5.6. Aufgaben zu Differentialgleichungen

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1 5.6. Aufgaben zu Differenialgleichungen Aufgabe : Eineilung von Differenialgleichungen nersuche die folgenden Differenialgleichungen auf Ordnung und Lineariä a) y (x) = (y(x)) + y(x) 4 c) 0 = (y (x)) y(x) b) y (x) = y (x) + y(x) d) y (x) = 0,0 y(x) (5 y(x)) Aufgabe : Trennung der Variablen Gib die Lösung der folgenden Differenialgleichungen zu de gegebenen Anfangswer an und überprüfe durch Einsezen: a) y () = x y() i y(0) = f) y () = 0, y() i y(0) = b) y() = x y () i y() = g) y () = 0, y() i y(0) = c) y () = x (y()) i y() = h) y () = 0, [0 y()] i y(0) = d) x = y() y () i y(0) = i) y () = 0,00 y() [0 y()] i y(0) = e) y () y() = + i y(0) = 0 j) y () = ω y() i y(0) = und y (0) = 0 Ansaz: y() = a cos(b) Aufgabe : Radioakive Srahlung Durch den eilweisen Zerfall der srahlenden Subsanz verringer sich die Särke einer radioakiven Srahlungsquelle i der Zei. Die Änderung di der Inensiä I is für sehr kurze Zeispannen d proporional zu I und zu d: di = λ d I. Die Proporionaliäskonsane λ nenn an Zerfallskonsane der srahlenden Subsanz. Die relaive Inensiäsänderung is also Isoop λ/d 7 Cs 0,0 J 0,085 6 Ra, ,6 0 di I () = = λ I(). d Geben Sie die Lösung I() für die nebensehenden Isoope zu gegebene Anfangswer I(0) = 00 an und berechnen Sie ihre Halbwerszeien / (= Zei, nach der I auf die Hälfe abgesunken is). Aufgabe 4: Laber-Beer-Gesez Elekroagneische Srahlen wie z.b. Lich, Röngen- oder γ-srahlung wandeln sich bei Durchgang durch Maerie in andere Energieforen (größeneils Wäre) u und werden dabei abgeschwäch. Die Änderung di der Inensiä I is für sehr kurze Wegspannen dx proporional zu I und zu dx: di = β dx I. Die Proporionaliäskonsane β nenn an Absorpionskoeffizienn des absorbierenden Medius. Die relaive Inensiäsänderung is also di I (x) = = β I(x) dx Bei Arz werden Röngensrahlen je nach Körpereil bzw. Schichdicke i einer Inensiä von kev (Kiloelekronenvol) benuz. Der Absorpionskoeffizien von Blei für Röngensrahlung i 4 kev is β = 4, c. Wie dick uss eine Bleiwese sein, die 99 % dieser Srahlung absorbieren soll? I dx I di λ/n E/k.eV β/c Anwendung 0,,4 85,5 0,05 4,8 64,5 Fernsehröhre 0,0 4,0 4, Röngenappara Aufgabe 5: Baroerische Höhenforel für den Lufdruck F g Der Druck p = in der Höhe h ko durch die auf der Fläche A lasende A Gewichskraf F g = g der darübersehenden Lufsäule i der Masse zusande. g = 9,8 /s is die Schwerebeschleunigung. Da die Lufsäule (heoreisch) unendlich hoch is und ihre Diche ρ(h) i seigender Höhe h abni, läss sich ihre Masse nich direk aus = ρ V berechnen. Schneide an in der Höhe h eine sehr dünne Scheibe der Dicke dh aus dieser Lufsäule aus, so lassen sich ihre Diche ρ(h) und ihr Voluen dv = A dh berechnen und ihre Masse is d = ρ(h) dv = ρ(h) A dh. Der Druck änder sich also in der Höhe h durch den Forfall dieser Scheibe u df G dp = = d g A A = ρ(h) g dh. Die relaive Druckänderung is dai dp p (h) = = ρ(h) g. dh p A p + dp dh

