KAP 1 BAUSTEINE DER ZAHLENTHEORIE

Transkript

1 Bausteine de Zahlentheoie Seite KAP BAUSTEINE DER ZAHLENTHEORIE In diesem Kapitel geht es um die gundlegenden Begiffe de Zahlentheoie wie Teilbakeit und Pimzahl. Es weden viele Dinge wiedeholt, die Du aus den Klassen 6 bis 8 kennst. DEFINITION. Es seien k und n aus Ν. k heißt "Teile von n", wenn es eine Zahl Ν gibt mit k=n. heißt dann de zu k komplementäe Teile" von n. Man scheibt k n bzw. n. Bemekung: Auch und n selbst sind Teile von n. Alle Teile von auße n selbst nennt man echte Teile von n. Fü die Spezialzahl 0 gilt pe definitionem : n 0 fü alle n Ν. hat nu einen einzigen Teile, nämlich selbst. SATZ. (Gundegeln de Teilbakeit) Fü alle a,, Ν gilt (T) a b b a a=b (T2) a b b c a c (T3) a b a c b (T4) a b a c a b±c (T5) a b (a c) (a b±c) (T6) a b a b±c a c Beweise (teilweise): ad (T): (a b b= a; b a a= 2 b) b= ( 2 b)=( 2 )b 2 = = 2 = ad (T2): (a b b= a; b c c= 2 b) c= 2 ( a)=( 2 ) a= a a c Vesuche, die estlichen Beweise selbst zu fühen. Beispiele: AUFGABE. zu (T4) (ode zu (T5) (7 37) (7 3537) Begünde ohne TR, abe mit den obigen Regeln, ob die folgenden Aussagen wah sind: () (2) (3) (4) AUFGABE.2 a) Zeige, daß jede sechsstellige Zahl n de Fom abcabc duch 7, und 3 teilba ist. (Suche einen geeigneten Teile von abcabc.) b) Zeige entspechend, daß n= abcdabcd duch 73 und 37 teilba ist. AUFGABE.3 Beweise ode gib ein Gegenbeispiel an: a) a b a c a 5b+7c b) a b a c a 2 bc c) a bc a b v a c d) n a- n a 2

2 Bausteine de Zahlentheoie Seite 2 AUFGABE.4 e) n a+3 n a 2 +2a 3 f) Zeige, daß n und n+ teilefemd sind. a) Zeige, daß nicht imme gilt: a c b c ab c. Welche Bedingung ist zu stellen, damit die Aussage imme gilt? b) Beweise: Das Quadat eine ungeaden Zahl läßt bei Division duch 8 den Rest. AUFGABE.5 Zeige: Fü alle n Ν gilt () 2 n 2 +n (2) 6 n 3 n (3) 2 n 4 -n 2 Im folgenden Beispiel fühen wi ein wichtiges Beweisvefahen ein: Sieht man sich die Zahlenbeispiele: 8 =2 3 = 7, 64 =2 6 =9 7, 52-=2 9 =73 7 usw. an, so könnte man die Behauptung: Fü alle n Ν gilt 7 2 3n - (*) aufstellen. Dabei ist Vosicht geboten, denn man schließt ja von nu dei Beispielen auf unendlich viele Beispiele. Abe auch bei 999 Beispielen steht man nicht besse da, wie die falsche Aussage: Alle natülichen Zahlen sind kleine als 000. zeigt. Wi zeigen deshalb die Aussage (*) in zwei Schitten. Vohe fühen wi noch die Bezeichnung a n :=2 3n ein. (I) (*) gilt fü n=, also , was ja offensichtlich gilt (II) (*) gilt fü a n+ a n : a n+ a n =(2 3(n+) ) (2 3n )=2 3n+3 2 3n =2 3n n =2 3n (8 )= =7 2 3n, als0 teilt 7 a n+ -a n Mit (I) und (II) folgt nun 7 a 2 a und dahe mit (T6) 7 a 2. Dann folgt abe aus 7 a 3 a 2 wiede mit (T6) 7 a 3 usw.usw. Wi ollen das Feld also von unten auf. Man nennt einen solchen Beweis einen Induktionsbeweis (ode Beweis duch Induktion ). AUFGABE.6 Beweise duch Induktion (beechne vohe fü n=,2,3): a) 3 n 3 +2n b) 8 3 2n +7 c) 9 0 n +3 4 n+2 +5 d) 3 4n 3 -n e) 6 n 3 -n f) 6 7 n - g) 3 n 3-6n 2 +4n h) 33 n n+ i) 9 n 3 +(n+) 3 +(n+2) 3 SATZ.2 (nützliche Fomeln zu Teilbakeit); Fü alle a,b R und alle n Ν gilt: (F) (a n b n ):(a-b)=a n- +a n-2 b+a n-3 b a 2 b n-3 +a b n-2 +b n- (F2) (a 2n b 2n ):(a+b)=a 2n- a 2n-2 b ab 2n-2 b 2n- (F3) (a 2n+ +b 2n+ ):(a+b)=a 2n a 2n- b ab 2n- +b 2n AUFGABE.7 a) Beechne α) (x 7 y 7 ):(x y) β) ( 8 s 8 ):(+s) γ) (u 5 +v 5 ):(u+v) b) Beweise mit Satz.2 die folgenden weiteen Teilbakeitsegeln: (T7) x- x n (T8) x+ x 2n+ + (T9) x+ x 2n Zeige dann, daß gilt: 7 8 n - und 7 8 n -

