Typ der Residuum Funktion Test Singularität bei a bei a. ; a = i, Res(f; i) = lim z 2 +1 (z i)(z+i) z i 2i

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1 A: Berechnung von Residuen (f Singularität in a, meist f = g, g, h analytisch in a) h Typ der Residuum Funktion Test Singularität bei a bei a. f(z) lim(z a)f(z) = hebbar z a f(z) = sin z, a = ; lim zf(z) = = Res(f; ) z z 2. g(z) g und h haben in a Nullstelle hebbar gleicher Ordnung f(z) = (sin z)2 z 2 = g(z), a = ; Res(f; ) =, Ord(g, ) = 2 = Ord(h, ) 3. f(z) lim(z a)f(z) existiert z a einfacher Pol lim(z a)f(z) z a und ist f(z) = ; a = i, Res(f; i) = lim z 2 + (z i)(z+i) z i 2i 4. g(z); g analytisch, h Pol erster Pol (höchstens) g(a)res(h; a) Ordnung in a. Ordnung f(z) = exp(z) sin z = g(z); a = ; Res(f; ) = exp() = z 2 5. g(z) g analytisch, Pol (höchstens) a b + a b a k b k h Pol der Ordnung k in a k-ter Ordnung dabei = b k +... b (z a) k z a g(z) = a + a (z a) g(z) g und h analytisch in a, einfacher Pol g(a), h(a) = h (a) f(z) = z z 4 g(a) h (a) g() Res(f; a) = = h () 4 7. g(z) g Nullstelle der Ordnung k einfacher Pol (k + ) g(k) (a) h (k+) (a) h Nullstelle der Ordnung k + in a 8. g(z) g(a), h(a) = = h (a) Pol der Ordnung 2 2 g (a) 2 g(a)h (a) h (a) 3 (h (a)) 2 h (a) Beispiel zu 8 und 9: f(z) = exp(z) (z ) 2 ; a = ; Res(f; ) = (2e)/2 2 3 (e )/22 = e = exp () 9. g(z) (z a) 2 g(a) Pol der Ordnung 2 g (a)

2 Typ der Residuum Funktion Test Singularität bei a bei a. f(z) k Z minimal, so dass f mit Pol der Ordnung k lim f(z) = (z a) k f(z) in a hebbare Singularität hat z f(z) = 2, a = ; f(z) (z ) 3 (z+) = z 2 ; z+ f (z) = 2, f () =, k = 3, daher (z+) 3 4 Res(f; ) = (/2)(/2 2 ) = /8 Bemerkung: f (k ) (z) z a (k )! Bei wesentlichen Singularitäten gibt es meist keine so einfachen Formeln wie die vorhergehenden. f(z) = exp ( z + z ) ; a = ; Res(f; ) = n= n!(n+)! 2

3 B: Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe des Residuensatzes Typ des Integrals Bedingungen Formel. 2π R(cost, sin t) R rationale Funktion zweier Variabler, 2π R(cost, sin t)dt = keine Pole auf der Einheitskreislinie 2πi a E Res( R; a), R(z) := iz R ( 2 (z + z ), 2i (z z )) R(cos t, sin t) = 5+4 cos t R(z) = i (z+ 2 )(z+2) 2π R(cos t, sin t)dt = 2πi 2 = 2π 2i f(x)dx f(x) = x 4 + f meromorph in C, endlich viele Pole f(x)dx = 2πi a H Res(f; a) in C, kein Pol auf R, f(z) M/ z 2 für z R > H = {z C; Im z > } (R geeignet) (auch Beispiel für 2.2) dx P, Q Polynome Q(x) Grad Q Grad P + 2, Q(x) für alle x R e iωx f(x)dx ω > ; f(z) M z für z R > dx = +x 4 2πi ( e πi/4 + e πi/4 4 4 π sin π 4 = π 2 2 ) = dx = 2πi ( ) P Res ; a Q(x) Q a H (H = obere Halbebene) e iωx f(x)dx = I = f keine Polstellen auf R oder = 2πi a H 3.2 f = P, P, Q Polynome f(z) Q Grad P Grad Q + Q keine Nullstelle auf R cos(ωx)f(x)dx f reell auf R (sonst wie in 3.) cos(ωx)f(x)dx = e iωz f(z) (I = 2πi Res( f, a), falls ω < ) a H cos(ωx)f(x)dx = Re I sin(ωx)f(x)dx = Im I I(ω) = cos(ωx) dx = Re e iωz dx = 2πi e ω +x 2 +x 2 2i = πe ω 3

