Regelungs- und Systemtechnik 3

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Andrea Wagner
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1 Regelng Mecharonischer yseme, Regelngs- nd ysemechnik 3 Kaiel 5: Riccai-Oimal-Regler ro. Dr.-Ing. Li Fachgebie imlaion nd Oimale rozesse O

2 Herleing nd nwendng des Riccai-Oimal-Reglers R l Vorkennnisse: Grndlagen der Regelngsechnik Zsandsramdarsellng eerbarkei nd eobachbarkei Fragensellngen: Welche e Regelgüe güe ha ein Oimalregler? e Welches roblem is beim Reglerenwr z lösen? Warm mss man die Riccai-Gleichng lösen? Wie wird der Oimalregler imlemenier? Welchen nwendngsbereich ha der Regler?

3 Oimalregelng eines Rakeenwagens: 3 : osiion : Geschwindigkei : nriebskra m : Masse m kg nangszsand: m, Der Wagen ha einen nrieb ür beide Richngen. Ziel: osiionierng des Wagens an der osiion, wo er zm illsand gebrach wird. Zielzsand: osiion, Geschwindigkei. Welche is die oimale raegie, dami der Wagen zm Zielzsand überühr nd zgleich die benöige Kra minimier i i wird? m/s

4 Zsandsramdarsellng: Dann : osiion : nriebskra m : Masse m kg 4 : Geschwindigkei Modellgleichngen: m a m d.h. nangszsand: ; Ziel der Oimalregelng: ollzsand: ; Minimierng der bweichngen: Minimierng der nriebskra: ;

5 Qadraische Fnkion als Regelgüe: 5 Die gabe der Regelng is die Minimierng der bweichng zwischen dem ollwer nd dem Iswer in einem beracheen Zeihorizon i [, ] : [ min J e e d mi Drch eine Verschiebng kann man den ollwer mi Nll essezen: dami min J d Für yseme mi mehreren Zsandsvariablen bedee das: min J n qii i d min J Q d

6 Qadraische Fnkion als Regelgüe: 6 Zgleich sollen die Were bzw. die Änderngen der ellgrößen nriebskra minimier werden, also min J R d m Ende des Zeihorizones sollen die Zsandsvariablen nach Möglichkei an ihren ollweren Nll sein: min J 3 F Gesamziel des Oimalreglers: min J J J J3 F Q R d

7 roblemdeiniion: min mi F J [ Q R ] d, Zsandsgrößen: ekann sind: R Marizen in den Zsandsgleichngen: nangszsand: Vorgegeben sind: ymmerische Marizen in der Zielnkion: n ellgrößen: R nn R, nn nn R, Q R, R osiiv semideini Dami is das Oimierngsroblem konve! Wie kann man das roblem lösen? F m R nm R 7 mm osiiv deini

8 8 Oimaliäsbedingngen dynamischer yseme:, mi ] [ min R Q F d J H. Die Hamilon-Fnkion:,,, R Q H : adjngierer Zsandsvekor mi n Elemenen. Es gelen nach dem Hamilon-Verahren: : adjngierer Zsandsvekor mi n Elemenen R H Q H 3 F 4

9 Herleing der Riccai-Gleichng: 9 * Nach : R Wie kann man berechnen? Es gil Nach 3: Q R * 5 lso Q R z V z Für das DGL-ysem gil: z e V d z e W, z Ω, z

10 Herleing der Riccai-Gleichng: Es gil also die lineare Überragng: Daras olg: lso Ω, oder Ω, Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω ez man 4 in 9 ein: F Ω Ω s 8: F F Ω F Ω

11 Herleing der Riccai-Gleichng: - : Ω F Ω ] [ Ω F Ω ] [ Daher [ Ω F Ω] [ Ω F Ω ] lso : n n Mari Dami is mi verbnden. * Daher nach : R R 3 Wie kann man berechnen?

12 Herleing der Riccai-Gleichng: s : ] [ Nach 5: R R ] [ R Daher 4 ] [ R lso 5 ] [ Q Q Nach 3: s 4 nd 5 olg die dynamische Riccai Gleichng: 6 R Q s 4 nd 5 olg die dynamische Riccai-Gleichng: 6 R Q

13 3 D i hli DGL i lö! Oimal-Regler zeivarianer yseme: Nach 4 F Die Randbedingng: Das nichlineare DGL-ysem is z lösen! nd F Eigenschaen der Riccai-Mari : Eigenschaen der Riccai Mari : ymmerisch: osiiv deini wenn F Q R osiiv deini sind / n n, d.h. es gib Gleichngen. osiiv deini, wenn F, Q, R osiiv deini sind. Es olg die Regelng drch Zsandsrückührng: Nach : * R R 7 Daher * K R ] [ * K ] [ K

14 Oimal-Regler zeiinvarianer yseme: 4 Wenn QR,, Q, konsane Marizen sind, nd wenn ein ininier Zeibereich berache wird also wird das Oimalregelngsroblem: min mi Q R d, Dann ergib sich die saionäre Riccai-Gleichng: Q R 8 Das nichlineare Gleichngssysem is z lösen!