3 Bausteine de Zahlentheoie Seite 3 AUFGABE.8 a) Zeige: (F4) +x+x 2 +x x n- = x n fü x. x b) Beechne damit die beühmte Schachbettaufgabe c) Auch die aus unendlich vielen Summanden bestehende Summe: s= , läßt sich mit F4 beechnen. Beechne dazu est mal einige Teilsummen s = 2 ; s2 = ; s3 = ;... Scheibe dann die Teilsumme s n auf (welches ist de letzte Summand?). Übelege nun, was mit den auftetenden Zahlen passiet, wenn n imme göße wid. AUFGABE.9 dei Aufgaben aus dem Jah 996 (beachte F - F4 und T7 - T9): a) Es sei n= , wobei auf 996 Einsen 996 Zweien folgen. Zeige: n 3-3n 2-8n.(Benütze die Quesummen egeln, auch wenn sie est späte bewiesen weden!) b) Es sei s= Zeige: 554 s. c) Zeige: DEFINITION.2 Die Menge T n :={x x ist Teile von n} heißt Teilemenge von n. Die Anzahl de Elemente von T n wid mit τ(n) bezeichnet. AUFGABE.0 a) Bestimme τ(n) fü n=40, 4, b) Vegleiche τ(n) von einigen Quadatzahlen mit τ(n) fü Nichtquadate. Welche Vemutung dängt sich auf? Beweis? DEFINITION.3 Eine Zahl p Ν heißt Pimzahl genau dann, wenn τ(p)=2 ist. Jede Zahl göße als, die nicht pim ist, heißt "zusammengesetzt". SATZ.3 Es gibt unendlich viele Pimzahlen. Beweis: (De im folgenden angedeutete Beweis geht auf Euklid (ca. 300 v.ch. zuück.) Betachte 2+=3 () 2 3+=7 (2) =3 (3) =2 (4) Setze die Folge um dei weitee Zeilen fot. Waum ist z.b. die 4.Zeile wede duch 2 noch 3 noch 5 noch7 teilba? Ist das Egebnis imme eine Pimzahl? Nun nehmen wi einmal an, es gäbe eine gößte Pimzahl P. Wie vehält es sich mit dem Zahl z= P+? Untescheide zwei Fälle. De folgende Satz ist seh hilfeich, wenn man von eine Zahl entscheiden will, ob sie Pimzahl ist ode nicht.

