DCF. Lutz Kruschwitz 1. und. Andreas Löffler 2. Diskussionspapier Nr. 265/2002. Fakultät Wirtschaftswissenschaften Universität Hannover.

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1 DCF Ltz Krschwitz 1 nd Andreas Löffler 2 Diskssionspapier Nr. 265/2002 Fakltät Wirtschaftswissenschaften Universität Hannover Abstract Diese Diskssionsarbeit stellt einen wichtigen Bastein z einer geplanten Monographie über die Theorie der DCF-Verfahren dar. Es gibt viele Veröffentlichngen z diesem Thema, die nach Ansicht der Verfasser ein Problem afweisen: sie fßen nicht af einem stringenten Konzept des Begriffes Kapitalkosten. In dieser Monografie werden Kapitalkosten als bedingte erwartete Renditen verstanden; es ergibt sich dann die Afgabe, alle Assagen über DCF- Verfahren af dieser Definition afbaend herzleiten. Dabei zeigen sich eine zahlreiche Zsammenhänge beispielsweise über andere als die klassischen Finanzierngspolitiken wie atonom nd wertorientiert), die in der Literatr noch nicht bekannt sind. Die vorliegende Arbeit ist in mehrfacher Hinsicht nvollständig. Sie konzentriert sich erstens af risikoloses Fremdkapital, was zwar einer in der Theorie der Unternehmensbewertng üblichen Tradition entspricht, aber sehr realitätsfern ist. Sie konzentriert sich zweitens af Steern af Unternehmensebene nd blendet Steern af Gesellschafterebene vollkommen as. Die Verfasser arbeiten daran, ihre Überlegngen in Bezg af beide Aspekte z verallgemeinern. 1 Freie Universität Berlin, Boltzmannstr. 20, Berlin, LK@wacc.de. 2 Universität Hannover, Königsworther Platz 1, Hannover, AL@wacc.de

2 III Vorwort Wir danken dem Verein zr Förderng der Zsammenarbeit von Lehre nd Praxis am Finanzplatz Hannover e.v., ohne dessen großzügige Unterstützng ns vieles schwerer gefallen wäre. Ltz Krschwitz dankt Ingrid Krschwitz, die sich nie beklagte, wenn er nächtelang am PC saß. Bernover, am 5. November 2002 Ltz Krschwitz & Andreas Löffler

3 IV

4 Inhaltsverzeichnis 1 Grndlagen Das Problem Cashflows Steern Kapitalkosten Das Modell Zeit Unsicherheit Bedingte Erwartngen Notation Rechenregeln Beispiel Ein erster Blick af Unternehmenswerte Bewertngskonzepte Eine erste Bewertngsgleichng Fndamentalsatz der Preistheorie Weiterführende Literatr Risikoloses Fremdkapital Unverschldete Unternehmen Bewertngsgleichng des nverschldeten Unternehmens Fndamentalannahme Grndsätzliches über verschldete Unternehmen Eigen nd Fremdkapital Gewinn nd Steern Bewertngsrelevante Formen der Finanzierngspolitik Atonome Finanzierng APV) Marktwert orientierte Finanzierng FTE, TCF, WACC) Eqity Approach Total Cashflow Approach WACC Approach Miles Ezzell nd Modigliani Miller Anpassng Bchwert orientierte Finanzierng Annahmen Vollasschüttngspolitik V

5 VI INHALTSVERZEICHNIS Nr Ersatzinvestitionen Cashflow orientierte Investitionspolitik Cashflow orientierte Finanzierng Dividenden orientierte Finanzierng Weiterführende Literatr Beweise Beweis der Sätze 2.2 nd Beweis des Satzes Beweis des Satzes Beweis der Sätze 2.18 nd Beweis des Satzes

