j-funktion und Fourierentwicklung 1 j-funktion

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1 j-funktion und Fourierentwicklung Ausarbeitung zum Seminar zur Funktionentheorie, Stefan Bennink Dieses Seminar wird die j-funktion einführen und darüber hinaus Eisensteinreihen als spezielle Fourierreihen untersuchen. j-funktion. Definition j-funktion/absolute Invariante modular invariant Die j-funktion/absolute Invariante wird definiert als j : 78 g3 3 g 3. Lemma a Die j-funktion ist eine Modulfunktion vom Gewicht 0.. b Sie ist holomorph auf H und hat einen einfachen Pol in. c Sie definiert eine Bijektion von H/G auf C. a Die j-funktion ist ein Quotient zweier Modulfunktionen vom Gewicht. Das heißt, für eine Matrix und z C gilt: a b G c d 3 cz + d g az+b cz+d jz cz + d az+b cz+d Damit folgt die Behauptung. 3 g az+b cz+d. az+b cz+d

2 j-funktion b Sowohl g 3 als auch sind holomorph auf H und ist auf H nullstellenfrei. hat aber eine einfache Nullstelle in. Damit gilt die Behauptung. c Sei λ C. Es ist nun zu zeigen, dass j λ für genau ein z H/G gilt. Definiere dazu f λ 78g 3 λ. Es reicht also nun zu zeigen, dass f auf H genau eine Nullstelle modulo G hat. Wende dazu die Gewichtsformel an mit f f λ und k 6. ν f + ν i f + 3 ν ρ f + ν p f k 6. p H/G Da 6 k ist, kann höchstens p H/G ν p f gelten, um die Gleichung zu erfüllen. Da Ordnungen von Nullstellen ganzzahlig sind, kann also in diesem Falle höchstens ein Punkt in H/G ohne {i, ρ} existieren, der Nullstelle von f ist. Ist p H/G ν p f 0, so ist die Gleichung n + n + n 3 für ganzzahlige n, n, n nur erfüllbar für n, n, n {, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 3}. Also kann nur eine Nullstelle von f in H/G existieren mit positiver Ordnung. Dies ist die Behauptung..3 Lemma Sei f eine meromorphe Funktion auf H. Dann sind äquivalent: i f ist eine modulare Funktion vom Gewicht 0. ii f ist ein Quotient zweier Modulformen von gleichem Gewicht. iii f ist eine rationale Funktion in j. Die Folgerung iii ii i ergibt sich sofort aus Lemma., wobei sich die Holomorphie der Zähler- bzw. Nennerfunktion von iii ii durch Erweitern mit m ergibt, wobei m das Maximum der Grade von Zähler- und Nennerfunktion ist.

3 j-funktion Es bleibt also die Richtung i iii zu zeigen. Die Behauptung ergibt sich dann per Ringschluss. Sei f also eine modulare Funktion vom Gewicht 0. Wir können ohne Einschränkung der Allgemeinheit f mit einem Polynom in j multiplizieren, so dass das Produkt holomorph auf H ist. Sei f also o.e. eine modulare holomorphe Funktion auf H vom Gewicht 0. Da 0 gilt, muss ein n N existieren, so dass g n f holomorph in ist. g ist dann eine Modulform vom Gewicht n, da sich die Gewichte beim multiplizieren modularer Funktionen addieren. Nach Korollar, Seite 89, A.C. in Arithmetic lässt sich g dann schreiben als Linearkombination von G α Gβ 3 mit α + 3β 6n. Aufgrund der Linearität können wir uns auf den Fall Gα Gβ 3 beschränken und damit f Gα Gβ 3 n. Weiter gilt aber α + 3β 6n. Setze nun p α 3 und q β. p und q müssen ganzzahlig sein und außerdem gilt dann f G3p Gq 3 p+q. G 3 ist eine rationale Funktion in j, da G3 g3 G3 ist eine rationale Funktion in j, da eine rationale Funktion in j ist und zudem gilt g3 7g 3 und außerdem G 3 g Damit ist auch f eine rationale Funktion in j. Da j einen Pol in hat und eine Bijektion von H/G nach C bildet, lässt sich j als eine bijektiven Abbildung von Ĉ nach Ĥ/G auffassen. 3

