Facharbeit aus dem Fach Mathematik

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1 Oo-Hahn-Gmnasium Kollegsufenjahrgang 999/ Schulsraße 9565 Markredwiz Facharbei aus dem Fach Mahemaik Thema: Gewöhnliche Differenialgleichungen und ihre Anwendungen Verfasser: Nikolas Tauenhahn

2 Inhal Seie. Einleiung.... Definiion einer Differenialgleichung...4. Allgemeine und parikuläre Lösung...6. Anfangswerproblem...6. Gewöhnliche Differenialgleichung, Ordnung der Differenialgleichung Lineare Differenialgleichungen Eplizie und implizie Differenialgleichungen Homogene und inhomogene Differenialgleichungen Der Eisenzsaz von Cauch Möglichkeien der graphischen Darsellung von Differenialgleichungen...9. Beispiele und Lösungsverfahren für Differenialgleichungen.... Trennung der Variablen.... Lösung einer eplizien gewöhnlichen linearen Differenialgleichung erser Ordnung Lösungsverfahren für eplizie lineare gewöhnliche homogene Differenialgleichungen Lösungsverfahren für eplizie lineare gewöhnliche inhomogene Differenialgleichungen mi Hilfe der Variaion der Konsanen...7. Die Bernoulli sche Differenialgleichung....4 Die Riccai sche Differenialgleichung Anwendungen von Differenialgleichungen Das mahemaische Pendel Die gedämpfe harmonische Schwingung eines Federpendels Die gedämpfe harmonische Schwingung eines elekromagneischen Schwingkreises Enladung eines Kondensaors Der senkreche Fall einer Masse in ein konsan dämpfendes Medium Berechnung der Fluchgeschwindigkei einer Rakee Verbreiung eines Gerüchs Der Schwellenwersaz der Epidemiologie Numerische Verfahren zur Lösung von Differenialgleichungen Das Euler-Cauch- oder Polgonzugverfahren Das Runge-Kua-Verfahren Vergleich der Fehler der beiden Verfahren...59 Anhang...6 Lieraurverzeichnis...65

3 . Einleiung. Einleiung Differenialgleichungen spielen in der höheren Mahemaik und Phsik eine wichige Rolle, werden aber nich vom Lehrplan der gmnasialen Kollegsufe erfass und sind, wenn überhaup, lediglich ein Randhema in den Analsissunden. Das Bemerkenswere an Differenialgleichungen is, dass vor allem Veränderungen von besimmen Größen relaiv einfach als Differenialgleichung formulier werden können, was die Berechnung wesenlich vereinfachen kann. Die vorliegende Arbei will nun zunächs in das Gebie der gewöhnlichen Differenialgleichungen einführen, wichige Grundbegriffe erklären, Lösungsmehoden für Differenialgleichungen aufzeigen, wobei auch mahemaische Sonderfälle wie die Bernoulli sche und Riccai sche Differenialgleichung behandel werden, anschließend auf einige prakische Anwendungen von Differenialgleichungen aus der Phsik, Biologie und der zwischenmenschlichen Kommunikaion eingehen und schließlich zwei Algorihmen zur numerischen Lösung von Differenialgleichungen vorsellen. Dabei werden die einzelnen Themenschwerpunke durch Beispiele und Graphen verdeulich; Lösungsmehoden, Gleichungen und Modelle werden nachvollziehbar hergeleie, so dass die gesame Arbei mi den Mahemaikkennnissen eines Kollegiaen im Leisungskurs Mahemaik nachvollziehbar und versändlich is. Wo aus Gründen der Kompleiä des Themas die Behandlung nich mehr möglich is, wird auf weiere Lieraur verwiesen, so dass man, falls Ineresse besehen solle, auch selbssändig weier in die Maerie vordringen kann.

4 4. Definiion einer Differenialgleichung. Definiion einer Differenialgleichung Die ersen Gleichungen, denen man begegne, sind solche wie + oder 6. Der Term auf der linken Seie is gegeben und der Schüler ha die Aufgabe, die Lösung auf der rechen Seie einzusezen. Späer lern man dann, Gleichungen der Form zu lösen, beispielsweise mi der quadraischen Lösungsformel: aus folg ± 4 / ± 6 / ± mi den Lösungen und. Wir beschäfigen uns zunächs weier mi der Gleichung. Diesem Problem kann man nun eine geomerische Bedeuung geben, indem man die Gleichung durch eine Funkion mi der Zuordnungsvorschrif ausdrück und nach den Nullsellen dieser Funkion such. Die Zahlenpaare ; und ; sellen Abb. 4 Punke auf der -Achse und gleichzeiig auch die Lösungen dieses Problems dar. Wird keinen solchen Beschränkungen unerworfen, so erhäl man unendlich viele Zahlenpaare,, die die Gleichung erfüllen und den Graphen der Funkion, in diesem Fall eine Parabel siehe Abb., bilden. Nun wird die erse Ableiung der Funkion berache:

5 5. Definiion einer Differenialgleichung Wäre nur diese leze Gleichung gegeben, so sünde man jez vor der Frage, wie die ursprüngliche Funkion laue. Geling die Beanworung dieses Problems, so ha man schon eine erse, sehr einfache Differenialgleichung gelös. Da die Differenialgleichung durch das Ableien einer Funkion ensanden is, lieg es nahe, die Lösung mi Hilfe der Inegraion zu suchen. Beide Seien werden nun unbesimm nach inegrier: ' d d 5 Man erhäl: + k + l mi k und l durch eine Konsane c : Aus + l k 6 folg + c mi k, l R und ersez die Differenz der Inegraionskonsanen c R 7. Die Lösung der Differenialgleichung is also eine Parabelschar mi einer willkürlichen Konsanen. Da sich die ursprüngliche Parabel in dieser Schar befinden muss, sez man beispielsweise einen bekannen Punk aus ein: Abb. 4 c c Einsezen von ; + c zeig, dass c den Wer c annimm; man erhäl also wieder die Para- bel. Auch das Einsezen eines beliebigen Punkes c- P,, der ursprünglichen Parabel führ auf -4 c-4 + c für c 4,,,

6 6 + c und dami wieder auf c.. Allgemeine und parikuläre Lösung An Hand dieses einfachen Beispiels lassen sich bereis einige wichige Begriffe erklären: Als Differenialgleichung bezeichne man eine Gleichung, die außer unabhängigen Veränderlichen und einer oder mehreren Funkionen dieser Veränderlichen auch noch Ableiungen dieser Funkionen nach den unabhängigen Veränderlichen enhäl.. Allgemeine und parikuläre Lösung Da die Lösung der Differenialgleichung durch Inegraion erhalen wurde, werden die Lösungen einer Differenialgleichung auch ihre Inegrale genann. Eine Differenialgleichung zu lösen heiß demnach, alle Funkionen zu besimmen, die mi ihren Ableiungen in die Differenialgleichung eingesez für alle der Schnimenge der Definiionsbereiche der Funkionen und ihrer Ableiungen eine wahre Aussage ergeben. Dies sez naürlich voraus, dass als Lösungen lediglich differenzierbare und dami seige Funkionen in Frage kommen. Weierhin werden in dieser Arbei lediglich reelle Funkionen berache. Im Beispiel erhiel man zunächs in 7 eine unendliche Menge von Funkionen, die die Differenialgleichung erfüllen und sich nur durch eine willkürliche Konsane unerschieden. Die Gesamhei dieser Funkionen wird als allgemeine Lösung oder allgemeines Inegral der Differenialgleichung bezeichne, wohingegen eine einzelne Funkion der Schar parikuläre Lösung oder parikuläres Inegral genann wird.. Anfangswerproblem Die parikuläre Lösung wurde im Beispiel durch die Bedingung erhalen, dass die Lösungskurve durch einen besimmen Punk P gehen solle. Vgl. Bronsein, I. N., Semendjajew, K.A., Musiol, G., Mühlig, H.: Taschenbuch der Mahemaik. Frankfur/Main, Thun 999 4, S. 48. Hier is zu beachen, dass auch 4 schon eine Differenialgleichung is, auch wenn nich direk in der Gleichung vorkomm. Vgl. hierzu: Wenzel, H.: Gewöhnliche Differenialgleichungen. Mahemaik für Ingenieure und Naurwissenschafler, hrsg. v. G. Zeidler. Sugar, Leipzig 994 7, S. 9. Vgl. Bronsein, S. 48.