6 Kapitel 1 Grndlagen 1.1 Das Problem DCF Verfahren sind in aller Mnde. Nicht nr Finanzierngsfachlete, sondern ach Wirtschaftsprüfer, Investmentbanker nd Unternehmensberater disktieren derzeit die Vor nd Nachteile der Methoden des disconted cash flow. Dieses Bch will sich an der Diskssion beteiligen nd daz einen theoretischen Beitrag leisten. Wer sich mit DCF Verfahren beschäftigt, stößt nvermeidlich af eine Reihe von immer wiederkehrenden Begriffen. So ist typischerweise davon die Rede, dass es bei der Bewertng eines Unternehmens darm geht, dessen zkünftige Zahlngsüberschüsse nter Berücksichtigng von Steern mit angemessenen Kapitalkosten z diskontieren. Um eine solche Assage recht z verstehen, mss man offensichtlich drei Dinge klären: erstens mss man begreifen, was Zahlngsüberschüsse sein sollen; zweitens bracht man geeignete Vorstellngen von den Steern, die z berücksichtigen sind; nd drittens benötigt man Informationen über die korrekten Kapitalkosten. Die Zahlngsüberschüsse, welche z diskontieren sind, nennt man ach Cashflows. Nirgends in der Literatr ist dieser Begriff eindetig definiert, weswegen man sicher sein kann, dass zwei Ökonomen, die im Zsammenhang mit der Unternehmensbewertng von Cashflows sprechen, niemals an ein nd denselben Gegenstand denken. Die Leser dieses Bches erwarten vielleicht, dass wir im Detail asführen, wie man die z diskontierenden Cashflows ermittelt. Diese Hoffnngen werden wir enttäschen. Im Wesentlichen werden wir ns daraf beschränken, den Unterschied zwischen Brtto Cashflows nd freien Cashflows heraszarbeiten. Es ist einigermaßen klar, wovon die Rede ist, wenn bei der Unternehmensbewertng von Steern gesprochen wird. Der Gesetzgeber lässt keinen Zweifel daran, welche Zahlngen an den Staat Steern darstellen. Ferner ist jedem, der mit Unternehmensbewertng z tn hat, bewsst, dass insbesondere an die gewinnabhängigen Steern z denken ist. Schließlich weiß 1

7 2 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN jeder Bewerter, dass es solche Steern sowohl af Unternehmensebene als ach af der privaten Ebene der Unternehmenseigner gibt. In Detschland ist beispielsweise af Unternehmensebene an die Körperschaft nd die Gewerbesteer z denken, af der Gesellschafterebene an die Einkommensteer. Dieses Bch wendet sich aber nicht an Leser, die an Details über ein bestimmtes nationales Steersystem interessiert sind. Deswegen haben wir nicht vor, das britische, das detsche oder das US amerikanische Steersystem im Einzelnen vorzstellen. Vielmehr werden wir nseren Überlegngen ein stilisiertes Steersystem zgrnde legen. Ach in diesem Pnkt mögen einige Leser andere Erwartngen haben. Ziemlich nscharf bleibt im Regelfall, was bei der Unternehmensbewertng mit Kapitalkosten gemeint ist. Wer die einschlägige Literatr z Rate zieht, findet jedenfalls nach nserer Meinng keine wirklich klare Definition des Begriffs. Das zwingt ns z einer verhältnismäßig intensiven Aseinandersetzng mit der Frage, was Kapitalkosten sind. Im Folgenden werden wir af Cashflows, Steern nd Kapitalkosten genaer eingehen Cashflows Um ein DCF Verfahren anwenden z können, mss der Unternehmensbewerter die Cashflows schätzen, die das Unternehmen in der Zknft abwerfen wird. Das führt af zwei Probleme, die man gt voneinander trennen kann. Zm einen geht es m die Frage, was eigentlich z schätzen ist Was sind Cashflows? ), zm anderen m die Frage, wie man diese Größen denn schätzen soll Wie schätzt man künftige Cashflows? ). Bei der ersten Frage handelt es sich m eine Definitionsafgabe, bei der zweiten m ein Prognoseproblem. Wir konzentrieren ns af das erste Thema. Brtto Cashflow Unter Brtto Cashflow verstehen wir Zahlngsüberschüsse, die mit der regelmäßigen Geschäftstätigkeit erwirtschaftet werden. Man kann sie entweder an die Kapitalgeber aszahlen oder im Unternehmen behalten, also Investitionen realisieren. Da es zwei Klassen von Kapitalgebern gibt, nämlich Eigentümer nd Gläbiger, handelt es sich bei den Zahlngen an die Finanziers entweder m Zinsen nd Tilgngsleistngen oder m Dividenden nd Kapitalherabsetzngen, siehe Tabelle 1.1. Im Fall, dass Steern vom Brtto Cashflow noch nicht abgezogen sind, sprechen wir vom Brtto Cashflow vor Steern. Wer den Brtto Cashflow eines real existierenden Unternehmens für ein bereits abgelafenes Geschäftsjahr z ermitteln hat, greift im Regelfall af Jahresabschlüsse dieses Unternehmens zrück. Er stdiert Bilanzen, Gewinn nd Verlstrechnngen nd eventell ach Cashflow Statements. Wie man dabei im Einzelnen vorzgehen hat, hängt stark davon ab, nach welchen Rechtsvorschriften die Jahresabschlüsse angefertigt worden sind nd wie die Manager des Unternehmens die hier existierenden Gestaltngsrechte gentzt haben. Es macht große Unterschiede, ob wir eine detsche Kapitalgesellschaft vor ns haben, die einen Abschlss nach dem Gesamtkostenverfahren vorlegt nd dabei den IAS International Acconting Standards) folgt, oder ob es sich m eine US amerikanische Gesellschaft handelt, die nach dem Umsatzkostenverfahren abschließt nd US GAAP General Accepted Acconting Principles) beachtet. Man kann keine einheitliche Vorgehensweise beschreiben, wenn für beide Unternehmen der Brtto Cashflow des vergangenen Geschäftsjahres berechnet werden soll. Damit wollen wir rechtfertigen, dass wir über die Ermittlng von Brtto Cashflows hier nichts weiter sagen.

