MATHEMATIK GRUNDWISSEN DER 5.JAHRGANGSSTUFE

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1 Inhalte, Wien und Begriffe Anwendungen, Beipiele und Erklärungen 1. Natürliche und ganze Zahlen Menge der natürlichen Zahlen: N= {1; 2; 3; 4; } Menge der nat. Zahlen mit 0 : N 0= {0; 1; 2; 3; 4; } 1 N ( 1 it ein Element der natürlichen Zahlen. ) 0 N ( 0 it kein Element der natürlichen Zahlen. ) Menge der ganzen Zahlen: Z= { ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; } Zahlengerade negative Zahlen Null poitive Zahlen Je weiter recht (link) eine Zahl auf der Zahlengerade liegt, umo größer (kleiner) it ie. Stellenwerttafel und Stufenzahlen Die Zahlen 1; 10; 100; 1.000; ; nennt man Stufenzahlen. Zehnerpotenzen Rundungregeln Die Stufenzahlen kann man mit Hilfe von Zehnerpotenzen kürzer chreiben: 1 = 10 0 ; 10 = 10 1 ; 100 = 10 2 ; = 10 9 ; Ob du aufrunden oder abrunden mut, erkennt du nur an der nachfolgenden Stelle. Bei 0; 1; 2; 3; 4 rundet du ab, bei 5; 6; 7; 8; 9 rundet du auf. Beipiele: Runde auf Hunderter: Zehnertelle betrachten abrunden! Runde auf Tauender: Hundertertelle betrachten aufrunden! (Aufpaen hier: Übertrag auf die Zehntauendertelle!) Betrag einer Zahl Gegenzahl Der Betrag einer Zahl gibt an, wie weit ie auf der Zahlengerade von der 0 entfernt it, z.b.: 5 = 5 ; 7 = 7 ; 0 = 0 Die Gegenzahl von 7 lautet 7. Zahl und Gegenzahl beitzen den gleichen Betrag. 2. Addition und Subtraktion ganzer Zahlen Fachbegriffe Summe: = 68 1.Summand 2.Summand Wert der Summe Differenz: = 22 Minuend Subtrahend Wert der Differenz

2 Regeln für die Addition und Subtraktion (Frochmodell!!) Gleiche Vorzeichen: 65 + (+32) = ( 13) = ( ) = 25 (Addieren der Beträge, Ergebni erhält gemeiname Vorzeichen!) Unterchiedliche Vorzeichen: 26 + (+14) = (26 14) = ( 14) = = 12 (Da Vorzeichen de Ergebnie hängt davon ab, ob der poitive oder negative Summand den größeren Betrag beitzt!) Erinnerung: Jede Differenz lät ich auch al Summe chreiben und umgekehrt, z.b.: = 23 + ( 21) 23 ( 15) = Regeln für aufeinanderfolgende (Vor- und Rechen-) Zeichen: 23 + (+45) = ( 15) = ( 22) = (+27) = Rechengeetze / Rechenvorteile: a + b = b + a (Kommutativgeetz der Addition) Überchlagrechnung (a + b) + c = a + (b + c) (Aoziativgeetz der Addition) Umkehraufgabe / Gleichungen Beipiele: = Vertauchen = ( ) Klammern gechickt etzen Mit einer Überchlagrechnung kannt du überprüfen, ob du richtig gerechnet hat: = 1000 (exakte Ergebni: 1.051) Gleichungen mit einem Platzhalter (z.b. x) laen ich mit Hilfe von Umkehraufgaben löen, z.b.: 23 x = 45 Umkehraufgabe: x = = 68 Tipp: Einfache Aufgabe audenken und genauo vorgehen! 6 x = 4 x = 6 4 = 2 Quadratzahlen Von 1 2 bi 20 2 (und 25 2 ) alle auwendig wien! 3. Grundbegriffe der Geometrie Fachbegriffe und Schreibweien: Strecke, Gerade, Halbgerade, Krei Lagebeziehung zwichen Geraden bzw. Strecken: enkrecht, parallel EF prich: Strecke E F EF prich: Länge der Strecke E F AB prich: Gerade A B k(m; r) prich: Krei mit Mittelpunkt M und Radiu r g h (Gerade g it parallel zur Gerade h) g h (Gerade g teht enkrecht auf Gerade h) Lagebeziehung von Krei und Gerade: Sekante, Tangente, Paante

