Reelle Funktionen Analysis NT11-1

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1 Reelle Funkionen Anlysis NT - Reelle Funkionen. Grundegriffe.. Zhlenmengen und ihre Eigenschfen In der Mhemik werden die Zhlen je nch Verwendung in Mengen eingeeil. Mn unerscheide zum Beispiel reelle, rionle, gnze und nürliche Zhlen. Z - N Q R Menge der reellen Zhlen IR umfss lle Zhlen der Schulmhemik. Menge der nürlichen Zhlen IN = {;;;...} zw. IN = {;;;;...} Menge der gnzen Zhlen Z = {...;-;-;;;;...} z Menge der rionlen Zhlen Q = { z, nz, n } n Die reellen Zhlen lssen sich uf einer Zhlengerden nordnen: - - Dei wird folgende Zuordnung definier: Der reellen Zhl wird ein Punk der Gerden eindeuig zugeordne Der reellen Zhl wird ein nderer Punk der Gerden rechs von zugeordne Der Zhl wird ein Punk der Gerden so zugeordne, dss die Mie des Inervlls [-;] is. Rionle Zhl q p : Irrionle Zhl: Die Srecke, die p q-el der Einheissrecke ngi wird ufgergen Wird durch Inervllschchelung esimm. Mengen können ngegeen werden durch: die eschreiende Form: L = { < < } ein Zhleninervll: L = ]; [ ein Inervll m Zhlensrhl:

2 Reelle Funkionen Anlysis NT - Inervlle Zusmmenhängende Aschnie der Zhlengerden heißen Inervlle; sie sind Teilmengen von IR. Für, IR, < ezeichne mn [F: S.6ff] [;] = { IR } ls geschlossenes Inervll ];[ = { IR < < } ls offenes Inervll ];] = { IR < } oder [;[ = { IR < } ls hloffenes Inervll Besondere Inervlle Null Null IR + = ]; [ is die Menge der posiiven reellen Zhlen ußer Null IR - = ] ;[ is die Menge der negiven reellen Zhlen ußer Null IR = [; [ is die Menge der posiiven reellen Zhlen einschließlich IR = ] ;] is die Menge der posiiven reellen Zhlen einschließlich

3 Reelle Funkionen Anlysis NT -.. Der Funkionsegriff Eine eindeuige Zuordnung, die jedem Elemen D, mi D IR und D, genu eine reelle Zhl y IR zuordne, heiß reelle Funkion. Schrei- und Sprechweise: f f : f, Die Funkion f ilde uf f von, Elemen von Df D f : y f, Die Funkion f mi der Gleichung y gleich f von, Elemen D f von Df üliche Bezeichnungen: f, g, h... Bezeichnung der Funkion unhängige Vrile y hängige Vrile y = f Funkionsgleichung f Zuordnungsvorschrif f Funkionswer Df Definiionsmenge der Funkion f Wf Weremenge der Funkion f Grph der Funkion f Gf Beispiele: f :, Df IR II. Qudrn I. Qudrn III. Qudrn IV. Qudrn [ ;[ : für g, [; ] für Die Funkion g sez sich us zwei Funkionen zusmmen, deren Grphen eine Prel und eine Gerde eschreien. Die Funkion g heiß schnisweise definiere Funkion. Vgl: Aschnisweise def. Fk. Üungen: S. / S. /- Drsellung von Funkionen mihilfe von Wereellen S. /d Drsellung schnisweise definierer Funkionen

4 Reelle Funkionen Anlysis NT -.. Eigenschfen reeller Funkionen... Schnipunke mi den Koordinenchsen, Nullsellen Schnipunk mi der y-achse: Jeder Punk uf der y-achse h die -Koordine. Mn erhäl deshl die Koordinen des Schnipunkes des Grphen der Funkion f mi der y-achse, indem mn = sez und f erechne. Jeder Punk uf der -Achse h die y-koordine. Mn erhäl deshl die Koordinen der Schnipunke des Grphen der Funkion f mi der -Achse, indem mn y = sez und die Lösungen der Gleichung f= esimm, die sogennnen Nullsellen. Schnipunke mi der -Achse, Nullsellen Beispiel: Gegeen is die Funkion f :, D f IR Schnipunk mi der y-achse: f Sy;- Schnipunk mi der -Achse: f S ;

5 Reelle Funkionen Anlysis NT -... Symmerie des Funkionsgrphen Der Grph einer Funkion f : f, D is - chsensymmerisch zur y-achse, wenn für lle Df gil: f- = f - punksymmerisch zum Ursprung, wenn für lle Df gil: f- = - f f Die Berchung von Funkionen deren Grphen diese Eigenschfen esizen wird vereinfch. Durch Spiegelung n der y-achse zw. Drehung m Ursprung ergi sich der gegenüerliegende Teil des Grphen. Beispiele Die Funkion f = + esiz den Grphen Gf. Gf is chsensymmerisch zur y-achse, denn für lle IR gil: f- = - + = + = f Die Funkion g = esiz den Grphen Gg. Gg is punksymmerisch zum Ursprung, denn für lle IR gil: g- = - = - = - g Üung: S.7/

6 Reelle Funkionen Anlysis NT Schnipunke von Grphen Die Schnipunke von Grphen zweier reeller Funkionen lssen sich durch Gleichsezen der Funkionsgleichungen esimmen. Beispiel Die Grphen Gf und Gg der Funkionen f : und f : esizen einen gemeinsmen Punk PP;yP. f g 66 / P / yp f P; Üung: Ermieln Sie die Schnipunke der Grphen Gp und Gg der reellen Funkionen p : und g : g : c g : Monoonie und Krümmungsverhlen in Klssensufe