4 Bausteine de Zahlentheoie Seite 4 SATZ.4 Jede zusammengesetzte Zahl n besitzt einen Pimteile p n. Beweis: Da n zusammengesetzt ist, besitzt n siche einen Pimteile a mit a und a n. Zu a existiet ein komplementäe Teile b. Ist b nicht pim, so hat b einen Pimteile c mit c und c n. Ist b selbst pim, so kann nicht gelten a> n und b> n, da sonst a b>n. Also ist entwede a ode b n. Den zweiten Fall (a, c) behandelt man entspechend. (Pogamme: TEILERNEU - PRIMITIV - ERATHOST - PRIMTEST) Im Zusammenhang mit Pimzahlen gibt es jede Menge ungelöste Pobleme. Hie einige Stichpunkte: Gibt es unendlich viele Pimzahlzwillinge bzw. -dillinge? Pimzahlzwillinge sind zwei Pimzahlen mit de Diffeenz 2. Pimzahldillinge sind nicht etwa dei Pimzahlen p,p+2,p+4. Waum können nie dei aufeinandefolgende ungeade Zahlen alle Pimzahlen sein, wenn schon die este göße als 3 ist? Liegt zwischen n und 2n mindestens eine Pimzahl? Untesuche fü n bis 500. Liegt zwischen n 2 und (n+) 2 mindestens eine Pimzahl? Untesuche bis n=50. Läßt sich jede geade Zahl göße als 2 als Summe zweie Pimzahlen scheiben (Goldbachsche Vemutung - nach Ch. Goldbach ( ))? Waum äußete Goldbach seine Vemutung nicht fü ungeade Zahlen? AUFGABE. a) Emittle alle Pimzahlzwillinge und -dillinge unte 200! b) Scheibe (wenn möglich) alle Zahlen bis 50 als Summe zweie Pimzahlen. c) Suche alle MIRP-Zahlen unte 000. Dies sind solche Pimzahlen, bei denen auch die Spiegelzahl pim ist (z.b. 3 und 3 ode und ) d) Wie viele Zahlen bleiben übe, wenn man von den Zahlen von bis nacheinande alle Vielfachen de ungeaden Pimzahlen steicht. e) Welche de Zahlen, die sich als Podukt von genau zwei Pimzahlen scheiben läßt, liegt am nächsten bei 00?

5 Bausteine de Zahlentheoie Seite 5 De folgende Satz zeigt, wie man die Pimalität (Pimeigenschaft) eine Zahl geschickt ausnutzen kann: Jede Pimzahl p>2 läßt sich eindeutig als Diffeenz zweie Quadatzahlen dastellen. Beweis: Wi vesuchen s einfach mal: p=x 2 -y 2 =(x-y)(x+y). Da p pim ist, muss eine de beiden Faktoen Eins sein (also x-y=), wähend de andee p ist (also x+y=p). Das liefet ein LGS mit 2 Vaiablen: x+y=p x y= 2x=p+ 2y=p- x= p + y= p. Wi haben damit die beiden gesuchten 2 2 Quadatzahlen gefunden: p= p+ 2 p Diese Dastellung gilt übigens fü alle ungeaden Zahlen p, wie man leicht nachechnet. AUFGABE.2 a) Bestimme alle Pimzahlen p, fü die 4p+ Quadatzahl ist. (Hinweis: Angenommen 4p+=x 2...) b) Zeige, das p=2 die einzige Pimzahl p ist, fü die gilt: 0 (p+9) 2 - α α2 α DEFINITION.4 Ist n>, so heißt n= p p2 p mit Pimzahlen p <p 2 <...<p und α i Ν die Pimfaktozelegung von n. α i heißt die Vielfachheit von p i. Ein ganz wichtige, dennoch leicht einleuchtende Satz ist de folgende Fundamentalsatz. In de Mathematik wid de Zahlbegiff späte etwas eweitet. Dann ist die Aussage dieses Satzes schon ga nicht meh so selbstveständlich. Wi geben den Satz hie ohne Beweis an. Satz.5 (Fundamentalsatz de Zahlentheoie) Jede natüliche Zahl n> besitzt eine bis auf die Reihenfolge de Faktoen eindeutige Pimfaktozelegung. Beispiel: 980=0 98=(2 5) (2 49)= =20 49=(4 5) (7 7)= Wi haben die Zahl auf zwei veschiedenen Wegen zelegt, die Egebnisse sind dennoch gleich. AUFGABE.3 AUFGABE.4 Püfe, welche de folgenden Podukte den selben Wet haben: a= b= c= d= e= Beechne x, y und z in: a) x- 0 =2640 b) 24 3 x- 5 y 7 z+2 =9000 c) 3 x-3 3 y+ =5.903

