6 Ideale Strömungen. 6.2 Potentialströmungen. 6.1 Inkompressibilität

Transkript

1 6 Ideale Stöungen Als Ideale Stöungen bezeichnet an Stöungen von inkopessiblen, eibungslosen (Re ) Flüssigkeiten. 6. Inkopessibilität Wann daf an eine Stöung als inkopessibel bezeichnen? Wie goss sind die elativen Dichteändeungen i Vegleich zu den Geschwindigkeits und Duckändeungen? Wi betachten die Eule-Gleichung (.) in de einfachsten Fo: v + ( v ) v = p (6.) t In eine Stöung ändee sich die Geschwindigkeit (übe eine gewisse Distanz D) u v v und de Duck entspechend u p. Dann gilt (betagsässig): ( v ) p = D D Fü eine adiabatische Stöung gilt p s = a (6.) (6.3) p a (6.4) it de Schallgeschwindigkeit a, also ( v ) a (6.5) ( v ) v Ma a a Eine adiabatische Stöung ist inkopessibel, wenn Ma <<. Fü Luft: v /s (stake Wind) a 33 /s (6.6) Ma 3 << (Es gibt alledings auch kopessible Stöungen it Ma <<, z.b. bei Ewäung de Flüssigkeit). 6. Potentialstöungen Fü eine inkopessible Flüssigkeit gilt v = (6.7) Ist die Stöung aussede auch otationsfei, v = (6.8) so kann an ein Geschwindigkeitspotential φ definieen, it v = φ (6.9) und fü dieses gilt (wegen 5.7) die Laplacegleichung φ = (6.) Beispiele: φ = Ux v = ( U,, ) a) Paallele Stöung: in Polakoodinaten: (6.) φ = U cosθ (6.) 3 3

2 b) Linienquelle/senke φ = ln (6.) v =, vθ =, v z = (6.3) ( in eine geeigneten diensionslosen Einheit, Zylindekoodinaten). I Uspung ist die Stöung singulä, dot ist v. c) Linienwibel: φ = Kθ v θ = K (Zylindekoodinaten). Auch fü den Wibel ist de Uspung singulä, dot ist v. (6.4) 6.3 Die Stofunktion Ein divegenzfeies Feld lässt sich definieen als Rotation eines Vektopotentials. Dies ist fü eine Stöung dann nützlich, wenn sie dank geeignete Syetien nu von Koodinaten abhängig ist: das Vektopotential hat dann nu eine von Null veschiedene Koponente. Diese bezeichnet an als Stofunktion ψ. In echtwinkligen Koodinaten ist dann: u =, v = (6.5) Jede so definiete Stöung efüllt autoatisch die Kontinuitätsgleichung ( v = ). Ist die Stöung aussede otationsfei, so ist v u ψ ψ ( v ) z = = = (6.6) Die Stofunktion efüllt also ebenfalls die Laplacegleichung. Fü Linien it ψ = const. gilt dψ = dx + dy = (6.7) v dx + u dy = (6.8) dy v = (6.9) dx u Dies ist die Gleichung fü die Tangente an eine Stolinie: Linien it konstante ψ sind Stolinien. Andeeseitsbescheibt φ = const. Linien, die senkecht auf den Stolinien stehen. Die Linien fü φ = const. und ψ = const. sind othogonal zueinande, φ und ψ sind othogonale Lösungen de Laplacegleichung. Duch Integation (bzw. ganz einfache geoetische Übelegungen) bestit an leicht die Stofunktionen fü die Beispiele aus de voheigen Abschnitt: a) paallele Stöung: φ = Ux, ψ = Uy (6.) b) Linienquelle ode-senke: φ = ln, ψ = θ (6.) 33 34

