1 Pythagoräische Zahlentripel

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1 1 Pythagoräische Zahlentripel Wir fragen ns nn, welche natürlichen Zahlen die Gleichng 2 + y 2 = 2 lösen. Übng 1 Finden Sie Zahlentripel (; y; ) 2 N 3, mit 1 ; y < ; welche die Gleichng 2 + y 2 = 2 lösen. : Übng 2 Beweisen Sie: Lemma 3 Es gibt keine Lösng der Gleichng 2 + y 2 = 2 mit ngeradem nd y: Also ist oder y gerade (oder beide). Ohne Einschränkngen gehen wir somit im Folgenden davon as, sei gerade. Übng 4 Beweisen Sie: Lemma 5 Mit einer Lösng ( 0 ; y 0 ; 0 ) ist ach jedes Vielfache (k 0 ; ky 0 ; k 0 ) Lösng von 2 + y 2 = 2 : Somit interessieren ns nr Lösngen ( 0 ; y 0 ; 0 ), die keinen gemeinsamen Teiler haben. Damit lassen sich dann drch beliebige Mltiplikation weitere Lösngen eregen. Übng 6 Wir haben nn geeigt, dass das Tripel ( 0 ; y 0 ; 0 ) keinen gemeinsamen Teiler hat. Überlegen Sie: Können wei der drei Zahlen einen gemeinsamen Teiler haben? Übng 7 Zeigen Sie: Für Lösngen gilt stets: 1 = + y 1

2 Damit ist: bw.: Beeichnen wir nn so mss gelten: + y + y = 1 = 1 +y =: c = 1 c Übng 8 Zeigen Sie, dass gilt : = 1 2 (c + 1 c ) nd y = 1 2 (c 1 c ) Betrachten wir nn für c die Darstellng als gekürten Brch (da c = v = +y nd c = v interessieren nr Lösngen grösser 1, also > v) so ist = 1 2 v + v = 2 + v 2 y = 1 v 2 v = 2 v 2 Übng 9 v ist ja ein gekürter Brch. Somit ist (; v) = 1: Beweisen Sie, dass dann ach 2 +v 2 v nd 2 v 2 v gekürter Brüche sind (m den Faktor 2 kümmern wir ns danach), also : Lemma 10 Sei (; v) = 1; dann ist ( 2 v 2 ; ) = ( 2 v 2 ; ) = 1 Somit sind obige Brüche in gekürter Darstellng entweder 2 v 2 a b = 2 v oder a b = 2 v 2 Welche nd v sind nn möglich? 2

3 Übng 11 Argmentieren Sie, kann es sein, dass a) nd v beide gerade sind? b) beide ngerade sind? Somit mss nn von nd v ein Wert gerade nd einer ngerade sein. Damit ist aber 2 v 2 ngerade nd weder drch noch drch v teilbar nd der Brch vollständig gekürt. 2 v 2 Damit sind aber die Lösngen gefnden gemäß: = y = 2 v 2 = 2 + v 2 Übng 12 Erstellen wir nn die Zahlentripel bis v < < 5; (; v) = 1; ein Wert gerade ein Wert ngerade.: Übng 13 Vervollständigen Sie die Liste für alle Werte 5 > > v: Was passiert? Übng 14 Erstellen Sie hieras einen Psedo-Code für Pythagoräische Primahltripel. 3

4 2 Pythagoräische Zahlentripel Wir fragen ns nn, welche natürlichen Zahlen die Gleichng lösen. 2 + y 2 = 2 Übng 1: Finden Sie Zahlentripel (; y; ) 2 N 3, mit 1 ; y < ; welche die Gleichng 2 + y 2 = 2 lösen. Bsp.: (3; 4; 5); (8; 6; 10); (5; 12; 13) Lemma 15 Es gibt keine Lösng der Gleichng 2 + y 2 = 2 mit ngeradem nd y: Beweis: Wären beide ngerade, so liefert die Division drch 8, da n(n + 1) stets gerade ist: = (2n + 1) 2 = (2n + 1) 2 = 4n 2 + 4n + 1 = 4n(n + 1) + 1 = 8k + 1 also einen Divisionsrest von 1. (Ebenso für y). Insgesamt leifert 2 + y 2 somit einen Divisionsrest von 2: 2 + y 2 = 8k l + 1 = 8m + 2 Für ngerades ist aber der Divisionsrest ebenfalls 1, für gerades ist a) = 4n : b) = 4n = 16n 2 = 8n = 16n n + 4 = 8p + 4 Somit ist dann nr eine Divisionrest von 0 oder 4 möglich. q.e.d. Also ist oder y gerade (oder beide). Ohne Einschränkngen gehen wir somit im Folgenden davon as, sei gerade. 4

