Ferienkurs Analysis 3 - Funktionentheorie

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1 Ferienkurs Analysis 3 - Funktionentheorie Ralitsa Bozhanova, Max v. Vopelius Grundbegriffe und Differenzierbarkeit 1.1 R-lineare und C-lineare Abbildungen C C Da C sowohl VR über R als auch über C ist, muß zwischen R und C-linearen Abbildungen unterschieden werden. Jede C-lineare Abbildung hat die Form z λz mit λ C und ist R-linear. Die Konjungierung z z ist R-linear aber nicht C-linear. Allgemein: Eine Abbildung T : C C ist genau dann R-linear, wenn gilt: T (z) = T (1)x + T (i)y 1.2 Skalarprodukt und absoluter Betrag w = u + iv, z = x + iy C < w, z >:= Re(wz) = ux + vy ist das euklidische Skalarprodukt. z := + < z, z > mißt die euklidische Länge, sie heißt Absolutbetrag. 1.3 Winkeltreue Abbildungen T : C C bijektiv (T z = T (z)) w z < T w, T z >= T w T z < w, z > w, z C Dann heißt T Winkeltreu. Definition wird verständlich, wenn man den Winkel (w, z) benutzt: Winkeltreu bedeutet dann gerade, daß (T w, T z) = (w, z) für alle w, z C 1.4 Cauchysches Konvergenzkriterium Eine Folge c n heißt Cauchyfolge, wenn zu jedem ɛ > 0 ein k N existiert, so dass: c m c n < ɛ für alle m, n k. Damit ist c n konvergent. 1

2 1 GRUNDBEGRIFFE UND DIFFERENZIERBARKEIT 2 Beispiel: (x i ) i N = 1 i i N. Sei ɛ > 0 beliebig, wähle N, dass N > 1 ɛ. n m > N beliebig. Dann gilt: d(x m, x n ) = 1 m 1 n = n m mn n mn = 1 n < 1 N < ɛ Für unendliche Reihen: Eine Reihe a ν konvergiert genau dann, wenn zu jedem ɛ > 0 ein n 0 N existiert, so daß gilt: n a ν ɛ für alle m, n, mit n > m n 0 m+1 Besagt gerade, dass die Partialsummenfolge eine Cauchyfolge ist. 1.5 Komplex differenzierbare Funktionen Eine Funktion f : D C heißt komplex differenzierbar in c D, wenn es eine in c stetige Funktion f 1 : D C gibt, so daß gilt: f(z) = f(c) + (z c)f 1 (z) für alle z D Funktion f 1 ist dann eindeutig durch f bestimmt, f 1 ist stetig in c also h := z c: f(c + h) f(c) lim = f 1 c =: f (c) =: df h 0 h dz (c) Die aus dem reellen bekannten Differentiationsregeln gelten analog. Beispiele: (a) Jede Potenz z n, n N ist überall in C komplex differenzierbar. z n = c n + (z c)f 1 (z) mit f 1 (z) = z n 1 + cz n c n 2 z + c n 1 man sieht (z n ) = nz n 1 für alle z C. Allgemeiner sind Polynome überall und rationale Funktionen außerhalb der Nullstellen komplex differenzierbar. (b) Die Konjungierungsfunktion f(z) := z ist nirgends komplex differenzierbar, da der Differenzenquotient f(c + h) f(c) h = h h h 0 hat für h R bzw. hinri den Wert 1 bzw. 1 und also keinen Limes. 1.6 Cauchy-Riemannsche Differenzialgleichungen u x (c) = v y (c), u y (c) = v x (c)