6 Bausteine de Zahlentheoie Seite 6 Ein einfaches Beispiel soll uns nun zeigen, daß de Satz.5 nicht imme tivial ist: Es sei M:={x x=4n+ mit n Ν 0 }={,5,9,3...}. Nehme ich zwei Zahlen aus M, also z.b. 4k+ und 4l+, so liegt wegen (4k+) (4l+)=6kl+4k+4l+= 4(4kl+k+l)+ auch ih Podukt in M (M ist bezüglich de Multiplikation abgeschlossen.) Nun kann man sich fagen, welche de Zahlen von M sich wie 25=5 5 ode 45=5 9 in M zelegen lassen. Die nicht zelegbaen Zahlen von M nennen wi ieduzibel (in M). Sie entspechen den Pimzahlen in Ν. a) Bestimme alle ieduziblen Zahlen in M 30. b) Zeige, dass 693 auf zwei veschiedenen Aten als Podukt ieduzible Elemente von M dagestellt weden kann. c) Vesuche weitee Elemente diese At zu finden. AUFGABE.5 a) Beweise: Ist n ungeade und n>2, so gilt 24 n 3 -n b) Ist p>5 pim so gilt 920 p 4-0p 2 +9 c) Fü welche Pimzahlen p ist 2p+ eine Kubikzahl? d) Das Podukt von dei Pimzahlen ist gleich dem Siebenfachen ihe Summe. Um welche Pimzahlen handelt es sich? e) Aus zwei veschiedenen natülichen Zahlen a und b weden vie neue natüliche Zahlen gebildet: ihe Summe, ih Podukt, die Diffeenz und de Quotient aus gößee und kleinee Zahl. Die Summe de vie neuen Zahlen ist 243. Wie heißen die beiden Zahlen a und b? Will man alle Teile eine Zahl bestimmen, so kann man dies seh systematisch übe die Pimfaktozelegung de Zahl tun. Ist z.b. die Zahl 360= gegeben, so egeben sich die Teile: ; ; , , , ; usw. (die Teile sind dann alledings nicht nach Göße geodnet) Im Endeffekt muß an alle möglichen Exponentenkombinationen aufspüen. Im Beispiel egeben sich 4 3 2=24 mögliche Teile (einschließlich und nicht geodnet). α α2 α Im allgemeinen Fall n= p p2 p egeben sich also (α +) (α 2 +) (α +) mögliche Teile. α α2 α SATZ.6 Hat n die Pimfaktozelegung n= p p2 p, so gilt fü die Anzahl de Teile von n: τ(n)= (α +) (α 2 +) (α +). AUFGABE.6 a) Bestimme τ(n) fü n=32, 200, 9295 b) Emittle alle Zahlen, die duch x teilba sind und genau x Teile haben, fü α) x= β) x=6 γ) x=30 c) Emittle alle Zahlen, die duch 30 teilba sind und genau 70 Teile haben.

7 Bausteine de Zahlentheoie Seite 7 AUFGABE.7 Achte bei den folgenden Aufgaben auf notwendige Falluntescheidungen: a) Bestimme alle z< mitτ(z)=45. b) Bestimme alle z< mit τ(z)=50. c) Eine Zahl z mit 0.000<z< ist duch 30 teilba. Bestimme z, wenn noch τ(z)=56 gegeben ist. (4 Lösungen) d) Waum gibt es kein z mit τ(z)= und z<.000? DEFINITION.5 Fü n> heißt σ(n):=t +t t mit t i T n die Teilesumme von n. Dabei wid übe alle Teile von n summiet; also sind auch und n unte den Summanden. AUFGABE.8 a) Beechne σ(n) fü n=32, 200 und b) Bestimme σ(n) fü alle Zahlen von 5 bis 32. Kannst Du eine Regel fü Pimzahlen ekennen? AUFGABE.9 Beweise: a+aq+aq 2 +aq aq n- = a q n n q = a (vegleiche q q Aufgabe.8) Beechne nun () und (2) AUFGABE.20 a) Zeige an den Beispielen n=8,n=6 und n=27: n pim σ(n k )= n k+ n Beweise diese Fomel nun. AUFGABE.2 Zeige an den Beispielen n=72 und n=2000 : n=p k q l p,q pim σ(n)= p k+ l+ q p q Beweise diese Fomel nun α α2 α SATZ.7 Hat n die Pimfaktozelegung n= p p p, so gilt : σ(n)= p p α+ + α p p 2 Beweis: Nu kuz angedeutet: Man wendet i.p. mehfach den Sachvehalt von Aufgabe.2 an. DEFINITION.6 σ * (n):=σ(n) n heißt Summe de echten Teile von n (ode kuz echte Teilesumme von n) AUFGABE.22 Beechne fü die folgenden Zahlen n jeweils τ(n), σ(n) und σ * (n). a) n=28 b) n=3.04 c) n=3087 d) n= e) n=84 f) n= g) n= (Tip: 007 n) h) n=3 0 k, k Ν

