Kapitel 9 Integralrechnung für Funktionen einer Veränderlichen 9.6 Volumen von Rotationskörpern

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Leander Pfaff
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1 Wolte/Dhn: Anlsis Individuell c Spinge 75 Kpitel 9 Integlechnung fü Funktionen eine Veändelichen 9.6 Volumen von Rottionsköpen Wi wenden uns jetzt de Bestimmung des Volumens eines sogennnten Rottionsköpes 9/6/ zu. Zunächst soll be definiet weden, ws unte einem solchen Köpe zu vestehen ist. Dzu sei I = [, b] ein bgeschlossenes Intevll mit < b und sei f eine in I definiete und integiebe Funktion, die in dem Intevll nicht negtiv wid. Dnn bestimmt die Punktmenge M := {(, ) : b, f()} beknntlich eine Fläche. Läßt mn nun diese Fläche um die -Achse otieen, dnn entsteht eine Rottionsfigu ode ein Rottionsköpe (vgl. Abb. 9.3). Wi inteessieen uns nun fü die Fge, ob mn diesem Rottionsköpe in venünftige Weise ein Volumen zuscheiben knn, und wie mn gegebenenflls dieses Volumen definieen und beechnen könnte. z b f() Abb. 9.3 Auf de -Achse sei ein Intevll [, b] gegeben, und in diesem Intevll sei eine nicht-negtive Funktion f() definiet ( ist hie vedeckt). f wid in de (, )- Ebene betchtet. Läßt mn f um die -Achse otieen, dnn entsteht im IR 3 eine Rottionsfigu. Ds Poblem ist ufgewofen, wi vesuchen es zu lösen. Dzu sei z = (,..., n+ ) eine Zelegung von I. Pllele Ebenen im IR 3, die zu -Achse senkecht stehen und duch die jeweiligen Zelegungspunkte uf de -Achse gehen, schneiden us de Rottionsfigu Keisscheiben heus. Ds ngenähete Volumen de Keisscheibe, die duch die Zelegungspunkte i und i+ bestimmt wid, knn duch einen geeigneten Keiszlinde ngegeben weden. Dzu sei ξ i [ i, i+ ] beliebig. Dnn ist duch ( i+ i ) f (ξ i ) π ds Volumen des entspechenden Zlindes

2 mit de Höhe h = i+ i und dem Rdius f(ξ i ) gegeben. ξ i ist eine Zwischenstelle in [ i, i+ ] (vgl. Abb. 9.8). Entspechend diese Übelegung ist duch n Ṽ = ( i+ i ) f (ξ i ) π i= ds ngenähete Volumen de gesmten Rottionsfigu bestimmt. Diese Summe ist offensichtlich eine Zwischensumme de Funktion π f () bei de Zelegung z und dem Zwischenstellensstem τ = (ξ,..., ξ n ). Nch Voussetzung ist f in I integieb, folglich ist uch πf in I integieb. Betchtet mn jetzt eine usgezeichnete Zelegungsfolge (z ν ) von I und eine Folge (τ ν ) von zugehöigen Zwischenstellensstemen, dnn eistiet ν lim S πf (z ν, τ ν ), und de Limes ist gleich dem Integl b Dhe definiet mn ds Volumen V b V = Df ν lim S πf (z ν, τ ν ) = πf () d. de Punktmenge M wie folgt: b πf () d = π f () d. Beispiele. (). Ist f konstnt, f =, dnn ehält mn mit diese Fomel den Ruminhlt eines 9/6// Keiszlindes mit de Höhe b und dem Rdius. b V = π b f () d = π d = π (b ) = πh. (). Es sei f() = und I = [, ]. Dnn ist ds Volumen des entspechenden 9/6// Rottionsköpes gegeben duch b V = π f () d = π d = π = π. z Abb. 9.4 Die Abbildung zeigt die Funktion f() = in de (, )-Ebene, definiet im Intevll [, ] bzw. die Rottionsfigu im IR 3, die 76 duch Rottion von f um die -Achse entsteht. Die z-achse zeigt in Richtung des Betchtes. Abb. 9.4 b Diese Abbildung zeigt die gleiche Rottionsfigu wie uf de linken Seite. Diesml ist jedoch de Rottionsköpe äumlichpespektivisch dgestellt.

3 (3). Es sei jetzt I = [, ] und f, g seien in I definiete Funktionen, so dß f() = 9/6//3 und g() =. f() g() Abb. 9.5 Läßt mn die stäke umndete Deiecksfläche um die -Achse otieen, dnn entsteht ls Rottionsköpe ein Ring. Wi lssen die duch f und g bestimmte Fläche um die -Achse otieen und bestimmen ds Volumen des entspechenden Rottionsköpes. V = π (f () g ()) d = π ( ) d = π( 3 3 ) = 4π 3. Als Spezilfll ehält mn ds Volumen eines Kegels mit de Höhe h und dem Rdius. Hiefü ist nämlich f() = und I = [, h]. Also h h V = π h d = πh 3. (4). Wi beechnen jetzt ds Volumen eines Tous. 9/6//4 77

4 z f() R g() Abb. 9.6 Die von f und g eingeschlossene Fläche ezeugt bei Rottion um die -Achse einen Tous. Abb. 9.6 b Die obige Abbildung zeigt diesen Tous äumlich-pespektivisch im Rum IR 3. Dzu betchten wi die Gleichung ( R) + = eines Keises mit dem Mittelpunkt (, R) und dem Rdius. Löst mn diese Gleichung nch uf, dnn ehält mn zwei Funktionen f() = R + und g() = R ; den obeen und unteen Keisbogen des Keises. Läßt mn die Fläche des entspechenden Keises um die -Achse otieen, dnn ehält mn einen Tous. Dessen Volumen ist gegeben duch Es gilt V = und dmit gilt (f () g ()) d. f () g () = R + R + (R R + ) V = 4πR = 4R,. Wi lösen zunächst ds unbestimmte Integl, um eine Stmmfunktion zu ehlten. Es ist 78

5 d = ( ) d = t dt; (fü = t) = sin z cos z dz; (fü t = sin z) = cos z dz ( ) = (sin z cos z + sin }{{ z} = cos z dz); (ptielle Integtion) = (sin z cos z + z) cos z dz. Aus ( ) und de letzten Zeile folgt cos z dz = sin z cos z + z = sin z sin z + z. Dmit hben wi ds unbestimmte Integl lledings bezüglich z gelöst. Wi wollen be ds bestimmte Integl bezüglich in den Genzen von bis beechnen. Dzu müßten noch die Genzen entspechend de Substitutionen tnsfomiet ode die Substitutionen ückgängig gemcht weden. Folgende Substitutionen wuden vogenommen: t = sin z = z = csin t und = t = z = csin. Fü gilt und schließlich π csin π. In den betchteten Intevllen sind die Tnsfomtionen bijektiv, folglich ist ( d = sin(csin ) ( sin(csin )) ) + csin ( = ( ) ) + csin ( ) = csin csin( ) ( = π ( π )) = π Ds gleiche Egebnis ehält mn, indem die Integtionsgenzen entspechend tnsfomiet weden: ( ) d = π sin z cos z + z π ( = π ( π )) = π. 79

6 Also V = 4πR π = Rπ. Allgemeine gilt die. Guldinsche Regel: 9/6/ Ds Volumen eines Rottionsköpes ist gleich dem Flächeninhlt de otieenden Fläche, multipliziet mit dem Umfng des Keises, de duch den Mittelpunkt (ode Schwepunkt) de otieenden Fläche beschieben wid. 8

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