7 Linere Funkionen Anlysis NT - 7. Linere Funkionen Die Funkion f : m, IRheiß linere Funkion. m und sind elieige reelle Zhlen, Prmeer Der Grph einer lineren Funkion is eine Gerde... Seigung und Achsenschni vgl. Aufgen zur Wiederholung und Veriefung Für die Seigung einer Gerden Seigungsfkor m gil: y f f y y m n mi f = m+ Der y-achsenschni der Gerden g nenn mn. Für = erhäl mn y= und dmi den Schnipunk der Gerden g mi der y-achse T;. Beispiele und Üungen: / und ; /7.. Schnipunke Vgl. Schnipunke von Grphen Merke: Hinweis: Eine Gerde g, die senkrech zu einer elieigen Gerden g verläuf, heiß Normle von g. Es gil m m = -. Senkreche is nich im Lehrpln Mhemik Nichechnische AR.. Aufsellen von Gerdengleichungen vgl. Aufgen zur Wiederholung und Veriefung Üung: / und 6

8 Linere Funkionen Anlysis NT Linere Gleichungen Eine Gleichung heiß liner, wenn sie sich in der Form mi, IR drsellen läss. Für die Lösungsmenge dieser Gleichung gil:.fll: : ; L.Fll: ; : ; L IR.Fll: ; : ; L Beispiel: Üungen: /.. Linere Gleichungen mi Prmeer r 6 r.fll:.fll: r ; oder L r r r r ; ; L r 6 6 r.fll: r ; r.fll: r ; ; L IR Üung: 6/

9 Linere Funkionen Anlysis NT Gerdenschren Alle Gerden der Seigung m und mi der Gleichung g : y m,, IR heißen Prllelenschr und heiß Schrprmeer der Gerdenschr. Beispiel: g n : n; nir Alle Gerden mi dem gemeinsmen Büschelpunk ;y und mi der Gleichung g m : y m y,, mir heißen Gerdenüschel und m heiß Schrprmeer der Gerdenschr. Beispiel g k : k k ; k IR Üung: /8- schließende Üungen: ff/-

10 Linere Funkionen Anlysis NT -..7 Linere Ungleichungen Eine Ungleichung heiß liner, wenn sie sich in der Form + < + > mi,, IR und drsellen läss. Ungleichungen ei Relionen und Funkionen Die Aussgeform y, + knn in die linere Funkion y =, + und die Relion y <, + zerleg werden. Der Grph der lineren Funkion is eine Gerde. der Grph der Relion is eine Hleene Ungleichungen und Doppelungleichungen Beispiele: + 8 < - < - - < - - oder L = { < -} oder L = { -} oder L = ] - ; - [ oder L = [ - ; + [ < < < 7 - < 7 L = { - } L = { } oder L = [- ; ] oder L = ] - ; ] Üung: 9/ Äquivl. Umformungen 6/ Ungleichungen 6/ Doppelungleichungen.

11 Linere Funkionen Anlysis NT -..8 Anwendung linerer Funkionen. Im geildeen -s-digrmm sind die Bewegungen zweier Personenwgen PKW und drgesell.. Die Geschwindigkei einer Bewegung ensprich im -s-digrmm dem Ansieg des Grphen. Besimmen Sie mihilfe des Digrmms die Geschwindigkeien v und v von PKW und PKW.. Sellen Sie die ensprechenden Bewegungsgleichungen Funkionsgleichungen der geildeen Grphen s und s uf.. Berechnen Sie den Zeipunk, ei dem eide Fhrzeuge uf gleicher Höhe sind.. Berechnen Sie die Wege, die eide Fhrzeuge zum Zeipunk zurückgeleg hen.. Im geildeen -v-digrmm is die Bewegung eines Zuges geilde. Der Ansieg des Grphen ensprich der Beschleunigung des Zuges. Die Fläche unerhl des Grphen gi den zurückgelegen Weg n.. Ermieln Sie die Beschleunigungen I, II und III in den einzelnen Aschnien.. Berechnen Sie den während der gesmen drgesellen Bewegung zurückgelegen Weg s. Üung: 7f/ ; und

12 Linere Funkionen Anlysis NT - Wchsum Bei einem vom Boden us wchsenden Tropfsein h mn vor Jhren eine Höhe von,7 m gemessen, nun is er,79 m hoch. Mn nimm lineres Wchsum n. Wie hoch is der Tropfsein nch,, 7,..., Jhren? Selle die Funkionsgleichung uf und zeichne den Grphen. c Wie veränder sich die Höhe des Tropfseins, wenn mn usgehend von einer Beochung im Jhre noch,,,..., d Jhre wre? d In wie vielen Jhren is der Tropfsein vorussichlich m hoch? e Nch wie vielen Jhren verdoppel sich die Höhe des Tropfseins?

13 Qudrische Funkionen Anlysis NT -. Qudrische Funkionen Die Funkion f : c, IR heiß qudrische Funkion. mi,, c IR. Der Grph einer qudrischen Funkion is eine Prel. Die Gleichung f : S ys; IR heiß Scheielgleichung der qudrischen Funkion und SS; ys is der Scheiel ihres Grphen. Form- und Lgeveränderungen der Prel. f : ; IR Der Grph von f is eine Normlprel. f : ; IR, IR\{} Der Grph von f is für = eine Normlprel für > nch oen geöffne c für < nch unen geöffne d für ]-;[ ];[ gesuch e für < - oder > gesreck. f : c;, cir Der Grph is eine Normlprel mi einem enlng der y-achse um c verschoenen Scheielpunk. f : ;, IR S S Der Grph is eine Normlprel mi einem enlng der -Achse um S verschoenen Scheielpunk Üung: 6f /

