βx + c) Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 21 / 31
50 B.3. Polynomdivision ( Ein Polynom wird durch ein anderes Polynom geteilt. 2x 3 9x 2 + 7x + 6 ) ( x 2 ) = Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 22 / 31
51 B.3. Polynomdivision ( Ein Polynom wird durch ein anderes Polynom geteilt. 2x 3 9x 2 + 7x + 6 ) ( x 2 ) = 2x 2 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 22 / 31
52 B.3. Polynomdivision ( Ein Polynom wird durch ein anderes Polynom geteilt. 2x 3 9x 2 + 7x + 6 ) ( x 2 ) = 2x 2 2x 3 + 4x 2 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 22 / 31
53 B.3. Polynomdivision ( Ein Polynom wird durch ein anderes Polynom geteilt. 2x 3 9x 2 + 7x + 6 ) ( x 2 ) = 2x 2 2x 3 + 4x 2 5x 2 + 7x Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 22 / 31
54 B.3. Polynomdivision Ein Polynom wird durch ein anderes Polynom geteilt. ( 2x 3 9x 2 + 7x + ) 6 ( x ) 2 = 2x 2 5x 2x 3 + 4x 2 5x 2 + 7x Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 22 / 31
55 B.3. Polynomdivision Ein Polynom wird durch ein anderes Polynom geteilt. ( 2x 3 9x 2 + 7x + ) 6 ( x ) 2 = 2x 2 5x 2x 3 + 4x 2 5x 2 + 7x 5x 2 10x Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 22 / 31
56 B.3. Polynomdivision Ein Polynom wird durch ein anderes Polynom geteilt. ( 2x 3 9x 2 + 7x + ) 6 ( x ) 2 = 2x 2 5x 2x 3 + 4x 2 5x 2 + 7x 5x 2 10x 3x + 6 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 22 / 31
57 B.3. Polynomdivision ( Ein Polynom wird durch ein anderes Polynom geteilt. 2x 3 9x 2 + 7x + 6 ) ( x 2 ) = 2x 2 5x 3 2x 3 + 4x 2 5x 2 + 7x 5x 2 10x 3x + 6 3x 6 0 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 22 / 31
58 B.3. Polynomdivision ( Ein Polynom wird durch ein anderes Polynom geteilt. 2x 3 9x 2 + 7x + 6 ) ( x 2 ) = 2x 2 5x 3 2x 3 + 4x 2 5x 2 + 7x 5x 2 10x 3x + 6 3x 6 0 2x 3 9x 2 + 7x + 6 = 0 L = { 0.5, 2, 3} Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 22 / 31
59 B.4 Logarithmen (Logarithms) b x = n log b n = x b ist die Basis (base), n ist der Potenzwert, b > 0, b 1, n > 0. Insbesondere log e (x) = ln(x) Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 23 / 31
60 B.4 Logarithmen (Logarithms) b x = n log b n = x b ist die Basis (base), n ist der Potenzwert, b > 0, b 1, n > 0. Insbesondere log e (x) = ln(x) Bsp: log 10 (100) = 2 denn es ist 10 2 = 100 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 23 / 31
61 B.4 Logarithmen (Logarithms) b x = n log b n = x b ist die Basis (base), n ist der Potenzwert, b > 0, b 1, n > 0. Insbesondere log e (x) = ln(x) Es gilt: log b (1) = 0, log b (b) = 1 log b (u v) = log b (u) + log b (v) ( u ) log b = log v b (u) log b (v) log b (u m ) = m log b (u) Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 23 / 31
62 B.4 Logarithmen (Logarithms) b x = n log b n = x Man liest Der Logarithmus von n zur Basis b ist x Per Definition: log b (b x ) = x ; b log b (x) = x Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 24 / 31
63 B.4 Logarithmen (Logarithms) b x = n log b n = x Man liest Der Logarithmus von n zur Basis b ist x Per Definition: log b (b x ) = x ; b log b (x) = x log 10 (4x) = 2 x =? Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 24 / 31
64 B.4 Logarithmen (Logarithms) b x = n log b n = x Man liest Der Logarithmus von n zur Basis b ist x Per Definition: log b (b x ) = x ; b log b (x) = x log 10 (4x) = 2 x =? log 10 (4x) = 2 4x = 10 2 x = 25 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 24 / 31
65 B.5 Grenzwert (Limit) lim f (x) x a wird als Limes f von x für x gegen a gesprochen und ist gleich der Wert, dem sich die Funktion f (x) in der Umgebung von x = a annähert. Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 25 / 31
66 B.5 Grenzwert (Limit) lim f (x) x a wird als Limes f von x für x gegen a gesprochen und ist gleich der Wert, dem sich die Funktion f (x) in der Umgebung von x = a annähert. ( ) n 2 25n2 3 lim =? n + 2n 3 15 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 25 / 31
67 B.5 Grenzwert (Limit) lim f (x) x a wird als Limes f von x für x gegen a gesprochen und ist gleich der Wert, dem sich die Funktion f (x) in der Umgebung von x = a annähert. ) ( n 2 25n2 3 lim n + 2n n 3 = lim n + 2n = Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 25 / 31
68 B.6 Lineares Gleichungssystem (LGS) 2x y z = 2 x + 3y + 4z = 3 3x 2y 3z = 3 x =...? y =...? z =...? Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 26 / 31