7 7. Gewöhnliche Differenialgleichung, Ordnung der Differenialgleichung Einen solchen vorgegebenen Wer bezeichne man als Anfangswer, wobei an einer Selle so viele Forderungen an die Funkion und ihre Ableiungen gesell werden müssen, wie der Grad der Differenialgleichung is. Eine Differenialgleichung mi vorgegebenen Anfangsweren wird als Anfangswerproblem bezeichne. 4. Gewöhnliche Differenialgleichung, Ordnung der Differenialgleichung Kommen in einer Differenialgleichung nur Ableiungen von lediglich einer unabhängigen Veränderlichen vor, so bezeichne man diese Differenialgleichung als gewöhnliche Differenialgleichung 5 n -er Ordnung, wobei n der Grad der höchsen nich verschwindenden Ableiung is..4 Lineare Differenialgleichungen Treen weierhin die unbekanne Funkion und ihre Ableiungen,, usw. nur in der ersen Poenz auf und nich in gemischen Gliedern wie beispielsweise, so bezeichne man diese Differenialgleichung als gewöhnliche lineare Differenialgleichung n -er Ordnung 6..5 Eplizie und implizie Differenialgleichungen Des Weieren können Differenialgleichungen in eplizie und implizie Differenialgleichungen eingeeil werden, wobei jedoch in der Lieraur verschiedene Definiionen verwende werden. Vgl. Furlan, P.: Das gelbe Rechenbuch : Gewöhnliche Differenialgleichungen, Funkionenheorie, Inegralransformaionen, parielle Differenialgleichung. Rechenverfahren der Höheren Mahemaik in Einzelschrien erklär. Dormund 996, S.. 4 Vgl. Luher, W., Niederdrenk, K., Reuer, F., Yserenan, H.: Gewöhnliche Differenialgleichungen. Analische und numerische Berachung. Braunschweig 987, S Vgl. Furlan, S.. 6 Vgl. Prech, M., Kraf, R., Voi, K.: Mahemaik... für Nichmahemaiker : Funkionen, Folgen und Reihen, Differenial- und Inegralrechnung, Differenialgleichungen, Ordnung und Chaos. München, Wien, Oldenbourg 994 5, S. 7.

8 8.6 Homogene und inhomogene Differenialgleichungen Während einige Auoren definieren, dass eine Differenialgleichung genau dann eplizie Differenialgleichung hieße, wenn sie nur nach der höchsen vorkommenden Ableiung auflösbar sei 7, kann man auch of die Definiion finden, dass eine Differenialgleichung genau dann eplizie Differenialgleichung hieße, wenn sie bereis nach der höchsen Ableiung aufgelös is 8 ; eplizie Differenialgleichungen sellen also nach dieser Definiion lediglich eine Teilmenge der nach der höchsen vorkommenden Ableiung auflösbaren Funkionen dar. Da die Unerscheidung zwischen eplizien und implizien Differenialgleichungen jedoch nur zeigen soll, dass für implizie Differenialgleichungen nich die selben Lösungsverfahren verwende werden können wie für eplizie Differenialgleichungen, wird in dieser Arbei nach der ersen, weier gefassen Definiion verfahren. Differenialgleichungen, die nich nach der höchsen vorkommenden Ableiung auflösbar sind, heißen implizie Differenialgleichungen..6 Homogene und inhomogene Differenialgleichungen Schließlich lassen sich Differenialgleichungen noch nach ihrer Homogeniä unerscheiden: Zunächs geh man von einer einfachen linearen Differenialgleichung. Ordnung aus: a + b c 8 Aus der Eigenschaf. Ordnung folg a und man dividier ohne Einschränkung der Allgemeinhei beide Seien durch a : + k l 9 Die Funkion c aus 8 beziehungsweise l aus 9 wird als Sörglied bezeichne. Is c beziehungsweise is l, so bezeichne man die Differenialgleichung als homogen, andernfalls als inhomogen. 7 Vgl. Brochhagen, H. J.: Differenialgleichungen im Leisungskurs. In: Der Mahemaikunerrich, Jahrgang 4/ März 995, S.. Siehe auch: Bronsein, S. 48 und Wenzel, H.: Gewöhnliche Differenialgleichungen. Mahemaik für Ingenieure und Naurwissenschafler, hrsg. v. G. Zeidler. Sugar, Leipzig 994 7, S.. 8 Vgl. Furlan, S.. Siehe auch: Bachmann, H.: Einführung in die Analsis. Theorie Aufgaben Ergebnisse. Teil : Inegrieren Differenzieren II. Zürich 975, S.4.

9 9.7 Der Eisenzsaz von Cauch.7 Der Eisenzsaz von Cauch Nach dieser Klassifizierung der Differenialgleichungen is noch feszusellen, dass es nich immer möglich is, eine allgemeine Lösung durch eine Formel auszudrücken. Nach dem Eisenzsaz von Cauch eisier jedoch für die Differenialgleichung f, eine Differenialgleichung. Ordnung wenigsens eine Lösung, die den Anfangswer erfüll und in einem Inervall um definier und seig is, wenn die Funkion f, in einer Umgebung G des Punkes,, die durch das Recheck < a ] [ < ] fesgeleg is, seig [ b is. 9 Dieser Eisenzsaz gil auch für eplizie Differenialgleichungen n -er Ordnung, da diese immer auf ein Ssem von n Differenialgleichungen. Ordnung zurückgeführ werden können, welches ein eindeuig besimmes Lösungsssem besiz..8 Möglichkeien der graphischen Darsellung von Differenialgleichungen Die Tasache, dass eine allgemeine Lösung einer Differenialgleichung jedoch immer von mindesens einer willkürlichen Konsanen abhängig is, führ zu Problemen bei der graphischen Darsellung der Lösung von Differenialgleichungen. In der Lieraur sind drei Grundmodelle der graphischen Darsellung üblich, die hier anhand der Differenialgleichung vorgesell werden sollen : + 9 Vgl. Bronsein, S. 48. Vgl. Bronsein, S. 49. Wie in der Lieraur üblich, wird von nun ab aus Gründen der Übersichlichkei in den Rechnungen sa, nur noch, geschrieben.

10 .8 Möglichkeien der graphischen Darsellung von Differenialgleichungen Die erse, mi am häufigsen verwendee Mehode is das Einzeichnen von kleinen Tangenensücken, die das sogenanne Richungsfeld der Lösungen bilden siehe Abb.. Abb Eine weiere Möglichkei beseh darin, die Tangenensücke durch kleine Vekorpfeile Abb zu ersezen siehe Abb. 4; diese Ar der graphischen Darsellung wird vor allem in Büchern zu dem Compueralgebrassem Mahemaica von Wolfram Research verwende, da hier eine bereis vordefiniere Funkion PloVecorField nur leich veränder werden muss Die Befehle, die zur Erzeugung des Graphen verwende wurden, sind im Anhang auf S. 6 aufgeführ.