8 1.1. DAS PROBLEM 3 Freier Cashflow Unternehmen müssen kontinierlich investieren, wenn sie am Wettbewerb teilnehmen wollen. Man pflegt diese Investitionen in Erweiterngs nd Erhaltngsinvestitionen z ntergliedern. Erweiterngsinvestitionen dienen einer Asweitng der Kapazitäten nd sind nverzichtbar, wenn das Unternehmen wachsen soll. Die Erhaltngsinvestitionen dienen dagegen der Afrechterhaltng des stats qo. Man pflegt sie daher typischerweise in Höhe der Abschreibngen anzsetzen. Wir gehen davon as, dass das z bewertende Unternehmen in jeder Periode Investitionen z realisieren gedenkt. Vernünftigerweise sind das nr Investitionsprojekte, die nter ökonomischem Blickwinkel attraktiv sind. Die Diffe- Brtto Cashflow vor Steern Aszahlngen für Investitionen = freier Cashflow vor Steern Steern = freier Cashflow Aszahlngen an Gläbiger Zinsen, Tilgng) Aszahlngen an Eigentümer Dividende, Kapitalherabsetzng) = nll Tabelle 1.1: Freier nd Brtto Cashflow renz zwischen Brtto Cashflow nach Steern nd Investitionsbetrag bezeichnen wir als den freien Cashflow des Unternehmens. Dieser Betrag kann an die Kapitalgeber des Unternehmens verteilt werden. Bei den Kapitalgebern handelt es sich einerseits m die Eigentümer nd andererseits m die Kreditgeber. Prognose von Cashflows Der praktisch tätige Unternehmensbewerter mss einen erheblichen Teil seiner kostbaren Zeit af die Prognose zkünftiger Cashflows verwenden, denn es kommt nicht af historische Zahlngsüberschüsse an, sondern af Cashflows, die das z bewertende Unternehmen in der vor ihm liegenden Zeit abwerfen wird. Arbeiten theoretischer Ökonomen sind bei dieser wichtigen Tätigkeit im Allgemeinen nr von begrenztem Ntzen. Wir werden in diesem Bch gar nichts darüber sagen Steern Ertrag, Sbstanz nd Verkehrsteern Unter wirklichkeitsnahen Umständen hat es ein Unternehmen nicht nr mit einer einzigen Steerart z tn. Wir nterscheiden gewöhnlich zwischen Ertragsteern zm Beispiel Einkommensteer), Sbstanzsteern zm Beispiel Grndsteer) nd Verkehrsteern beispielsweise Umsatzsteer nd viele weitere). Für die Zwecke, die wir in diesem Bch verfolgen, spielen die Verkehrsteern keine nennenswerte Rolle. 1 Ach mit Sbstanzsteern pflegt man sich im Rahmen der Literatr zr Unternehmensbewertng nicht besonders intensiv aseinander z setzen. Wir folgen dieser Konvention nd konzentrieren ns im Weiteren ganz af Ertragsteern. Unternehmens nd Personensteern Ertragsteern werden sowohl af der Ebene der Gesellschaft als ach af der Ebene der Gesellschafter erhoben. Wir werden im ersten Fall von 1 Sie stellen einfach eine Komponente der Cashflows dar nd interessieren sonst nicht weiter.