14 Qudrische Funkionen Anlysis NT -.. Aufsellen von Funkionsgleichungen Die llgemeine Funkionsgleichung y = + + c enhäl die drei Prmeer, und c. Um diese zu ermieln sind drei Angen nowendig z.b.: Punke durch die der Grph verläuf oder ein Scheielpunk und ein weierer Punk ec. Beispiel: Der Grph einer qudrischen Funkion verläuf durch die Punke A;, und B-; und h n der Selle s = eine Nullselle. A:, = + + c I B: = c II Ns: = + + c III A:, = + + c I B: = - + c II Ns: = + + c III I-II, = + IV I-III, = + V V-IV = - = -, in V, =, = ; in III = -, + c c =, Die Gleichung der qudrischen Funkion lue dmi: f =, +,. Üung: 66/ 8 Aufsellen von Funkionsgleichungen 66/ 9 vermische Aufgen zu qudrischen Funkionen

15 Qudrische Funkionen Anlysis NT -.. Qudrische Gleichungen und Linerfkoren... Nullsellen Die Nullsellen der qudrischen Gleichung f : c,,,c, IR lssen sich durch Lösen der qudrischen Gleichung Dei is folgendes zu echen: c esimmen. Die qudrische Gleichung c,,, c, IR h zwei verschiedene reelle Lösungen, wenn c : Der Rdikn c, c heiß Diskriminne der Gleichung c. Beispiel: siehe.. Schnipunke von Grphen Üung: 7/ - c eine doppele reelle Lösung, wenn c :, keine reelle Lösung, wenn c... Linerfkorzerlegung H die qudrische Gleichung c die Lösungen und, dnn gil: c. - und - heißen Linerfkoren Beispiel: Die Funkion f = h die Nullsellen: = und =. Dmi läss sich die Funkion f uch folgendermßen schreien: f = --. Die Funkion g = h die Nullsellen:, = -. Dmi läss sich die Funkion g uch folgendermßen schreien: g=++=+. Die Funkion h = + 6 h keine Nullsellen. Dmi läss sich die Funkion h nich in Linerfkoren zerlegen. Üung: 7/

16 Qudrische Funkionen Anlysis NT Schnipunke der Grphen... Prel Gerde Hen eine Gerde g: y = m +,,m, IR und Prel p: y = ² + + c,,,,c IR, mieinnder - zwei Schnipunke, so nenn mn die Gerde g Sekne von p - einen Schnipunk, so nenn mn die Gerde g Tngene der Prel und den Schnipunk Berührungspunk, - keinen Schnipunk, so nenn mn die Gerde g Pssne von p Bsp.: p : y = -/ ² - + / g : y = -/ + ½ h : y = + f : y = - + Welche Gerde der Schr is Tngene/Pssne/Sekne der Prel? Üung: S. 7 / 9, Schnipunke mi Prmeer S. 7 / Gleichung mi Prmeer... Prel Prel Beispiel p: y = /²--/ p : y = -/² - + / Üung: S. 7 / 7-8 Welche Gerden der folgenden Gerdenschren sind Tngenen der Prel mi der Funkionsgleichung p = ² + g: y = + h : y = - + c k : y = d k : y = - + k e lm : y = m *für Eperen f mc: y = c + c + * für Eperen

17 Qudrische Funkionen Anlysis NT Qudrische Ungleichungen Eine Ungleichung heiß qudrisch, wenn sie in der Form ² + + c > ; vorlieg. Beispiel: Für welche Were von gil: f <, mi f = ² - + oder ² - + < Fllunerscheidung Term fkorisieren ² - + = = ; = ² - + = -- Ds Produk -- wird negiv, wenn. Fll: - > und - < L = ];[. Fll: - < und - > L = {} gesme Lösungsmenge ngeen: L = L U L = ];[ Üung: Anschulich Term ls Prel drsellen Lge der -Achse zur Prel esimmen ggf: Nullsellen ermieln Lösungsmenge lesen und ngeen Vorzeichenelle vgl oder VZT ersellen < < < < VZ VZ VZ f + - +

18 Qudrische Funkionen Anlysis NT Prelschren Die qudrischen Funkionen p k : y k k,ir,kir. Die Grphen G pk sind nch unen geöffnee Preln. Deren Lge is hängig vom Prmeer k. Besimmen Sie Lge und Anzhl der Nullsellen in Ahängigkei vom Prmeer k. Lösen der Gleichung: k k Die Diskriminne enscheide üer die Anzhl der Nullsellen vgl... D k k k k k k k. Fll: D = eine doppele Ns. Grph der Diskriminne k k k = -; k = für k = -: für k = :. Fll: D < keine Ns. k k Lk = ] - ; [. Fll: D > zwei Ns. k k k / k / - k Lk = ] - ; - [ U ] ; + [ k k k k k k k k k k k k Üung: 8/ 6 und 7

19 Qudrische Funkionen Anlysis NT Anwendungen qudrischer Gleichungen Der Benzinverruch eines Auos häng von seiner Geschwindigkei. Bei einer Unersuchung wird der Benzinverruch eines Auos in Lier je gefhrene Kilomeer gemessen. Die Geschwindigkei des Auos wird dei in km/h ngegeen. Die größe Geschwindigkei, die ds Auo fhren knn, eräg km/h. Die Mßzhl des Benzinverruchs wird mi V und die Mßzhl der Geschwindigkei mi ezeichne. Folgende Messreihe wird ufgenommen: 7 V 7, 6, Vereinfchend wird zunächs ngenommen, dss die Ahängigkei des Benzinverruchs von der Geschwindigkei durch eine gnzrionle Funkion zweien Grdes qudrische Funkion eschrieen werden knn.. Sellen Sie den Funkionserm V uf und geen Sie die Definiionsmenge DV der Funkion V n. [Teilergenis: V - ] 9. Ermieln Sie rechnerisch die Geschwindigkei, ei der der Benzinverruch m geringsen is, und geen Sie diesen n.. Ermieln Sie den Geschwindigkeisereich, in dem der Verruch uner 6, Lier je gefhrene Kilomeer zw. Lier lei.. Sellen Sie die Funkion V geeigne grfisch dr und ermieln Sie mi Hilfe Ihres Digrmms den Benzinverruch, wenn ds Auo mi einer konsnen Geschwindigkei von km/h zw. km/h fähr. Üerprüfen Sie Ihre Ergenisse mi Geoger!