11 .8 Möglichkeien der graphischen Darsellung von Differenialgleichungen Abb. 5 4 Die drie Mehode is das eake Ausrechnen der allgemeinen Lösung und das anschließende Zeichnen der Funkionenschar für einige ausgewähle Were der Konsanen Siehe Abb. 5; auch hier wurde der Graph mi Hilfe von Mahemaica erzeug Der Graph der allgemeinen Lösung c 4 9c c 49c für c 5; 4;...;4; 5 dabei ensprich die obere hellgrüne Kurve einem Parameerwer von c 5, das leich dunklere Grün der Kurve daruner einem Parameerwer von c 4 usw. Auf diese Weise is es möglich, den Kurven die ensprechenden Parameer zuzuordnen, da die Abfolge immer gleich is: der kleinse Wer des Parameers gehör immer zu der hellgrünen Kurve usw. Im Folgenden werden die Lösungen, je nachdem, was für das spezielle Problem geeigne is, enweder durch Graphen nach Abbildung oder durch solche nach Abbildung 5 dargesell. Auch dieses Beispiel is mi allen Lisings im Anhang auf S. 6 f aufgeführ.

12 . Beispiele und Lösungsverfahren für Differenialgleichungen. Beispiele und Lösungsverfahren für Differenialgleichungen Eine erse prakische Anwendung von Differenialgleichungen zeig beispielsweise folgendes Bevölkerungswachsumsmodell 4 : Die Änderung einer Bevölkerungszahl N im Zeiinervall is gegeben durch die Formel N N + N : und die Wachsumsrae R durch N R : N Der Anfangswer sei N : N und R lasse sich als die Differenz der konsanen Gebursrae b und der konsanen Todesrae d schreiben: R b d : R Aus und folg dann N b d N 4 was dann eingesez in b d N N + N 5 beziehungsweise N + N + b d 6 ergib. Bei größeren Bevölkerungszahlen wird nun davon ausgegangen, dass man zur Vereinfachung N durch eine seig differenzierbare Funkion ersezen darf und 6 wird nach Grenzübergang zu + lim R ;. Gesuch is also eine Funkion, die abgeleie bis auf einen Fakor unveränder bleib, was auf e -Funkionen zuriff. Bedenk man dann noch das Anfangswerproblem, komm man schnell auf die Lösung R e 7. 4 Vgl. Luher, S..

13 . Trennung der Variablen Um grundsäzlich in der Lage zu sein, einfache Differenialgleichungen zu lösen, müssen jedoch noch einige elemenare Inegraionsmehoden bekann sein. Das einfachse Verfahren is naürlich, falls es anwendbar sein solle, das bloße Inegrieren wie in Gleichung 5.. Trennung der Variablen Eine weiere relaiv einfache Inegraionsmehode is die sogenanne Trennung der Variablen 5. Dieses Verfahren beschränk sich auf gewöhnliche eplizie Differenialgleichungen erser Ordnung mi rennbaren Veränderlichen für die Funkion, also Differenialgleichungen der Form g h 8. g is also ausschließlich von, h ausschließlich von abhängig. Die Herleiung des Lösungsverfahrens beginn zunächs mi folgendem Saz: Is eine Nullselle der gegebenen Funkion h..., d.h. gil h, so is die konsane Funkion D, g auch geschrieben D, g... eine Lösung der Differenialgleichung [8]. 6 Um diesen Saz zu beweisen, sez man in die Differenialgleichung 8 ein. Auf der linken Seie seh dann in Leibniz-Schreibweise d d d d während die reche Seie wegen h g h ergib; die Differenialgleichung 8 is dami erfüll, was zu beweisen war. 7 5 Vgl. Brochhagen, S Wenzel, H.: Gewöhnliche Differenialgleichungen. Mahemaik für Ingenieure, Naurwissenschafler, Ökonomen und sonsige anwendungsorieniere Berufe, Bd. 7/, hrsg. v. G. Zeidler. Thun, Frankfur/Main 98, S.. 7 Vgl. ebd.

14 4 Nach der Behandlung dieses Spezialfalles wird für die weiere Herleiung h 9 vorausgesez.. Trennung der Variablen sei eine Lösung von 8; dann wird 8 von erfüll und es gil g h mi D. Wegen 9 kann man auch ' g h schreiben. Anschließend werden die linke und die reche Seie inegrier: linke Seie: d + C h reche Seie: g d + C Aus, und ergib sich h d + C g d + d h C g d + C C und mi der Vereinfachung C : C C erhäl man h d g d + C und erkenn, dass sich und nur durch eine addiive Konsane voneinander unerscheiden. Auf der linken Seie wird dann durch die Subsiuion eine neue Inegraionsvariable eingeführ 8 und die Ableiung von in der Leibniz-Schreibweise angegeben: d d h d g d + C d C h g d + Nach der Durchführung der Inegraion wobei auf die Inegraionskonsanen verziche wird, da sie bereis in C enhalen sind muss nur noch nach aufgelös werden. 8 Vgl. ebd., S. 4.

15 5. Trennung der Variablen Mi dieser Mehode läss sich beispielsweise die Differenialgleichung + leich lösen: Wie man sieh, is in diesem Beispiel g und h +. Zunächs wird die Funkion h auf Nullsellen unersuch, da ihre Nullsellen bereis Lösungen der Differenialgleichung darsellen. Man finde die Nullselle und dami die erse Lösungsfunkion: die konsane Funkion. Anschließend wird nach dem Lösungsmuser vorgegangen: d d + d + d + c f Nach d ln f + c folg: f ln + + c; c R + e + c + e e c man subsiuier C : ±e c : + C e ; C und schreib für die allgemeine Lösung mi Ce ; C R Abbildung 6 zeig einige Lösungskurven im Richungsfeld der Differenialgleichung.

16 6. Lösung einer eplizien gewöhnlichen linearen Differenialgleichung erser Ordnung Abb Lösung einer eplizien gewöhnlichen linearen Differenialgleichung erser Ordnung Des Weieren gib es einen voreilhafen Lösungsweg für eplizie gewöhnliche lineare Differenialgleichungen erser Ordnung, wobei der Lösungsweg von der Homogeniä der Differenialgleichungen abhängig is:.. Lösungsverfahren für eplizie lineare gewöhnliche homogene Differenialgleichungen Dazu werden zunächs nur die eplizien gewöhnlichen linearen homogenen Differenialgleichungen berache, die die Form a + a oder a ; a ; D 4 a haben, wobei D der gemeinsame Definiionsbereich der beiden Koeffizienenfunkionen a und a is 9. 4 is nun eine Differenialgleichung mi rennbaren Variablen mi 9 Vgl. ebd., S. 9.

