2 Partielle Ableitungen

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1 2 Patielle Ableitungen Wi kommen nun zu Diffeentiation von Funktionen im R n. Um fü diese Ableitungen zu definieen, ist die einfachste und vielfach beste Idee, alle Vaiablen bis auf x j als konstant aufzufassenunddieesultieendefunktiondeeinenvaiablen x j wieüblichzudiffeenzieen. Auf diese Weise egeben sich fü j = 1,...,n die n patiellen Ableitungen de Funktion. Im Folgenden bezeichnet e 1,...,e n die Standadbasis des R n, also e j = (0,...,1,...,0) mit de 1 an de j-ten Stelle. Definition 2.1 Sei Ω R n offen und f : Ω R m. Die patielle Ableitung von f nach x j an de Stelle x Ω ist de Genzwet (falls existent) f(x+te j ) f(x) j f(x) = lim. t 0 t Andee Bezeichnungen sind f x j (x) und D j f(x). Die patielle Ableitung j f(x) ist einfach die Ableitung de eellen Funktion ( δ,δ) R m, t f(x+te j ), an de Stelle t = 0, ode altenativ die Ableitung de eellen Funktion (x j δ,x j +δ) R m, y f(x 1,...,x j 1,y,x j+1,...,x n ) an de Stelle y = x j. De folgende Satz fomuliet in diesem Zusammenhang wohlbekannte Egebnisse de eindimensionalen Analysis. Satz 2.1 (Ableitungsegeln) Sei Ω R n offen und x Ω. Die Existenz de patiellen Ableitungen j f(x) und j g(x) sei voausgesetzt. Dann gelten folgende Aussagen: (a) Lineaität: fü f,g : Ω R m und α,β R gilt j (αf +βg)(x) = α j f(x)+β j g(x). (b) Komponentenweise Diffeentiation: fü f : Ω R m gilt, wenn eine de Seiten existiet, j f(x) = m j f i (x)e i. i=1 (c) Poduktegel: fü f : Ω R m und g : Ω R gilt j (fg)(x) = ( j f)(x)g(x)+f(x)( j g)(x). (d) Quotientenegel: fü f : Ω R m und g : Ω R mit g(x) 0 gilt ( ) f j (x) = ( jf)(x)g(x) f(x)( j g)(x) g g(x) 2. (e) Kettenegel: ist f : Ω I R und ϕ : I R diffeenzieba in f(x), so folgt j (ϕ f)(x) = ϕ (f(x)) j f(x). 13

2 Beispiel 2.1 Wi betachten die Euklidische Abstandsfunktionen vom Nullpunkt : R n R, (x) = x = x x2 n. In x 0 existieen die patiellen Ableitungen, und zwa gilt mit de Kettenegel j (x) = 2x j 2 x x2 n = x j fü = (x) = x. Im Nullpunkt sind die patiellen Ableitungen dagegen nicht definiet, denn (0+te i ) = t ist in t = 0 nicht diffeenzieba. Die Funktion j ist in x 0 iheseits patiell diffeenzieba, und wi ehalten die zweiten patiellen Ableitungen i ( j )(x) = ( ix j ) x j i 2 = 1 ( δ ij x ix j 2 ). Ist ϕ : (0, ) R zweimal diffeenzieba, so beechnen wi weite fü f = ϕ : R n R j f(x) = ϕ () j = ϕ () x j, i ( j f)(x) = ϕ () i j +ϕ () i ( j ) = ϕ () x ix j 2 + ϕ () ( δ ij x ix j 2 ). De Opeato = n i=1 2 i heißt Laplaceopeato, die Lösungen de Gleichung f = 0 heißen hamonische Funktionen. Wi können jetzt die otationssymmetischen hamonischen Funktionen ausechnen, und zwa ehalten wi 0 =! f(x) = ϕ ()+ n 1 ϕ () = 1 n( n 1 ϕ () ). Diese Gleichung hat die Lösungen, mit Integationskonstanten a, b R, a 2 n +b fü n 3 ϕ() = 2 n a log +b fü n = 2. Fü n = 3 ist f das Newtonsche Gavitationspotential. Im voangegangenen Beispiel taten zweite patielle Ableitungen auf. Ist fü f : Ω R m die Ableitungsfunktion j f : Ω R m definiet und iheseits in x Ω nach x i patiell diffeenzieba, so setzen wi (2.1) i j f(x) := i ( j f)(x) (altenative Notation D 2 ijf(x) ode 2 f x i x j (x)). Entspechend fü Ableitungen beliebige Odnung: ist fü i 1,...,i k 1,...,n} die Ableitungsfunktion i1... ik f : Ω R n definiet und in x Ω nach x i patiell diffeenzieba, so setzen wi induktiv (2.2) i i1... ik f(x) = i ( i1... ik f)(x). Die folgenden Klassen von Funktionen spielen in de Analysis eine wichtige Rolle. Wi weden sehen, dass die Eigenschaft de Stetigkeit de patiellen Ableitungen in vielen Anwendungen wesentlich ist. 14

