Achsen eines Parallelogramms. Eckart Schmidt

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1 Achsen eines Parallelogramms Eckart Schmidt Eine Achsenkonstrktion für Ellipsen dürfte hete kam Thema der Schlgeometrie sein Betrachtet man statt der Ellipse ein einbeschriebenes Parallelogramm z konjgierten Drchmessern, so lassen sich drchas Aspekte dieser Konstrktion drch eine vektorielle Ekrsion rnd m das Parallelogramm afzeigen Die Ellipsenachsen verbergen sich dann hinter den hier behandelten Parallelogrammachsen, z denen ein geometrisch leichter Zgang afgezeigt wird, der nterrichtlich in der Analytischen Geometrie thematisiert werden kann Über eine additive Zerlegng des Parallelogramms in die Bachmannschen Qadrate [1] wird abschließend eine einfache Konstrktion der Achsen entwickelt 1 Parallelogrammachsen Spricht man von Achsen, so denkt man normalerweise an Symmetrieachsen Achsensymmetrie liefert aber bei Parallelogrammen schon eine Beschränkng af Raten nd Rechtecke mit doppelter Achsensymmetrie Ein Parallelogramm ist aber pnktsymmetrisch nd jede Pnktspiegelng lässt sich drch zwei Achsenspiegelngen ersetzen, deren Achsen senkrecht zeinander sind Hier sei das Paar orthogonaler Geraden asgewählt, das benachbarte Seiten im gleichen Verhältnis teilt Definition: Die Achsen eines Parallelogramms sind zwei zeinander senkrechte Geraden drch den Diagonalenschnitt, die benachbarte Seiten im gleichen Verhältnis teilen Für Rechteck nd Rate sind die Symmetrieachsen ach Parallelogrammachsen; für ein Qadrat liefert jedes orthogonale Geradenpaar drch den Mittelpnkt Parallelogrammachsen Diese Fälle seien im Folgenden asgeschlossen Ein Parallelogramm ABCD sei rsprngssymmetrisch betrachtet; die Ortsvektoren der Ecken seien a r, b r, a r, b r Teilt eine Achse die Seite AB nd die andere Achse die Seite BC im

2 gleichen Verhältnis κ, so sind die Ortsvektoren der Teilngspnkte: r κ r r r κ r r a ( a b) nd b ( a b) 1 κ 1 κ Wegen der Orthogonalität der Achsen mss das Skalarprodkt Nll werden, dh κ der Gleichng genügen: r r a b κ r κ 1 = 0 ab r Sieht man von Rechtecken nd Raten ab, so hat die Gleichng immer zwei Lösngen mit Prodkt 1, dh beide Lösngen beschreiben das gleiche orthogonale Achsenpaar Die Lösngen 4 4 b a ± a a b cosϕ b κ 1, =, ϕ = AOB abcosϕ seien hier nicht weiter thematisiert Eine Konstrktion der Achsen bleibt vorerst offen Wählt man die Parallelogrammachsen als kartesische Koordinatenachsen nd gibt den Parallelogrammpnkt A(p;q) nd damit ach den Gegenpnkt C(-p;-q) vor, so folgt für den Zwischenpnkt B(;v) as der Definition mit Hilfe der Strahlensätze q = v AX XB = BY YC = p ; dh v = Damit lässt sich z einem Pnkt A(p;q), der nicht af den Achsen liegt, jeder Pnkt der Hyperbel mit der Gleichng y = als Folgepnkt wählen, so dass ein Parallelogramm entsteht, dessen Achsen die Koordinatenachsen sind Für die Ecken e- istiert dann folgende Koordinatendarstellng: A ( p; q), B( ; ), C( p; q), D( ; )