20 Gnzrionle Funkionen Anlysis NT -. Gnzrionle Funkionen.. Poenzfunkionen Die Funkion f n :, IR, nin heiß Poenzfunkion vom Grd n. Beispiele: f =, IR f =, IR g =, IR g = 6, IR Eigenschfen der Poenzfunkionen Für die Poenzfunkionen gil: Is der Grd n eine ungerde Zhl, dnn o sind die Grphen symmerisch zum Ursprung und enhlen die Punke -; - und ; o is der Wereereich der Funkion Wf = IR. Is der Grd n eine gerde Zhl, dnn o sind die Grphen symmerisch zur y-achse und enhlen die Punke -; und ; o is der Wereereich der Funkion Wf = IR.

21 Gnzrionle Funkionen Anlysis NT -.. Gnzrionle Funkionen n n Die Funkion f : n n..., IR, nin mi reellen Koeffizienen,,..., n-, n, n heiß gnzrionle Funkion Polynomfunkion vom Grd n. Beispiele f, IR 6 is eine gnzrionle Funkion vieren Grdes. 9 f, IR is eine gnzrionle Funkion fünfen Grdes. Eigenschfen der Polynomfunkionen Für die Polynomfunkionen gil: H die Funkion nur Summnden mi ungerden Eponenen, dnn o sind die Grphen punksymmerisch zum Ursprung. Is der Grd n eine gerde Zhl, dnn o sind die Grphen chsensymmerisch zur y-achse. Üung: S.97/ ;;

22 Gnzrionle Funkionen Anlysis NT -.. Nullsellen und Polynomdivision Zur Ermilung der Nullsellen von Funkionen höheren Grdes n > sehen verschiedene Möglichkeien zur Verfügung: Beispiele: Funkion in Linerfkorschreiweise Ausklmmern einer Poenz von Susiuion = z Lösung für z: z = Lösung für : Polynomdivision f = mi der eknnen Nullselle = 6 6 ; : dmi läss sich die Funkion wie folg schreien: f = + Üung: S. -g ; / f ; ; / f ; ; ; ; ; z z z z f

23 Gnzrionle Funkionen Anlysis NT - Zerlegungssz: Is eine Nullselle der gnzrionlen Funkion n-en Grdes Pn, so gil: P P n n Division durch - geh uf Der Zerlegungssz zeig, dss eine gnzrionle Funkion vom Grd n höchsens n voneinnder verschiedene Nullsellen hen knn, ds sich der Fkor - i für jede Nullselle i usklmmern läss. Sind Nullsellen einer gnzrionlen Funkion nich eknn, so können diese durch Proieren ermiel werden: Is f : n n, n n... IR eine gnzrionle Funkion mi gnzzhligen Koeffizienen i, so müssen gnzzhlige Nullsellen Teiler des konsnen Terms sein. Beispiel: f = mi uneknner, er vorhndener Nullselle Die Nullselle muss ein Teiler von 7 = 7 sein. Proieren: f = = = : f 7 ; 7 Üung: LB. S.

24 Gnzrionle Funkionen Anlysis NT - Vielfchhei einer Nullselle Läss sich eine gnzrionle Funkion Pn wie folg schreien: Pn = - k Pn-k, woei Pn-k, so heiß eine k-fche Nullselle von Pn. An einer Nullselle mi ungerder Vielfchhei wechsel die Funkion ihr Vorzeichen, n einer Nullselle mi gerder Vielfchhei nich. Beispiele: f f Feldersreichen vgl. LB. S. 6 f Vorzeichenelle < - < < < < < VZ VZ VZ VZ f Üung: LB. S. 7/

25 Gnzrionle Funkionen Anlysis NT -.. Gnzrionle Funkionen mi Prmeer Gegeen sind folgende gnzrionle Funkionen, mi der Nullselle = : f k : 8 6 k k;,k IR. Zeige, dss = für lle Were von k eine Nullselle von fk is und zerlege dmi den Term in ein Produk mi genu einem Linerfkor. f k = Polynomdivision: k + k : + = => f k =. Ermile in Ahängigkei von k die Lge der Nullsellen sowie deren Vielfchhei. + + k = => D =.Fll: D = eine weiere doppele Nullselle

26 Gnzrionle Funkionen Anlysis NT - 6

27 Gnzrionle Funkionen Anlysis NT - 7 Üungen Die folgenden Funkionen esizen die ngegeene Nullselle. Besimmen Sie lle weieren Nullsellen in Ahängigkei von k IR und geen Sie die Vielfchhei der Nullsellen n. fk : k 9 k 9, IR, = fk : k k, IR, = c fk : k k, IR = d fk : 9 k 6 k, IR = e f : k k k, IR = k k us: Schneider, Sein: Mhemik echnische Ausildungsrichung, Winklers Verlg, Brunschweig, Lösungen: ohne Ange der Nullsellen, sels versuchen ;- ² + k - k<-6 oder k>6 und k : fk h drei einfche Nullsellen k = : f h zwei Nullsellen doppel und einfch k = -6: f-6 h zwei Nullsellen doppel und einfch k = 6: f6 h zwei Nullsellen doppel und einfch -6 < k < 6: f h eine einfche Nullselle k² - + k < und k und k : fk h drei einfche Nullsellen k = : f h zwei einfche Nullsellen k = : f h zwei Nullsellen doppel und einfch k = : f h zwei Nullsellen doppel und einfch k > : fk h eine einfche Nullselle c ² - k + k < - oder k > und k 7 : fk h drei einfche Nullsellen k = 7 : f7/ h zwei Nullsellen doppel und einfch k = -: f- h zwei Nullsellen doppel und einfch k = : f h zwei Nullsellen doppel und einfch - < k < fk h eine einfche Nullselle d ² k k < : fk h drei einfche Nullsellen k = : f h eine dreifche Nullsellen k > : f h eine einfche Nullselle e ² + + k IR \{ ;} : fk h drei einfche Nullsellen k = : f h zwei Nullsellen doppel und einfch k = : f-/ h zwei Nullsellen doppel und einfch