17 7.. Lösungsverfahren für eplizie lineare gewöhnliche inhomogene Differenialgleichungen mi Hilfe der Variaion der Konsanen a g und h. a Die Anwendung des Sazes von Seie zeig, dass 5 eine Lösung von 4 is. Für is das Verfahren der Trennung der Variablen anwendbar: d d d a a a d a Unbesimme Inegraion ergib d a d + C; C R a und es folg ln a d a + C e C e a d a C Nach der Subsiuion C : ±e ergib sich a d a Ce ; C 6 und die Lösungen 5 und 6 können nun in Ce a d a zusammengefass werden. ; C R 7.. Lösungsverfahren für eplizie lineare gewöhnliche inhomogene Differenialgleichungen mi Hilfe der Variaion der Konsanen Für die eplizien gewöhnlichen linearen inhomogenen Differenialgleichungen läss sich nachweisen, dass ihre allgemeine Lösung gleich einer parikulären Lösung der inhomogenen Differenialgleichung plus der allgemeinen Lösung der zugehörigen homo-

18 8.. Lösungsverfahren für eplizie lineare gewöhnliche inhomogene Differenialgleichungen mi Hilfe der Variaion der Konsanen genen Differenialgleichung is, wobei aber nich jede eplizie gewöhnliche lineare inhomogene Differenialgleichung erser Ordnung in eine Differenialgleichung mi rennbaren Variablen überführbar is. Die allgemeine Lösung einer eplizien gewöhnlichen linearen inhomogenen Differenialgleichung laue also immer, p + h was sich relaiv einfach beweisen läss : und seien Lösungen einer eplizien gewöhnlichen linearen inhomogenen Differenialgleichung a + a g 8 mi a und Also erhäl man beide Male, wenn man diese Lösungen in 8 einsez, g. Nun berache man ~. Sez man ~ in 8 ein, erhäl man a ~ + a ~ ~ is also eine Lösung der zugehörigen homogenen Differenialgleichung. ~ : h Sez man dann p :, so is jede Lösung durch beweisen war. p + gegeben, was zu Um die benöige parikuläre Lösung zu erhalen, wird häufig das Verfahren der Variaion der Konsanen verwende. Man geh von einer eplizien gewöhnlichen linearen inhomogenen Differenialgleichung erser Ordnung 8 aus und führ eine neue Variable ein, die mi der Lösung h der zugehörigen homogenen Differenialgleichung g h Vgl. Hees, H. van: Lineare Differenialgleichungen, S. f. Vgl. Wenzel, H.: Gewöhnliche Differenialgleichungen. Mahemaik für Ingenieure, Naurwissenschafler, Ökonomen und sonsige anwendungsorieniere Berufe, Bd. 7/, hrsg. v. G. Zeidler. Thun, Frankfur/Main 98, S..

19 9 a.. Lösungsverfahren für eplizie lineare gewöhnliche inhomogene Differenialgleichungen mi Hilfe + a bis auf die Konsane C idenisch is a a d e Anschließend sell man eine parikuläre Lösung 7 durch die noch zu besimmende Funkion v ersez: v 9 P In die linke Seie von 8 eingesez erhäl man a v + a v der Variaion der Konsanen P auf, indem man die Konsane aus Wegen der Produkregel kann die Klammer auch als Summe geschrieben werden: a v + v + a v a v + a v + v a + a a v + a v Der Term in der Klammer sell nun die linke Seie der zugehörigen homogenen Differenialgleichung dar; da eine Lösung dieser Differenialgleichung darsell, wird die Klammer selbs und für die linke Seie bleib lediglich a v Also erhäl man in 8 eingesez a v g für v die Differenialgleichung g v a und finde v schließlich durch unbesimme Inegraion g v d. a Dabei kann auf die Inegraionskonsane verziche werden, da ja nur irgendeine parikuläre Lösung der Differenialgleichung in 9 gesuch wurde. Man erhäl also die allgemeine Lösung durch v + h

20 .. Lösungsverfahren für eplizie lineare gewöhnliche inhomogene Differenialgleichungen mi Hilfe der Variaion der Konsanen + d a a d a a d a a Ce e d e a g oder zusammengefass: C d a g e d a a + Auch hier wird wieder ein Beispiel zur Anwendung dieses Lösungsweges gerechne: Gesuch wird die allgemeine Lösung der Differenialgleichung +. + Zunächs wird die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differenialgleichung + gesuch. Sie beräg nach 7 d a a h Ce wobei a und a is: d h Ce Ce Die parielle Lösung wird angesez p e v und in eingesez: ve e v e v + e e v v e + Die Klammer verschwinde, was bei der Variaion der Konsanen nach dem Ausklammern von v immer der Fall is. e v e d e v laue jez also Vgl. ebd., S..

21 .. Lösungsverfahren für eplizie lineare gewöhnliche inhomogene Differenialgleichungen mi Hilfe der Variaion der Konsanen e p e und die allgemeine Lösung is + Ce siehe Abbildung 7 für C von 5 bis +5 mi einer Schriweie von Abb

22 . Die Bernoulli sche Differenialgleichung. Die Bernoulli sche Differenialgleichung Eine ganz neue Gaung von Differenialgleichungen erhäl man, indem man nun an das Bevölkerungswachsumsmodell von Seie denk und Fakoren wie Plazmangel, Nahrungsmielknapphei und Ähnliches bedenk, die das eponenielle Wachsum nach 7 unrealisisch erscheinen lassen, da mi der Bevölkerung N wegen der genannen Fakoren auch die Todesrae d seigen wird. Daraus folg der Versuch, das Modell realisischer zu machen, indem man die Todesrae d direk proporional zu N beziehungsweise zu sez : d k und 7 wird mi zu b k ; 4 oder ausmuliplizier zu : 5 b k ; Die alernaive Schreibweise b + k 6 zeig, dass es sich hierbei um eine separable Differenialgleichung oder eine Bernoulli sche Differenialgleichung mi konsanen Koeffizienen der allgemeinen Form n + P + Q ; n R handel. Diese läss sich nun durch \ {,} 7 4 n dividieren und man erhäl n n + P + Q 8 Mi der Subsiuion u n n beziehungsweise u n geh die Bernoulli- Differenialgleichung in die lineare Differenialgleichung u + n P u + n Q 9 über. Ha diese Differenialgleichung die Lösung u, so erhäl man durch n u. Vgl. Luher, S Bronsein, S. 485.

23 . Die Bernoulli sche Differenialgleichung Zunächs erhäl man mi dieser Mehode allerdings nur posiive Lösungen. Is n >, dann is immer auch eine Lösung. 5 Für ganzzahlige n eisieren auch negaive Lösungen, da, wenn n gerade is, n ungerade is und dami n u auch für u < definier is; aus einer negaiven n Lösung u erhäl man also die negaive Lösung u. Die allgemeine Lösung abgesehen von der Lösung laue dann, abhängig von einer Lösung u beliebigen Vorzeichens, wobei sgn die Signumfunkion is, die für ein posiives Argumen den Wer +, für das Argumen den Wer und für ein negaives Argumen den Wer annimm: u n sgn u 4. 6 Diese Lösung is dann im negaiven -Bereich lediglich die reelle Lösung der Differenialgleichung. Neben dieser Lösung eisieren im negaiven -Bereich weiere, komplee Lösungen, die, beispielsweise im Fall der drien Wurzel, der negaiven reellen πi Lösung muliplizier mi e 4πi beziehungsweise muliplizier mi e ensprechen. Is n dagegen ungerade, dann is mi auch immer eine Lösung der Differenialgleichung. 7 Bei einem gegebenen Anfangswer ha man dann grundsäzlich zwei Möglichkeien zur Auswahl: Enweder wird der Anfangswer mi in die Subsiuion über- n nommen u oder man rechne zunächs die allgemeine Lösung aus und be- simm danach die Konsanen so, dass der Anfangswer erfüll wird. Für die Anfangsbedingung is bei n > die Lösung immer durch gegeben. 8 Im Fall des Bevölkerungswachsumsmodells erhäl man also aus 5 Vgl. Furlan, S Waler, W.: Gewöhnliche Differenialgleichungen. Eine Einführung. Berlin, Heidelberg, u.a. 99 4, S Furlan, S Ebd.