3 Abtand Winkel pitzer Winkel, rechter Winkel, (über-)tumpfer Winkel, getreckter Winkel, Vollwinkel Die Länge der kürzeten Verbindung (z.b. zwichen Punkt und Gerade) wird Abtand genannt (und enkrecht gemeen). Benennungen mit griechichen Buchtaben α, β, γ oder mit Hilfe von Punkten: Winkel mit dem Geodreieck zeichnen + meen können! CAB BAC Schenkel A: Scheitel (Karteiche) Koordinatenytem Urprung Beondere Vierecke: Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm, (gleichchenklige) Trapez, Drachenviereck (Eigenchaften + Symmetrie wien, vgl. Arbeitblatt) 4. Multiplikation und Diviion ganzer Zahlen Fachbegriffe Produkt: 24 5 = Faktor 2.Faktor Wert de Produkt Quotient: = 8 Dividend Divior Wert de Quotient Potenzen al abkürzende Schreibweie für Produkte (z.b.: = 2 5 ) Sicherer Umgang beim Auftellen bzw. Strukturieren von Termen (Rechenbaum, Gliederungbaum, Wortform) Vorrangregeln Potenz: 2 5 = 32 Bai Exponent Wert der Potenz (Grund-)Rechenarten: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren Bp.: [25 + ( 65)]: ( 17 3) Dividiere die Summe au 25 und 65 durch die Differenz au 17 und 3. - Klammern werden zuert berechnet (von innen nach außen) - Potenzen vor Punktrechnungen vor Strichrechnungen - Von link nach recht rechnen.

4 Rechengeetze / Rechenvorteile: a b = b a (Kommutativgeetz der Multiplikation) (a b) c = a (b c) (Aoziativgeetz der Multiplikation) Beipiele: = Vertauchen = 37 (25 4) Klammern gechickt etzen Auch für Differenzen möglich: Aumultiplizieren a (b + c) = a b + a c (Ditributivgeetz) Auklammern a (b c) = a b a c Primzahlen und Primfaktorzerlegung (Primzahlen ind natürliche Zahlen größer 1, die nur die Zahl 1 und ich elbt al Teiler beitzen.) = 13 (17 + 3) = = 37 ( ) = = ( ) 24 = = = (200 1) 27 = = 360 = = (Die Primfaktorzerlegung einer Zahl it eindeutig.) Vorzeichenregeln für die Multiplikation und die Diviion ganzer Zahlen Du multipliziert/dividiert zwei ganze Zahlen mit gleichem Vorzeichen, indem du die Beträge multipliziert/dividiert und dem Ergebni ein poitive Vorzeichen gibt. Beipiele: ( 2) ( 12) = +24 ; 36 ( 4) = +9 Du multipliziert/dividiert zwei ganze Zahlen mit unterchiedlichem Vorzeichen, indem du die Beträge multipliziert/dividiert und dem Ergebni ein negative Vorzeichen gibt. Beipiele: 5 ( 12) = 60 ; = 3 Achtung: 0 ( 5) = 0, aber ( 5) 0 it nicht definiert! Teilbarkeitregeln Teilbarkeit durch 2: Einertelle gerade durch 3: Querumme teilbar durch 3 durch 9: Querumme teilbar durch 9 durch 5: Einertelle 0 oder 5 Baumdiagramme und Zählprinzip Bp.: Bau von Legotürmchen au einem roten, einem blauen und einem gelben Stein Jede Stufe entpricht einer Auwahlmöglichkeit, jeder Pfad teht für eine mögliche Kombination. Die Geamtzahl der Möglichkeiten timmt mit der Anzahl der Baumenden überein. Zählprinzip: Wenn keine Einchränkungen vorliegen, it die Geamtzahl der Möglichkeiten da Produkt der Anzahlen der Wahlmöglichkeiten auf jeder Stufe. Im Beipiel oben: = 6 Möglichkeiten

5 5. Größen Größen und ihre Einheiten (Umrechnungzahlen, Kommachreibweie, Angaben in gemichten Einheiten) Geld: 1 1 ct 100 Mae: 1 t 1 kg 1 g 1 mg Länge: 1 km 1 m 1 dm 1 cm 1 mm Fläche: 1 km 2 1 ha 1 a 1 m 2 1 dm 2 1 cm 2 1 mm Zeit: 1 d 1 h 1 min Umfang (Summe aller Seitenlängen) b a Umfang eine Rechteck: U R = 2 a + 2 b Umfang eine Quadrate U Q = 4 Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat Flächeninhalt zuammengeetzter Figuren (Unterteilen in Rechtecke!) Rechnen mit Größen Flächeninhalt eine Rechteck: A R = a b Flächeninhalt eine Quadrate: A Q = = 2 Beim Addieren und Subtrahieren von Größen: Umwandeln in gleiche Einheiten! Multiplikation/Diviion einer Größe mit/durch eine Zahl: z.b.: 3t 6 = 3000 kg 6 = 500 kg Diviion einer Größe durch eine Größe: z.b.: 14,4 m 6 cm = 1440 cm 6 cm = 240 (Manchmal Umwandeln in gleiche Einheiten notwendig!) Oberflächeninhalt von Quader und Würfel h l b O Quader = 2 l b + 2 l h + 2 b h O Würfel = 6 2 Schlurechnung (Dreiatz) Beipiel: 150 g Gummibärchen koten 2,25. Berechne den Prei für 100 g Gummibärchen. 150 g = 2,25 : 15 : g = 0, g = 1,50

6 Maßtab Der Maßtab gibt an, wie ehr ein Plan oder ein Modell die Längen im Vergleich zur Wirklichkeit verändert. Beipiele: Ein Maßtab von bedeutet, da 1 cm im Modell in Wirklichkeit 100 cm entprechen. Ein Maßtab von bedeutet, da 1 m im Modell in Wirklichkeit 1 mm entprechen.