Vorkurs Mathematik. Vorbereitung auf das Bachelorstudium im Fachbereich II IPO und Marketing

Transkript

1 Vorkurs Mathematik Vorbereitung auf das Bachelorstudium im Fachbereich II IPO und Marketing WS 2016/

2 2 Vorkurs Mathematik Der Vorkurs findet vor Beginn der Erstsemesterwoche statt Im Kurs werden die Grundlagen der Mathematik wiederholt Ziel des Vorkurses: Vorbereitung der Studierenden auf die Module in Mathematik Auffrischen der Mathematikkenntnisse Schließen von Wissenslücken

3 3 Chronologischer Aufbau des Vorkurses 09:00 10:30 10:30 10:45 10:45 12:15 12:15 13:15 13:15 16:30 Vorlesung (E41) Lecturer: Sergej Kessler Pause Vorlesung (E41) Lecturer: Sergej Kessler Mittagspause Tutorium Gruppe 1 (E41): Tutor: Marcel Griebenow Gruppe 2 (E15): Tutor: Serdar Kandan

4 4 Inhaltlicher Aufbau des Vorkurses Grundrechenarten & -regeln Bruchrechnen Binomische Formeln Rechnen mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmus Summenzeichen Folgen und Reihen Lineare Gleichungen lösen Funktionsbegriff Darstellung von Funktionen

5 5 Inhaltlicher Aufbau des Vorkurses Definitions- und Wertemenge Lineare Funktionen Quadratische Funktionen lösen Quadratische Ergänzung, Mitternachtsformel, pq-formel Umkehrfunktion Grenzwert Betrag / Betragsfunktion e und ln-funktionen Ableitung, Integral

6 6 Online-Mathevorkurs Alternativ kann der Online-Mathevorkurs besucht werden

7 7 Online-Mathevorkurs Auf der Internetseite findet man allgemeine Informationen zu dem Online-Kurs, sowie einen Link zu der Lernplattform OpenOlat eine PDF-Datei mit einer Anleitung

8 8 Lerncheck Auf der Internetseite kann ein Fragebogen zur Selbsteinschätzung ihres Lernverhaltens bearbeitet werden Als Ergebnis bekommt man einen Überblick über die bereits angewendeten Lernstrategien Zusätzlich wird auf Aspekte ihres Lernverhaltens hingewiesen, bei denen noch Verbesserungspotenzial besteht

9 9 Feedback Auf der Internetseite pingo.upb.de können Fragen an ein bestimmtes Publikum gestellt werden Die Teilnahme erfolgt über ein internetfähiges Gerät Vorgehensweise: Link pingo.upb.de aufrufen Zugangsnummer eingeben (wird von mir zum Schluss jeder Vorlesung zur Verfügung gestellt) Fragen beantworten. Ziel: Prüfen, bei welchen Themen es noch Wissenslücken gibt. Diese werden im Tutorium nochmal behandelt

10 10 Grundrechenarten 1) Addition Beispiel: Summand + Summand = Summe = 8 2) Subtraktion Minuend Subtrahend = Differenz 6 2 = 4 3) Multiplikation 4) Division Multiplikand Multiplikator (Faktoren) = Produkt 6 2 = 12 Dividend Divisor = Quotient 6 2 = 3

11 11 Allgemeine Rechenregeln 1) Punkt- vor Strichrechnung : 2 = = 30 2) Von innen nach außen berechnen 5 (4 2) = 5 2 = 10 Bei mehreren Klammern: (4 (2 + 3) 5) = (4 5 5) = 4 25 = -21 3) Ein Produkt ist dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist eine Klammer 0 setzen (x 4)(x + 2) = 0 x = 4; x = -2 4) Die Division durch 0 ist in keinem Fall erlaubt! 0 1 ist erlaubt, aber 1 0 ist strengstens verboten!!!