9 4 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Unternehmenssteern, im zweiten Fall von Personensteern sprechen. In den USA ist bei den Unternehmenssteern an die Körperschaftsteer z denken; af Gesellschafterebene fällt darüber hinas Einkommensteer af Bndes nd lokaler Ebene) an. Unsere Leser dürfen nicht erwarten, dass wir af Details des amerikanischen oder eines anderen nationalen Steersystems eingehen. Wir haben nicht vor, die Besonderheiten nationaler Steerrechte mit ihren nüberschabaren Einzelheiten in diesem Bch z behandeln. Dafür haben wir zwei Gründe. Zm einen nterliegen nationale Steergesetze ständigen Änderngen. Jede solche Veränderng würde eine Neaflage des Bches erforderlich machen. Uns geht es aber hier m eine allgemeine Theorie, die in der Lage ist, mit den prinzipiellen Eigenschaften des Steerrechts mzgehen. Zm anderen sind die DCF Verfahren Bewertngstechniken, die in vielen Ländern der Welt angewandt werden. Wir müssten daher nicht nr ein einziges Steerrecht, sondern die Steergesetze aller wichtigen Indstrienationen behandeln. Dies aber würde den gewünschten Umfang des Bches sprengen. Wer den Wert eines Unternehmens mit dem Grenzpreis as der Sicht einer natürlichen Person identifiziert, dem bleibt nichts anderes übrig, als sowohl Unternehmens als ach Personensteern z berücksichtigen. 2 Wir werden womöglich zm fortschreitenden Missvergnügen nserer Leser ach diesen Grndsatz verletzen nd ns asschließlich af Unternehmenssteern beschränken. Hierfür haben wir keinen anderen Grnd als die Tatsache, dass wir kein hinreichend verlässliches Fndament nter den Füßen haben, m den an sich gebotenen Weg der Berücksichtigng von Personensteern z beschreiten. Wir sind ferner davon überzegt, dass es schwierig geng ist, die Unternehmenssteer theoretisch korrekt in die Bewertngsgleichngen einzbeziehen. As diesem Grnde bitten wir m Nachsicht, wenn wir Überlegngen z den Personensteern asblenden. Merkmale einer Steer Um eine Steer genaer z kennzeichnen, ist es hilfreich, sich mit drei Eigenschaften z beschäftigen, die bei jeder Steerart beobachten werden können. So interessiert znächst die Frage, wer die Steer zahlen mss: dies ist das Steersbjekt. Die Bemessngsgrndlage bringt zm Asdrck, wie der Gegenstand der Besteerng qantifiziert wird. Und schließlich beschreibt der Steertarif den fnktionalen Zsammenhang zwischen der Steerschld nd der Bemessngsgrndlage. Wir charakterisieren die Unternehmenssteer im Folgenden hinsichtlich der genannten drei Merkmale. Steersbjekt nd objekt Das Steersbjekt beschreibt, wer die Steer ökonomisch z tragen hat. Das ist in nserem Fall das z bewertende Unternehmen. Gegenstand der Besteerng, das Steerobjekt, ist die gewerbliche Tätigkeit des Unternehmens. Der Eigentümer des Unternehmens der Investor) nterliegt annahmegemäß keiner Steerpflicht. Alle seine Geschäfte ach seine Engagements am Kapitalmarkt bleiben nbesteert. Bemessngsgrndlage Gegenstand der Besteerng sind die Erwerbsaktivitäten des Unternehmens. Die Steer bemisst sich nach einer Größe, die man landläfig als Gewinn bezeichnet. Denkt man an die amerikanische Körperschaftsteer, so stellt man sich darnter zweckmäßigerweise den Steerbilanzgewinn vor. Hat man dagegen die detsche Gewerbesteer im 2 In Detschland entspricht das der Sichtweise des Berfsstandes der Wirtschaftsprüfer, siehe Institt der Wirtschaftsprüfer in Detschland 2000).

10 1.1. DAS PROBLEM 5 Age, so ist der so genannte Gewerbeertrag die Bemessngsgrndlage. Steertarif Wendet man den Steertarif af die Bemessngsgrndlage an, so ergibt sich die Steerschld. Praktisch beobachtet man lineare nd nicht lineare Tariffnktionen. Wir werden mit einem linearen Steertarif arbeiten nd weder Freibeträge noch Freigrenzen berücksichtigen. Die Steerschld wird ermittelt, indem die Bemessngsgrndlage mit einem Steersatz mltipliziert wird, von dem wir annehmen, dass er von der Bemessngsgrndlage nabhängig ist. Darüberhinas werden wir annehmen, dass der Steersatz im Bewertngszeitpnkt bekannt nd absolt nveränderlich ist! Das ist eine sehr weitgehende Annahme, nd wir sind ns der daras folgenden Beschränkng drchas bewsst. Unseres Erachtens sind nsichere Steersätze in der Literatr bisher aber nr sehr vereinzelt nd bei den DCF Verfahren bis hete überhapt nicht disktiert worden. Hier besteht zwischen Theorie nd Praxis eine erhebliche Lücke, die wir mit diesem Bch nicht werden schließen können. Der praxisorientierte Leser wird nsere Vorgehensweise für sehr realitätsfremd halten. Wir werden im vorliegenden Bch später viel über sichere nd nsichere Steervorteile sprechen. Wenn wir dies hier ankündigen nd später ach verwirklichen, so dürfte der Praktiker nicht z Unrecht die wichtigste Qelle der Unsicherheit in künftigen nbekannten Steertarifen vermten. Trotzdem schließen alle ns bekannten DCF Verfahren gerade diese Qelle der Unsicherheit bereits im Vorfeld as. Wir haben hier noch ein weites Forschngsfeld vor ns Kapitalkosten Ob die Leser dieses Bches an einer saberen Kapitalkostendefinition besonderes Interesse haben, wissen wir nicht. Unserer Überzegng nach ist sie für eine theoretische Aseinandersetzng mit den DCF Verfahren von erheblicher Bedetng. Wir würden ns freen, wenn nsere Leser hierfür Verständnis hätten oder ein solches Verständnis bei der Lektüre dieses Bches wenigstens entwickeln. Erwartete Renditen nd Diskontierngssätze Um einen ersten Begriff von den Kapitalkosten z gewinnen, werfen wir einen Blick in die Lehrbücher. Oft ist davon die Rede, dass Kapitalkosten erwartete Renditen sind. So ntzen beispielsweise Copeland nd Weston 1988, p. 401) den Asdrck rate of retrn statt cost of capital, m die Bewertngsgleichng für ein Unternehmen vorzstellen. Brealey nd Myers 2000, p. 20) schreiben explizit, dass the cost of capital is the expected rate of retrn demanded by investors in common stocks or other secrities sbject to the same risks as the project. Ach de Matos 2001, p. 43) erklärt, dass es sich bei Kapitalkosten m erwartete Renditen handeln soll. Diese Version des Begriffs der Kapitalkosten wird all jenen Wissenschaftlern zsagen, die mit empirischen Daten arbeiten. In allen ns bekannten empirischen Unterschngen werden jedenfalls immer Renditen ermittelt, wenn Kapitalkosten berechnet werden sollen. 3 Wir finden in der Literatr jedoch ach einen hiermit nicht notwendigerweise übereinstimmenden Vorschlag, den Begriff der Kapitalkosten mit Leben z füllen. Dabei geht es m die Idee, dass sich Kapitalkosten als Diskontierngssätze für zkünftige Cashflows eignen 3 Empirische Arbeiten ntzen im Regelfall die Ex post Version des CAPM, nd dort sind Kapitalkosten bereits per Definition Renditen.