24 4. Die Bernoulli sche Differenialgleichung b + k. nach Division durch und Subsiuion u + bu k 4 mi der Lösung k u + Ce b ; C R. 4 b Die Resubsiuion ergib schließlich die Lösung u also ; C R. k b + Ce b Für die spezielle Anfangsbedingung N laue die Lösung dann k b kn + b bn e b oder weniger umsändlich geschrieben: b be N b + kn + e b Für den Anfangswer zeig sich dann folgender Verlauf Serblichkei k, ; die Geburenrae variier von b. bis b mi einer Schriweie von. : Abb. 8 N

25 5. Die Bernoulli sche Differenialgleichung Im Falle einer konsanen Geburenrae b, und verschiedenen Weren für die Serblichkei k, die von, auf anwächs mi dem selben Anfangswer wie bei Abbildung 8, erhäl man dagegen diese Graphen: Abb. 9 N Einen ähnlichen Verlauf erhäl man auch mi dem sogenannen logisischen Wachsum. Dabei soll die Populaion einen Maimalwer L nich überschreien, sondern auf diesem Sand sagnieren. 9 Es lieg also nahe, eine Gleichung der folgenden Form aufzusellen b d b d L b d b d + 4 L Division durch b d ergib b d + L 9 Vgl. Heuser, H.: Gewöhnliche Differenialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. Mahemaische Leifäden. Sugar 99, S..

26 6. Die Bernoulli sche Differenialgleichung Subsiuion u : + L d b u d b u L d b u d b u + Die zugehörige homogene Differenialgleichung ha die Lösung R C Ce u d b h ; Für die allgemeine Lösung nach benöig man nun noch L e d e L d b d e L d b v d b d b d b und kann dann die allgemeine Lösung zusammensezen: R + + C Ce L Ce e L e u d b d b d b d b ; Durch die Resubsiuion erhäl man nach 4 R + + C Ce L Ce L d b d b ; sgn. Jez soll die Anfangsbedingung berücksichig werden: C L + L L L C und man erhäl ; sgn > + + e L L L e L L L d b d b Wegen > d b e, > L L, > und > L is d b e L L L + immer posiiv. Daher dürfen die Beragssriche weggelassen werden und die Signumfunkion nimm den Wer an: d b e L L L +

27 7. Die Bernoulli sche Differenialgleichung wird zu e e b bd d L + L und man erhäl für b,4; d,; L und 4 folgenden Graphen siehe Abbildung Abb Das Verfahren zur Lösung von Bernoulli schen Differenialgleichungen und die Probleme, die dabei aufreen können, seien am Beispiel der Differenialgleichung + 4 noch einmal verdeulich: wird zunächs auf beiden Seien durch 4 dividier: die Subsiuion Ordnung 4 u und u ergib die lineare Differenialgleichung erser u u + 46

28 8 oder ausmuliplizier: u u lös man diese Gleichung nach u auf u u 6 +. Die Bernoulli sche Differenialgleichung so erkenn man, dass die Ableiung von u immer noch diese Funkion u beinhale; es lieg also nahe, eine e -Funkion als Lösung zu vermuen: u Ce + mi C R. 48 mi der Ableiung u Ce + 49 Einsezen in 47 ergib: Ce + Ce was zeig, dass 48 die Gleichung erfüll. Der Nachweis, dass dies auch die einzige Lösung is, geschieh am einfachsen durch die Annahme einer weieren Lösung v. Anschließend berache man die Funkion w : v u. Dann subrahier man die linke und reche Seie der Differenialgleichung der Lösung v von der linken und rechen Seie der Differenialgleichung der Lösung u : u u v v + 6 u v u v 5 oder einfacher geschrieben: w w 5 Die Division von 5 durch w ergib w w 5. Durch Inegrieren und Ableien von 5 erhäl man [ln w + C] ; C R 5 In der eckigen Klammer seh also eine Funkion, deren Ableiung an jeder Selle is. Diese Funkion muss nun eine konsane Funkion sein und es gil mi einer Konsanen K R : ln w K + 54, Vgl. Bronsein, S. 74.

29 9 was man zu w e K e 55 umformen kann.. Die Bernoulli sche Differenialgleichung Mi einer neuen Konsanen k ±e K : erhäl man schließlich w v u k e ; k 56; umgesell nach v ergib sich dann v u + k e C + k e Also sieh jede weiere Lösung v bis auf einen konsanen Fakor vor der Eponenialfunkion genau so aus, wie die Lösung u. Da diese bereis eine willkürliche Konsane C vorsieh, eisier lediglich die Lösung u. Zur endgüligen Lösung der Differenialgleichung 44 muss nur noch die Resubsiuion u n ausgeführ werden u u Ce + und der Fall für gerade n beache werden: sgn Ce + ; C R Ce + zusäzlich is wegen n > auch eine Lösung von 44. Abbildung zeig den Graphen für verschiedene Were von C von bis mi einer Schriweie von : Abb

30 .4 Die Riccai sche Differenialgleichung.4 Die Riccai sche Differenialgleichung Füg man an 6 einen Term h an, der beispielsweise eine Wanderungsbewegung beschreib für h > sell h eine Zuwanderung von Tieren pro Zeieinhei dar, für h < eine Abwanderungsbewegung, so erhäl man eine Riccai sche Differenialgleichung der allgemeinen Form ' + P + Q R ; Q 58. Für den Fall R geh die Riccai sche Differenialgleichung in eine Bernoulli sche Differenialgleichung über. Andernfalls läss sich das allgemeine Inegral nur dann besimmen, wenn bereis ein parikuläres Inegral Man sez p zum Beispiel durch Ausprobieren bekann is. + p v 59 in die Differenialgleichung 58 ein und es folg + v + P + v + Q + v + v R 6. p p p p Da p als parikuläres Inegral die Differenialgleichung 58 erfüll + P + Q R 6 p p p lassen sich 6 und 6 gleichsezen: p + v + P p + v + Q p + pv + v p + P p + Q p + v + P + Pv + Q + + p + Pv + Q v + Qv p v p p Q pv + Qv p + P p Q p v + P + Q v + Qv p 6 Das allgemeine Inegral läss sich dann nach Lösung der Bernoulli schen Differenialgleichung 6 besimmen. Als Beispiel soll hier die Differenialgleichung + 6 gelös werden. Durch Raen erhäl man das parikuläre Inegral p, Weise, K.H.: Gewöhnliche Differenialgleichungen. Bücher der Mahemaik und Naurwissenschafen, hrsg. v. H. Polz. Wolfenbüel, Hannover 948, S..

31 verwende den Ansaz aus 59 und sez dann Man erhäl.4 Die Riccai sche Differenialgleichung + v in 6 ein. v v v 64 Diese Bernoulli sche Differenialgleichung wird dann durch die Subsiuion z v und v auf die lineare Differenialgleichung z z z z z z, also z + z 65 h h gebrach und die zugehörige homogene Gleichung z + z ha nach Trennung der C Variablen die Lösung z h ; C R. Nach Variaion der Konsanen finde man dann die Lösung der inhomogenen Differenialgleichung 65 C z + ; C R und erhäl v oder einfacher geschrieben v C C + und die Lösung der Riccai schen Differenialgleichung is dann nach 59 + C + ; C R C C Abbildung zeig einige Lösungskurven für C von -,5 bis +,5 mi einer Schriweie von,5.