28 Gnzrionle Funkionen Anlysis NT - 8 Aschlussprüfung n FOS Anlysis AI. Gegeen sind die reellen Funkionen f : 7 k k mi k IR und Df k IR... Es sei zunächs k 9. Ermieln Sie in Ahängigkei von k die Lge der Nullsellen sowie deren Vielfchhei. Unerscheiden Sie dei die Fälle k>, k= und k<. Im folgenden sei k = 9 und f Zeigen Sie, dss f-9 eine einfche und eine dreifche Nullselle esiz. Geen Sie jeweils uch die Lge dieser Nullsellen n... Zeichnen Sie den Grphen G f für 6, mi Hilfe einer geeigneen 9 Wereelle. Mßs uf eiden Achsen: LE = cm Aschlussprüfung n FOS Anlysis AII. Gegeen sind die reellen Funkionen f : f ; D IR k k f k f k k k 8 mi k IR.. Zeigen Sie, dss = für lle Were von k eine Nullselle von fk is und zerlegen Sie dmi den Term fk in ein Produk mi genu einem Linerfkor... Unersuchen Sie, für welche Were von k die Funkion fk neen = noch mindesens eine weiere Nullselle esiz. Achen Sie dei uch uf die Sonderfälle k=-6 und k =... Berechnen Sie nun k so, dss die Funkion fk ei = eine doppele Nullselle h. Im folgenden sei k =... Zeichnen Sie den Grphen G f für, mi Hilfe einer geeigneen Wereelle. Mßs uf eiden Achsen: LE = cm Aschlussprüfung n FOS 999 Anlysis AI. Gegeen sind die reellen Funkionen g : g ; D IR p p g g p p p mi p IR.. Unersuche Sie den Grphen G g der Funkion gp in Bezug uf Symmerie und p esimmen Sie die Anzhl und Lge sämlicher Nullsellen der Funkion gp in Ahängigkei von p. Aschlussprüfung n FOS 998 Anlysis AII. Gegeen sind die reellen Funkionen f : f ; D IR k k f k f 9 k 9 9 k k mi k kir... Unersuchen Sie den Grphen G f in Bezug uf Symmerie. k.. Zeigen Sie, dss sich der Funkionserm fk uch in der Form f k 9 k 9 schreien läss, und ermieln Sie die Anzhl, Lge und Vielfchhei ller Nullsellen der Funkion fk in Ahängigkei von k.

29 Gnzrionle Funkionen Anlysis NT Aufsellen von Funkionsgleichungen Ds Profil eines Berghnges läss sich durch den Grph einer gnzrionlen Funkion. Grdes eschreien. Der Grph enhäl die Punke A-;,; B-;; C;, und D;,. Für die weiere Bereiung des Hnges is die Funkionsgleichung wichig. llgemeine Funkionsgleichung. Grdes: f = + + c + d Aufsellen eines Gleichungssysems: A:, = c + d B: = -8 + c + d C:, = + +c + d d =, D:, = + + c + d d einsezen und, erechnen - = c I -,= -8 + c II -II = c - = + + c III III -= + + c I-II = IV II+III -, = V -8V 6=8 8 IV-8V = - = - in IV = -8 8 = -, ; in III - = -, + c c =, f = -, +, +, = -, + Üungen: Besimmen Sie die zugehörigen Funkionsgleichungen:. Der Grph einer gnzrionlen Funkion. Grdes is symmerisch zur y-achse, verläuf durch die Punke A; und B;, und h für = eine Nullselle. [Lösung: -, ]. Der zum Ursprung symmerische Grph einer gnzrionlen Funkion. Grdes h für = eine doppele Nullselle und verläuf durch den Punk A; -. [Lösung: -/-²+²]. Der Aufsprunghügel einer Skischnze h die Form des Grphen einer Funkion der Gleichung: h = + + c, [;]. Folgende Süzpunke sind eknn: m;8m, 6m;m und m; m. [Lösung: / -/8 8] LB. S. 8/ -6

30 Gnzrionle Funkionen Anlysis NT -..6 Anwendung gnzrionler Funkionen Aufgen im Lehruch Technik S. 7 Kosen Erlös Gewinn In den Wirschfswissenschfen und uch in der Wirschfspris edien mn sich in zunehmenden Mße mhemischer Mehoden. Dei sind zwei Zielrichungen zu unerscheiden: Einerseis is mn emüh, Enscheidungsmodelle zu enwickeln, die in konkreen wirschflichen Siuionen helfen sollen, opimle Enscheidungen zu reffen. Andererseis versuch mn, Erklärungsmodelle zu enwickeln, die dzu dienen, wirschfliche Prozesse einsichig zu mchen, Zusmmenhänge ufzuzeigen und heoreische Folgerungen zu ziehen. Die folgende Aufge ensmm der Kosenheorie. Dieser Aufge lieg folgende Modellierung zu Grunde: Ds erchee Unernehmen erzeug ein einziges Produk. Bei gleichleiender Produkionsechnik können einige Produkionsmiel veränder werden, um mehr oder weniger zu erzeugen. Die mengenmäßige Größe der Produkion ezeichne mn ls Ausringung und miss sie durch eine nürliche Zhl ezogen uf eine Mengeneinhei ME. Die Ausringung knn jeden Wer eines Inervlls ; nnehmen, woei die Kpziäsgrenze ezeichne. In Ahängigkei von der Ausringung ensehen Kosen k. Es wird unersell, dss die gesme Produkion verkuf werden knn: hierdurch wird ein Erlös e erziel. k und e werden in Geldeinheien GE gemessen. Die Kosen- und Erlösfunkionen werden ls differenzierr vorusgesez. Aus ihnen ergi sie die Gewinnfunkion g = e k. Ds Unernehmen verfolg ds Ziel, den Gewinn zu mimieren. Bei der Aufge wird uf die Mengen- und Geldeinhei nich näher eingegngen. Die in der Aufge verwendeen Funkionen eziehen sich nich uf konkree Produkionsprozesse, sind er dennoch wirschflich sinnvoll gewähl. Produkionsedingungen: Kosenfunkion: k, 9 Erlösfunkion: e 8 Zeichne die Kosen-, Erlös- und Gewinnfunkion GeoGer für ds Inervll ;8. Bei welcher Ausringung is der Gewinn miml. k c Die Funkion d eschrei die durchschnilichen Kosen. Bei welcher Ausringung sind die durchschnilichen Kosen miniml? Vergleiche dieses Ergenis mi dem Ergenis von Aufge und inerpreiere es wirschflich.