15 Imlemenierng des Oimal-Reglers: 5 * Und nn R K Eigenschaen dieses Oimalreglers: symoisch sabil, d.h. lim, wenn das ysem, vollsändig seerbar is. Das Regelngssysem is einach z imlemenieren. koren rozess K Regler ensoren

16 Oimalregelng des Rakeenwagens: 6 : osiion : Geschwindigkei ki : nriebskra m : Masse m k kg Weil dann nangszsand: ; ollzsand: ; Güenkional: min d

17 7 Oimalregelng des Rakeenwagens: min R Q d Das Oimalregelngsroblem:, mi Q,,,, R Q wobei Die Riccai-Gleichng: R Q Q lso

18 Oimalregelng des Rakeenwagens: 8 Die Lösng: Dami * R * Imlemenierng: imlaion mi ML rozess + Regler

19 Ergebnisse der Oimalregelng: 9 Fall : größere Gewichng a der Geschwindigkei Fall : größere Gewichng a der osiion min d min d

20 Ergebnisse der Oimalregelng: Fall 3: größere Gewichng a der nriebskra Fall : größere Gewichng a der osiion min d min d

21 Oimaler Zielnkionalwer: min J mi ei der Lösng: Q F Q R d R Q R R * R * d * * * * d R Q R

22 Oimaler Zielnkionalwer: Es olg: d d R Q Es olg: d d I i d d R Q Inegraion: d d R Q d R Q lso F Weil d R Q F F Weil Das Minimm des Zielnkionals: * J

23 3 Die Riccai-Mari is osiiv deini: d d R Q Inegraion: d R Q d R Q d d R Q F lso Q R F,, Weil osiiv deini sind Daher is osiiv deini Daher is osiiv deini.

24 symoische abiliä: Wenn das ysem vollsändig seerbar is, is drch die Zsandsrückührng mi dem Riccai-Regler der oimale Zielnkionalwer beschränk. Dann mss min Q Qd R d i d, i,, n d n i d lim, i,, n Wenn das nich der Fall is, eisier ein nd, bei i Inegraion von bis ür beide eien: D. h. i d i e i d lim i i e Widersrch zr obigen nnahme, d.h. es mss sein. 4

25 Enwr eines Riccai-Oimal-Reglers: 5 chri : Modellierng mi der Zsandsramdarsellng chri : nalyse der eerbarkei des ysems chri 3: Deiniion des Güenkionals nd swahl der Gewichngsmari chri 4: Lösng der Riccai-Gleichng nd Ermilng der Rückührngsmari chri 5: Oline-imlaion nd danach Online- Imlemenierng Weiere chwernke beim Enwr: Enwr eines geeigneen g Zsandsbeobachers eseiigng der bleibenden Regelabweichng drch Einsaz von Inegraoren lazierng der olsellen ll des geschlossenen ysems

26 Riccai-Oimal-sgangsregler: y C Wenn nich alle Zsandsvariablen messbar sind, lae das Oimalregelngsroblem: min mi y Qy R d y C min C mi Ein Zsandsbeobacher wird benöig. Das ysem, C mss vollsändig beobachbar sein. QC 6 R d rozess C y koren K eobacher ensoren Regler

27 7 Einsaz von Inegraoren: d y C yseme mi örngen: y y y e ollwere der sgangsvariablen nd der Fehler Einührng neer Zsandsvariablen: d d y y e z Einührng neer Zsandsvariablen: C y y y e z Das Oimalregelngsroblem: d min d R z Q z y d z C z

28 Einsaz von Inegraoren: 8 Die Lösng des roblems: * K K z symoische abiliä: limz lim e d Daher lime Die Imlemenierng: d y - e z K C y K

29 nwendngsbereiche: 9 Qadraisches Fnkional als Regelgüe Lineare Mehrgrößensyseme Nichlineare yseme mi kleinen örngen norderngen: Vollsändig seerbare yseme Vollsändig beobachbare Zsandsvariablen Unbeschränke ell- nd Zsandsvariablen Herasorderngen: Große nichlineare yseme mi eschränkngen Zsandsschäzng nd arameerideniikaion yseme ner Unsicherheien h i

30 nwendngsgebiee: Chemieindsrie Indsrieroboer 3 L- nd Ramahrindsrie omobilindsrie

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