Definition und Eigenschaften von elliptischen Funktionen Thomas Regier. 1. Verdoppelung des Lemniskatenbogens und erweitertes Additionstheorem

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1 Definition nd Eigenschaften von elliptischen Fnktionen Thomas Regier. Verdoppelng des Lemniskatenbogens nd erweitertes Additionstheorem Elliptische Integrale berechnen die Krvenlänge von z.b. elliptischen Krven oder Lemniskaten. Eine besonders einfache Krvenlängenberechnng ergibt sich bei einer Lemniskate, die einer acht ähnelt. Definition. Gegeben seien zwei feste Pnkte ζ, ζ C oder ζ, ζ R nd c R. Eine Lemniskate ist die Menge aller Pnkte ζ C (R ), so das ζ ζ ζ ζ = c. Vereinheitlichng: Um die Lemniskate näher analysieren z können wählen wir a = ζ ζ, sowie ein zwei-dimensionales Koordinatensystem, so dass ζ nd ζ die Koordinaten ( a, ) nd (a, ) haben. Es wird nn eine Parametrisierng der Lemniskate nach dem Abstand vom Koordinatenrsprng drchgeführt m die Krvenlänge berechnen z können. Sei nn r der Abstand zm Koordinatenrsprng. (Also r = x + y ) Seien r nd r die Abstände z ζ nd ζ, dann folgt: r = y + (x + a) = r + a + ax r = y + (x a) = r + a ax Nach Definition der Lemniskate gilt: r r = c Wenn die beiden letzen Gleichngen mltipliziert werden folgt damit: c = r + a r + a a x Nn werden nr die Lemniskaten betrachtet die drch den Nllpnkt gehen also ist a = c. Und es wird a =, zr Vereinfachng angenommen.also folgt:. c = r + a r + a a x = r + r + x x = r + r As r = x + y folgt: y = r + r Mit den letzten beiden Gleichngen hat man eine Parameterdarstellng der Lemniskate nach r, dem Abstand zm Mittelpnkt. Da die Lemniskate symmetrisch z beiden Koordinatenachsen liegt, reicht für die Krvenlängenberechnng die Betrachtng des ersten Qaanten. Es gilt: x = r3 + r nd y dy = r3 + r Es sei s(r) die Länge des Lemniskatenbogens von (, ) bis (x(r), y(r)) im ersten Qaanten. Also: ( ) ( ) ds dy = + Mit den folgenden beiden Gleichngen kann nn ds bestimmt werden.

2 ( ) ( ds (xy) = y x ) ( + x y dy ) = y (r 3 + r) + x ( r 3 + r) = r r (r + r + r 6 ) + r + r (r r + r 6 ) = r (xy) = (r + r )(r r ) = r ( r ) As den letzten beiden Gleichngen ergibt sich. ds = r Satz: Verdoppelng des Lemniskatenbogens Es gilt: r = x x für r = ( ) ( + ), r Beweis Der Beweis geht über zwei Sbstittionen, in denen znächst nd anschließend r = t = t + t sbstitiert wird. Daras folgt nach ca. zwei Seiten Umformngen (siehe Literatr): r = t x = + x x Verallgemeinerngen: Satz: Das Elersche Additionstheorem für die Lemniskate Eler hat ca. 755 die Verallgemeinerng: mit r s + x = + x = r s + s r + r s für genügend kleine r, s bewiesen. x Beweisidee: Der Beweis fnktioniert über eine Differentiation von () nach r, wobei konstant

3 nd s eine von r abhängige Variable ist. Da d = gilt. Folgert man daras nter Anwendng der Ketten- nd Qotientenregel, sowie der Sbstittionsregel der Integration: r s + = x x Woras die Assage direkt folgt. Das Elersche Additionstheorem für elliptische Integrale der Art: m, n R + mx + nx Es gilt: r mit s + mx + nx + für genügend kleine r, s. + mx + nx = = r + ms + ns + s + mr + nr + nr s Beweisidee: Der Beweis wird analog z dem Spezielleren drchgeführt. + mx + nx. Eigenschaften von elliptischen Fnktionen Definition Doppeltperiodisch Eine Fnktion f : C C heisst doppeltperiodisch, wenn ω, ω C mit ω ω existieren, so dass / R f(z + nω + mω ) = f(z) z C m, n N Definition elliptische Fnktion Elliptische Fnktionen sind doppeltperiodische meromorphe Fnktionen. Wobei eine meromorphe Fnktion eine Fnktion ist die sich in der Umgebng eines Pnktes a darstellen lässt als: f(z) = c i (z a) i mit r Z i=r Definition Grndmasche Seien ω, ω zwei in R linear nabhängige Perioden von einer Fnktion f. Eine Grndmasche von f ist die Menge aller Pnkte: {z + λ ω + λ ω ; λ, λ ; z C} Bemerkng: Es gibt z jeder Fnktion beliebig überabzählbar viele verschiedene Grndmaschen. Satz: Eine elliptische Fnktion ohne Pole ist konstant. Beweis: Wenn eine elliptische Fnktion keinen Pol hat ist sie über ganz C stetig. Da die 3