11 6 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN sollen. Beispielsweise sprechen Brealey nd Myers 2000, p. 564) von den adjsted cost of capital als denjenigen Größen, mit denen Cashflows z diskontieren sind. Eine entsprechende Bemerkng gibt es beispielsweise ach bei Miles nd Ezzell 1980, p. 722), wo es heißt, dass at any time k, ρ is the appropriate rate for disconting the time i expected nlevered cash flow in period j where ρ is referred to as the nlevered cost of capital. Es empfiehlt sich nicht, erwartete Renditen nd Diskontierngssätze ohne weiteres gleichzsetzen. Diese Warnng lechtet einem kritischen Leser nicht ohne weiteres ein. Das wird sich aber sofort ändern. Kapitalkosten nter Sicherheit Um nsere Überlegngen leicht verständlich z machen, blenden wir für einen Moment jegliche Unsicherheit as. Das z bewertende Unternehmen verspricht in der Zknft sichere freie Cashflows, die wir mit FCF 1, FCF 2,... bezeichnen wollen. Ein erstes Verständnis vom Begriff der Kapitalkosten gewinnen wir, wenn wir danach fragen, welche Fnktion die Kapitalkosten erfüllen sollen. Sie dienen der Ermittlng von Unternehmenswerten. Z diesem Zweck diskontiert man die sicheren Cashflows mit den eventell zeitabhängigen) Kapitalkosten. Eine Bewertngsgleichng sähe dann beispielsweise wie folgt as: V 0 = FCF 1 FCF k k 0 )1 + k 1 ) + FCF k 0 )1 + k 1 )1 + k 2 ) +..., 1.1) wobei k 0, k 1,... die Kapitalkosten der nllten, ersten nd aller weiteren Perioden bezeichnen. Gleichng 1.1) hat die angenehme Eigenschaft, nter gewissen Bedingngen ach in späteren Zeitpnkten anwendbar z sein. Daz müssen wir nr nterstellen, dass im Zeitpnkt t = 1 die Diskontierng einer in t = 2 anfallenden Geldeinheit wieder mit dem Faktor 1+k 1 ), die Diskontierng einer in t = 3 anfallenden Geldeinheit wieder mit dem Faktor 1+k 1 )1+k 2 ) sw. erfolgen kann. Wir könnten in diesem Zsammenhang von konstanten Kapitalkosten sprechen, wenngleich diese Bezeichnng eher die Vorstellng aslöst, dass k 1 = k 2 =... gilt. Daher sprechen wir hier lieber von zeitlich nveränderlichen Kapitalkosten. In einem solchen Fall können wir für jeden Bewertngszeitpnkt t 0 ach die Darstellng V t = FCF t+1 FCF t k t 1 + k t )1 + k t+1 ) + FCF t k t )1 + k t+1 )1 + k t+2 ) ) verwenden. Wir werden im Verlaf des Bches sehen, dass wir mehrfach eine Gleichng für den zkünftigen Wert des Unternehmens V t benötigen. Und nter der gerade erwähnten Annahme erhält man offensichtlich eine Rechenvorschrift, as der sich solche zkünftigen Unternehmenswerte ergeben. Man könnte einwenden, dass die Vorassetzng nveränderlicher Kapitalkosten eine z starke Einschränkng des Modells sei. Schließlich verbessere sich der Informationsstand mit fortschreitender Zeit nd man könne deswegen nicht davon asgehen, dass die Kapitalkosten immer nveränderlich blieben. In einer sicheren Welt, die wir hier gerade betrachten, greift dieser Einwand natürlich nicht. Inwieweit die Annahme nter Unsicherheit afrecht erhalten werden kann, müssen nd werden wir allerdings prüfen. As der Gleichng 1.2) lässt sich nn leicht der Zsammenhang k t = Def FCF t+1 + V t+1 V t 1 1.3)