12 12 Vorzeichenregeln Beim Rechnen beachten: 5 3 = ( 4) = 7 4 = ( 5) = = = = (+ 3) = 7 Merke: 1. Jede Zahl ohne Vorzeichen ist positiv 2. Plus mal Minus ergibt Minus 3. Minus mal Minus ergibt Plus 4. Minus vor der Klammer dreht alle Vorzeichen darin um 5. Plus mal Plus ergibt Plus

13 13 Grundregeln der Multiplikation 1) Kommutativgesetz a b = b a Beispiel: 2 3 = 3 2 = 6 2) Assoziativgesetz (a b) c = a (b c) Beispiel: (2 4) 3 = 8 3 = 24 ; 2 (4 3) = 2 12 = 24 3) Distributivgesetz (ausmultiplizieren/ausklammern) a (b + c) = a b + a c Beispiel: 2 (3+4) = 2 7 = 14 ; = = 14 Folgerung: (a + b)(c + d) = a(c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd Beispiel: (2 + 5)(3 + 1) = = = 28

14 14 Zahlenmengen 1) Menge der natürlichen Zahlen N N = {0, 1, 2, 3, } 2) Menge der positiven ganzen Zahlen N* N* = {1, 2, 3, } 3) Menge der ganzen Zahlen Z Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } 4) Menge der rationalen Zahlen Q Q = {x a b mit a Z und b N* } 5) Menge der reellen Zahlen R Zu den reellen Zahlen gehören alle Zahlen, die auf der Zahlengerade 5 liegen. Dazu gehören auch irrationale Zahlen wie π, e, 2, 6,

15 15 Terme mit Variablen zusammenfassen Merke: Immer gleichartige Glieder (Glieder, die die selben Variablen besitzen) zusammenfassen. Beispiel: 10x + 2y + 3z 5x 5y = x(10 5) + y(2 5) + 3z = 5x 3y +3z Übung: Aufgabenblatt 1 Teil A Nr.1 a-i Nr.3 Nr.4

16 16 Bruchrechnen I Zähler Nenner 1) Kehrbruch: Zu jedem Bruch a b gibt es einen Kehrbruch b a. Dabei gilt: a b b a = 1 2) Erweitern: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl c 0 multipliziert. a b = a c b c Beispiel: 2 3 = = ) Kürzen: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl c 0 dividiert. a c b c = a b Beispiel: 8 12 = = 2 3

17 17 Bruchrechnen II Zähler Nenner 4) Strichrechnungen: Brüche mit gleichem Nenner a c ± b c = a ± b c Beispiel: = = 3 6 Brüche mit unterschiedlichen Nennern Hauptnenner bilden durch Multiplikation der Nenner miteinander a c ± b d = a d c d ± b c d c = ad± bc cd Beispiel: = = =

18 18 Bruchrechnen III Zähler Nenner 4) Strichrechnungen: Hauptnenner bilden durch kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgv) Beispiel: Die Vielfachen von 12 sind: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, Die Vielfachen von 18 sind: 18, 36, 54, 72, 90, 108, Die gemeinsamen Vielfachen von 12 und 18 sind also 36, 72, 108, = = = 1 36 Hauptnenner bilden durch die Primfaktorzerlegung = = = = 1 36

19 19 Bruchrechnen IV 5) Punktrechnungen: Multiplikation: Nenner mal Nenner, Zähler mal Zähler a b c d = a c b d a b c = a 1 b c = a b c 1 = a b c Division: Mit dem Kehrbruch multiplizieren a b : c d = a b d c = a d b c Beispiel: 3 5 : 2 3 = = = 9 10

20 20 Bruchrechnen V 6) Doppelbrüche: Können mit einem Kehrbruch aufgelöst werden a b c d = a b : c d = a b d c = ad bc Beispiel: = 2 9 : 4 3 = = 6 36 = 1 6 7) Aus Differenzen und Summen nicht kürzen! Merkspruch: Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen 4x 2x 2 2x (2 x) = = 2 x, und nicht 2x 2 2x(x) x 4x 1 1!!! ausklammern kürzen

21 21 Bruchrechnen VI 8) Gemischte Brüche Problem: Können als Produkt missverstanden werden! Lösung: mit dem Nenner erweitern Beispiel: = = =

22 22 Bruchrechnen VII 9) Unterschiedliche Darstellungen desselben 1 x = x 1 a b = a 1 b Übung: Arbeitsblatt 1 Teil C: Nr. 2 a-c Nr. 3 a-c Nr.4 a-c Nr.5 a-c a b = a b = a b