3 1 GRUNDBEGRIFFE UND DIFFERENZIERBARKEIT 3 Sind notwendige Bedingungen für die komplexe Differenzierbarkeit. Damit ist: f (c) = u x (c) + iv x (c) = v y (c) iu y (c) Beispiel: Wo ist die folgende Funktion komplex differenzierbar? (a) f(x + iy) = xy + ixy x u = y! = x = y v und y u = x! = y = x v f ist in (0, 0) komplex differenzierbar 1.7 Holomorphe Funktionen Eine Funktion f : D C heißt holomorph in D, wenn f in jedem Punkt von D komplex differenzierbar ist. Eine in c holomorphe Funktion ist komplex differenzierbar in c, allerdings ist eine in c komplex differenzierbare Funktion nicht notwendigerweise holomorph in c. Beispiel: f(z) = x 3 y 2 + ix 2 y 3 wobei z = x + iy, x, y R ist überall auf den Koordinatenachsen und sonst nirgends komplex differenzierbar; diese Funktion ist nirgends in C holomorph. 1.8 Winkel- und Orientierungstreue / Holomorphie Eine in D reell differenzierbare Funktion f = u + iv heißt orientierungstreu in c D, wenn die Funktionaldeterminante ( det u x u y v x v y in c positiv ist. Damit sind folgende Aussagen über reell stetig differenzierbare Funktionen f : D C äquivalent (a) f ist holomorph in D, und es gilt f (z) 0 überall in D (b) f ist winkeltreu und orientierungstreu in D ) 1.9 Konvergenzradius von Potenzreihen Für eine allgemeine Potenzreihe a r (z c) ν bezeichne R das Supremum aller reellen Zahlen t 0, so daß die Folge a νt ν beschränkt ist. Die hierdurch bestimmte Größe R mit 0 R heißt der Konvergenzradius, die Menge B R (c) heißt Konvergenzkreisscheibe der Potenzreihe. Formel von Cauchy-Hadamard:

4 1 GRUNDBEGRIFFE UND DIFFERENZIERBARKEIT 4 Die Potenzreihe a ν (z c) ν hat den Konvergenzradius 1 R = lim sup ν a ν Beispiele: ν ν zν z ν z ν ν ν 1.10 Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen sind holomorphe Funktionen l, die in ihrem Definitionsbereich der Gleichung exp l = id genügen. Charakteristisch für solche Funktionen ist die Differentialgleichung l (z) = 1 z. Beispiele: (a) In B 1 (1) die Potenzreiche ( 1) ν 1 (z 1) ν ν ν=1 (b) In der Ebene { z = re iϕ : r > 0, α < ϕ < α + 2π } α R fixiert, die durch l(z) := log r + iϕ erklärte Funktion Die Zahl 0 hat keinen Logarithmus. Jede positive reelle Zahl r > 0 hat genau einen rellen Logarithmus log r. Jede komplexe Zahl c = re iϕ hat genau abzählbar unendlich viele Logarithmen log r + iϕ + i2πn, n Z wobei log r R Da Logarithmen vieldeutig sind, wird definiert: Eine holomorphe Funktion l : G C in einem Gebiet G C heißt eine Logarithmusfunktion in G, wenn gilt: exp (l (z)) = z z ing. Ist l : G C eine Logarithmusfunktion, dann ist auch ˆl = l + 2πiˆn, ˆn Z eine Logarithmusfunktion. Die in der geschlitzten Ebene C := C \ {z C : Re z 0, Im z = 0} definierte Funktion log : C C, z = z e iϕ log z + iϕ wird Hauptzweig des Logarithmus genannt. Es gilt log i = iπ 2.

5 2 KOMPLEXE INTEGRALRECHNUNG 5 2 Komplexe Integralrechnung 2.1 Integration längs Wegen Mann nennt fdz das Wegintegral oder Kurvenintegral. Sei : [a, b] U C eine differenzierbare Kurve. Dann gilt: fdz = b 2.2 Die Integrale B (ξ c)n dξ a f ( (t)) d dt Für n Z und alle Kreisscheiben B = B r (c), r > 0 gilt: B (ξ c) n dξ = { (t) = x(t) + iy(t) 0 für n 1 2πi für n = Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete Sterngebiete: Eine Menge M C heißt sternartig, wenn es einen Punkt z 1 M gibt, so daß für jeden Punkt z M die Strecke [z, z 1 ] in M liegt. z 1 heißt ein Zentrum von M. Es sei G ein Sterngebiet mit Zentrum c, es sei f : G C holomorph in G. Dann ist f integrabel in G: die Funktion F (z) := fdξ, z G ist eine Stammfunktion von f in G. Speziell gilt [c,z] für jeden geschlossenen Weg in G. fdξ = Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben Mit Hilfe des Integralsatzes lassen sich Integrale durch Änderung des Integrationswegs berechnen. Es sei f holomorph im Bereich D; es sei B := B r (c), r > 0 eine Kreisscheibe, die nebst Rand B in D liegt. Dann gilt für alle z B : f(z) = 1 f(ξ) 2πi B ξ z dξ 2.5 Prinzip der analytischen Fortsetzung Seien U 1, U 2 nichtleere, abgeschlossene Mengen mit U 1 U 2. f 1 : U 1 C, f 2 : U 2 C seien holomorph. f 1 = f 2 auf U 1 U 2. Dann ist f 2 die analytische Fortsetzung von f 1. f 2 ist eindeutig festgelegt über dan Identitätssatz: f 1 = f 2 auf U 1 U 2