31 Gnzrionle Funkionen Anlysis NT -. Verknüpfung von Funkionen

32 Gnzrionle Funkionen Anlysis NT -. Aschnisweise definiere Funkionen Funkionen, ei denen für verschiedene Aschnie des Definiionsereiches unerschiedliche Funkionserme vorhnden sind, nenn mn schnisweise definiere Funkionen. Beispiel:,9 6,8 p 7,7 9, Porofunkion jedem Pkegewich is ein Poro zugeordne für kg kg für kg 8kg für 8kg kg für kg kg y Üung: S.

33 Gnzrionle Funkionen Anlysis NT - Aschlussprüfung SII. Die neensehende Skizze zeig den Querschni durch einen usgehoenen Gren und einen ufgeschüeen Erdwll. Der Grph G g is der Grph der schnisweise definieren Funkion Gren Erdw ll für g: für k mi k IR k >. k. Zeigen Sie rechnerisch, dss der Üergng vom Gren zum Erdwll seig und ohne Knick verläuf. 6 BE. Sellen Sie die Mßzhl der Querschnisfläche Ak des Erdwlls in Ahängigkei von k dr. BE Mögliches Ergenis: A k k k 8 Klsse Seigkei und Differenzierrkei us Mhemik echnische Ausildungsrichung, Winklers-Verlg. Eine Wsserrusche von m Höhe läss sich von der Seie gesehen nnähernd durch zwei Preln eschreien: m h m fürm 8, m für8,m m Außerdem soll der Punk -8,m; 6,m uf den Preln liegen. Berechnen Sie und. Besimmen Sie die Gleichung der Tngene im Punk -8,m; 6,m n die Prel + m. Zeigen Sie, dss diese Tngene uch Tngene n +m² is und erechnen Sie den Neigungswinkel der Tngene. 6. Der Querschni einer Schisprungschnze läss sich durch eine schnisweise definiere Funkion esimmen. für h c für 6 d 7 h für 6 6 Die Punke ; und 6; liegen uf der Schnze, der Asprung vom Schnzenisch in einer Höhe von 7m ensprich dem Punk 6;7. Besimmen Sie lle Koeffizienen so, dss keine Sprünge im Anluf ufreen. Welche Neigung h ds gerde Sück des Anlufs? c Berechnen Sie mihilfe der Seigung der Tngene im Asprungpunk den Asprungwinkel.

34 Linere Gleichungssyseme Anlysis NT - Linere Gleichungssyseme. Addiionsverfhren Beim Umformen eines lineren Gleichungssysems LGS dürfen die folgenden äquivlenen Umformungen verwende werden:. Ds Muliplizieren einer Gleichung mi einer reellen Zhl ußer. Ds Addieren einer Gleichung zu einer nderen. Ds Veruschen von Gleichungen. Der Guß-Algorihmus Ds Addiionsverfhren läss sich uch in nderer Drsellung nwenden. Dzu wird ds Gleichungssysem in der erweieren Koeffizienenmri drgesell. Addiionsverfhren Guß-Algorihmus 7 III II I 7 III II I I III I II V IV I I III I II V IV I IV V VI IV I IV V VI IV I us der erweieren Koeffizienenmri läss sich durch Aufsellen ensprechender Gleichungen und schriweises Einsezen die Lösung esimmen lerniv: Erzeugen der Einheismri: VI/ VII IV I VII IV VII I 7 VII VIII IX IX VIII Üung: 9/;;

35 Linere Gleichungssyseme Anlysis NT -. Ds Deerminnenverfhren.. Gleichungen mi Uneknnen Zur Ermilung der Lösung eines LGS mi Hilfe des Deerminnenverfhrens is es nowendig die Deerminnen von Mrizen zu ermieln. Für die -Mri mi den reellen Zhlen,,, is wie folg vorzugehen: D D is die zweireihige Deerminne der -Mri. d.h. die Zhlen der Digonlen werden muliplizier und voneinnder surhier Beispiel Gleichungssysem mi der Koeffizienenmri 7 7 Deerminne der Koeffizienenmri D 7 7 Zum Lösen eines LGS sind nun uch die Deerminnen D und D der erweieren Koeffizienenmri zu ermieln. d Für die erweiere Koeffizienenmri is wie folg vorzugehen: d d d D D d d D d d d d d.h. für D wird die.sple durch die Ergenissple ersez, für D die.sple Für die Lösung gil: D und D D wenn D D Beispiel Gleichungssysem mi der erw. Koeffizienenmri 7 Deerminne D 7 7 Deerminne D 7 7 Deerminne D Lösung: D und D D D L = {; } Üung: 7