3 c) Linienwibel φ = Kθ, ψ = K ln (6.) Aequipotentiallinien (gestichelt) und Stolinien (ψ=const, blau ausgezogen). fü die dei Beispiele. (Figu aus White). 6.4 Funktionen koplexe Veändeliche Zweidiensionale Stöungen lassen sich duch Funktionen koplexe Vaiablen besondes gut dastellen. Mit iθ z = x + iy = e (6.3) lassen sich Stöungen in de zweidiensionalen Ebene sowohl in katesischen wie auch in Polakoodinaten gut bescheiben. Aus de Funktionentheoie weiss an, dass fü jede analytische Funktion eine koplexen Vaiablen = f ( x + iy) = φ ( z) + iψ ( z) (6.4) gilt, dass die beiden Funktionen φ und ψ othogonale Lösungen de Laplacegleichung sind. ( Eine analytische Funktion ist eine koplexe Funktion, welche diffeenzieba ist. Die Ableitung uss unabhängig vo Genzpozess sein, daduch egeben sich die Cauchy-Rieannschen Diffeentialgleichungen φ φ =, = (6.5) und daaus die Laplacegleichungen fü φ und ψ). Dait lässt sich das Vogehen udehen: Anstatt Lösungen fü gegebene Stöungspoblee it vogegebenen Randbedingungen zu suchen, wählen wi beliebige koplexe Funktionen, bestien Geschwindigkeitspotential und Stofunktion und suchen die dazu passenden Poblee. Jede Stolinie kann in eine solchen Lösung kann auch als eine ögliche Genzfläche betachtet weden. Wi wählen also ein koplexes Geschwindigkeitspotential f(z) = φ + iψ und definieen die koplexe Geschwindigkeit df φ φ φ w( z) = + i = i = u iv (6.6) dz Wenn f analytisch ist, bescheibt w eine ideale Stöung. Beispiele: a) = U z (6.7) φ = Ux, ψ = Uy (6.8) Dies gibt wiede die paallele Stöung. b) = lnz, (ln z ln + iθ ) (6.9) π egibt die Quelle/Senke, und c) i Γ = lnz (6.3) π egibt den Linienwibel (it Zikulation Γ )

4 6.5 Einfache ebene Stöungen a) Hypebeln = z, ϕ = x y, ψ = xy (6.3) c) Paallele Stöung plus Quelle = Uz + lnz (6.33) π Jede Stolinie kann auch eine Genzfläche eines Köpes sein. Je nachde haben wi Stöung u einen Ecke Stöung gegen eine Wand kollidieende Stöe b) Quelle ode Senke und Wibel Ustöung eines Felsens, Koet (?) d) Paallele Stöung it Quelle und Senke = Uz + ln( z z ) ln( z + z ) π π gibt die Ustöung eines Ellipsoids: (6.34) iγ = lnz π π (6.3) Badewannenwibel ode Wibelstu 37 38

5 e) Dublett Eine Quelle plus eine Senke i infinitesialen Abstand ε auf de x- Achse egeben ein Dublett (engl. doublet). ε = li ln( z ε) ln( z + ε ) = (6.35) ε π π πz f) Stöung u den Zylinde Eine paallele Stöung plus ein Dublett egeben die Stöung u einen Zylinde: vbzw.p - - v/u (p-p )/(U /) x/ Geschwindigkeit und Duck fü die zentale Stolinie. Die Geschwindigkeit wid Null fü x=±, sie wid axial v=ufü x =. De Duck fällt ab bis zu Geschwindigkeitsaxiu, danach steigt e wiede an. = U z + z (6.36) = + φ U cosθ (6.37) = + U cosθ, v sin θ U θ (6.38) v = Die Duckveteilung ehält an aus de Benoulligleichung zu p p v = U U (6.39) Auf de Hinteseite des Köpes uss die Stöung in ein Gebiet höheen Ducks eindingen. eine solche Stöung ist nu fü seh kleine Re stabil. Fü eale Stöungen bildet sich hinte de Köpe ein Nachlauf (siehe die Figu i Kap. 3.4). Figuen aus Panton. Links : Re =.54, echts : Re =

6 g) Stöung u den Zylinde it Zikulation Eine paallele Stöung plus ein Dublett plus ein Linienwibel egeben die Stöung u einen Zylinde it Zikulation: Γ i = U z + ln z π z Fü Γ liegen die Stagnationspunkte nicht eh auf de x-achse. (6.4) 6.6 Konfoe Abbildungen: die Joukowski-Tansfoation Konfoe Abbildungen sind Abbildungen in de koplexen Ebene ittels analytische Funktionen. Gegeben sei eine konfoe Abbildung z = z( ζ ), z = x + iy, ζ = ξ + iη (6.4) Wenn nun f(ζ) eine analytische Funktion in de ζ-ebene ist, so ist f ( z( ζ )) f ( ζ ) (6.4) ebenfalls eine analytische Funktion (eine analytische Funktion eine analytischen Funktion ist wiede analytisch). Real und Iaginäteil de Funktion stellen auch in de z-ebene Potential und Stofunktion eine idealen Stöung da. Die Abbildung bildet also Äquipotentialflächen auf Äquipotentialflächen und Stolinien auf Stolinien ab. Wi betachten i folgenden die Joukowski-Tansfoation c z( ζ ) = ζ +, c eell (6.43) ζ Diese Tansfoation bildet einen Keis u den Uspung auf eine Ellipse ab: Joukowski-Tansfoation (Figu aus Panton) 4 4