23 23 Binomische Formeln I 1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b² (a + b)² = (a+b)(a+b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b² 2. Binomische Formel: (a b) ² = a² - 2ab + b² (a b) ² = (a b)(a b) = a² - ab ba + b² = a² - 2ab + b² 3. Binomische Formel: (a + b)(a b) = a² - b² Klammer auflösen (a + b)(a b) = a² - ab + ba b² = a² - b² Faktorisieren bzw. Ausklammern

24 24 Binomische Formeln II Übung: Aufgabenblatt 1 Teil B: Nr. 1 a - c, g Nr. 2 a, c, d Nr. 3 a - c

25 25 Potenzgesetze I 1) Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert/dividiert, indem man die Exponenten addiert/subtrahiert und die Basis beibehält: a n a m = a n+m a n am = an m 2) Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert/dividiert, indem man das Produkt/den Quotient der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert: a n b n = a b n a n b n = (a b )n

26 26 Potenzgesetze II 3) Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält: (a n ) m = a n m 4) Weiter zu beachten (a 0): a 0 = 1 a 1 = 1 a 1 a n = 1 a n 5) Eine negative Basis ist bei geradem Exponenten n positiv, bei ungeradem Exponenten n negativ: ( 1) n = 1, gerades n -1, ungerades n

27 27 Potenzgesetze III Gibt es bei einem Term keine Übereinstimmung von Basis oder Exponent, lässt sich der Term nicht vereinfachen! Potenzen können nur addiert werden, wenn Basis und Exponent übereinstimmen!

28 28 Potenzgesetze IV Übung: Aufgabenblatt 2 Teil A: Nr. 1 a - d, l - n Nr. 2 o - r

29 29 Wurzeln I Suche nach der Basis einer Potenz: x n = a x = n a n= Wurzelexponent a= Radikand Die Wurzel ist die nicht-negative Lösung der Gleichung x n = a. Beispiel: x 2 2 = 16 x =± 16 = ± 4 zweideutiger Rechenausdruck zwei Lösungen

30 30 Wurzeln II Für das Rechnen mit Wurzeln gilt: Merke: Wenn keine Zahl auf der Wurzel steht, ist das immer die Quadratwurzel Übung: Arbeitsblatt 2 Teil A Nr. 3 a-e

31 31 Logarithmus Suche nach dem Exponenten einer Potenz: a n = x n = log a x Der Logarithmus einer Zahl x zur Basis a ist die Zahl n, mit der man a potenzieren muss, um x zu erhalten. Merke: Dabei gilt: Das Argument x des Logarithmus muss immer positiv sein! Für jedes a gilt: log a 1= 0, da a 0 = 1 log a a= 1, da a 1 = a

32 32 Spezielle Logarithmen 1. Natürlicher Logarithmus e n = a n = log e a = ln a (e ist die eulersche Zahl 2, ) 2. Dekadischer Logarithmus 10 n = a n = log 10 a = lg a 3. Dualer (binärer) Logarithmus 2 n = a n = log 2 a = lb a

33 33 Umformen zwischen den Logarithmen Die Umformung zwischen den Logarithmen erfolgt mit folgender Formel: Beispiel: 10 2 = 100, 2 x = 100, log = log log , ,6439

34 34 Aufgabe Logarithmus (Praxisbezogen) Ein Student spart für sein erstes Auto. Er will dafür ausgeben. Er hat auf seinem Sparkonto angespart, dort wird das Geld mit 5,75 % verzinst. Wie lange muss er sparen? Übung: Arbeitsblatt 2 Teil A Nr.7 a, b, d, e Nr.8 a-c Nr.9 a-c

35 Zusammenhang zwischen Potenzen, Wurzeln, Logarithmus 35

36 36 Das Summenzeichen Summiere alle Ausdrücke q i auf, wobei der Parameter i alle natürlichen Zahlen von 0 bis n durchläuft.