4 Typ des Integrals Bedingungen Formel x a f(x)dx a >, f meromorph, endlich viele Pole in C, kein Pol auf R f(z) M / z b, b > a, z > R (R groß) und f(z) M 2 / z d, d < a für z oder f = P, P, Q Polynome, Q keine Nullstelle Q auf der positiven reellen Achse < a < Grad Q Grad P und n Q n P < a, wobei n Q := Ord(Q; ) und n P := Ord(P ; ) sei. x λ dx, < λ <, +x x λ +x dx = π sin(πλ) dx Gleiche Voraussetzungen wie bei 2.2, Q(x x a f(x)dx = πe πai sin(πa) a S(f) a dabei z a := exp((a )l(z)) mit l(z) := log z + iϕ, < ϕ < 2π S(f) = Polstellenmenge von f f(z) := z a f(z) jedoch endlich viele Pole. Ordnung +πi a R Res auf R erlaubt. dx = 2πi Res Q(x) ( a H ) P ; a Q ( P Q ; a ) f(x) dx Gleiche Voraussetzungen wie bei 2., f(x) dx = 2πi Res(f; a) a H aber endlich viele Pole. Ordnung +πi Res(f; a) a R auf R erlaubt. e iωx f(x) dx Gleiche Voraussetzungen wie bei 3., (a) ω > : jedoch endlich viele Pole. Ordnung I := 2πi a H auf R erlaubt. +πi a H e iωx f(x) = I, dabei f(z) = e iωz f(z) (b) ω < : I = 2πi a H sin x x dx = Im e ix x +πi a R dx = π (Dirichletintegral) 4

5 Typ des Integrals Bedingungen Formel 6.2 cos(ωx)f(x)dx sin(ωx)f(x)dx f(x) R für x R, Voraussetzungen cos(ωx)f(x) dx = Re I wie bei 3., jedoch endlich viele Pole sin(ωx)f(x) dx = Im I. Ordnung auf R erlaubt (ω < : untere Halbebene benutzen). 7. Hat der Nenner eine rationale Funktion f(z) = P (z), P, Q = Polynome, Q(x) Q(z) für x R in der unteren Halbebene weniger Nullstellen als in der oberen Halbebene, so verwendet man zweckmäßigerweise einen Halbkreis in der unteren Halbebene. πi dx = 2πi Res (f; i) = (x 2 + )(x i) 2 mit f(z) := (z 2 + )(z i) 8. Häufig ist es geschickt, einen geschlossenen Integrationsweg zu wählen, der nur eine Singularität der Funktion umläuft. Zur Berechnung von dx wähle man etwa z B. den folgenden Integrati- +x 3 onsweg, der nur die Polstelle a = e πi/3 umläuft (siehe Grafik): 2 π i / 3 R e α 2 α 3 π i / 3 e α R Hier ist lim R α α 3 Wegen lim dz = e2πi/3 + z3 + z 3 dz = ( e2πi/3 ) R R dx und deshalb + x3 + x 3 dx mit α := α α 2 α 3. α 3 +z 3 dz = erhält man mit f(z) := +z 3 + x dx = 2πi 3 e Res(f; 2πi/3 eπi/3 ) = = 2πi e 2πi/3 3e = 2πi/3 π 3 sin π = 2π πi 3(e 2πi/3 e 4πi/3 ) 5

6 C: Summationsformeln für Reihen Seien a,..., a k k (verschiedene) Punkte aus C\Z und f : C {a,..., a k } C analytisch. Es gebe positive Konstanten M und R, so dass für alle z mit z > R gilt z 2 f(z) M. Sei g(z) := π cot(πz)f(z) bzw. = Dann gelten die Summenformeln n= n= f(n) := lim ( ) n f(n) = lim π sin(πz) f(z) für z C (Z {a,..., a k }). n N N= n N N= n f(n) = k j= n ( ) n f(n) = Res(g; a j ) bzw. k j= Res(h; a j ). Partialbruchentwicklung von π cot πz (z C Z): π cot πz = z + n Z n = z + = z n= n= ( z n + ) n ( z n + ) + n 2z z 2 n 2 n= ( z + n ) n Die auftretenden Reihen konvergieren in C Z normal. Mit Hilfe der Partialbruchentwicklung des Cotangens erhält man auch die berühmten Eulerschen Formeln für die Werte der Riemannschen ζ-funktion in den geraden natürlichen Zahlen (Euler, 737) ζ(2k) := n= n = ( )k (2π) 2k 2k 2(2k)! B 2k, k N. (B 2k Bernoulli-Zahlen; vergl. F-B, Satz 7.4). Speziell gilt also: ζ(2) = π2 6 π4 π6 π8 π, ζ(4) =, ζ(6) =, ζ(8) =, ζ() =