8 Bausteine de Zahlentheoie Seite 8 AUFGABE.23 AUFGABE.24 AUFGABE.25 a) Eine Zahl n hat genau 8 Teile. Sie ist kleine als 50 und duch 7 teilba. Beechne n. b) Die Zahl n=2 2 3 x 2 hat 36 Teile. Bestimme n. c) Die Zahl n=3 4 5 x hat die Teilesumme σ(n)=375. Bestimme n. d) Fü eine Zahl n mit genau zwei Pimfaktoen gelte τ(n 2 )=8. Beechne τ(n 3 ). (zwei mögliche Lösungen) a) Das Quadat de Zahl n=a x b y c z (a,b,c pim; x,y,z Ν) hat genau 455 Teile. Bestimme τ(n). Bestimme dieses n, wenn zusätzlich bekannt ist: 9000 n n< b) Bestimme k und l, wenn von n=2 k l (k,l>) bekannt ist: σ(n)= a) Eine Zahl z mit 56 Teilen und dei veschiedenen Pimfaktoen hat die Teilesumme Bestimme z. b) Eine Zahl z mit dei veschiedenen Pimfaktoen und 30 Teilen hat die Teilesumme und ist duch 36 teilba. Beechne σ * (z)! c) Eine Zahl z mit 28 Teilen hat die Teilesumme und ist duch 2 teilba. Beechne z. d) Eine Zahl z mit τ(z)=25 ist duch 0 teilba. Bestimme σ(z). e) Fü z=2 3 p q (p,q pim) mit σ(z)= gilt, daß q um 270 göße als p ist. Beechne z. DEFINITION.7 Eine Zahl n> mit σ(n)<2n (bzw. σ * (n)<n) heißt defizient. AUFGABE.26 Eine Zahl n> mit σ(n)>2n (bzw. σ * (n)>n) heißt abundant. Eine Zahl n> mit σ(n)=2n (bzw. σ * (n)=n) heißt vollkommen. Untesuche die Zahlen aus Aufgabe.22 auf Abundanz ode Defizienz. AUFGABE.27 a) 2 ist abundant - untesuche 2k fü k= 5, 4, 96 b) 0 ist defizient - untesuche 0k fü k=2, 3, 4, 5, 6 AUFGABE.28 SATZ.8 Suche zu jedem de folgenden Kiteien fü Abundanz und Defizienz dei mindestens zweistellige Beispiele und veifizee damit: Im Folgenden seien p und q (wie imme) Pimzahlen. Eine Zahl n ist defizient, wenn a) n eine Pimzahlpotenz ist. (n=p ) b) n=p q mit p, q 3 ist. c) n=p q s mit p, q 3 uns,s ist. d) n ein Podukt von bis zu 6 Pimzahlpotenzen mit p i >3 ist. e) n=3 k 5 7 mit k<3 ist. f) n=2 k p mit p 3 und 2 k+ <p+ ist.

9 Bausteine de Zahlentheoie Seite 9 SATZ.9 Eine Zahl n ist abundant, wenn AUFGABE.29 a) n ein Vielfaches eine vollkommenen Zahl ist. b) n ein Vielfaches eine abundanten Zahl ist. c) n=2 k p mit p 3 und 2 k+ >p+ ist. k 2 d) n= 2 p p2 ps s ist und fü mindestens ein p i >3 gilt: 2 k+ >p i + e) n=3 k 5 7 mit k 3 ist. f) die Pimfaktozelegung von n den Fakto: enthält. Untesuche die folgenden Zahlen mit Hilfe de Sätze.8 und.9 auf Abundanz und Defizienz. Beechne jeweils auch σ. a) 2835 b) 243 c) 66 d) 39 e) 284 f) 00 g) 86 h) 04 i) j) AUFGABE.30 Untesuche alle Zahlen von 5500 bis 5520 mit Hilfe de Sätze.8 und.9 auf Abundanz, Defizienz und Vollkommenheit. (ebenso fü die Zahlen von 5500 bis 550) AUFGABE.3 AUFGABE.32 a) Die Zahl n=2 x y hat genau 2 Teile und ist abundant. Bestimme σ(n). b) Fü die Zahl n=a x b y c z (a,b,c pim; x y z) gelte: τ(n 3 )=729. Bestimme τ(n) und τ(n 2 ). Beweise: n ist abundant, wenn n Podukt von mindestens dei aufeinandefolgenden natülichen Zahlen ist.