37 37 Rechnen mit Summen Summen können in Summanden aufgeteilt werden Faktoren können vor die Summe gezogen werden. Beispiel: Arbeitsblatt 2 Teil B Nr.1 a Zur Übung: Arbeitsblatt 2 Teil B Nr. 1 b,c

38 38 Folgen Eine Folge (genauer: Zahlenfolge) ist eine Auflistung von Zahlen, deren Reihenfolge festgelegt ist. Die einzelnen Zahlen der Folge nennt man Glieder. Das erste Glied (d.h. die erste Zahl) der Folge heißt a 1, das zweite a 2,..., das n- te Glied heißt a n. Beispiel: (1, 7, 4, 21, 16, ), wobei a 1 =1; a 2 =7; a 3 =4; Für einige Folgen kann man die Vorschrift angeben, nach der die einzelnen Glieder berechnet werden. Für andere Folgen ist das nur schwer möglich oder unmöglich. Beispiel: (1, 2, 4, 8, 16, ) Das zugehörige Bildungsgesetz lautet: a n = 2 n 1 für n 1

39 39 Folgen & Reihen Gegeben sei eine Zahlenfolge (a n ) nεn. Die Summe der ersten n Folgenglieder wird mit s n bezeichnet: s n = n i=0 a i. Die Zahlenfolge (s n ) nεn heißt nun die (endliche) Reihe zu a n. Die einzelnen Folgenglieder der Zahlenfolge (s n ) nεn bestehen also aus Summen über Folgenglieder der Zahlenfolge (a n ) nεn. Beispiel: n a n s n

40 40 Geometrische Folge Bei einer geometrischen Folge ist das Verhältnis zweier benachbarter Folgenglieder konstant: Das zugehörige Bildungsgesetzt lautet: q = a 5 a 4 = a 3 a 2 a n = a 0 q n Beispiel: (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536, ) mit q = 2 und n = 9 a 2 = = 12 a 9 = = 1536

41 41 Geometrische Reihe I Bei einer geometrischen Reihe werden alle Glieder einer geometrischen Folge addiert: s n =a 0 n 0 q i = a 0 qn+1 1 q 1 für q 1 s n = a 0 n + 1 für q = 1 Beispiel: (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536, ) mit q = 2 und n = 9 s 2 = = 21 s 9 = = 3069

42 42 Geometrische Reihe II Fängt die Summe erst bei i = 1 an, so muss das 0. Glied abgezogen werden: a 0 n i=1 q i a 0 = a 0 qn+1 1 q 1 a 0 q0+1 1 q 1 n i=1 q i = a 0 ( qn+1 1 q 1 1) Fängt die Summe erst bei i = 2 an, so müssen das 0. Glied und 1. Glied abgezogen werden: a 0 n i=2 a 0 q i n i=2 Übung: Arbeitsblatt 2 Teil B Nr. 2 a-c = a 0 qn+1 1 q 1 a 0 q1+1 1 q 1 q i = a 0 ( qn+1 1 q 1 q2 1 q 1 )

43 43 Lineare Gleichungen lösen I Beispiel: 10x 2(5x + 7) = -2 (2-x) 1) Auf beiden Seiten Klammern & Brüche auflösen: 10x 10x 14 = x 2) Gleichartige Glieder zusammenfassen: -14 = x 3) Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und alle absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter zusammengefasst werden können: -2x = 10

44 44 Lineare Gleichungen lösen II 4) Multipliziere/Dividiere so, dass die Variable isoliert wird: x = -5 Jede auf eine Gleichung angewendete Operation muss auf beide Seiten der Gleichung angewendet werden! 3 mögliche Fälle: 1. Unendlich viele Lösungen, falls sich 0 = 0 ergibt. (d.h. Gleichung gilt für alle x ε R) 2. Nicht lösbar bei Widerspruch rechte Seite unterscheidet sich von der linken. 3. Eindeutige Lösung mit x =a.