36 Linere Gleichungssyseme Anlysis NT Gleichungen mi Uneknnen Für ds Lösen von LGS mi Gleichungen und Vrilen gil folgendes: Die Deerminne einer -Mri läss sich nch folgender Definiion erechnen: Enwicklung nch der ersen Sple oder nch folgender Regel: Regel von Srrus D = c + c + c c + c + c Beispiel: D = = = Für die erweiere Koeffizienenmri d d d c c c is wie folg vorzugehen: c c c D ; c d c d c d D ; c d c d c d D ; d d d D d.h. für D wird die.sple durch die Ergenissple ersez, für D die.sple, für D die.sple Für die Lösung gil: D D ; D D und D D wenn D Beispiel 7 c c c c c c c c c D c c c D

37 Linere Gleichungssyseme Anlysis NT D D D D D D 8 ; D ; 7 D D Üung: 9/ - Für die Anzhl der Lösungen des LGS gil: D genu eine Lösung D = und D = = D = D unendlich viele Lösungen oder keine D = und D oder D oder D keine Lösung Üung: 8/ 9/

38 Linere Gleichungssyseme Anlysis NT - 8. LGS mi Prmeer Beispiel: Gesuch is die Lösung in Ahängigkei vom Prmeer eines LGS Die Vrile knn die Lösung eeinflussen und erforder ggf. eine Fllunerscheidung. Ds LGS h genu eine Lösung, wenn D D 8 D 8 9 D 8 Für = h ds LGS keine Lösung, denn D = und D D 6 7

39 Linere Gleichungssyseme Anlysis NT - 9 Üung us AP Technik. Gegeen sind die Mri A und der Vekor durch = A und = mi IR.. Unersuchen Sie mi Hilfe des Rnges von Koeffizienenmri und erweierer Koeffizienenmri, für welche Were von IR ds Gleichungssysem A = keine, eine oder unendlich viele Lösungen esiz.. Besimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssysems A = für =. III II I II I I II 7 6 V IV D D 9 6 D D Für = h ds LGS keine Lösung, d D = und D. Für IR \{;} h ds LGS genu eine Lösung: ; 6 und Für = erhäl mn us 6 6 us IV us V 6 7 Für = h ds LGS unendlich viele Lösungen, d D = = D = D = D Üung /-7 6 6

40 Linere Gleichungssyseme Anlysis NT -. Üer- und uneresimme LGS

41 Grenzwere und Seigkei Anlysis NT - Grenzwere und Seigkei. Begriff des Grenzweres Is der Funkionswer y einer Funkion n einer esimmen Selle nich erechenr, so is die Umgeung von y zw. zu erchen. Dei näher mn sich der Selle und erche ds Verhlen der Funkionswere y-were. Den y-wer, den die Funkion dei nsre, nenn mn Grenzwer. Beispiel: f ; D IR\ { } Die Funkion f is n der Selle = - nich definier. Defininionslücke. Mi Hilfe einer Wereelle knn mn die Umgeung von unersuchen. -, -,9 -,99 - -, -, -, - y - -, -,9 -,99 n.d. -, -, -, - In der Umgeung der Selle = - nähern sich die y-were y = - n. Mn sg: Der Grenzwer der Funkion f für gegen is lim f lim sprich: Limes von f von für gegen is gleich Links- und rechsseiiger Grenzwer eigenlicher, uneigenlicher Grenzwer Näher mn sich einer Selle von links < n, so nenn mn den y-wer linksseiigen Grenzwer. Für die Annäherung von rechs > gil nloges. Schreiweise: linkseiiger Gw: lim f lim zw. rechsseiiger Gw: lim f lim Sind linksseiiger und rechsseiiger Grenzwer gleich groß, so eisier üerhup ers der eigenlicher Grenzwer.

42 Grenzwere und Seigkei Anlysis NT -. Grenzwere gnzrionler Funkionen.. Verhlen für Merke: Beispiel: Gnzrionle Funkionen sind in IR definier, so dss lle y-were erechenr sind, so uch die Grenzwere Ausnhme ±. f = mi D = IR\{} lim f lim 8 Rechenregeln für Grenzwere. lim f g lim f lim g Summe und Differenz c c c. lim f g lim f limg Produk. c c c f lim f c lim, wenn g ;lim g c g lim g c c Quoien Beispiel: lim lim lim 9 Üung: lim lim lim 6 h-mehode Mi Hilfe der Grenzwererchung knn mn ds Verhlen einer Funkion in der Umgeung von -Weren eschreien, uch wenn die Selle nich zum Definiionsereich gehör. Die Grenzweresimmung wird vereinfch durch die Argumenenfolge h wird ersez durch h für h h edeue eine Annäherung n die Selle von rechs; h edeue eine Annäherung n die Selle von links Beispiel:

43 Grenzwere und Seigkei Anlysis NT -.. Verhlen für Funkion f= n mi n gerde posiive Zhl n - lim oder - für Funkion f= n mi n ungerde posiive Zhl Beispiele: lim 6 lim n - lim n - lim oder - für f - für f lim lim f c Funkion f= n n> - lim n - f Beispiele: lim lim lim

44 Grenzwere und Seigkei Anlysis NT - d Anwendung uf gnzrionle Funkionen f= n + n- + n Merke: Ds Verhlen einer gnzrionlen Funkion für häng nur von der höchsen -Poenz!! Wrum?: Beispiel: f= durch Ausklmmern der höchsen Poenz, Anwendung der Rechenregeln und Grundlgen folg: Beispiel: lim lim lim lim lim lim lim lim Achung: uf zw. ufpssen lim lim lim Üung:

45 Grenzwere und Seigkei Anlysis NT -. Grenzwere gerochen rionler Funkionen Verhlen für Zählergrd > Nennergrd Merke: Höchse -Poenz des Nenner usklmmern, Rechenregeln und Grundlgen nwenden Beispiel: f lim lim lim lim oder lim lim lim lim Zählergrd = Nennergrd Merke: Höchse -Poenz usklmmern, Rechenregeln und Grundlgen nwenden Beispiel: f lim lim lim oder f lim lim lim c Zählergrd < Nennergrd Merke: Es gil immer: - lim f - Nchweis wie / möglich Üungen: f f