10 Bausteine de Zahlentheoie Seite 0 BEWEISE, BEWEISE, BEWEISE Hie sollen die Beweise zu den Kiteien fü Abundanz und Defizienz aus den Sätzen.8 und.9 nachgeholt weden. ad 8a Wi haben zu zeigen σ(p )<2 p. Wi fomen diese Aussage zunächst äquivalent um: σ(p )= p < 2 p p (p-) p + -<2p + -2p 2p -<p + (*) Um die Aussage zu beweisen, eicht es also, die umgefomte Aussage (*) aus eine allgemeingültigen Aussage abzuleiten. Einen Hinweis fü eine geeignete Aussage liefet (*) nach Division duch p : 2 < p. ist unbedeutend klein - p p dahe vesuchen wi es mit de fü alle akzeptablen Aussage: 2 p (p pim!) 2p p + 2p -<p + - und das ist Aussage (*). Damit ist de Beweis vollständig. Man beachte den Tick in de letzten Zeile: die kleine-seite eine Ungleichung kann man getost noch kleine machen, ohne etwas am Wahheitsgehalt de Ungleichung zu veänden (natülich kann man ebenso die göße-seite vegößen). ad 8b Wi beginnen mit eine in Mathematikekeisen beliebten Floskel: obda (d.h. ohne Beschänkung de Allgemeinheit (des Beweises)) gelte 2<p<q. Wi haben zu zeigen σ(pq)<2pq. Leicht stellt man fest, dass pq nu die Teile,p,q und pq hat. Wi fomen also um: σ(pq)<2pq +p+q+pq<2pq +p+q<pq (*) Da p>2 ist, können wi esetzen: p=2+n mit n. Damit gilt: pq=(2+n) q=2q+nq=q+q+nq>p+q+nq>p+q+ - das ist (*)! Dabei gilt das este > wegen q>p und das zweite wegen nq>. In diesem und auch im nächsten Beweis benötigen wi zwei Hilfssätze, die voweg bewiesen weden sollen. HS: < p 2... p p p k p Beweis: De linke Teil de Ungleichung läßt sich mit de Summenfomel zu geometischen Reihe (A.8) zusammenfassen: k+ k+ p p p = = < p < p... k k+ p p p p p p p p Man beachte, daß de Zähle im esten Buch nach dem zweiten = -Zeichen kleine ist als de Nenne und damit de Buch kleine als ist.

11 Bausteine de Zahlentheoie Seite HS2: a n := n ist steng monoton fallend (d.h. die Gliede de Folge weden mit n göße wedenden n imme kleine). n n Beweis: n = + = +. Mit zunehmendem n wid n- göße und de n n Summand, de zu addiet wid, deshalb imme kleine. ad 8c Nach Aufgabe.2 wissen wi : σ(p q s )=σ(p ) σ(q s ). Dann gilt: σ(p q s )<2 (p q s ) σ(p ) σ(q s )< 2 (p q s ) s σ( p ) σ( q ) s < 2 (*) pq Wi beweisen nun wiede die äquivalente Ungleichung (*): s s σ( p ) σ( q ) p p p q q q s = s = pq p q HS p q HS s s 2 p p p p q + q + + q + < p < = < q Wüde man bei de letzten Abschätzung mit p=2 beginnen, so wäe das Podukt nicht meh kleine als 2. Dies eklät die Bedingung p,q 3 in Satz 8c. ad 8d De Beweis von Satz 8d läuft analog zu dem von 8c: σ( p p2 p6) σ( p ) σ( p6 ) = = p p + p p = 6 p p2 p6 p p6 p p6 = p < p (HS) 6 p p6 p p < < , 2 Am letzten Podukt ehellt sich, waum ausgeechnet 6 Faktoen zulässig sind: fü einen weiteen Fakto müßte man mit 23 multiplizieen, was abe einen Wet 22 von ca. 2,04 > 2 ezeugen wüde. Natülich ist man bei de Abschätzung teilweise etwas gob: de Satz 8d besagt nicht etwa, dass ein Podukt von meh als 6 Pimfaktoen göße als dei nicht defizient sein könnte, wie man z.b. am Beispiel de Zahl n= sieht, die 7 Pimfaktoen zum Totz defizient ist. Satz 8d sagt lediglich, dass im Fall von sechs ode wenige Pimfaktoen göße 3 die Zahl imme defizient ist. ad 8e σ(3 k 5 7)= 3 k =(3 k+ -) 24 σ(n) 2n=24(3 k+ -) 2 3 k 5 7=24 3 k k =72 3 k 70 3 k 24 σ(n) 2n=2 3 k 24 < k 0 3 < 2 k < 2(.. d h n ist defizient) k > 0 3 > 2 k > 2(.. d h n ist abundant) Wi haben damit zugleich.9e bewiesen!