45 45 Zusammenfassung Schritte zur Lösung einer linearen Gleichung: 1) Auf beiden Seiten Klammern & Brüche auflösen. 2) Gleichartige Glieder zusammenfassen. 3) Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und alle absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter zusammengefasst werden können. 4) Multipliziere/Dividiere so, dass die Variable isoliert wird. Übung: Arbeitsblatt 3 Teil A Nr. 1 a-d, Nr. 2 b,c Teil C Nr. 1 a,b

46 46 Funktionsbegriff Eine Funktion f(x) ist eine eindeutige Zuordnung der Elemente zweier Mengen. Dabei wird jedem Element x aus einer Definitionsmenge D genau ein Element y aus der Wertemenge W zugeordnet. Apfelpresse: Der Apfel wird hineingeworfen, die Maschine verarbeitet den Apfel und gibt Apfelsaft heraus Übertragung: x wird in die Funktion eingesetzt und y kommt heraus Übung: Arbeitsblatt 3 Teil B Nr.1 a-e

47 47 Darstellung von Funktionen Besitzt der Definitionsbereich einer Funktion nur endlich viele Elemente, kann die Funktion durch eine Wertetabelle festgelegt werden. Beispiel: D = {1,2,3,4} Weitere Darstellungen für endliche Definitionsbereiche:

48 48 Definitions- und Wertemenge Die Definitionsmenge D enthält alle Zahlen, die für x eingesetzt werden dürfen. Darstellungsmöglichkeiten: D = R Die Definitionsmenge ist die Menge der reellen Zahlen D = R\{1} Die Definitionsmenge ist die Menge der reellen Zahlen ohne 1 D = {1, 5, 7, 20}: Die Definitionsmenge ist die Menge der Zahlen 1, 5, 7, 20 D = { x -5 < x < 3}: Die Definitionsmenge ist die Menge aller x. x muss größer als -5 und kleiner als 3 sein

49 49 Definitions- und Wertemenge Überlegungen zur Definitionsmenge: Beispiel: f(x) = 49 x 2 Die Wertemenge W beinhaltet alle Zahlen, die beim Einsetzen von Zahlen in x herauskommen (Darstellung von y). Übung: Arbeitsblatt 3 Teil D Nr. 1 a-d und Nr. 2 c

50 50 Lineare Funktionen I Dies ist eine Zuordnung, bei dem jedem x das dazugehörige y zugeordnet wird. Das heißt: Zu jedem beliebigen x-wert lässt sich der y-wert ermitteln und man bekommt einen Punkt(x y) des Graphen der Funktion. Übung: Arbeitsblatt 3 Teil B Nr. 2 a,b

51 51 Lineare Funktionen II Lineare Funktionen sind eindeutig festgelegt durch: 1) Gleichung: y = ax + b 1) 2 Punkte: P(x 1 y 1 ) Q(x 2 y 2 ) ax 1 + b = y 1 ax 2 + b = y 2 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten => damit stehen a & b fest 3) Steigung a und einen Punkt P(x 1 y 1 ): ax 1 + b = y 1 Gleichung nach b umstellen

52 52 Lineare Funktionen III 1) Schnittpunkte mit den Achsen Schnittpunkt mit der y Achse: f(x = 0) = y = m 0 + b y = b Schnittpunkt mit der x Achse ( Nullstellen ): f(x) = 0 = m x + b x = - b m 2) Schnittpunkt zweier Geraden f 1 (x) = y = m 1 x + b 1 und f 1 (x) = y = m 2 x + b 2 f 1 (x) = f 2 (x) m 1 x + b 1 = m 2 x + b 2 x = b 2 b 1 m 1 m 2 x Wert in eine Geradengleichung einsetzen und den dazugehörigen y Wert berechnen

53 53 Lineare Funktion: Praxisbeispiel Für die Herstellung eines Produktes fallen Materialkosten in Höhe von K¹(x)=1,7x-2 an. Für eine Werbekampagne ergeben sich zusätzliche Kosten von K²(x)=0,7x+3. Bei welcher Stückzahl sind die Materialkosten gleich den Werbekosten? Geben Sie die Gerade an, die die Gesamtkosten beschreibt. Übung: AB 3 Teil B Nr.3 a,c,e Nr.7 a