46 Grenzwere und Seigkei Anlysis NT - 6 d Begriffe: seig here Definiionslücke, Unendlichkeisselle und Asympoen Beispiel: f ; D { ; } f IR verikle Asympoe =- horizonle Asympoe y= UnendlichkeisPol-selle ei =- seig here Definiionslücke ei = Der Grph der Funkion f näher sich für der veriklen Asympoe =-Gerde mi der Gleichung =- und der horizonlen Asympoe y= Gerde mi der Gleichung y= Die Funkion h n der Selle =- und = Definiionslücken, d.h. sie is für =- und = nich definier. Die Funkion h n der Selle = eine seig here Definiionslücke und n der Selle =- eine Polselle Grenzwere: lim f lim f lim f lim lim f f drus folg Polselle mi einer veriklen Asympoen mi =- drus folg die horizonle Asympoe mi y= drus folg, dss n der Selle = eine seig here Definiionslücke eisier vgl. Seigkei d.h., dss die Definiionslücke zu eheen is, um die Funkion n dieser selle seig zu mchen

47 Grenzwere und Seigkei Anlysis NT - 7. Seigkei von Funkionen Eine Funkion f heiß seig n der Selle, wenn f n der Selle einen Grenzwer h und dieser gleich f is. Eine Funkion f heiß seig in einem Inervll I, wenn f für lle I seig is. Eine Funkion f is seig n der Selle lim f lim f f Grphen seiger Funkionen Grphen nich seiger Funkionen Unersuchung der Funkion uf Seigkei Beispiele

48 Grenzwere und Seigkei Anlysis NT - 8. Seigkeissäze Nullsellensz Zwischenwersz Eremwersz

49 Inhl lu Lehrpln Anlysis NT - 9 Zhlenmengen IN, Z, Q, IR und ihre Eigenschfen Reelle Funkionen Aildungsvorschrif, Funkionserm, Funkionsgleichung, Definiions- und Weremenge, Funkionsgrph, Schnipunke mi den Koordinenchsen Linere Funkionen Qudrische Funkionen uch mi Prmeer Linere Ungleichungen Qudrische Ungleichungen Poenzfunkionen mi Eponenen n {,, } Verknüpfung von Funkionen: Summe, Differenz, Produk und Quoien Nullsellenesimmung uner Verwendung von Polynomdivision und Susiuion Fkorisierung des Funkionserms und Vielfchhei der Nullsellen Symmerie des Funkionsgrphen Auswirkungen uf den Funkionsgrphen Anwendungseispiele mi gnzrionlen Funkionen Aschnisweise definiere Funkionen ; Addiionsverfhren z.b. Guß-Algorihmus ; Deerminnenverfhren Ermilung der Lösungsmenge ek esimmer, üeresimmer und uneresimmer linerer Gleichungssyseme Lösung linerer Gleichungssyseme mi einem Prmeer Grenzwer einer Funkion für ± zw Grenzwersäze für Summe, Differenz, Produk und Quoien von Funkionen Seigkei einer Funkion n einer Selle Seigkei in einem Inervll Zwischenwersz Nullsellensz Eremwersz

50 ergänzende Üungen Anlysis NT - Z: Qudrische Ergänzung Ziel der qudrischen Ergänzung is es, einen qudrischen Term der Form die Form S y zu üerführen. S Grundlgen: Binomische Formeln II + = + + III = + c in + = + + Beche: vor ² seh eine neurle die Konsne is vor dem seh ds doppele von Folgender Term soll gegeen sein: + + Folgende Vorgehensweise is dei zu echen: Schri : den Term so umformen, dss vor dem eine seh usklmmern, Schri : im Klmmerusdruck, seh vor dem die Zhl diese Zhl ensprich dmi is = Dmi wäre nun folgender Term erreich: dieser Term is er lu I. inomische Formel Beche den noch vorhndenen Unerschied und, Schri : Die vorhndene Differenz is zu korrigieren, d.h. zu ergänzen!!! Es sind nun lso noch, zu ddieren, denn, - =, Dmi lue der neue Term:,,

51 ergänzende Üungen Anlysis NT - Üung: Qudrische Ungleichungen/Prelschren Besimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen: Beispiel Nullsellen esimmen durch Lösen der qudrischen Gleichung: = -; = Lösung nschulich zw. mi Hilfe einer Vorzeichenelle - Lösung sind lle -Were für die die Prel oerhl > der -Achse uf der -Achse = lieg: < - < < < VZ VZ VZ VZ Lösung sind lle -Were für die der Term ein posiives Vorzeichen > h und gleich Null = is: L = [ - ; ] L = [ - ; ] 8 8 c d 6 6 e f 6 Zuszufge: Für welche Were von hen die qudrischen Funkionen keine, eine zw. zwei Nullsellen? Hinweis: Lösung erfolg uner Verwendung der Diskriminne Beispiel Gegeen sind die qudrischen Funkionen : y ;, IR ;, IR D 6 Prel der Diskriminne - keine Nullsellen, wenn D < : 6 L = ] ; [ - eine Nullselle, wenn D = - 6 L = { ; } - zwei Nullsellen, wenn D > 6 L = ] - ; - [ U ] ; + [ = IR \ [ ; ] g Gegeen sind die qudrischen Funkionen : y ;, IR h k

52 ergänzende Üungen Anlysis NT - Lösungsformel für qudrische Gleichungen: / c Linerfkorzerlegung: c mi den Nullsellen und Nullsellen qudrischer Funkionen Lösung qudrischer Gleichungen Die qudrische Gleichung c,,, c, IR h mi zwei verschiedene reelle Lösungen, wenn D : c c, eine doppele reelle Lösung, wenn D :, 6 keine reelle Lösung, wenn D D c Diskriminne