1./2. Klausur der Diplomvorprüfung

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1 ./. Klausu de Diplomvopüfung fü ae, autip, vef, wewi Aufgabe ( Punkte) (a) Fü das zugehöige chaakteistische Polynom ehält man λ + 5λ + = (λ + )(λ + ) mit den Nullstellen λ = / und λ =. Damit egibt sich fü die allgemeine eelle Lösung de homogenen Diffeentialgleichung mit c, c R. y hom (x) = c e x/ + c e x (b) Um eine spezielle Lösung de inhomogenen Diffeentialgleichung zu ehalten, wählt man den Anstaz vom Typ de echten Seite (keine Resonanz!) y sp (x) = a sin( x)e x + b cos( x)e x y sp (x) = a sin( x)e x a cos( x)e x b cos( x)e x + b sin( x)e x y sp(x) = 8a cos( x)e x 8b sin( x)e x und nach Einsetzen in die Diffeentialgleichung ehält man ( 8a 6b) sin( x)e x + (6a 8b) cos( x)e x = 5 sin( x)e x, sowie nach Koeffizientenvegleich das LGS 8a 6b = 5 6a 8b = mit de Lösung a = 4, b = 3, d. h. y sp (x) = 4 sin( x)e x 3 cos( x)e x. Damit lautet die allgemeine Lösung de inhomogenen Diffeentialgleichung (c, c R) (c) Man ehält y allg (x) = y sp (x) + y hom (x) = 4 sin( x)e x 3 cos( x)e x + c e x/ + c e x. y allg (x) = sin( x)e x + 4 cos( x)e x c e x/ c e x und damit fü das Anfangswetpoblem die Gleichungen ỹ() = 3 + c + c = ỹ () = 4 c c = 7 mit de Lösung c =, c = 3, d. h. ỹ(x) = 4 sin( x)e x 3 cos( x)e x +e x/ +3e x und lim x ỹ(x) =.

2 Aufgabe (5 Punkte) (a) Mit de Paametisieung Ψ(, ϕ) = cos(ϕ) sin(ϕ),, ϕ π, de Keisscheibe S ehält man fü den Nomalenvekto cos(ϕ) sin(ϕ) Ψ Ψ ϕ = sin(ϕ) cos(ϕ) = und damit fü den Fluß von V duch S (von oben nach unten) π cos(ϕ) sin(ϕ) π dϕ d = dϕ d =. = ϕ= = ϕ= (b) Mit de Paametisieung Φ(, ϕ) = cos(ϕ) sin(ϕ) α,, ϕ π, des Gaphen G(α) ehält man fü den Nomalenvekto cos(ϕ) sin(ϕ) Φ Φ ϕ = sin(ϕ) cos(ϕ) α α = α α cos(ϕ) α α sin(ϕ) und damit fü den Fluß von V duch G(α) (von unten nach oben) π cos(ϕ) α α cos(ϕ) sin(ϕ) π α α sin(ϕ) dϕ d = (α ) α+ + dϕ d = ϕ= α = ϕ= [ ] α = π α + α+ + = 3α α + π. (c) Nach dem Satz von Gauß ist (mit obigem) div(v ) dv = und damit α =. K(α) S S G(α) V n df = + 3α α + π! = π, =

3 (d) Man beechnet h = = π = z dv Zylindekoodinaten = π = ϕ= z= z dz dϕ d = π [ ] d = π = π 6 = 6. = [ z ] z= d Aus Symmetiegünden muß de Schwepunkt von auf de z-achse liegen. Weitehin ist div(v ) = 3 und damit die Masse von M = dv = 3 div(v ) dv = 3 Damit egibt sich fü die z-koodinate des Schwepunkts h M = 3 und damit fü den Schwepunkt selbe S = (,, /3). 3π = π.

4 Aufgabe 3 (8 Punkte) (a) Es ist z iz = z(z i), d. h. de maximale Definitionsbeeich ist D = \{, i}. (b) Die Patialbuchzelegung liefet (c) Es ist z i = z iz = i z i z i. i ( iz) die gesuchte Taylo-Reihenentwicklung fü z <. (d) Mit (b) und (c) ehält man z iz = i z geom. Reihe = i ( i) k z k k= i z i = i z + ( i) k z k = k= ( i) k z k fü die Lauent-Reihenentwicklung um z =, die fü < z < d. h. im Keising zwischen den Polen z = und z = i konvegiet. k=

5 Name: Matikeln: Fach: Aufgabe 4 ( Punkte) Es sei die π-peiodische Funktion ( f(x) := cos( ) x ) auf R gegeben. Man beachte, dass gilt: cos( x) = e ix + e ix. (a) Man beechne die komplexen Fouiekoeffizienten c k (f) := π π π f(x)e ikx dx : c (f) = π c k (f) = π ( ) k, k Z {}. 4k (b) Man gebe die eelle Fouieeihe S f (x) := a + k= ( ak cos(kx) + b k sin(kx) ) an: S f (x) = π + 4 π k= ( ) k 4k cos(kx) (c) Konvegiet die Fouieeihe S f (x) auf R punktweise gegen f, ja ode nein? Antwot: ja (d) Konvegiet die Fouieeihe S f auf R gleichmäßig gegen f, ja ode nein? Antwot: ja Aufgabe 5 (8 Punkte) Geben Sie die Wete de folgenden komplexen Kuvenintegale an, wobei de Weg den am Uspung zentieten Einheitskeis einmal gegen den Uhzeigesinn duchläuft. ( ) e + iz dz e cos(z) iz 3 dz dz z π 9πi z dz