54 54 Reinquadratische Gleichungen (a 0) Die reinquadratische Gleichung geht durch äquivalente Umformungen über in: Beispiel: x 2-81 = 0 x 2 = 81 x 1 = 9; x 2 = -9 x 2-81 ist also null, wenn x entweder 9 oder -9 ist. Die Lösungsmenge ist also L = 9; 9 -> Übung: AB 4 Teil A Nr. 1 f,j,q

55 55 Spezielle Quadratische Gleichungen (a 0) Die spezielle quadratische Gleichung geht durch Ausklammern von x über in: x(ax + b) = 0 Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist! x 1 = 0; x 2 = - b a Beispiel: 5x 2 + 3x = 0 x(5x+3) = 0 x 1 = 0; x 2 = > Übung: AB 4 Teil A Nr. 1 b,r

56 56 Allgemein Quadratische Gleichungen Die allgemein quadratische Gleichung wird durch quadratische Ergänzung gelöst: Binomische Formel!

57 57 Die Mitternachtsformel Hieraus ergibt sich die Mitternachtsformel/Abc-Formel, mit der allgemein quadratische Gleichungen gelöst werden können: -> Übung: Ab 4 Teil A Nr. 2 a-c

58 58 Die pq-formel Zur Lösung von x 2 + px + q = 0 (a=1) kann auch (alternativ zur abc-formel) die pq-formel angewendet werden: Diese Formel kann immer angewendet werden. Unter Umständen muss zunächst durch a geteilt werden: ax 2 + bx + c = 0 -> Übung: AB 4 Teil A Nr. 3 a,b,f,g

59 59 Die Quadratische Gleichung Quadratische Gleichungen sind Gleichungen der Form: ax² + bx + c = d Die Quadratischen Gleichungen können dann mit Hilfe der quadratischen Ergänzung, Mitternachtsformel oder pq- Formel gelöst werden. ->Übung: AB 4 Teil A Nr. 1 a, c-e, g, h Nr. 6 a, c

60 Quadratische Funktionen I 60

61 Quadratische Funktionen II 61

62 62 Quadratische Funktionen III Scheitelform mit Hilfe der quadratischen Ergänzung: -> Übung: AB 4 Teil A Nr. 4 a-c, i, j

63 63 Polynom n-ten Grades Allgemein: Beispiel: f(x) = 5x 3 + 3x 2 + 2x + 6

64 64 Nullstellen durch Polynomdivision Bespiel ( erste Nullstelle erraten):

65 65 Umkehrfunktion I Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jedem y-wert nur ein x- Wert zugeordnet ist. Die Umkehrfunktion wird mit f -1 bezeichnet. Die Gleichung der Umkehrfunktion von f gewinnt man, indem man die Gleichung y = f(x) nach x auflöst und die Bezeichnungen y und x vertauscht. Die Graphen der Funktion y = f(x) und ihrer Umkehrfunktion y = f -1 (x) liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x.

66 66 Umkehrfunktion II Zusammenhang Definitions- und Wertemenge: D f = W f 1 und W f = D f 1 Beispiel: Nach x auflösen: Neue Funktion: D und W tauschen: f x = 2x + 1 mit D f = R, W f = R y = 2x + 1 y 1 = 2x 0,5(y 1) = x f 1 x = 0,5x 0,5 D f 1 = R, W f 1 = R

67 67 Umkehrfunktion mit ökonomischen Funktionen Nun betrachten wir ökonomische Funktionen Beispiel: p x = 2x + 1 Dies ist eine Angebotsfunktion (Der Preis p hängt von der Menge x ab) Umkehrfunktion bilden : 1) Nach x auflösen: x = 0,5y 0,5 2) Neue Funktion: x(p)=0,5p 0,5 Hier hängt die Menge x von dem Preis p ab! Wichtig: Nicht einfach die Variablen vertauschen, sondern die Abhängigkeiten betrachten!