12 1.1. DAS PROBLEM 7 ableiten, die ns die Grndlage für eine präzise Definition der Kapitalkosten als zkünftige Renditen liefert. Der ökonomische Sinn einer solchen Definition erschließt sich am einfachsten, wenn man sich vorstellt, dass ein Investor im Zeitpnkt t ein Wertpapier zm Preise V t erwirbt. Dieses Wertpapier möge im Zeitpnkt t + 1 einen Cashflow eine Dividende) in Höhe von FCF t+1 abwerfen nd nmittelbar danach zm Preise V t+1 wieder verkaft werden. Die Rendite eines solchen Engagements ist dann gena drch die Definition 1.3) gegeben. Offensichtlich sind die Definition der Kapitalkosten 1.3) nd die Verwendng der Bewertngsgleichng 1.2) für alle Zeitpnkte t = 0, 1,... zwei Assagen, die einander logisch äqivalent sind. Entscheidet man sich dafür, Kapitalkosten als Renditen im Sinne der Definition 1.3) z verstehen, so folgt daras sofort der Bewertngsansatz 1.2). Doch ach die Umkehrng ist richtig: Wer vom Bewertngsansatz 1.2) asgeht, nterstellt, dass die geeigneten Diskontierngsfaktoren gerade die Renditen sind. Wir müssen ns nn natürlich die Frage stellen, wie nsere Definition verallgemeinert werden kann, m diese Schlssfolgerngen ach nter Unsicherheit ziehen z können. Kapitalkosten als bedingte erwartete Renditen Wie verallgemeinert man nsere Definition der Kapitalkosten, wenn die Zknft nsicher ist? Um die Lösng z erarbeiten, müssen wir formale Symbole einführen. So bezeichnen wir freie Cashflows eines Unternehmens im Zeitpnkt t jetzt mit FCF t nd den Marktwert des Unternehmens im selben Zeitpnkt mit Ṽ t. Beide Größen sind nsicher nd werden daher mit einer Tilde versehen. Wir werden an dieser Stelle nseres Bches mit den Begriffen relativ salopp mgehen. Später werden wir noch präzisere Definitionen geben. Znächst kommt es ns nr daraf an, prinzipielles Verständnis für nsere Vorgehensweise z wecken. Wir versetzen ns in den Zeitpnkt t > 0, die im Zeitpnkt t vorassichtlich vorhandene Information bezeichnen wir im Folgenden mit F t. Der Investor macht sich über die Rendite Gedanken, die ein Bewerter in diesem Zeitpnkt erwarten kann. Daz setzt er den Rückflss eine Periode später in das Verhältnis zm Kapitaleinsatz. Wenn er dies asgehend von der Information im Zeitpnkt t tt, so ist für ihn der Kapitaleinsatz Ṽ t eine sichere Größe. Er kann nn mit dem Kapitaleinsatz wie mit einer sicheren Größe mgehen vorasgesetzt, er nterstellt immer die Informationsverhältnisse im Zeitpnkt t. Der Investor wägt nn die bedingte Erwartng des Rückflsses in t + 1 für die wir im Folgenden E[ F t schreiben 4 ) gegen den Kapitaleinsatz Ṽ t ab. Drch dieses Verständnis des Begriffes Kapitalkosten wird eine Herleitng der Bewertngsgleichng analog z 1.1) möglich. Wir werden im nächsten Abschnitt zeigen, dass sich für eine gehaltvolle Definition der Kapitalkosten der Asdrck eignet. [ FCF k := E t+1 + Ṽ t+1 F t 1 1.4) Ṽ t Bevor wir fortfahren, müssen wir jedoch festhalten, dass nsere Kapitalkostendefinition einen möglichen Nachteil besitzt. Daz betrachten wir Zähler nd Nenner getrennt. Im Zähler der Gleichng 1.4) stehen Erwartngswerte von Zahlngen im Zeitpnkt t + 1 nter der Bedingng, dass der Bewerter den Informationsstand des Zeitpnktes t besitzt. Man kann nicht einfach davon asgehen, dass diese Erwartngswerte sichere Größen sind. Es liegt viel 4 In Abschnitt 1.3 werden wir diesen Begriff formal präzise einführen nd genaer erklären.

