Unbestimmte Integrale. Üben. Unbestimmte Integrale. Lösung. Berechne: Klasse. Schwierigkeit. Nr. math. Thema. Art. Klasse. math. Thema.

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Helmuth Schräder
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1 f) e) cos sin sin) (cos d) ) ( ) ( Berechne: f) e) sin) (cos d) ) ( ) (

2 Bestimme diejenige Stmmfunktion von f, deren Grph durch P verläuft! f : ; P( /) f : P(/ ) f : cos P( / ) d) f : P(/ ). Eine beliebige Stmmfunktion von f ist F () Aus F(-) = ergibt sich =. Also ist F() die gesuchte Stmmfunktion. F() F() sin d) F()

3 Berechne: sgn ; sgn sgn ; D ;, D IR

4 Berechne f() der Funktion f : für für f() für für

5 5 Anschuliche Anlysis, Ehrenwirth, S. 5 / 7j, k Gegeben sind die Funktionenschren f s () und f k (). Bestimme die Schren der zugehörigen Stmmfunktionen! f s () 6s s f k () k k 5 F s () s s F k () 8 k k

6 6 Berechne: ( ( d ( dt 6 ( ( d ( dt ( t Hinweis: Die Vrible hinter dem d ist die Integrtionsvrible!

7 7 Gib eine Stmmfunktion zur Funktion f : ( n! ) 7 Der Nenner des Funktionsterms ist ein Qudrt, der Zähler ist die Ableitung vom Inneren des Nenners. Also knn mn folgende Regel nwenden: Ht f die Form f()= g () g (), dnn ist F()= Stmmfunktion von f. g() Also ist F() eine Stmmfunktion von f. (Zur Probe knn mn F bleiten.)

8 8 Gib eine Stmmfunktion zur Funktion f : n! 8 8 Erst eine Binomische Formel nwenden, um den Nenner des Funktionsterms in ein Qudrt zu verwndeln. Die Ableitung vom Inneren des Nenners ist. Wenn mn mit erweitert, knn mn folgende Regel nwenden: Ht f die Form f()= g () g (), dnn ist F()= Stmmfunktion von f. g() f(). Also ist F() eine ( ) ( ) 8( ) Stmmfunktion von f. (Zur Probe knn mn F bleiten.)

9 Ds bestimmte Integrl 9 ) ( d) ) ( ) ( Ds bestimmte Integrl 9 Berechne und deute geometrisch: ) ( d) ) ( ) (

10 Ds bestimmte Integrl 7 8) ( ) ( e) 7 8 d) ) ( 9 Ds bestimmte Integrl Berechne! e) d) ) (

11 Ds bestimmte Integrl 68 7 i) sin sin sin cos h) ) cos ( cos cos sin g) 6 8) ( 8 f) 7 7 -

12 Ds bestimmte Integrl Berechne! f) - g) sin h) cos i) 7

13 Ds bestimmte Integrl Berechne die Fläche, die von der Prbel mit der Gleichung y = begrenzt wird! und der -Achse Ds bestimmte Integrl A ( )

14 Ds bestimmte Integrl Zeige, dss für eine Funktion f gilt: b f() f() b Ds bestimmte Integrl b f() F( F( F( F( f() b, flls F Stmmfunktion fon f ist. Hinweis: Verwende die Definition des bestimmten Integrls!

15 Ds bestimmte Integrl Anschuliche Anlysis, Ehrenwirth, S. 7 / Zeige durch Integrtion von geeigneten Funktionen, dss die Formel für den Flächeninhlt von Dreiecken A = g h mit den Ergebnissen unserer Integrtion übereinstimmen! Hinweis: Wähle zwei Gerden g und g. Nenne die Koordinten des Schnittpunktes (s / h). Ds bestimmte Integrl Gleichung von g : y h g s hg g s Gleichung von g : y h s Berechnung der Fläche des Dreiecks: A s g () g g s ()... hs s hg (g s) hg g s hs (g s) hgs g s... gh

16 Integrlfunktion 5 Anschuliche Anlysis, Ehrenwirth, S. 7 / 7 Gib eine Integrlfunktion zur Integrndenfunktion n der Stelle den Funktionswert ht, n der Stelle den Funktionswert b ht! f : ; D R n, die f Integrlfunktion 5 F() = t dt t c - gesucht ist nun die untere Grenze c. c c Aus F() folgt c c Also ist F() die gesuchte Integrlfuntion. Aus F( = b folgt: c b c b Also ist F() b die gesuchte Integrlfunktion. (Zur Probe knn mn F bleiten und den gewünschten Punkt einsetzen.)

17 Integrlfunktion 6 Erläutere, dss jede Integrlfunktion eine Nullstelle ht! Integrlfunktion 6 Eine beliebige Integrlfunktion F() = f(t) dt ht stets n ihrer unteren Grenze eine Nullstelle, d F( f(t) dt F( - F(.

18 Integrlfunktion 7 Einer der Sätze ist whr einer ist flsch. Begründe: Jede Integrlfunktion ist eine Stmmfunktion. Jede Stmmfunktion ist eine Integrlfunktion. Gib für den flschen Stz ein Gegenbeispiel n! Integrlfunktion 7 ist whr, denn die Ableitung einer Integrlfuntkion ist stets die Integrndenfunktion: F() = f(t) dt F() F(, dmit ist F () f(). Ist flsch, denn nicht jede Stmmfunktion ist eine Integrlfunktion, d eine Integrlfunktion stets eine Nullstelle ht, eine Stmmfunktion ber nicht. Beispiel: F() = + ist zwr eine Stmmfuntkion von f()=, ber keine Integrlfunktion, d F keine Nullstelle ht.

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