68 68 Umkehrfunktion III -> Übung: AB 5 Teil A Nr. 1 Nr. 2 a-c

69 69 Stück-/ Abschnittsweise definierte Funktionen Bisher waren die behandelten Funktionen (abgesehen von Definitionslücken) auf ganz R definiert. Funktionen können auch nur für ein bestimmtes Intervall definiert sein oder stück- bzw. abschnittsweise aus verschiedenen Teilfunktionen zusammengesetzt sein:

70 70 Gebrochen rationale Funktionen I Es ist eine Funktion, bei der sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganzrationale Funktion befindet: f x = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + b m 1 x m 1 = Z(x) + + b 1 x + b 0 N(x) Arten der gebrochen rationalen Funktionen: m <= n: Unecht gebrochen rationale Funktion m > n: Echt gebrochen rationale Funktion Dort, wo der Nenner Null wird, ist die Funktion nicht definiert (Definitionslücken) Hebbare Definitionslücken Polstellen

71 71 Gebrochen rationale Funktionen II 1) Nullstellen berechnen: Um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen, muss der Zähler Null gesetzt und nach x aufgelöst werden: 2) Definitionslücken bestimmen: Z(x 0 ) = 0 Um die Definitionslücken der Funktion zu bestimmen, muss der Nenn Null gesetzt und nach x aufgelöst werden: N(x p ) = 0 Prüfen, ob es sich bei der Definitionslücke um eine Polstelle oder eine hebbare Definitionslücke handelt: Polstelle, wenn x p x 0 Hebbare Definitionslücke, wenn x p = x 0

72 72 Gebrochen rationale Funktionen III Beispiel: x 1 f x = x 2 + x 2 f x = (x 1) (x 1)(x + 2)

73 73 Grenzwert I Der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle bezeichnet denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Interessante Stellen sind: Verhalten Richtung Verhalten Richtung Verhalten an Definitionslücken Es soll herausgefunden werden, wo sich waagrechte Asymptoten und Polstellen befinden.

74 74 Grenzwert II 1) Verhalten der Funktion für x ± Eine echt gebrochen rationale Funktion (m > n) nähert sich der x-achse für x ± : Beispiel: lim f(x) 0 x ± f x = x 1 x 2 + x 2 lim f x = lim x ± x ± lim x ± lim x ± x (1 1 x ) x 2 (1 + 1 x 2 x 2) (1 + 0) ( ) x 1 x 2 + x 2

75 75 Grenzwert III 1) Verhalten der Funktion für x ± Eine unecht gebrochen rationale Funktion (m = n) nähert sich einem endlichen Grenzwert für x ± : lim x ± f(x) a n b m Beispiel: f x = x2 1 x 2 + x 2 x 2 1 lim f x = lim x ± x ± x 2 + x 2 lim x ± lim x ± x 2 (1 1 x ) x 2 (1 + 1 x 2 x 2) (1 + 0) ( )

76 76 Grenzwert IV 1) Verhalten der Funktion für x ± Der Funktionswert einer unecht gebrochen rationale Funktion (m < n) geht gegen unendlich für x ± : Beispiel: f x = x2 1 x 2 lim f(x) ± x ± lim f x = lim x ± x ± x 2 1 x 2 x 2 (1 1 lim x 2) x ± x (1 2 x ) lim x ± ± (1 + 0) (1 0)

77 77 Grenzwert V 1) Verhalten der Funktion für x x p Der Funktionswert einer gebrochen rationale Funktion geht in der Nähe der Polstelle gegen unendlich für x ± : Beispiel: lim f(x) ± x x ± p f x = x 1 x 2 + x 2 lim x x p = lim x x p + = ( ) 1 ( ) 2 +( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 +( ) 2

78 78 Grenzwert VI Polstelle Waagrechte Asymptote Übung: Arbeitsblatt 5 Teil B Nr. 1 a-d

79 79 Betrag Der absolute Betrag einer reellen Zahl x ist definiert durch: Den absoluten Betrag einer reellen Zahl erhält man also durch Weglassen des Vorzeichens. Auf der Zahlengerade bedeutet der Betrag den Abstand der gegebenen Zahl von Null. Verlauf der Betragsfunktion y = x auf R:

80 80 Die Exponentialfunktion : f(x) = e x e ist eine Konstante (eulersche Zahl = 2, ) Wichtig: ln(e) = 1 Eigenschaften: e-funktionen ohne Verschiebung in y-richtung besitzen keine Nullstellen e-funktionen ohne Verschiebung in y-richtung und ohne Streckung bzw. Stauchung gehen durch den Punkt P (0/1) Die negative x-achse ist die Waagerechte Asymptote Streng monoton steigende Funktion Nur positive Funktionswerte