2 Die Diche ρ(h) der Luf is bei T = 00 K nach de allgeeinen Gasgesez aber wiederu proporional zu Druck: kg ρ(h) = c p(h) i c =,5 bar =,5 0 5 s Besien Sie die Forel für den Lufdruck p(h) in der Höhe h uner der Annahe p(0) = bar. Wie groß is der Lufdruck in 000 und in 8000 Höhe? Aufgabe 6: Sokes-Gesez für Reibungswidersand einer Kugel bei lainarer Sröung Eine Kugel aus eine Maerial der Dich ρ i de Radius r ha das Voluen V = 4 πr und die Masse = ρv. Sie wird durch die Gewichskraf F G = g i g = 9,8 /s nach unen gezogen. Infolge ihrer Massenräghei wirk in engegen geseze Richung die Trägheiskraf F T = a() = v (). In einer Flüssigkei i der Viskosiä wirk außerde die Reibungskraf F R = 6π η r v(). Insgesa üssen sich alle drei Kräfe ausgleichen: F G + F T + F R = 0. Sez an die obigen Beziehungen in die Kräfebilanz ein, so erhäl an eine Differenialgleichung, die das beschränke Anwachsen der Sinkgeschwindigkei v() beschreib. Besie die Sinkgeschwindigkei v() einer 0 c dicken Sahlkugel i der Diche ρ = 7,8 g/c, die in Wasser i η = Ns/ versink. Aufgabe 7: Laden und Enladen von Kondensaoren Bei eine Kondensaor is das Verhälnis der aufgenoenen Ladung Q zur Q angelegen Spannung C konsan und wird Kapaziä C = genann. C F R F G F T C = Q/C Bei Laden üssen nich nur die Ladespannung c = Q C des Kondensaors, sondern auch der Innenwidersand R i der Spannungsquelle überwunden werden. Ihre axiale Kleenspannung 0 wird nur erreich, wenn kein Sro fließ. Sobald der Ladesro I() fließ, verringer sich die Kleenspannung u den Berag i () = R i I(). Die Srosärke I() beschreib die Änderung der Ladung pro Zei: I() = Q (). Insgesa üssen sich alle aufreenden Spannungen i Srokreis aufheben: 0 + C () + i () = 0. Sez an alle obigen Beziehungen in die Spannungsbilanz ein, so erhäl an eine Differenialgleichung, die das beschränke Anwachsen der Ladung Q() beschreib. Berechne die Ladung Q() und den Ladesro I() für einen Kondensaor i C = 0, F und eine Spannungsquelle i 0 = 5 V und R i = 5 Ω. Wie lange dauer es, bis eine Ladung von 4,9 C erreich is? Bei Enladen enfäll die Klespannung ( 0 = 0) und die Ladung fließ in ugekehrer Richung wieder zurück. Diesal ergib sich eine exponenielle Abnahe für Q(). Berechne Q() und I() für die obigen Zahlenangaben. Wie lange dauer es, bis nur noch 0, C vorhanden sind? Aufgabe 8: Indukionssro bei Spulen Bei einer Spule is das Verhälnis aus induzierer Spannung ind zur Sroänderung I () konsan und wird Indukiviä L = ind genann. I' Bei Anschalen der Spannungsquelle uss nich nur die Indukionsspannung ind = L I () der Spule, sondern auch der Innenwidersand R i der Spannungsquelle überwunden werden. Ihre axiale Kleenspannung 0 wird nur erreich, wenn kein Sro fließ. Sobald der Sro I() fließ, verringer sich die Kleenspannung u den Berag i () = R i I(). Insgesa üssen sich alle aufreenden Spannungen i Srokreis aufheben: 0 + ind () + i () = 0. Sez an alle obigen Beziehungen in die Spannungsbilanz ein, so erhäl an eine Differenialgleichung, die das beschränke Anwachsen des Sroes I() beschreib. Berechne den Sro I() für eine Spule i L = 5 H und eine Spannungsquelle i 0 = 5 V und R i = 5 Ω. Wie lange dauer es, bis ein Sro von 4,9 A erreich is? Bei Abschalen der Spannungsquelle enfäll die Klespannung ( 0 = 0) und die plözliche Abnahe des Sroes induzier eine Spannung ind (), die einen gedäpfen (=exponeniell abnehenden) Sro I() zur Folge ha. Berechne I() für die obigen Zahlenangaben. Wie lange dauer es, bis nur noch 0, A fließen? 0 0 C = Q/C L = L I L = L I

3 Aufgabe 9: Bakerienkolonie Eine Bakerienkolonie in einer 80 c großen Perischale bedeck zur Zei = 0 Minuen eine Fläche B(0) = c. Die Wachsusrae B () is proporional zur schon bedecken Fläche B() und zu noch zur Verfügung sehenden Plaz in der Perischale. Bei einer bedecken Fläche von 40 c wurde eine Wachsusrae von 0,6 c /in fesgesell. Wieviele Minuen nach Ansezen der Kulur fand diese nersuchung sa? Wieviel c wurden nach 4 h erreich? Aufgabe 0: echanische Schwingung Ein Gewich der Masse häng an einer Feder i der Federkonsane D. Is es u die Srecke s aus seiner Ruhelage enfern, so wirk die Rücksellkraf F D = D s(). Dabei erfähr das Gewich eine Beschleunigung a = s (), die die Trägheiskraf F = a = s () zur Folge ha. Insgesa uss F D + F = 0 gelen. Besie die Periodendauer und die Frequenz der Schwingung, die enseh, wenn an ein Gewich der Masse = 0, kg an einer Feder i D = 0, N/c = 0 N/ u s 0 = c aus seiner Ruhelage enfern und dann losläss. Aufgabe : elekrischer Schwingkreis Ein Kondensaor i der Kapaziä C und eine Spule i der Indukiviä L werden durch supraleiende Kabel ieinander verbunden, so dass R = 0. Der Kondensaor wird durch eine außen angelege Spannungsquelle auf die Ladung Q = C 0 gebrach. Nachde die Spannungsquelle wieder enfern wurde, fließ die Ladung über die Spule wieder zurück und erzeug dabei eine Indukionsspannung ind = L I () = L Q (). Die Spannung a L = L Q Kondensaor is dabei C = C Q. Insgesa uss ind + C = 0 gelen. Besie die Periodendauer und die Frequenz der Schwingung, die enseh, wenn an ein Kondensaor der Kapaziä C = 0 F i einer Spule i L = 5 H i 0 = 0 V aufgeladen und dann abgekle wurde. C = Q/C