32 .4 Die Riccai sche Differenialgleichung Abb Der Graph für C lieg außerhalb des dargesellen Bereichs. Die beiden senkrechen lila Geraden sind senkreche Asmpoen für die Kurve gleicher Farbe

33 4. Anwendungen von Differenialgleichungen 4. Anwendungen von Differenialgleichungen Nach diesen mahemaischen Sonderfällen und Lösungsmehoden, die für das Versehen und Lösen von Differenialgleichungen unenbehrlich sind, kann nun auf die prakischen Anwendungen von Differenialgleichungen eingegangen werden. 4. Das mahemaische Pendel Das erse Beispiel - das mahemaische Pendel - komm aus der Phsik. Abb. Dabei wird die Masse m des Pendels idealisiererweise nur als Massenpunk M berache, der an einer masselosen Sange mi der Länge l reibungslos aufgehäng is und auch nich vom Lufwidersand beeinfluss wird. Die einzige bewegende Kraf, die auf M wirk, is die Schwerkraf oder genauer gesag ihre angeniale Komponene mg sinϕ wobei ϕ der im Bogenmaß gemessene Winkel zwischen der Pendelsange und der Verikalen is und g die Erdbeschleunigung m mi g 9,8. s Die Bogenlänge s, die von R aus gemessen wird, is gleich l ϕ und man kann ansezen F a F wobei F a die Kraf nach dem. Newon schen Gesez Komponene der Schwerkraf darsell. Man sez also ma mg sinϕ F ma und F die angeniale und da die Beschleunigung die zweie Ableiung des Ores nach der Zei is m s mg sinϕ Aus: Bräuning, G.: Gewöhnliche Differenialgleichungen. Reihe Mahemaik für Ingenieure: Ergänzungsbände, hrsg. v. K. Bögel, H. Birnbaum, u.a. Frankfur/Main, Zürich 97, S. 8.

34 4 4. Das mahemaische Pendel d lϕ m mg sinϕ d wobei l keine Funkion von sondern eine Konsane is d ϕ ml mg sinϕ d kürz schließlich m und erhäl die Differenialgleichung g ϕ + sin ϕ. 66 l Für kleine Winkel darf nun sin ϕ durch ϕ angenäher werden: g ϕ + ϕ 67 l oder mi ω : g l ausgedrück ϕ + ω ϕ 68 Eine Differenialgleichung der Form + kann häufig durch eine rigonomerische Funkion gelös werden, da sin sin und cos cos gil. Wegen ω ϕ muss beim zweifachen Ableien der Fakor ω durch Nachdifferenzieren ensehen, man sez also als allgemeine Lösung an ϕ C cos ω + C sin ω 69. Durch geeignee Anfangsbedingungen kann diese Lösung dann noch an das jeweilige Problem angepass werden, zum Beispiel für ϕ ϕ und ϕ wird die Lösung zu ϕ ϕ cos ω ; das Pendel üb also eine Kosinusschwingung aus mi der Anfangsampliude ϕ und der Schwingungsdauer T π π ω l g aus, die von ϕ und m unabhängig is. Nach Bräuning, S. 9 is diese Näherung für Winkel bis sinnvoll Für ergib sich ein Fehler von absolu,6 oder 4,7%.

35 5 4. Die gedämpfe harmonische Schwingung eines Federpendels 4. Die gedämpfe harmonische Schwingung eines Federpendels Ein ähnlicher Fall is das Federpendel, wobei nun aber die Dämpfung zum Beispiel durch Lufreibung, mangelnde Elasiziä der Feder berücksichig wird, die Masse jedoch weierhin nur als Massenpunk berache wird und von außen keine Kraf auf das Ssem wirk. Zunächs muss ers wieder die Differenialgleichung aufgesell werden: Nach dem Hooke schen Gesez wirk auf den Körper eine rückreibende Kraf, die proporional zur Auslenkung is: D is hier die Federhäre F rück D ; D > Weierhin wird die Reibungskraf als proporional zur Geschwindigkei angenommen, also F reib r ; r > und schließlich das zweie Newon sche Gesez mi einbezogen F ma m und man kann die Formel m + r + D 7 4 ansezen. Für die Lösung is es nowendig, eine Konsane u und eine Funkion z so zu besimmen, dass u e z 7 eine Lösung wird. 5 Zum bequemeren Rechnen wird 7 umgeform: r D + + m m + a + b 7 mi r a und m D b m Einsezen von 7 in 7 ergib e u e u bz + auz + u z + az + uz + z { z + a + u z + [ b + ua + u] z} u Da immer e gil, muss nur die geschweife Klammer berache werden: 4 Vgl. Couran, R.: Vorlesungen über Differenial- und Inegralrechnung, Bd.. Funkionen einer Veränderlichen. Berlin, Heidelberg, New York 97 4, S Vgl. ebd., S. 49.

36 6 z + a + u z + [ b + ua + u] z Da u eine willkürliche Konsane is, kann nun u a gesez werden, so dass z verschwinde 6 : z + b a z Die gedämpfe harmonische Schwingung eines Federpendels Bei der Lösung dieser Gleichung sind nun drei Fälle möglich, die jeweils eine besimme phsikalische Gegebenhei beschreiben. Für die Konsanen C und C gele C,C R. D r. Fall: b a > beziehungsweise > m 4 m Dann wird zur Abkürzung ω b a gesez und die Gleichung laue z ω z Die Lösung dieser Gleichung, z C sin ω + C cos ω führ auf die allgemeine Lösung von Fall nach 7: u e C sin ω + C r m cos ω D r D r e C sin + C cos 74 m 4m m 4m D r. Fall: b a beziehungsweise m 4m Dann wird aus 7 z und die Lösung dieser Differenialgleichung laue C + C z für die allgemeine Lösung ergib sich nach 7 u e C + C r m e C + C 75 D r. Fall: b a < beziehungsweise < m m 4 6 Vgl. Hees, S. 4 f.

37 7 4. Die gedämpfe harmonische Schwingung eines Federpendels Dann sez man zur Abkürzung ω a b und 7 wird zu z ω z mi der Lösung z C e C e ω ω + und man erhäl als allgemeine Lösung nach 7 u e Ce + Ce r m ω ω r r D 4m m 4m m e C e + C e 76 D Für die nun folgenden Graphen gelen für die eingesezen Were folgende Einheien: [ m] kg ; s gemessen. kg [ r] ; s Abb. 4: Graph für Fall N [ D]. Dabei wird die Auslenkung in m und die Zei in m verwendee Were: m,; r,4; D 5; C,45; C Abbildung 4 zeig den Graphen für Fall. In diesem sogenannen Schwingfall 7, der bei geringer Dämpfung einri, führ das Federpendel gedämpfe Schwingungen aus. 7 Kliem, U., Klink, P., Pfezer, W.: Leisungskurs Analsis, Bd., hrsg. v. O. Hahn, J. Dzewas. Braunschweig 98, S. 74.

38 8 4. Die gedämpfe harmonische Schwingung eines Federpendels Abb. 5: Graph für Fall verwendee Were: m,; r,; D,; C C Bei diesem aperiodischen Grenzfall 8 kehr das Federpendel ohne eine Schwingung auszuführen sofor nach dem Loslassen in die Ruhelage zurück 9. Abb. 6: Graph für Fall verwendee Were: m,; r,5; D,5; C,5; C 8 Ebd., S Dieser Fall wird beispielsweise für den Rückschwung der Zeiger von Messinsrumenen angesreb.