81 81 ln-funktion: f x = ln(x) Zur Erinnerung: ln a = log e a Umkehrfunktion von f(x) = e x Logarithmusfunktion f x = ln x Eigenschaften: ln-funktionen ohne Verschiebung in y-richtung und ohne Streckung bzw. Stauchung haben eine Nullstelle bei x = 1: f(1)=0 Die ln-funktion hat an der Stelle e den Funktionswert 1: f(e)=1 D=R+\{0}

82 82 Ableitungen I Ableitung ist die Steigung der Funktion in einem gegebenen Punkt der Funktion (Die Steigung der Tangente in dem Punkt). Viele Funktionen haben in jedem Punkt eine unterschiedliche Steigung: Allgemein: f(x) = x n abgeleitet f (x) = nx n 1

83 83 Integral Umgangssprachlich, aber nicht korrekt als aufleiten bezeichnet Ergebnis des Integrierens von f(x) ist die Stammfunktion F(x) Die Stammfunktion abgeleitet F (x) ist die Ausgangsfunktion f x F x f x dx = F(x) = f(x) Das Integral wird zur Flächenbestimmung zwischen der x-koordinatenachse und dem Graphen benötigt Allgemein:

84 84 Aufgaben 1.) Welche Zuordnungen sind eindeutig und stellen somit eine Funktion dar? x F(x) Funktion, da Eindeutige Zuordnung: y=1 x F(x) Keine Funktion, da z.b. dem Argument x=1 sowohl der Wert 1 als auch 4 zugeordnet wird

85 85 Aufgaben 2) Ermitteln Sie für die folgenden Funktionen den maximalen Definitionsbereich, eine Wertetabelle und skizzieren den Graphen (ohne Programm). f(x) = 0,5x²-1, D=R, Die Funktion ist wegen a=0,5 gestreckt (siehe Folie 50) und um 1 nach unten verschoben (auf der y-achse) im Gegensatz zur Funktion y= x². (siehe Funktion Folie nur mit der Veränderung des y-achsenabschnittes P(0/-1) 3) Bestimmen Sie den Definitionsbereich, die Steigung m und den y-achsenabschnitt b f(x) = 3x-5, Steigung m=3, y-achsenabschnitt=-5, D=R

86 86 Aufgaben 4) Bestimmen Sie jeweils die Gerade: a) P(0/6), m=2/7 Lösung: y= 2 7 x+6 b) P(4/5), Q(5/7) Lösung: y=2x-3 5) Bestimmen Sie jeweils den Scheitelpunkt mit Hilfe der quadratischen Ergänzung. Bestimmen Sie weiterhin die Nullstellen. f(x) = x²+x-6,25 Lösung: Scheitelpunkt S(-0,5/-6,5) Nullstellen: x ₁ =-3,05 oder x ₂ =2,05 (gerundet)

87 87 Aufgaben 6) Bestimmen Sie die Nullstellen: a) f(x) = x²+3x+2 b) Lösung: x₁=-1 und x₂=-2 b) f(x) = x³+2x²-x-2 Lösung durch Polynomdivision: x₁=-1, x₂=-2 und x₃=1 7) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich, die Umkehrfunktion und zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem. f(x) = (2x-4)/(x-1)

88 88 Aufgaben 7) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich, die Umkehrfunktion und zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem. f(x) = 2x 4 x 1 Lösung: D=R\{1} y(x-1)=2x-4 yx-y=2x-4 yx-2x=y-4 x(y-2)=y-4 x= y 4 y 2 f ¹(x)= x= y 4 mit Df ¹(y)=R\{2} y 2 y= 2x 4 x 1

89 89 Aufgaben 8) Bestimmen Sie folgende Grenzwerte der e-funktion: Lösung: lim x + ex = + lim x + e x = 0 lim x ex =0 lim x + e x = +

90 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit und einen guten Start ins Studentenleben! 90