7 Besondes inteessant ist die Joukowski-Tansfoation abe, weil sie einen aus de Nullpunkt veschobenen Keis auf eine Tagflügelähnliche Fo abbildet: Mit Hilfe von konfoen Abbildungen können geoetisch einfache Stöungsuste in eine Vielzahl von koplizieteen Geoetien tansfoiet weden, so existiet etwa eine Abbildung de obeen koplexen Halbebene auf jedes konvexe Polygon (Bonstein et al., Taschenbuch de Matheatik, Kap. 4..3) 6.7 Auftieb und Widestand df A df Joukowski-Tansfoation (Figu aus Panton) Mit Hilfe de Joukowski-Tansfoation können wi also die Ustöung eines Tagflügelpofils auf die Ustöung eines Zylindes zuückfühen. Fü die Ustöung eines Zylindes ist die Zikulation Γ ein feie Paaete. Dait die Ustöung des Tagflügels physikalisch sinnvoll ist, uss die Kutta-Bedingung efüllt sein: Die Stolinien sollen die Flügelhintekante glatt ustöen (andenfalls wüde dot die Geschwindigkeit unendlich). Die Kutta-Bedingung (Figu aus Panton) Dait ist eine Bedingung fü die Lage des hinteen Stagnationspunktes in de Ebene des Zylindes festgelegt, und dait eine Bedingung fü den Wet de Zikulation. Dait kennt an dann abe auch den Auftieb (siehe nächste Abschnitt). Zu zeigen bleibt noch, dass die Stöung fü gosse Distanzen und die Zikulation fü beide Geoetien dieselbe ist. dl U df R Ist die Duckveteilung u einen Köpe bekannt, so lassen sich Auftieb und Widestand beechnen. Die Duckkaft, welche auf ein Eleent de Länge dl wikt, lässt sich zelegen in eine Koponente paallel zu Stöung (Widestand) und eine Koponente senkecht zu Stöung (Auftieb). Duch Integation längs de Kontu des Köpes ehält an den Gesatauftieb esp. Widestand. Es gilt df R = p dy (6.44) df A = p dx (6.45) Wi bilden einen konjugiet koplexen Vekto df = dfr i dfa = p dy i pdx = i pdz (6.46) Aus de Benoulligleichung kennen wi die Duckveteilung: df df p = p ww = p (6.47) dz dz df df = i pdz + i df (6.4 dz 43 44

8 Fü die Gesatkaft gilt (de skalae Duck gibt keinen Beitag bei Integation übe eine geschlossene Kontu): F = F R if A = i c df dz df Die Kontu des Köpes ist eine Stolinie, längs de die Stofunktion konstant ist (dψ =), also (6.49) df = dφ + idψ = dφ = df (6.5) Folglich ist de Integand eell: F = i c w dz (6.5) Diese Foel heisst Blasius-Theoe. Koplexe Kontuintegale lassen sich it Hilfe des Residuensatzes beechnen: g dz = π i R (6.5) c k k Die Residuen bestit an aus de Reihenentwichlung de Kuve, R ist gleich de Koeffizienten des Tes it /z; und suiet wid übe alle Pole de Funktion, die von de Kontu uschlossen weden. Fü jedes beliebige Ustöungspoble beginnt die Reihenentwicklung it = Uz + π z ( iγ) lnz + O Fü einen geschlossenen Köpe ist die Sue alle Quell- und Senktee innehalb de Kontu Null, also =, Γ w( z) = U i + O πz z ΓU w = U i + O πz z Das Residuu von w ist folglich (6.53) (6.54) (6.55) i ΓU R = (6.56) π also F = i UΓ (6.57) De Realteil de Funktion ist Null: wie zu ewaten wa, veschwindet de Stöungswidestand eine eibungslosen Flüssigkeit. De Auftieb ist popotional zu Zikulation: = UΓ F a Diese Foel ist die Kutta-Joukowski-Foel. 6.8 Zusaenfassung Fü ideale Stöungen stehen seh potente atheatische Wekzeuge zu Vefügung, insbesondee die Theoie de koplexen Potentiale und de konfoen Abbildungen Koplexe Potentiale und Stofunktionen lassen sich nu in zwei Diensionen vewenden In eine idealen Stöung ist de Auftieb popotional zu Zikulation Fü eine ideale Stöung lässt sich de Stöungswidestand nicht beechnen Die von de Natu ealisieten Lösungen sind selten ideale Stöungen, vielfach existieen keine stabilen stationäen Lösungen 45 46