5 Lemma 16 Mit einer Lösng ( 0 ; y 0 ; 0 ) ist ach jedes Vielfache (k 0 ; ky 0 ; k 0 ) Lösng von 2 + y 2 = 2 : Bew.: (k 0 ) 2 + (ky 0 ) 2 = k 2 ( y 2 0) = k = (k 0 ) 2 Somit interessieren ns nr Lösngen ( 0 ; y 0 ; 0 ), die keinen gemeinsamen Teiler haben. Damit lassen sich dann drch beliebige Mltiplikation weitere Lösngen eregen. Weiterhin können ach nd bw. y nd keinen gemeinsamen Teiler haben, da dieser dann ach Teiler der dritten Größe wäre,.b. wäre einem Teiler b nd p Primteiler von b : = p 0 ; = p 0 dann ist ach y 2 = 2 2 = p p = p 2 ( ) damit teilt p 2 das y 2 ; nd insbesondere pjy 2 ;also wegen : pjab =) pja oder pjb Damit mss p ach y teilen. Es ist Damit ist: 2 + y 2 = 2 2 = 2 y 2 2 y 2 1 = = + y = + y = 1 +y Beeichnen wir nn + y =: c so mss gelten: = 1 c Addition der beiden Gleichngen ergibt + y + = 2 = c + 1 c = 1 2 (c + 1 c ) 5

6 nd Sbtraktion + y = 2 y = c 1 c y = 1 2 (c 1 c ) Betrachten wir nn für c einen beliebigen gekürten Brch c = v (da c = v = +y nd interessieren nr Lösngen grösser 1, also > v) so ist = 1 2 v + v = 2 + v 2 y = 1 v 2 v = 2 v 2 Znächst sei bemerkt, dass ein Teiler von (oder analog v) ach 2 teilt, aber wegen der Teilerfremdheit von nd v nicht den Wert 2 v 2 : Lemma 17 Sei (; v) = 1; dann ist ( 2 v 2 ; ) = ( 2 v 2 ; ) = 1 Bew.: Sei a ein Teiler von nd damit ist a Teiler von 2 : Wäre a Teiler von 2 v 2 ; so ach von 2 v 2 2 = v 2 : Jeder Primteiler von a würde damit nd v teilen nd damit wäre (; v) > 1: v Somit sind obige Brüche in gekürter Darstellng entweder a) 2 v 2 = 2 v oder b) = 2 v 2 Welche nd v sind nn möglich? Beide gerade scheidet as, da der Brch ja gekürt gewesen sein sollte. 6

7 Beide ngerade bedetet aber im Fall a) dass der Nenner ngerade wird. Af der linken Seite hat der gekürte Brch einen geraden Nenner, welches nicht geht. Im Fall b) wird damit der Zähler gerade, weshalb der Brch gar nicht gekürt war. Somit mss nn von nd v ein Wert gerade nd einer ngerade sein. Damit ist aber 2 v 2 ngerade nd weder drch noch drch v teilbar nd der Brch vollständig gekürt. 2 v 2 Damit sind aber die Lösngen gefnden gemäß: = y = 2 v 2 = 2 + v 2 Für beliebige Zahlen sind dies Lösngen, da 2 + y 2 = 4 2 v v 2 + v 4 = v 2 + v 4 = ( 2 + v 2 ) 2 = 2 Für die teilerfremden Fndamentallösngen berechnen wir diese nter der sätlichen Bedingng: > v 1 (; v) = 1 ein Wert gerade, einer ngerade Erstellen wir nn die Zahlentripel bis ma = 4 : v y Gleichng = = = =625 Nehmen wir alle > v, so erhalten wir weitere Lösngen (als Vielfache dort bereits aftachender Lösngen).B. 7

8 v y Gleichng = =400 Somit erhalten wir eine Zahlentripelgenerator mit Hilfe des folgenden Psedo- Codes: Sb GeneratePythTripel(nma) For = 2 to nma For v=1 to -1 =2**v; y= * - v*v; =*+v*v; Print (,y,); net v net end 8