39 9 4. Die gedämpfe harmonische Schwingung eines elekromagneischen Schwingkreises Dieser Fall, der graphisch zunächs an Fall erinner, ri bei einer sehr großen Dämpfung auf. Er wird auch als Kriechfall 4 bezeichne, da der Körper nach dem Loslassen langsam in seine Ausgangssellung zurückkriech. 4. Die gedämpfe harmonische Schwingung eines elekromagneischen Schwingkreises Die Differenialgleichung 7 finde jedoch nich nur bei diesem mechanischen Problem ihre Anwendung. Auch die elekrischen Schwingungen eines elekromagneischen Schwingkreises, der aus einem Kondensaor der Kapaziä C, einer Spule der Indukiviä L und einem Widersand R der Ohm sche Widersand der Kabel und Drähe wird an dieser Selle mi in die Rechnung einbezogen beseh, lassen sich durch die Differenialgleichung LQ + RQ + Q 77 4 C beziehungsweise durch R Q + Q + Q L LC beschreiben, was ja 7 mi R R a, b und u a ensprich. L LC L Man sieh, dass r aus dem ersen Beispiel nun dem Ohm schen Widersand R ensprich, die Masse m der Indukiviä L und die Richgröße hier die Federhäre D dem Kehrwer der Kapaziä des Kondensaors C. Da die Fallunerscheidung für die verschiedenen Lösungen von 7 allgemein gehalen war, is es nun leich möglich, die ensprechenden Lösungen anzugeben: R. Fall: b a > beziehungsweise > LC 4 L Mi der allgemeinen Lösung R L R R Q e C sin + C cos 78 LC 4L LC 4L Graph ähnlich Abb. 4 4 Kliem, S Hammer, A., Hammer, H., Hammer, K.: Phsikalische Formeln und Tabellen. München 997 6, S. 48.

40 4 4.4 Enladung eines Kondensaors R Der. Fall: b a beziehungsweise LC 4L führ auf die allgemeine Lösung R L Q e C + C 79 Graph ähnlich Abb. 5 R Der. Fall: b a < beziehungsweise < LC 4 L ha die allgemeine Lösung R R R L 4L LC 4L LC Q e C e + C e 8. Graph ähnlich Abb Enladung eines Kondensaors Auch der Enladevorgang eines Kondensaors kann über eine Differenialgleichung beschrieben werden. Ein Kondensaor der Kapaziä C und der Ladung Q wird über einen Widersand R enladen. Q sei die zum Zeipunk vorhandene Ladung und I Q der Srom, der zum Zeipunk fließ 4. Die Formeln für die Spannung am Kondensaor U C Q C und U R RI RQ Weierhin gil im geschlossenen Leierkreis U C also + U Q + RQ C oder Q Q CR. R U C und am Widersand U R lauen 4 Vgl. Kliem, S. 58.

41 4 4.5 Der senkreche Fall einer Masse in ein konsan dämpfendes Medium Wie man schnell sieh, laue die allgemeine Lösung dieser Differenialgleichung Q Ce CR Abb. 7 4 Wegen Q Q gil C Q Q Q e CE und man erhäl den in Abbildung 7 gezeigen Verlauf. 4.5 Der senkreche Fall einer Masse in ein konsan dämpfendes Medium Eine weiere ineressane Anwendung von Differenialgleichungen in der Prais is der senkreche Fall einer Masse m, die in ein Medium fäll, das eine zu der Geschwindigkei v des Körpers proporionale Widersandskraf leise 44. Für die folgenden Rechnungen is die -Achse nach unen geriche, wobei sich der Ursprung in der Ausgangslage des Körpers befinde. Die Gewichskraf mg 45 wirk dann in posiive -Richung während die Widersandskraf k v dem engegenwirk. k is eine posiive Konsane; bei v > wirk die Widersandskraf in negaive -Richung nach oben, man kann also schreiben kv. Für v < wirk die Widersandskraf nach unen und es gil k v k v kv. Daher kann man für alle Fälle schreiben mv mg kv 8 oder k v h + vh m g 8 Diese Differenialgleichung lös man dann nach : 4 Ebd. 44 Vgl. Boce, W. E., DiPrima, R. C.: Elemenar differenial equaions and boundar value problems. New York 997, S Für diese Rechnung wird g als Konsane mi dem Wer 9,8 m behandel; für einen Fall aus großer s Höhe müsse das Newon sche Graviaionsgesez berücksichig werden.

42 4 4.5 Der senkreche Fall einer Masse in ein konsan dämpfendes Medium e v v k m mg k e k k m + Ce mg + Ce k m k m C Die Anfangsbedingung v erforder, dass C gleich k mg m v e 8 k Man sieh, dass v für gegen den Grenzwer mg is. k mg konvergier 46. k Um die Höhe des Körpers zu erhalen, wird v nun durch ersez: d d mg k e k m Inegraion ergib mg m ge + k k k m + C Auch hier wird nun eine Anfangsbedingung umgesez, um die Konsane zu enfernen. Mi erhäl man m g C k k mg m g m e 84 k k 46 Die Tasache, dass sich die Fallgeschwindigkei bei diesem Wer sabilisier, wird beispielsweise beim Fallschirmspringen ausgenuz.

43 4 4.6 Berechnung der Fluchgeschwindigkei einer Rakee Abbildung 4 zeig die Graphen für v und im gemeinsamen Koordinaenssem zu- mg sammen mi der waagrechen Asmpoe von v, v, für m kg, k, kg/s und k m g 9,8. s Abb. 8 in m, v in m s 8 6 mg v k 4 v in s 4.6 Berechnung der Fluchgeschwindigkei einer Rakee Ein ähnliches Problem muss gelös werden, wenn man einen Körper aus dem Graviaionsfeld der Erde hinausschießen will. Im nachfolgenden Beispiel wird dies für eine Fessoffrakee gerechne, die mi einer Anfangsgeschwindigkei v senkrech zur Erdoberfläche sare und ihren Treibsoff beim Aufsieg verbrenn; ihre Masse is also eine Funkion von der Höhe, wobei in einer Höhe h b der sogenanne Brennschluss einri, also alle Treibsoffvorräe aufgebrauch sind. 47 Für diesen Fall muss weierhin das Newon sche Graviaionsgesez berücksichig werden. Der Ursprung der -Achse lieg im Erdmielpunk, der Abschussor auf der Erd- 47 Vgl. Heuser, S. f.

44 Berechnung der Fluchgeschwindigkei einer Rakee oberfläche is auf der Höhe des Meeresspiegels und der Erdradius sei R. Die Zeimessung beginn mi dem Sar; der Zeipunk des Brennschlusses is b : R R + h : b b b Um dem Schwerefeld der Erde zu enfliehen, wird eine gewisse Geschwindigkei v benöig; die kleinse Geschwindigkei, die dazu ausreich, wird als Fluchgeschwindigkei v f bezeichne und soll hier besimm werden. Auf die Rakee der variablen Masse m wirk eine Schwerkraf mi dem Wer m K γ wobei γ eine leich zu besimmende Konsane is 48 : Auf der Erdoberfläche is die Gewichskraf der Rakee der Masse m R : M F Mg und ha den Wer R, also gil M Mg γ und γ gr 85 R Nach dem Brennschluss erhäl man für m m die Masse der Rakee ohne Treibsoff: K gr m für b : b 86 Aus dem zweien Newon schen Gesez folg nun m gr oder m gr oder v gr 88. dv dv Nun muss v beziehungsweise durch einen Ausdruck mi ausgedrück werden: d d 48 Vgl. Boce, S Man sieh hier, dass die benöige Fluchgeschwindigkei masseunabhängig is.