4 Bernoulli-Zahlen Bernoulli-Zahlen. Definition Bernoulli-Zahlen Die Bernoulli-Zahlen werden definiert über die Formel x k x e x x + k+ k!. k. Erinnerung Zetafunktion Die Riemannsche Zetafunktion wurde in der Funktionentheorie definiert über ζ : {s C; Res > } C, s Den Zusammenhang zwischen Bernoulli-Zahlen und der Zeta-Funktion veranschaulicht das.3 Lemma Sei k. Dann gilt ζk k k! π k. Zum : Zum des Lemmas werden zunächst einige Sätze aus der Funktionentheorie gebraucht..4 Satz Produktentwicklung des Sinus Sei z C. Dann gilt sinπz πz k z k. n s. Siehe Funktionentheorie I, Aloys Krieg. Satz VIII.8 Seite Korollar Sei G C ein Gebiet und f k : G C holomorph, f k 0, so dass das Produkt f k f k auf G absolut lokal gleichmäßig konvergiert. Dann gilt f f k f k f k, wobei die Reihe auf G lokal gleichmäßig konvergiert. In der Funktionentheorie wurde der Begriff anders eingeführt. Die hier eingeführte Definition liefert später kürzere und einfachere Formeln für die Zetafunktion. 4

5 Bernoulli-Zahlen Siehe Funktionentheorie I, Aloys Krieg, Satz VIII. Seite 63. Der von Lemma.3 läuft nun auf einen Vergleich zweier Formeln für den Cotangens hinaus, die ich nun herleiten möchte..6 Lemma z cot z Nach Definition der gilt mit x iz: k z k k!. k iz e iz iz + k+ iz k k! k iz + iz k k+ i k k z k k! k z k k!, k {, falls k gerade denn es ist k+, falls k ungerade {, falls k gerade und i k i k k, falls k ungerade. Daher ist k+ i k für alle k N Es ist also k k z k k! Weiterhin gilt: iz e iz + iz. z cotz z cosz sinz z eiz + e iz i eiz e iz iz eiz + e iz e iz e iz. 5

6 Bernoulli-Zahlen Es bleibt folgende Gleichheit zu zeigen: iz eiz + e iz e iz e iz iz e iz + iz. Da auf beiden Seiten die Grenzwerte für z 0 gleich sind, darf also durch iz geteilt werden. Also: iz eiz + e iz e iz e iz iz e iz + iz eiz + e iz e iz e iz e iz + e iz eiz + e iz e iz e iz Damit ist Lemma.6 bewiesen. e iz eiz + e iz eiz + e iz. + eiz e iz Weiterhin gilt für den Cotangens das.7 Lemma z cotz k z k n k π k. Zunächst gilt mit Satz.4 Produktentwicklung des Sinus: f z : sinz z z n π. Daraus folgt f z cosz. Definiere nun f n z : { z, falls n z, falls n. n π 6

7 Bernoulli-Zahlen Dann gilt f nz {, falls n z, falls n n π und f z f n z. Damit ist also nun: z cotz z cosz sinz z f z f z + z n k0 Korollar.5 z z n π z n π z n π z n π z k+ n k+ π k+ geometrische Reihe f nz f n z z z + n Index- Index- verschiebung + z z n π verschiebung f nz f n z k0 k z n π z n π z k n k π k z k n k π k. Die wichtigen Identitäten des Cotangens wurden damit bewiesen, so dass wir nun.3 beweisen können. Dazu: k z k k! k z cotz k z k k! k k k! zk k k k k z k n k π k z k n k π k n k zk πk 7

8 3 Reihenentwicklungen der Funktionen G k Umordnung Koeffizienten- vergleich k k! zk k z k k k k! n k π k k k ζk π k!. n k π k Die Summation darf hier vertauscht werden, da die Reihe laut Analysis I absolut konvergent ist. 3 Reihenentwicklungen der Funktionen G k Wir wollen nun die Fourierentwicklung für Eisensteinreihen G k herleiten mit q e πiz. Zunächst gilt mit Funktionentheorie I, Aloys Krieg, VIII. Beispiel. Seite 55 folgende Identität: π cotπz z + z z m m z + z z + mz m m Partialbruch zerlegung z + z + m +. z m m Andererseits ist π cotπz π cosπz sinπz πi eπiz + e πiz e πiz e πiz e πiz + e πiz e πiz πi e πiz e πiz e πiz πi q + q πi q + q q πi q 8