69 B.6 Lineares Gleichungssystem (LGS) Lösung z.b. mit dem Gauß Algorithmus ermitteln: 2x y z = 2 x + 3y + 4z = 3 3x 2y 3z = 3 x = 2 y = 3 z = 1 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 26 / 31
70 B.7 Ableitung (Derivative) f (x) = x x2 + 3x Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 27 / 31
71 B.7 Ableitung (Derivative) f (x) = x x2 + 3x f (x) = x 2 + 4x + 3 Die Ableitung von f (x) wird mit dem Symbol f (x) bezeichnet. f (x) wird als "f-strich von x"gesprochen. Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 27 / 31
72 B.7 Ableitung (Derivative) f (x) = x x2 + 3x f (x) = x 2 + 4x + 3 Die Ableitung von f (x) wird mit dem Symbol f (x) bezeichnet. f (x) wird als "f-strich von x"gesprochen. g(x) = 4x x Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 27 / 31
73 B.7 Ableitung (Derivative) f (x) = x x2 + 3x f (x) = x 2 + 4x + 3 Die Ableitung von f (x) wird mit dem Symbol f (x) bezeichnet. f (x) wird als "f-strich von x"gesprochen. g(x) = 4x x g (x) = 4 (x2 + 1) 2x 4x (x 2 + 1) 2 = 4 (1 x2 ) (x 2 + 1) 2 (Quotientenregel (die)) Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 27 / 31
74 B.7 Ableitung (Derivative) g(x) = 4x x g (x) = 4 (x2 + 1) 2x 4x (x 2 + 1) 2 = 4 (1 x2 ) (x 2 + 1) 2 (Quotientenregel (die)) h(x) = (sin(2x) + 1) 3 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 27 / 31
75 B.7 Ableitung (Derivative) g(x) = 4x x g (x) = 4 (x2 + 1) 2x 4x (x 2 + 1) 2 = 4 (1 x2 ) (x 2 + 1) 2 (Quotientenregel (die)) h(x) = (sin(2x) + 1) 3 h (x) = 3 2 cos(2x) (sin(2x)+1) 2 = 6 cos(2x) (sin(2x)+1) 2 (Kettenregel (die)) Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 27 / 31
76 B.8 Integral (Integral) b a f (x) dx = F(b) F(a) wird als bestimmte Integral über f (x) dx von a bis b gelesen. F(x) ist eine Stammfunktion von f (x). a und b sind die Integrationsgrenzen. Es gilt F (x) = f (x) Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 28 / 31
77 B.8 Integral (Integral) b a f (x) dx = F(b) F(a) wird als bestimmte Integral über f (x) dx von a bis b gelesen. F(x) ist eine Stammfunktion von f (x). a und b sind die Integrationsgrenzen. Es gilt F (x) = f (x) 1 0 (x + 1) (x 2 1) dx =? Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 28 / 31
78 B.8 Integral (Integral) b a f (x) dx = F(b) F(a) wird als bestimmte Integral über f (x) dx von a bis b gelesen. F(x) ist eine Stammfunktion von f (x). a und b sind die Integrationsgrenzen. Es gilt F (x) = f (x) 1 0 (x + 1) (x 2 1) dx = 1 0 x 3 + x 2 x 1 dx Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 28 / 31
79 B.8 Integral (Integral) b a f (x) dx = F(b) F(a) wird als bestimmte Integral über f (x) dx von a bis b gelesen. F(x) ist eine Stammfunktion von f (x). a und b sind die Integrationsgrenzen. Es gilt F (x) = f (x) 1 0 (x + 1) (x 2 1) dx = 1 0 [ x 4 = 4 = x 3 + x 2 x 1 dx ] 1 0 [ x ] 1 0 [ x 2 2 ] 1 0 [x] 1 0 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 28 / 31
80 B.9 Vektoren (vectors) Zwei Vektoren a und b stehen aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt null ist: Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 29 / 31
81 B.9 Vektoren (vectors) Zwei Vektoren a und b stehen aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt null ist: a b a b = 0 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 29 / 31
82 B.9 Vektoren (vectors) Zwei Vektoren a und b stehen aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt null ist: Seien a = a 1 a 2 a 3, b = a b a b = 0 b 1 b 2 b 3, dann gilt es für das Skalarprodukt: a b = a1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 29 / 31
83 B.9 Vektoren (vectors) u = 1 2 3, v = u v λ =? 2 0 λ Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 30 / 31
84 B.9 Vektoren (vectors) u = 1 2 3, v = u v λ =? 2 0 λ u v u v = 0 1 ( 2) λ = 0 λ = 2 3 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 30 / 31
85 B.10 Kombinatorik Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, die nur aus ungeraden Ziffern bestehen? How many numbers of four digits can be formed with only odd digits? Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 31 / 31
86 B.10 Kombinatorik Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, die nur aus ungeraden Ziffern bestehen? How many numbers of four digits can be formed with only odd digits? 5 4 = 625 Vorlesung 1 MINT Mathekurs WS 16/17 31 / 31
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