3 Definition 2.2 (C k -Räume) Sei Ω R n offen und k N 0 }. Wi bezeichnen mit C k (Ω,R m ) die Menge alle k-mal stetig diffeenziebaen Funktionen auf Ω mit Weten im R m, das heißt alle patiellen Ableitungen i1... ij f de Odnung j k (bzw. j < im Fall k = ) sind definiet und stetig auf Ω. Im eellwetigen Fall, also m = 1, setzen wi C k (Ω,R) = C k (Ω). Wi wollen nun zeigen, dass die Opeatoen i und j auf C 2 -Funktionen vetauschen. Aus deexistenzdepatiellen Ableitungen i j f und j i f allein folgt das nicht, wiedas Beispiel xy x2 y 2 (2.3) f(x,y) = x 2 +y 2 fü (x,y) (0,0) 0 fü (x,y) = (0,0) zeigt. Man kann beechnen 1 f(x,y) = 2 f(x,y) = und 1 2 f(0,0) = 1, abe 2 1 f(0,0) = 1. y x 2 y 2 x 2 +y 2 +xy 4xy2 (x 2 +y 2 ) 2 fü (x,y) (0,0) 0 fü (x,y) = (0,0) x x 2 y 2 x 2 +y 2 +xy 4x2 y (x 2 +y 2 ) 2 fü (x,y) (0,0) 0 fü (x,y) = (0,0) Satz 2.2 (Symmetie de 2. Ableitung, H.A.Schwaz) Sei Ω R n offen. Ist f C 2 (Ω), so vetauschen fü 1 i,j n die Ableitungen nach x i und x j : i j f = j i f auf Ω. Beweis: Nach Definition ist j f(x) Genzwet de Diffeenzenquotienten t j f(x) = f(x+te j) f(x) fü t 0. t ) Fü s i ( t j f)(x) = 1 s ( t j f(x+se i) t j f(x) folgt ( ) lim lim s 0 t 0 s i( t jf)(x) = i ( j f)(x). Das Poblem besteht dain, die beiden Genzwete zu vetauschen. De Diffeenzenquotient vetauscht immehin mit de patiellen Ableitung: i ( t jf)(x) = 1 t( i f(x+te j ) i f(x) ) = t j( i f)(x). Wi vewenden nun den Mittelwetsatz de Diffeentialechnung. Ist g nach x i patiell diffeenzieba, so gilt fü ein α [0,1]: s i g(x) = g(x+se i) g(x) s = i g(x+αse i ). Wi wenden das an auf g = t j f und auf g = if, wobei α,β [0,1] von s,t abhängen: s i( t jf)(x) = i ( t jf)(x+αse i ) = t j( i f)(x+αse i ) = j ( i f)(x+αse i +βte j ). 15

4 Da nach Voaussetzung j i f stetig in x ist, folgt die Behauptung, indem wi est t 0 und dann s 0 gehen lassen. Bemekung. Tatsächlich haben wi gezeigt: existieen i f, j f, j i f und ist j i f stetig in x, so existiet auch i j f(x) und es gilt i j f(x) = j i f(x). Folgeung 2.1 Fü eine Funktion f C k (Ω,R m ) vetauschen die patiellen Ableitungen bis zu Odnung k, das heißt fü jede Pemutation σ S k gilt iσ(1)... iσ(k) f = i1... ik f. Beweis: Nach Satz 2.2 können benachbate Opeatoen i, j vetauscht weden. Die symmetische Guppe wid duch Vetauschungen ezeugt (siehe Lineae Algeba). De Begiff de patiellen Ableitung allein ist nicht geeignet, um die mehdimensionale Diffeentialechnung zu entwickeln. Ein entscheidende Mangel ist, dass aus de Existenz de patiellen Ableitungen 1 f,..., n f in x Ω nicht die Stetigkeit von f im Punkt x folgt. Beispiel 2.2 Sei Ω = R 2 und xy f(x,y) = x 2 +y 2 (x,y) 0 0 (x,y) = (0,0). Dann gilt f(x,0) = 0 = f(0,y), insbesondee 1 f(0,0) = 0 = 2 f(0,0). Abe fü c(t) = (t,t) gilt f(c(t)) = 1/2 fü alle t 0, das heißt f ist nicht stetig im Nullpunkt. Insbesondee können wi im allgemeinen keine Kettenegel fü f c fomulieen, da die Funktion f c nicht einmal stetig sein muss. Die Definition de patiellen Ableitungen macht explizit von den Koodinaten auf R n Gebauch. Es wäe denkba, dass sich ein bessee Ableitungsbegiff egibt, wenn alle Richtungen gleichbeechtigt betachtet weden. Dies füht auf den Begiff de Richtungsableitung. Definition 2.3 (Richtungsableitung) Sei Ω R n offen und f : Ω R m. Fü x Ω und v R n heißt de Genzwet (falls existent) v f(x) = lim t 0 f(x+tv) f(x) t Richtungsableitung von f an de Stelle x in Richtung v. Dies ist die gewöhnliche Ableitung de Funktion t f(x+tv) an de Stelle t = 0. Beispiel 2.3 Die Richtungsableitung von (x) = x in x R n \0} in Richtung v R n ist v (x) = d dt x 2 +2t x,v + v 2 t=0 = x x,v. Leide eicht abe selbst die Existenz alle Richtungsableitungen von f in x Ω nicht aus, damit f auch stetig im Punkt x ist. 16

5 Beispiel 2.4 Betachte jetzt auf Ω = R 2 die Funktion 2xy 2 f(x,y) = x 2 +y 4 (x,y) (0,0) 0 (x,y) = (0,0). Dann existieen im Punkt (0,0) alle Richtungsableitungen, denn fü v = (a,b) (0,0) ist 2ab 2 v f(0,0) = lim t 0 a 2 +t 2 b 4 = 2b 2 /a fü a 0 0 fü a = 0. Dennoch ist f im Nullpunkt unstetig, denn fü c(t) = (t 2,t) gilt f(c(t)) = 1 fü alle t 0. 17