4 Grndmasche kompakt nd f af ihr stetig ist, existiert ein M, so dass f(z) M für alle z in der Grndmasche. Da in der Grndmasche alle Werte der Fnktion angenommen werden ist damit die ganze elliptische Fnktion beschränkt. Nach dem Satz von Lioville ist die Fnktion damit konstant.. Korrolar: Jede holomorphe nd elliptische Fnktion ist konstant.. Korrolar: Eine nicht konstante elliptische Fnktion hat mindestens einen Pol in jeder Grndmasche. Satz: Bei einer Grndmasche deren Rand nicht über einen Pol verläft ist das Integral über den Rand der Grndmasche. Beweis: Unter obiger Bezeichnng ist: f(z+λω )ω dλ+ f(z+ω +λω )ω dλ+ das Integral über den Rand der Grndmasche. Afgrnd der Periodizität gilt: f(z + λω )ω dλ = f(z + λω + ω )ω dλ = f(z+λω +ω )ω dλ+ f(z + λω + ω )ω dλ f(z+λω )ω dλ nd f(z + ω + λω )ω dλ = f(z + λω )ω dλ = Daras folgt die Assage. f(z + λω )ω dλ Korollar: Sei G eine Grndmasche deren Rand nicht über einen Pol verläft. Die Smme der Residen innerhalb von G ist gleich Nll. Beweis: Wir wissen as der Fnktionentheorie: Sei G C ein zsammenhängendes Gebiet. Sei P G die Menge der Polstellen einer meromorphen Fnktion g innerhalb von G. Es liegen keine Polstellen af dem Rand von G. Dann gilt: res p g(z) = g(z)dz πi p P G G Nach dem vorhergehenden Satz folgt somit: p P G res p g(z) = πi = Korollar: Eine nicht konstante elliptische Fnktion hat mindestens zwei Pole, bzw. einen Pol zweiter Ordnng in jeder Grndmasche. Das folgt da eine einfache Polstelle kein Residm gleich Nll haben kann. Satz:Sei G eine Grndmasche deren Rand nicht über einen Pol- oder eine Nllstelle verläft. Seien a i die Nll- nd Polstellen innerhalb von G nd r i die Vielfachheit, wobei diese positiv für Nllstellen nd negativ für Pole gezählt wird. Dann gilt: r i =

5 Beweis Wenn f(z) eine elliptische Fnktion ist, dann ist f (z) nd daher ach g(z) := f (z) f(z) eine elliptische Fnktion. Nach einem Satz der Fnktionentheorie ist f (z) πi f(z) dz G gleich der Anzahl der Nllstellen von f Mins der Anzahl der Pole von f, jeweils nter Berücksichtigng der Vielfachheit. As dem vorhergehenden Satz folgt aber da g elliptisch ist: f (z) πi G f(z) dz = πi = Daras folgt die Assage. Definition: Die Ordnng einer elliptischen Fnktion ist die Anzahl der Pole smmiert nach ihrer jeweiligen Vielfachheit. Die minimale Ordnng einer elliptischen Fnktion ist, wie oben bewiesen, gleich zwei. Dafür gibt es zwei Asprägngen:. Es gibt Fnktionen mit einem Pol.ter Ordnng: (Weierstrassfnktionen). Es gibt Fnktionen mit zwei Polen.ter Ordnng: (Jacobische elliptische Fnktionen) Satz:Jede nicht-konstante elliptische Fnktion der Ordnng n nimmt in jeder Grndmasche, jeden Wert z C nter Berücksichtigng der Vielfachheit gena n-mal an. Beweis Es gilt, dass g := f z wieder eine elliptische Fnktion ist, da sie wieder doppeltperiodisch ist. Daher hat g, n Nllstellen. Nn gilt, dass f an einer Nllstelle von g den Wert z annimmt. Satz:Seien a i die Nll- nd Polstellen innerhalb der Grndmasche G nd r i die Vielfachheit, wobei diese positiv für Nllstellen nd negativ für Pole gezählt wird. Sei G eine Grndmasche af deren Rand kein Pol liegt. Dann existieren m, n Z, so dass gilt: r i a i = mω + nω Beweis Es gilt: zf (z) πi G f(z) dz = a i r i Für den Teil des Integrals der über zwei gegenüberliegende Kanten geht erhalten wir: πi ( α+ω α ( α+ω = πi α = α+ω ( ω πi α zf (z) α+ω f(z) dz + zf (z) f(z) dz f (z) f(z) dz α+ω +ω α+ω ) α = πi zf ) (z) f(z) dz (z + ω )f (z) dz f(z) ) ( ) ω ln f(z) α α+ω Da f(α) = f(α + ω ) existiert ein n Z, so dass ln f(z) α+ω α = πi ( ω ( nπi)) = nω = nπi ist. Also: Ebenso erhält man ein m N, so dass gleiches für das Integral über die anderen beiden Kanten der Grndmasche gilt. Daras folgt die Assage. 5