6 3 RESIDUENKALKÜL 6 Beispiel: Sei f : [a, b] R Potenzreihe um x 0 f(x) = c n (x x 0 ) n n=0 c n R analytische Fortsetzung auf B r (x 0 ): 2.6 Die Intexfunktion ind (z) f(z) = c n (z x 0 ) n n=0 Ist ein geschlossener Weg in C und z C ein Punkt, der nicht auf liegt, so sucht man ein Maß dafür, wie oft der Weg den Punkt z umläuft. Die Funktion ind := 1 dξ 2πi ξ z liefert eine ganze Zahl und mißt die Umläufe sehr gut. So gilt zum Beispiel: 3 Residuenkalkül 3.1 Laurentreihen ind B (z) = { 1 für z B 0 für z C \ B Die in C offene Menge A r,s (c) := {zmathbbc : r < z c < s} heißt Kreisring um c mit innerem Radius r und äußerem Radius s. Es gilt A 0, (0) = C. Jede im Kreisring A um c mit den Radien r, s holomorphe Funktion ist in A eindeutig in eine Laurentreihe f(z) = a ν (z c) ν entwickelbar, die in A normal gegen f konvergiert. Es gilt: a ν = 1 f(ξ) dξ für r < ρ < s, ν Z 2πi ρ (ξ c) ν+1 Bestimmung mit Integralformel ist nur in selenen Fällen möglich. Man zieht nach Möglichkeit bekannte Taylorreihe heran. 3.2 Riemannscher Hebbarkeitssatz Eine Singularität kann genau dann entfernt ( gehoben ) werden, wenn ein Gebiet um die Singularität existiert, auf dem die holomorphe Funktion beschränkt ist. z 0 sei Punkt des Gebietes G, f sei auf G \ {z 0 } holomorph. Ist f auf einer punktierten Umgebung

7 3 RESIDUENKALKÜL 7 von z 0 beschränkt, so gibt es eine auf ganz G holomorphe Funktion ˆf mit ˆf (G\{zo}) = f 3.3 Einfach geschlossene Wege Ein geschlossener Weg heißt einfach geschlossen, wenn: Int und int (z) = 1 z Int wobei ind die Indexfunktion ist und Int = {z C \ : ind g amma(z) 0} 3.4 Residuum Ist f holomorph in D\c und ist a ν(z c) ν die Laurententwicklung von f in einer punktierten Kreisscheibe B um c, so gilt a 1 = 1 f(ξdξ 2πi S für jede Kreislinie S B um c. Von allen Laurentkoeffizienten bleibt also bei Integration von f um c nur a 1 übrig. Dieses heißt das Residuum. Res c f := a 1 Das Residuum ist in allen isolierten Singularitäten von f definiert. Berechnung von Residuen (a) f(z) hat einen Pol der Ordnung k Res a f = ( ) k 1 1 d g(z) z=a (k 1)! dz (z a) k f(z) = g(z) (b) Seien g(z), h(z) holomorph und h habe einfache Nullstellen bei z = a f(z) = g(z) h(z) Für das Residuum folgt: Beispiel: f(z) = Res a ( g h ) = g(a) h (a) z2 iπ 1 ist c : e z4 = 2 (1 + i)

8 4 RESIDUENSATZ 8 ein einfacher Pol, daher gilt nach Regel 2: Für die anderen Pole (ic, c, ic) findet man: Res c f = c2 4c 3 = 1 4c = 1 4 (1 i) 2 Res ic f = i 4 c, Res c f = 1 4 c, Res ic f = i 4 c 4 Residuensatz Es sei ein nullhomologer Weg in einem Bereich D, und es sei A eine endliche Menge in D, so daß kein Punkt von A auf liegt. Dann gilt hdξ = 2πi für jede in D \ A holomorphe Funktion h. Beispiel: c Int ind (c) Res c h f(z) = z2 von eben. Funktion fällt mindestens quadratisch ab und die Pole in der oberen 1+z 4 Halbebene liefern die folgenden Residuen: Res c1 f = (1 i), Res c 2 f = 1 4 ( 1 i) 2 z z 4 dz = z z 4 dz = 2πi c Res ci f = 2πi 4 2 ( 2i) = π 2