2.2.6 Betafunktion: Behandlung von Teilchenstrahlen als Vielteilchensystem

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1 ..6 Betafnktion: Behandlng von Teilchentrahlen al Vielteilchenytem Literatr: K. Wille, Phyik der Teilchenbechleniger nd Synchrotrontrahlngqellen, Unterkapitel 3. bi 3.3

2 Vor-nd Nachteile der Bahnberechnng mit Matrizen Für jede Teilchen lät ich die Bahn mit Matrizen berechnen Diee Methode it notwendig, nd mit Hilfe von Compterprogrammen prinzipiell "relativ" einfach Für viele Fragentellngen it diee Methode z komple Wa paiert, wenn ein Teilchen im Magneten m einen Winkel von. mrad abgelenkt wird? Über die Bewegng eine Vielteilchenytem lät ich nr wenig aagen Daher wird ein neer Formalim eingeführt: Betatronfnktion nd Betatronchwingng

3 Einzelteilchenytem Vielteilchenytem. Für jede einzelne Teilchen laen ich die Bewegnggleichngen löen. Ein Strahl im Bechleniger it ein Bepiel für ein Vielteilchenytem die Anzahl der Teilchen liegt zwichen 6 nd mehr al E werden Größen eingeführt, die die kollektive Bechreibng de Vielteilchenytem möglich machen die Information über ein einzelne Teilchen reicht nicht a. 4. Die Wechelwirkng zwichen einzelnen Teilchen lät ich für wenige Teilchen völlig vernachläigen, bei znehmender Teilchenanzahl werden die Wechelwirkngen zwichen einem einzelnen Teilchen nd dem Kollektiv von entcheidender Bedetng.

4 Bei ehr vielen Teilchen Wechelwirkng der Teilchen r E, y, z, t nd / oder r B, y, z, t r r r r F q E v B Die Bahn eine einzelnen Teilchen wird drch die Geamtheit der Teilchen beinflt Kolliionen Ramladng Wechelwirkng der em-felder der Teilchen mit der Umgebng

5 Teilchen mit Implabweichng - Diperionbahn Betrachten Bahn mit p/p, gennant Diperionbahn, D Relevant in gter Näherng nr in Ablenkmagneten: > Inhomogene Differentialgleichng, homogerner Teil analog z Dgl. f. ing. Anm.: brachen 33 Matrizen zm Tranport der Diperion d. Dipol D, D, D, D,. Wille, S. 85

6 Bahnverlängerng Momentm Compaction Factor Ein Teilchen mit Implabweichng läft af einer anderen Bahn m, deren Länge im allgemeinen nterchiedlich von der Länge der Sollbahn it. Der momentm compaction factor wird al relative Längenänderng bei Implabweichng definiert: L α / L p p E lät ich zeigen, da für den momentm compaction factor gilt: α L ρ D d

7 Teilchenimpl nd Bahnlänge Teilchen mit größerer Energie im Vergleich zr Sollenergie: lafen weiter aen m > gröere Bahnlänge > längere Umlafzeit haben eine größere Gechwindigkeit > kürzere Umlafzeit Beide Effekte müen berückichtigt werden, m die Umlafzeit z berechnen Die γ Änderng - β T T α γ β v c p p α it der "momentm compaction, mit der Umlafzeit für ein Teilchen mit Implabweichng factor" iehe oben it :

8 Differentialgleichng der Teilchenbewegng p p k ρ ρ Für Teilchen ohne Implabweichng nd für Strecken ohne Ablenkmagnet gilt die Differentialgleichng vom Hill chen Typ: k [ ] [ ] in co : mit Einetzen folgt co Lönganatz: φ φ φ A k A A

9 Löngweg - : man weiter erhält Damit d : man n erhält Integratio Drch - : folgt daher ein, richtig A für nd Phaen alle für m Gleichng Diee 3 k k σ σ

10 Betafnktion nd Betatronchwingngen Mit Einführng der β - Fnktion : β : nd der Emittanz eine einzelnen Teilchen ε i ergibt ich für die Teilchenbahn : ε i β co φ Aerdem gilt für die Betatronphae : β σ dσ E it noch keine Aage gemacht worden, wie man Betatronfnktion nd Betatronphae arechnet.

11 Betafnktion für die Teilchenbewegng im "kontinierlichen" Qadrpolfeld Nr in einer Ebene tabil! Ein Bechleniger für Elektronen mit dem Impl p :.6 GeV mit einer c Vakmkammer mit dem Radi dr :.5m, nd einem Magnetfeld im Eien von B :.T e B Qadrpoltärke k : > k p dr.375 m Die Ablage eine Teilchen it drch: z ε i co k φ i gegeben k Betafnktion: > β z : > β z.634m k Emittanz de Teilchen : ε i 6 π : m nd Phae de Teilchen: φ i :

12 zpo po Annahme: Der Bechleniger hat eine Länge von L acc : 4m π Die Länge für eine volle Schwingng it : π : > π.64 m k L acc Die Anzahl der Schwingngen pro Umlaf it : Q z : π Q z.338 L acc β d > π Die maimale Teilchenamplitde it: z m

13 Betafnktion nd Betatronchwingngen Der Teilchenwinkel ergibt ich a der Ableitng der Teilchenpoition: [ ] mit: in co i β α φ φ α β ε Eine Beziehng zwichen nd zr Kontrktion de Phaenram erhält man, indem die Phae a den Gleichngen eliminiert wird: mit: i β α γ ε β α γ

14 Phaenellipe allgemeiner Fall i ε β α γ β ε i ma β ε α i γ ε i ε γ i ma γ ε α i β ε i Fläche der Ellipe: F πε

15 Lioville`cher Satz Fläche der Phaenellipe it in konervativen Kraftfeldern invariant! Form der Ellipe d.h. Halbachen nd Orientierng ändern ich beim Drchlafen der Magnettrktr, nicht aber die Fläche!

16 Betatronchwingngen für viele Teilchen ε β co φ i Eigenchaft der Teilchen Eigenchaft der Teilchen Eigenchaft de Bechleniger Maimale Amplitde an einer Poition ma ε i β Strahlgröe an der Poition σ ε β nd σ z ε z β z

17 Betatronchwingngen für viele Teilchen Bild a K.Wille

18 Beipiel für Teilchenverteilng im Strahl In einem Strahl ind die Teilchen in gter Näherng gaförmig verteilt. Die tranveralen Dimenionen ind drch σ z : mm nd σ : mm gegeben. Die Anzahl der Teilchen im Bnch it N : Die tranverale Teilchendichte it: ρ, z : π N e σ σ z σ z σ z Zr Kontrolle: Geamtanzahl der Teilchen: innerhalb v. 5 Standardabweichngen 5 N : ρ, z d dz N

19 Strahlgröße al Fnktion der Strahl-Parameter Dabei werden σ nd σ z, die Standardabweichng in horizontaler nd vertikaler Richtng, al Strahlbreite bezeichnet. die Ladng- bzw. Teilchendichte it dort af 6.7% abgefallen > mittlere Emittanz ε ta : Üblicherweie einfach al Strahlemittanz, ε, bezeichnet! Ebenfall eine Invariante, wie die Einteilchen-Emittanz!