4 5.6. Lösungen zu den Aufgaben zu Differenialgleichungen Aufgabe : Eineilung von Differenialgleichungen a) nichlineare DGL. Ordnung c) nichlineare DGL. Ordnung b) lineare DGL. Ordnung d) nichlineare DGL. Ordnung Aufgabe : Trennung der Variablen a) y() = exp( ) f) y() = e 0, b) y() = (Lineares Wachu) g) y() = e 0, (Exponenielles Wachsu) c) y() = h) y() = 0 8 e 0, (Beschränkes Wachsu) d) y() = 0 4 i) y() = 0,0 9 e (Logisische Wachsu) e) y() = 6 j) y() = cos (ω) i Aufgabe : Radioakive Srahlung I() = 00 exp( λ) i in Tagen. Halbwerszei / = ln = 0 Tage für 7 Cs, 8, Tage für J, 58444, Tage = 60 Jahre für 6 Ra und,6 0 Tage = 4,4 Milliarden Jahre für 8 Aufgabe 4: Laber-Beer-Gesez I(x) = 4 exp( 4, x) i I in kev und x in c. I(x) = 0,99 4 0,99 = exp( 4, x) x = ln 0, 99 4, = 0,000 c (!) Aufgabe 5: Baroerische Höhenforel für den Lufdruck p(h) = p(0) exp( c g h) = exp(,8 0 5 x) i p un bar und x in p(000 ) = exp( 0,8) bar 0,89 bar und p(8000 ) = 0,4 bar. Aufgabe 6: Sokes-Gesez für Reibungswidersand einer Kugel bei lainarer Sröung Der Radius der Sahlkugel is r = 5 c Masse = ρv = ρ 4 πr = 4,08 kg. F G + F T + F R = 0 g v () 6 π η r v() = 0 v () = g 6 r v() = 9,8 /s,07 /s v() i v in /s und in s v() = 0,4( exp(,07 )) i v in /s und in s Sinkgeschwindigkei 0,4 /s Aufgabe 7: Laden und Enladen von Kondensaoren (alles in SI) Ladevorgang (beschränkes Wachsu): 0 + C () + i () = 0 0 Q() C R i Q () = 0 Q () = g 6 r ( exp 6 r i 0 R i Ri ) = Q() C = 5 Q() Q() = 5 ( e ) C I() = Q () = 5 e A. 4,9 C = Q() = ln(50),9 s Enladevorgang (exponenielle Abnahe): C () + i () = 0 Q() C R Q() i Q () = 0 Q () = = Q() Q() = R C 5 e C I() = Q () = 5 e A. 0, C = Q() = ln(50),9 s Aufgabe 8: Anschalen und Abschalen von Spulen (alles in SI) Anschalen (beschränkes Wachsu): 0 + ind () + i () = 0 0 L I () R i I() = 0 I () = I() = 5 ( e ). 4,9 A = I() = ln(50),9 s Abschalen (exponenielle Abnahe(: ind () + i () = 0 L I () R i I() = 0 I () = 0, A = I() = ln(50),9 s 0 L Ri I() = 5 I() L R i L I() = 5 I() I() = 5 e 4

5 Aufgabe 9: Bakerienkolonie Logisisches Wachsu: B () = k B() [S B()] i S = 80 und 0,6 = k 40 [80 40] k = 0,000 B() = B(0) S Sk S B(0) e B(0) = 80 0,008 79e i B in c und in Minuen B(4 h) = B(440 in) = 79,9 c und 40 = B() 79 e 0,008 + = = ln 79 0, 008 Aufgabe 0: echanische Schwingung = 546 Minuen = 9, Sunden nach de Ansezen der Kulur. F D + F = 0 s () = D s() s () = D D s() s() = A cos = i Apliude A = s(0) = c, Winkelgeschwindigkei ω = D = 0 s, Frequenz f =,59 s und Periodendauer T = f = 0,6 s. Aufgabe : elekrischer Schwingkreis ind + C = 0 L Q () = Q() Q () = C LC Q() s() = A cos LC = i Apliude A = Q(0) = 0 C = 00 As, Winkelgeschwindigkei ω = LC = 0,4 s, Frequenz f = 0,0 s und Periodendauer T = f = 44,4 s. 5