3 Affine Bildqadrate Parallelogramme sind affine Bilder von Qadraten Die Parallelogrammachsen erweisen sich als zgehörige Achsen normaler Achsenaffinitäten Satz 1: Die Achsen eines Parallelogramms sind die Achsen von normalen Achsenaffinitäten, die das Parallelogramm in ein Qadrat überführen Beweis: Für die -Achse als Affinitätsachse mit dem Affinitätsfaktor µ hat ein Bildparallelogramm die Ecken A ( p; µ q), B ( ; µ ), Dieses Parallelogramm ist ein Qadrat, wenn die zgehörigen Ortsvektoren die gleiche Länge haben nd senkrecht zeinander sind Dies ist der Fall für µ ± = ± q Entsprechend erhält man für die y-achse als Affinitätsachse ± q Bildqadrate mit dem Faktor µ y = ± Damit ergeben sich für das Parallelogramm vier affine Bildqadrate: z µ : Q A ( p; ), B ( ; ), 1 : 1 1 p : A ( p; ), B( ; p z µ : Q ), z µ y : Q3 : A3 ( ; q), B3 ( q; ), z µ y : Q4 : A4 ( ; q), B4( q; ), Die Qadrate nd bzw nd Q liegen symmetrisch Q1 Q Q3 4 Q1 Q3 Q zr -Achse bzw y-achse; die Qadrate nd bzw nd Q 4 liegen jeweils perspektiv zm Ursprng Af eine Konstrktion dieser affinen Bildqadrate wird hier nicht eingegangen

4 3 Bachmannsche Qadrate Wenn einem Parallelogramm Qadrate zgeordnet werden, sollte an eine Parallelogrammzerlegng erinnert werden, die sich bei Bachmann findet [1] Danach besitzt jedes Parallelogramm eine eindetige additive Zerlegng in zwei schwerpnktsgleiche Qadrate entgegengesetzten Umlafsinns Diese Zerlegng soll hier afgegriffen werden Daz seien rsprngssymmetrische Parallelogramme als Paare der Ortsvektoren ihrer ersten beiden Ecken beschrieben: P = ( a, b) r r Ursprngssymmetrische Qadrate entgegengesetzten Umlafsinns lassen sich dann darstellen in der Form: Q = ( a r, Da r r r ) nd, Q = ( a, Da) wobei D eine 90 -Drehng beschreibt: y D = y Die Ortsvektoren a r nd a r der ersten Ecken der Bachmannschen Qadrate ergeben sich as dem Ansatz r r r r r r P = Q Q ( a, b) = ( a, Da ) ( a, Da) r 1 r r r 1 r r z a = ( a Db) nd a = ( a Db) Die Konstrktion der beiden Bachmannschen Qadrate entnimmt man entsprechend der vektoriellen Darstellng nmittelbar der Abbildng Eine Beschreibng findet sich bei der abschließenden Achsenkonstrktion Die Bachmannschen Qadrate eines Parallelogramms stehen in engem geometrischen Bezg z den affinen Bildqadraten Q 1, Q, Q 3, Q 4 Satz : Der Mittelwert zweier affiner Bildqadrate gleichen Umlafsinns ergibt ein Bachmannsches Qadrat des Parallelogramms

5 Beweis: Zm Beweis bestätigt man leicht: 1 P = ( Q1 Q Q3 Q4 ) 1 1 = ( Q Q4 ) ( Q1 Q3 ) = Q Q 4 Napoleonische Qadrate Der Satz von Fermat-Napoleon mfasst eine Reihe von geometrischen Assagen Hier sei in Verallgemeinerng der folgende Zsammenhang afgegriffen [3]: Zeichnet man z den Seiten eines Parallelogramms Qadrate gleichen Umlafsinns, so bilden die Mittelpnkte dieser Qadrate wieder ein Qadrat Wir sprechen von den Napoleonischen ± ± ± ± Qadraten Na Nb Nc Nd eines Parallelogramms Für die Ortsvektoren der Ecken ergibt sich : 1 r 1 r 1 r 1 r ± r r ± r r Na : ( a b) m D( a b), L, Nd : ( a b) m D( a b) Die Seitenmitten dieser Qadrate ± ± 1 r r r zb von : ( a m Db) = a N d N a ± sind die Ecken der Bachmannschen Qadrate Damit ergibt sich eine weitere einfache Konstrktionsmöglichkeit der Bachmannschen Qadrate Satz 3 Die Seitenmittenqadrate der Napoleonischen Qadrate sind die Bachmannschen Qadrate eines Parallelogramms 5 Achsenkonstrktion Es wäre schade, die afgezeigten geometrischen Zsammenhänge ohne eine Konstrktionsmöglichkeit der Parallelogrammachsen abzschließen Asgangspnkt ist die Konstrk-