6 3. Die topologische Strktr von nichtsingären kbischen Krven in CP Die Gleichng einer nichtsinglären kbischen Krve in der projektiven Ebene CP kann af die Form y z = (x a z)(x a z)(x a 3 z) () gegracht werden. Mit x, y, z C nd paarweise nterschiedlichen a i C. Für z konstant ist diese Gleichng eine kbische Krve in C, diese ist eine komplex-eindimensionale Manigfaltigkeit. Mit dem zlassen von z = wird C kompaktifiziert. Für λ gilt, dass (λx, λy, λz) gena dann eine Lösng ist, wenn (x, y, z) eine Lösng der Gleichng () ist. Da beide Tripel in der projektiven Ebene in der gleichen Äqivalenzklasse sind ist dieses ach nötig, damit () wohldefiniert ist. Um die topologische Strktr z nterschen betrachten wir die Projektion p : CP \{( : : )} CP, (x : y : z) (x : z) Die komplexe Gerade CP ist die Kompaktifizierng von C nd wird drch die Riemannsche Zahlenkgel anschalich dargestellt. Für b hat die Gleichng y = b gena zwei verschiedene Lösngen. Damit nd as z sowie x a i z folgt, dass der Pnkt (x : z) CP gena zwei Urbilder af der Krve () hat. Für z nd x = a i z gibt es nr ein Urbild. Für z = wird () z x 3 =. Daher kommt der Pnkt = ( : ) znächst nicht im Bild von p vor. Wenn wir nn aber den Limes des Urbildes von ( : z) betrachten, bekommen wir: (lim z p ( : z)) = ( : : ). Damit gilt, dass jeder Pnkt x CP \{(a : ), (a : ), (a 3 : ), } gena zwei Urbilder in der Projektion p hat. p ist also eher in der Umgebng der Pnkte (a : ), (a : ), (a 3 : ) nd interessant, da die Umkehrabbildng ansonsten lokal bijektiv nd stetig ist. Zr Vereinfachng nehmen wir a = an. Dann bekommen wir für (): y = x(x a )(x a 3 ) mit a a 3 In einer Umgebng von wird (x a )(x a 3 ) nahez konstant. Also haben wir annähernd die Gleichng: y = cx Mit den Lösngen: x = cλ e iϕ, y = cλe iϕ. Wenn ϕ die Werte von bis π annimmt wird eine komplette Umehng m den Pnkt (, ) in CP vollzogen. Angefangen von dem Pnkt (x, y ) verändert diese Drehng das Vorzeichen von y in CP. Drch eine weitere Umehng kommen wir ach in CP zm Asgangspnkt. (Abbildng + ) Betrachten wir nn das Verhalten in der Umgebng von = (, ). Für x = nd z in einer Umgebng von erhalten wir nahez die Gleichng: y = z. In einer Umgebng von entspricht das Verhalten der Krve also dem in der Umgebng der Pnkte a i. Wenn wir nn die Verbindngskrven as CP zwischen a nd a, sowie zwischen a 3 nd entfernen, zerfällt das Urbild der verbleibenden Menge nter p in zwei Zsammenhangskomponenten. Zr Veranschalichng betrachten wir nn einen Pfad δ : [a, b] X, wobei X die kbische Krve in CP darstellt. Betrachten wir nn γ : [a, b] CP mit γ(t) = p(δ(t)]). Es gibt nn z einem vorgegebenen 6

7 Abbildng : Veränderng von ϕ in CP Abbildng : Veränderng von ϕ in CP Anfangspnkt p (γ(a)) gena eine stetige Hebng des Pfades γ af CP. Ein Hebng des Pfades die drch eine der Verbindngskrven verläft wechselt dabei die Zsammenhangskomponente in CP. (Abbildng 3) Abbildng 3: Diese Strktr kann ach anders visalisiert werden. Wenn die einzelnen Zsammenhangskomponenten jetzt an den entfernten Verbindngskrven aseinander gezogen nd verformt werden, kann man sehen, dass diese jeweils topologisch äqivalent z einem halben Tors sind. Unter Berücksichtigng dessen wie die Übergänge zwischen den Urbildern fnktionierten verkleben wir nn die mit "+" gekennzeichneten Schnittseite der einen Torshälfte mit der mit "-" gekennzeichneten der anderen. Womit wir gezeigt haben, dass die ganze Kbische Krve in CP topologisch äqivalent z einem Tors ist (Abbildng ). Abbildng : Eine Parametrisierng einer kbischen Krve in CP kann dargestellt werden als Fnktion f : C CP. Die einfachste Abbildng von C af einen Tors erhält man drch die Zordnng aller Pnkte z + nω + mω n, m Z mit einem Pnkt in CP. Damit sind ω nd ω die Perioden von f. 7

8 Literatr V. Prasolov, Y. Solovyev: Elliptic Fnctions and Elliptic Integrals. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 997 ( ) C.L.Siegel: Vorlesngen über asgewählte Kapitel der Fnktionentheorie. (, ) 8