45 45 dv dv d dv v 89 5 d d d d und man kann zusammen mi 88 schreiben dv v d gr was nach Trennung der Variablen leich inegrier werden kann: vdv gr d v gr + C 4.6 Berechnung der Fluchgeschwindigkei einer Rakee 9 Mi der Anfangsbedingung v v für R kann man auch schreiben v gr + v gr 9 oder v ± gr + v gr 9 wobei die posiive Lösung für einen seigenden, die negaive Lösung für einen fallenden Körper verwende werden muss. Nun wird davon ausgegangen, dass die Rakee das Schwerefeld nich überwinden kann und wieder auf die Erde fäll. Um die maimale Enfernung vom Erdmielpunk m, die die Rakee erreich, zu ermieln, wird v gesez und 9 dann nach aufgelös: m gr 9 gr v Die Geschwindigkei v, die benöig wird, um die Rakee in diese maimale Enfernung vom Erdmielpunk zu schießen, erhäl man dann, indem man 9 nach v auflös. v gr gr m Danach läss sich leich die Fluchgeschwindigkei besimmen, indem man unendlich gehen läss: m gegen v f lim v gr m 5 Vgl. Boce, S. 78.

46 46 m Für g 9,8 und den mileren Erdradius R 668 m s erhäl man also m km v f,, s s 4.6 Berechnung der Fluchgeschwindigkei einer Rakee Da in dieser Rechnung der Lufwidersand nich berücksichig wurde, is die asächlich benöige Geschwindigkei höher als die berechnee Fluchgeschwindigkei v f. Andererseis is es auch möglich, die benöige Geschwindigkei zu senken, indem man die Rakee in einer gewissen Höhe über dem Meeresspiegel abschieß, da dor ein wesenlich geringerer Lufwidersand überwunden werden muss oder indem man sie von einem Or in der Nähe des Äquaors Richung Osen abschieß, um so die Beschleunigung durch die Erdroaion auszunuzen Hammer, S Da sich die Erde Erdumfang4 km in 4 Sunden einmal um sich selbs dreh, erfähr die Rakee eine zusäzliche Geschwindigkei von 4km km km 667,46. 4 h h s

47 Verbreiung eines Gerüchs 4.7 Verbreiung eines Gerüchs Neben mahemaischen und phsikalischen Problemen, lassen sich auch soziale Probleme durch Differenialgleichungen darsellen und lösen. Ein Beispiel hierfür is die Verbreiung eines Gerüchs 5. Dabei wird angenommen, dass in einer menschlichen Gesellschaf der konsanen Größe N ein Gerüch durch Mundpropaganda verbreie wird, also eine nichinformiere Person das Gerüch einzig und allein dadurch erfähr, dass eine informiere Person es ihr erzähl. I sei die Anzahl der informieren Personen zur Zei. Jeder Informiere ha in einer Zeieinhei k Konake mi Migliedern seiner Gesellschaf und erzähl das Gerüch weier. Die Wahrscheinlichkei, dass er eine nichinformiere Person riff, sei N I w N dann werden pro Zeieinhei N I ki N 94 Menschen informier und I veränder sich pro Zeieinhei um 94. Für kleine Zeien gil dann I N I ki N N I I ki 95 N oder gerenn geschrieben I ki k I N k I ki + I 96 N Man erhäl also eine Bernoulli sche Differenialgleichung, die der Differenialgleichung des logisischen Wachsums 4 sehr ähnlich is und : I, b d : k und L : N ensprich. Man kann dann gleich die allgemeine Lösung von Seie 9 übernehmen: 5 Vgl. Heuser, S. 6 f.

48 Verbreiung eines Gerüchs k sgn + Ce I N ; C R. k + Ce N Nun wird die Anfangsbedingung I I berücksichig, also die Anzahl der Menschen, die zur Zei von dem Gerüch Kennnis haben: Das Ziel is, für C so zu besimmen, dass I im Nenner seh: + C N I N I C I N NI und es gil N I k sgn + e N NI I ; I N I k + e N NI > k Da immer e > gil und N I NI immer posiiv is die Anzahl I derer, die zur Zei von dem Gerüch wissen, kann niemals die Anzahl der Menschen der Gesellschaf N überseigen, da diese I Menschen selbs Miglieder dieser Gesellschaf sind und auch N I > gil, kann man die Lösung zu I ; I N I k + e N NI oder k e I N I ; e I + N I k vereinfachen. > > Geh man davon aus, dass jeder Bürger der Bundesrepublik Deuschland an einem Tag mi anderen Menschen Konak ha Also 97 5 k pro Sunde und dass ein Gerüch zum Zeipunk nur einer einzigen Person bekann is, dann kennen heoreisch

49 Verbreiung eines Gerüchs nach 87,47 Sunden alle Bundesbürger bis auf einen 54 das Gerüch. Dieser eine wird allerdings zumindes nach diesem Modell für immer unwissend bleiben, da lediglich eine waagreche Asmpoe für den Graphen is, also nie erreich wird. Abbildung 9 zeig den Graphen für diesen Fall I ; N 8; k gemessen in Sunden. Abb. 9 I I N 5 ; Bei einer Einwohnerzahl von 8 Millionen; Quelle: Saisisches Bundesam, hp:// siehe Lieraurverzeichnis, S. 66.

50 5 4.8 Der Schwellenwersaz der Epidemiologie 4.8 Der Schwellenwersaz der Epidemiologie Ein weierer Fall, bei dem eine Gesellschaf in verschiedene Gruppen eingeeil wird, die durch jeweils verschiedene Funkionen beschrieben werden, is der sogenanne Schwellenwersaz der Epidemiologie. Dabei wird versuch, vorherzusagen, was passier, wenn eine kleine Gruppe von Menschen einer Gesellschaf von einer infekiösen Krankhei befallen is und diese in die Gesellschaf bringen und in welchen Fällen die Krankhei ausserben wird oder eine Epidemie verursach. Um diesen Fall mahemaisch behandeln zu können, werden folgende Annahmen gemach: Die Inkubaionszei der Krankhei sei vernachlässigbar klein 55, so dass jede Person, die sich mi der Krankhei infizier, sofor danach andere ansecken kann. Weierhin führ die Krankhei enweder zum Tode oder immunisier die von ihr genesene Person auf Dauer. 56 Todesfälle, die mi der Krankhei nich im Zusammenhang sehen, Geburen und Wanderungsbewegungen werden nich berücksichig. Daher läss sich die Bevölkerung in drei Gruppen unereilen: Die anseckende Klasse I, die die Krankhei auf andere überragen kann, die anfällige Klasse S, bei deren Migliedern die Möglichkei beseh, dass sie sich mi der Krankhei ansecken und selbs anseckend werden, und die Klasse der aus dem Krankheisprozess ausgeschiedenen Personen R, die von den Personen gebilde wird, die enweder an der Krankhei gesorben sind oder von ihr genesen und nun auf Dauer immun sind. Die Summe der drei Funkionen is immer konsan und gleich der Größe der Gesellschaf, daher gil I is die Anzahl der Personen in I zum Zeipunk ; dasselbe gil für S und R : I + S + R cons. N Des Weieren sei vorausgesez, dass die Änderungsrae der anfälligen Klasse proporional dem Produk der Anzahl von Personen aus S und aus I sei und dass Personen aus 55 Vgl. Maheij, R. M. M., Molenaar, J.: Ordinar Differenial Equaions in Theor and Pracice. Chicheser, New York, u.a. 996, S Vgl. ebd., S. 45.