9 3 Reihenentwicklungen der Funktionen G k q πi q q πi q πi πi q geometrische Reihe πi πi Die geometrische Reihe darf hier angewandt werden, weil q e πiz < gilt für z H. Vergleicht man die Formeln, so ergibt sich z + z + m + z m m n0 q n. πi πi n0 q n. Es folgt für k die 3. Bemerkung m + z k k! πik Vollständige Induktion nach k: Sei zunächst k. Dann gilt nach eben Gezeigtem: z + z + m + z m m d dz z m πi πi z + m + z m m + z 4π nq n n k q n m + z πi! n0 q n 4π nq n n q n. 9

10 3 Reihenentwicklungen der Funktionen G k Für k ist die Aussage also wahr. Gelte die Aussage also nun für ein k N. Dann folgt: m + z k k! πik d dz k m + z k+ m + z k+ k! πik+ n k q n k! πik πi n k q n. Also gilt die Aussage nach dem Prinzip der vollständigen Induktion für alle k N. n k q n Sei nun σ k n d n d k die Summe der k-ten Potenzen der positiven Teiler von n. Dann haben wir folgende Gleichheit für Eisensteinreihen: 3. Lemma Sei k. Dann gilt Zunächst gilt G k z ζk + πik k! σ k nq n. ζk + n k m \{0} + n k + nz + m k nz + m k nz + m k 0z + m k + 0z + m k + n Z\{0} nz + m k nz + m k 0

11 3 Reihenentwicklungen der Funktionen G k 0z + m \{0} k + nz + m n Z\{0} \{0} k + nz + 0 n Z\{0} k }{{}}{{}}{{} m 0 n0 m 0 n 0 m0 n 0 nz + m m,n 0,0 k. Damit ist G k z m,n 0,0 ζk + nz + m k nz + m k. Wendet man darauf nun Bemerkung 3. an, wobei man z durch nz ersetzt, so ergibt sich G k z m,n 0,0 ζk + nz + m k k! πik m k q mn m ζk + k! πik d a ζk + πik k! σ k nq n. a k q ad Eine andere Darstellungsform für die Eisensteinreihen liefert das 3.3 Korollar G k ζke k z, wobei E k z + γ k σ k nq n und γ k k 4k.

12 4 Koeffizienten von Modulformen Zunächst einmal gilt für γ k : Demnach gilt dann πi k k!.3 πk i k ζk k! k 4k γ k. ζke k z ζk + γ k σ k nq n ζk + ζk πik k! k! k π k ζk ζk + πik k! σ k nq n σ k nq n 3. G k z. Für die E k gelten die Identitäten E E 4 E E 3 E 5 Da sich jede ganze Zahl z > als z m + 3n darstellen lässt mit m Z und n oder n 0, kann man allgemein jedes E k als Polynom in E und E 3 darstellen. 4 Koeffizienten von Modulformen Es wird nun darum gehen, Größenschätzungen für die Koeffizienten von bestimmten Modulformen zu machen, insbesondere von Eisensteinreihen und Spitzenformen. Sei dazu zunächst f z n0 a nq n q e πiz eine Modulform vom Gewicht k, k.

13 4 Koeffizienten von Modulformen 4. Lemma Ist f G k für ein festes k, so existieren zwei Konstanten A, B > 0, so dass An k a n Bn k wobei A und onstant in n sind. Man sagt, a n ist in der Größenordnung von n k. Nach Lemma 3. gilt f z G k z ζk + πik k! σ k nq n Dann ist für n > 0 a n πik k! σ k n πk k σ k! k n }{{} :A Da k fest ist, und A nicht von n abhängt, ist A also konstant. Weiter gilt a n A k σ k n a n Aσ k n Nun gilt aber n n σ k n d k 0 + d k n k > n k, da d i > 0. Damit folgt nun a n Aσ k n > An k, womit die erste Ungleichung bewiesen wäre. Für den der zweiten Ungleichung lässt sich zunächst Folgendes feststellen: Seien d 0 < d <... < d k die Teiler einer natürlichen Zahl n. d i d k i n d i n d k i i {0..k} i {0..k}. 3