13 8 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN näher, dass diese bedingten Erwartngswerte im Zeitpnkt t nsicher sind, also Zfallsvariablen darstellen. Dividiert man diese Zfallsvariablen nn drch eine Größe Ṽ t, so ergibt sich wieder eine Zfallsvariable, gleichgültig ob nn Ṽ t sicher oder nsicher ist. Das aber bedetet, dass die so definierten Kapitalkosten selbst Zfallsvariablen sind. Zkünftig erwartete Renditen von Aktien wie ach von Anleihen sind nn einmal nsicher, nd das ist wohl ach für den Praktiker eine Tatsache ohne großes Überraschngsmoment. Leider kann man mit Größen, deren Realisation man im Zeitpnkt t = 0 nicht kennt, hete nicht diskontieren. Wir haben damit eine Kapitalkostendefinition vor ns, die sich für den hier verfolgten Zweck möglicherweise nicht eignet! Deterministische Kapitalkosten As dieser Zwickmühle kommen wir nr heras, wenn wir eine heroische Annahme treffen, die besagt, dass die von ns in Gleichng 1.4) definierten Kapitalkosten sichere Größen sein sollen. Wir setzen schlicht nd einfach voras, die Kapitalkosten seien sicher, nd werden später zeigen, dass sie dann ach geeignete Diskontierngssätze sind. Mit anderen Worten: wer Kapitalkosten als bedingte erwartete Renditen affasst nd annimmt, dass diese sichere Größen sind, darf sie ach als Diskontierngssätze verwenden. Kritische Zeitgenossen mögen an dieser Stelle einwenden, dass die Kenntnis zkünftiger erwarteter Renditen in der Unternehmensbewertng eine allz heroische Annahme darstellt, die im wirklichen Leben eigentlich nicht erfüllt ist. Daraf können wir nr antworten, dass es sich tatsächlich m eine sehr starke Annahme handelt. Nr: ohne diese Annahme kann sich niemand, ach nser Kritiker nicht, eine Bewertngsgleichng analog z 1.1) beweisen können. Insofern ist die Annahme zgegebenermaßen heroisch, aber für eine Theorie der Unternehmensbewertng ach völlig nverzichtbar. Wer sie prinzipiell ablehnt, mss ach daraf verzichten, Marktwerte von Unternehmen mittels eines DCF Verfahrens z bestimmen. Wir haben hier bedaerlicherweise keine andere Wahl. Der afmerksame Leser wird sich noch des Einwandes as dem vorigen Abschnitt erinnern. Wir hatten bemerkt, dass mit fortschreitender Zeit immer klüger werden. Wenn wir bereits im Zeitpnkt t = 0 nterstellen, dass die Kapitalkosten sicher sind, so haben wir eine sehr extreme Form des Erkenntnisgewinns vorasgesetzt. Alles, was jemals über Kapitalkosten in Erfahrng gebracht werden kann, ist bereits hete bekannt. Wir wiederholen an dieser Stelle die Assage, dass ohne die Annahme sicherer Kapitalkosten kein Staat z machen ist. Andere Definitionsversche Mit aller Detlichkeit möchten wir daraf afmerksam machen, dass nsere Definition der Kapitalkosten nicht drch einen naiveren Versch vereinfacht werden kann. Af den ersten Blick scheint nichts dagegen z sprechen, etwa an Gleichng 1.3) anzknüpfen nd die Tatsache, dass wir es jetzt mit Unsicherheit z tn haben, drch einen nbedingten) Erwartngswert z berücksichtigen: Die Kapitalkosten wären dann drch den Asdrck beschrieben. k? = E [ FCF t+1 + Ṽ t+1 1 Ṽ t Als Wissenschaftler hat man die Freiheit, seine Begriffe so z wählen, wie man will. Kapitalkostendefinitionen können weder falsch noch richtig sein. Sie sind allenfalls zweckmäßig