12 Bausteine de Zahlentheoie Seite 2 ad 8f σ(n)=σ(2 k p)=(2 k+ -)(p+) σ(n) 2n=2 k+ p+2 k+ p 2 2 k p=2 k+ p k+ < 0 2 < p + ( also n defizient) k+ σ(n) 2n > 0 2 > p + ( also n abundant) k+ = 0 2 = p + ( also n vollkommen) Die letzte Zeile liefet noch ein späte benötigtes inteessantes Egebnis: n=2 k p ist vollkommen genau dann, wenn p=2 k+ - und pim ist. ad 9a Es sei n vollkommen, also σ(n)=2n, mit T n ={,t 2,t 3,...,t }. Dann hat ein echtes Vielfaches k n von n mindestens die Teile k, kt 2,kt 3,...,kt. (Beispiel: T 6 ={,2,3,6} - T 3 6 ={3,6,9,8,..}).Von diesen Teilen ist abe siche keine gleich. Damit egibt sich: σ(kn) +k+kt kt =+k(+t t )=+k σ(n)>k σ(n)=k 2n=2 kn ad 9b kann von.9a beinahe diekt übenommen weden ad 9c siehe Beweis.8f ad 9d folgt aus.9b und.9c ad 9e siehe.8e ad 9f folgt unten Die Sätze 9a und 9b besagen, dass man aus jede abundanten bzw. vollkommenen Zahl duch Vielfachenbildung unendlich viele abundante Zahlen konstuieen kann. Umgekeht gibt es zu jede abundanten Zahl n eine kleinste abundante ode eine vollkommenen Zahl, deen Vielfaches n ist. Wi wollen eine solche Zahl A-Wuzel von n nennen. DEFINITION.8 n heißt A-Wuzel, wenn n vollkommen ist ode wenn n abundant ist und keinen abundanten ode vollkommenen Teile besitzt. Die kleinste A-Wuzel ist die Zahl 6, die nächste 20, die folgenden sind 28, 70, 88, Jede diese Zahlen ist also de Quell eine unendlichen Menge von abundanten Zahlen, die duch die Wuzel in de Pimfaktozelegung ihen Stempel aufgepägt bekommen. Nehmen wi die esten 6 diese A-Wuzeln, so können wi fomulieen: n ist abundant, wenn die Pimfaktozelegung von n die Faktoen 2 3 ode ode ode ode 2 3 ode enthält. Alle diese Kiteien könnte man auch mit.9d heleiten. So egibt sich als nächste A- Wuzel z=2 4 7=272, danach Z=2 4 9=304 usw... Nun stellt sich die Fage nach ungeaden A-Wuzeln. Ein estes Kiteium liefet.9e: z= =945 ist die este ungeade abundante Zahl. Die nächsten sind 575, 2205,2835, 3465,...

13 Bausteine de Zahlentheoie Seite 3 Alle diese Zahlen sind Vielfache von 35, was eine intensivee Beschäftigung mit diese Zahl sinnvoll escheinen läßt: 945= = =7 35 Sind alle Pimvielfachen von 35 abundant und damit A-Wuzeln? Es sei also p>7: σ(35 p)=σ(35) σ(p) =624 (p+)>2 35 p 624p+624>630p 624>6p 04>p Also sind nicht alle Pimvielfachen von 35 A-Wuzeln, jedoch alle bis p=03: sind A-Wuzeln. Damit ist auch 9 f bewiesen. Mit dem eben vogefühten Ansatz kann man übigens weitee ungeade A-Wuzeln suchen. Ist abe 3 nicht meh in de Pimfaktozelegung enthalten, so sind nach 8d mindestens 7 veschiedene Pimfaktoen nötig. AUFGABE.33 Suche A-Wuzeln unte den Pimvielfachen von

14 Bausteine de Zahlentheoie Seite 4 Zusätzliche Aufgaben zu Kapitel ) Emittle eine Zahl n so, daß sowohl n als auch n-24 als auch n+24 eine Quadatzahl ist. 2) Emittle alle Pimzahlen p, fü die 3p+4 eine Quadatzahl ist.