6 tion der Bachmannschen Qadrate, zmindest zweier entsprechender Pnkte Die Bachmannschen Qadrate sind die Mittelwerte jeweils zweier affiner Bildqadrate gleichen Umlafsinns: Q perspektiv z Q nd Q 4, Q - perspektiv z Q 1 nd Q 3, Q 1 nd Q symmetrisch zr -Achse, Q 3 nd Q 4 symmetrisch zr y-achse Damit sind die Achsen des Parallelogramms die Symmetrieachsen der Ursprngsgeraden z entsprechenden Pnkten der beiden Bachmannschen Qadrate Hieras ergeben sich zb folgende zwei Konstrktionsmöglichkeiten für die Parallelogrammachsen Konstrktion 1: Dreht man zb den Parallelogrammpnkt B m ± 90 m den Diagonalenschnitt O nd verbindet die Bildpnkte P nd P mit dem Pnkt A, so sind die Mittelpnkte dieser Verbindngsstrecken die Asgangspnkte A nd A der Bachmannschen Qadrate Die Symmetrieachsen der Ursprngsgeraden OA nd OA sind dann die Achsen des Parallelogramms Konstrktion : Zeichnet man Qadrate zb mit den Diagonalen AD nd AB, betrachtet die Mittelpnkte der äßeren bzw inneren Qadratpnkte sowie die zgehörigen Ursprngsgera-

7 den, dann sind die Symmetrieachsen dieser Ursprngsgeraden die Parallelogrammachsen 5 Ellipsenachsen Z einer Ellipse in Normallage mit der Gleichng y = 1 b a werden zwei konjgierte Drchmesser betrachtet mit den Endpnkten ay b A ( o ; yo), B( o o ayo bo ; ), C( o ; yo), D( ; ) b a b a Dann werden die Seite AB drch die -Achse nd BC drch die ayo y-achse im gleichen Verhältnis bzw die Seite AB drch bo die y-achse nd BC drch die -Achse im gleichen Verhältnis bo geteilt Damit sind die Ellipsenachsen als Koordinatenachsen ach die ayo Parallelogrammachsen Satz 4 Die Parallelogrammachsen sind die Achsen einer mbeschriebenen Ellipse, für die die Parallelogrammdiagonalen konjgierte Drchmesser sind Entsprechend lässt sich zeigen, dass die Parallelogrammachsen die Achsen einer einbeschriebenen Ellipse sind, deren Berührpnkte in den Seitenmitten liegen Die obige Konstrktion der Parallelogrammachsen lässt sich also als weitere Konstrktionsmöglichkeit für die Ellipsenachsen z vorgegebenen konjgierten Halbmessern betrachten Ein Vergleich der bekanntesten Konstrktionen der Ellipsenachsen zb nach Rytz oder Jacobi findet sich bei Sieber [] Die hier beschriebene Konstrktionsmöglichkeit ähnelt eher der Rytzschen Achsenkonstrktion Dabei liegt der Reiz im geometrischen Hintergrnd einer additiven Zerlegng des Parallelogramms in seine Bachmannschen Qadrate nd deren Bezg z den Napoleonischen Qadraten Literatr [1] F Bachmann / E Schmidt: n-ecke BI- Hochschltaschenbch 471/471a, Bibliographisches Institt AG, Mannheim 1970, S 156 [ ] H Siebert: Wie die Konstrktionen von Rytz nd Jacobi miteinander zsammenhängen PM 5 (1983), Nr, S 50

8 [3] E Schmidt: Affin-regläre n-ecke nd ihre reglären Komponenten MNU 39/4 (1986), S195 Eckart Schmidt - Hasenberg 7 - D 43 Raisdorf de eckart_schmidt@t-onlinede