14 4 Koeffizienten von Modulformen Mit dieser Feststellung und der Betragsformel für a n der ersten Ungleichung lässt sich nun folgern: a n n k Aσ k n n k d A k n d n k A d n d k Umordnung n A endliche Summe d n Daraus lässt sich nun die Ungleichung unmittelbar folgern durch k d a n n k A d n k A d d a n Aζk n k Bn k }{{} :B Dies ist die zweite Ungleichung. Aζk < + dk Für die nächste Aussage über das Wachstum der Koeffizienten bestimmter Modulformen, wird zunächst eine Definition gebraucht: 4. Definition Landau-Symbole/O-Notation Sei f eine wohldefinierte Funktion oder eine Folge, die in einen metrischen Raum abbildet. Definiere dann für x Of {g c > 0, x 0 : x > x 0 gilt: f x c gx } für x a Of {g c > 0, ɛ > 0 : x {x : x a < ɛ} gilt: f x c gx } Mathematisch lässt sich die O-Notation wie folgt darstellen f Og lim sup x f x gx < ; 4.3 Beispiel n On n 3 + n + 00n On 4 n On 00 n 000 O n logn O n Anmerkung: In der Mathematik wird häufig anstelle von f Og geschrieben, dass f Og. Beide Schreibweisen sind äquivalent. 4

15 4 Koeffizienten von Modulformen Es folgt ein zentrales Ergebnis dieses Seminars: 4.4 Satz Hecke-Theorem Sei f eine Modulform, wie sie zu Beginn dieses Paragraphen definiert wurde. Ist f nun eine Spitzenform vom Gewicht k, so gilt für die Koeffizienten der Reihe a n On k. Zunächst wissen wir, dass a 0 0 für den ersten Koeffizienten von f gilt, da f eine Spitzenform ist. Wir können also q aus der Entwicklung von f ausklammern. Damit ist f z q a nq n Für q 0 läuft nun q n schneller gegen 0 als q. Daher gilt f z Oq Oe πy mit y Imz. Definiere nun Φz f z y k. Zunächst sei festzustellen, dass Φ invariant unter der Operation der Modulgruppe ist. Um dies zu beweisen, sei a b g G c d mit ad bc. Für z x + iy ist dann gz cz+d az+b. Mit der 3. Binomischen Formel erhält man dann Imgz yad bc yad bc c x + cxd + d + c y cz + d. Damit ist Φgz Φ f ist az + b f cz + d az + b cz + d yad bc k cz + d f z cz + Modul f orm dk cz + d k f z cz + d k y k f z y k Φz. y k cz + d k 5

16 4 Koeffizienten von Modulformen Nun ist Φz stetig auf dem Fundamentalbereich D als Multiplikation stetiger Funktionen, denn f ist eine Spitzenform, also holomorph und damit stetig. Darüberhinaus zeigt die Formel f z Oq Oe πy, dass für q nahe Null gilt, dass Φz f z y k e πy y k und damit Φz 0 für y. Insbesondere existiert damit eine Konstante M > 0 mit f z My k, z H. Sei y nun fest. Dann gilt nach Funktionentheorie I, Aloys Krieg, V. Satz 4.3 Seite 08 Satz von der Fourierentwicklung und Dreiecksungleichung für Integrale für die Koeffizienten a n von f, dass a n [0,] f ze πinz dz [0,] f zq n dz [0,] f zq n dz [0,] f z e πinx+iy dz da y konstant My k [0,] e πinx+πny dz My k e πinx e πny dz My k e πny dz [0,] My k e πny [0,] dz My k e πny Also gilt a n My k e πny Für jedes feste y > 0 ist diese Ungleichung richtig. Setze also y n. Dann ist a n e π Mn k. [0,] 4.5 Korollar Ist f keine Spitzenform so hat a n die Größenordnung n k. f lässt sich als Summe λg k + h darstellen mit λ 0 und h eine Spitzenform. Dann haben die Koeffizienten von f nach Hecketheorem und Lemma 3. die Größenordnung λn k + n k. Im Limes wird n k vernachlässigbar gegenüber n k. Daraus folgt die Behauptung. Wie in A. Selberg, Proc. Symp. Pure Maths VIII, American Math Society., 965 nachzulesen ist, lässt sich das Wachstum der a n noch schärfer abschätzen, nämlich 6

17 4 Koeffizienten von Modulformen durch a n On k 4 +ɛ für jedes ɛ > 0. Wie noch nicht bewiesen, aber vermutet wird, lässt sich 4 sogar noch zu verbessern. 7