14 1.2. DAS MODELL 9 oder nzweckmäßig. Und nzweckmäßig ist die vorstehende Definition allemal. Sie erlabt es nämlich nicht, daras die Gleichng [ FCF V 0 = E k [ FCF + E k) z gewinnen, weil sich Ṽ t schlicht nicht as dem Erwartngswert herasziehen lässt! Eine solche Kapitalkostendefinition wäre für den Unternehmensbewerter vollkommen ntzlos. Verwendet er sie trotzdem, m erwartete Cashflows z diskontieren, so ergibt sich irgendeine Zahl, aber allenfalls zfällig der Unternehmenswert. Ach ein etwas raffinierteres Vorgehen wie in der Gleichng [ FCF k =? E t+1 + Ṽ t+1 1 E[Ṽ t führt nicht z Ergebnissen, mit denen wir ns zfrieden geben können. Zwar lässt sich diese Gleichng ohne weiteres z der wichtigen Relation [ FCF V 0 = E k [ FCF + E k) mstellen. Wir hatten aber mit nserer Kapitalkostendefinition mehr vor. Uns ging es nicht nr m eine Rechenvorschrift, die die Ermittlng des hetigen Unternehmenswertes erlabt. Vielmehr sollte es ach möglich sein, zkünftige Unternehmenswerte z bestimmen. Während nn die Berechnng von V 0 mit dieser Kapitalkostendefinition gelingt, können wir jedoch as der Definition keine Gleichng der Form [ FCF Ṽ t = E t+1 F t [ FCF + E t+2 F t 1 + k 1 + k) gewinnen, da die Kapitalkosten immer nbedingte Erwartngswerte darstellen. Ach diese Kapitalkostendefinition erweist sich für nsere Zwecke als nzweckmäßig. Wir fassen zsammen: Bei den DCF Verfahren werden Kapitalkosten vernünftigerweise als bedingte erwartete Renditen afgefasst. Diese Idee wird der rote Faden nserer Darstellng sein. 1.2 Das Modell Jede Theorie der Unternehmensbewertng berht af einem Modell. Ein solches Modell besitzt bestimmte Eigenschaften, die wir im Folgenden beschreiben wollen. Wir beginnen mit der wenig überraschenden Mitteilng, dass die Zknft nsicher ist. Um die Grndidee der DCF Verfahren z veranschalichen, verwenden wir eine Analogie as der Landwirtschaft: Eine Kh ist soviel Wert wie die Milch, die sie geben wird. Für Unternehmen nd ihren Marktwert bedetet das: Der Marktwert eines Unternehmens orientiert sich an den zkünftigen Zahlngsüberschüssen. Akzeptiert man diese Idee, stellt sich die Frage, wie lange Unternehmen leben.

15 10 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Zeit Lebensdaer Solange man nichts Gegenteiliges weiß, wird man nicht falsch liegen, wenn man annimmt, dass das Unternehmen noch mehr als ein Jahr vor sich hat. Sehr hilfreich ist solch eine vage Vermtng kam. In der Regel wird man davon asgehen können, dass Unternehmen af Daer angelegt sind, nd die meisten Investoren, die sich mit dem Kaf von Unternehmen aseinandersetzen nd z diesem Zweck af Verfahren der Unternehmensbewertng zrückgreifen, haben ach einen Anlagehorizont, der detlich über ein Jahr hinasgeht. Wir drehen ns jedoch im Kreis, denn ob man nn annimmt, dass Unternehmen länger als ein Jahr leben, oder davon asgeht, dass sie bis af weiteres aktiv sind, beides ist reichlich nklar. Um das Thema zzspitzen, stellen wir daher die Frage, ob im Rahmen der Unternehmensbewertng nterstellt werden soll, dass Unternehmen eine endliche Lebensdaer haben oder ewig tätig sind. Af den ersten Blick scheint es ziemlich abwegig z sein, mit der Vorstellng z arbeiten, dass Unternehmen nendlich lange leben. Trotzdem gibt es vorzeigbare Argmente für die Fiktion vom ewig lebenden Unternehmen. Wer ein Unternehmen bewerten will, das nr eine begrenzte Lebensdaer besitzt, mss sich festlegen, wann denn Schlss sein soll. Eine genae Antwort dürfte von sehr wenigen Asnahmefällen abgesehen) nmöglich sein. Zdem wird am letzten Tag der Unternehmensgeschichte ein Restwert an die Eigentümer asgeschüttet. Wollte man die Frage beantworten, wie denn der Restwert des Unternehmens z bestimmen sei, so müsste man af die nachfolgend z erzielenden Zahlngen zrückgreifen das allerdings passt nn nicht mehr z der Annahme, dass bereits jetzt die Welt z Ende sei. Daher dürfte eine genae Berechnng über die Höhe des Restwertes ebenfalls misslingen. Wenn man nn zeigen kann, dass es für den Wert des Unternehmens keinen nennenswerten Unterschied asmacht, ob man nn eine Lebensdaer von beispielsweise 30 Jahren nterstellt oder davon asgeht, dass das Unternehmen nafhörlich aktiv ist, dann ist die Fiktion vom ewig lebenden Unternehmen zwar objektiv falsch, lässt sich aber mit dem Argment der praktischen Beqemlichkeit trotzdem rechtfertigen. 5 Wir wollen ns mit nseren Lesern dahingehend verständigen, dass wir von einem mehrperiodigen Anlagehorizont asgehen nd noch nicht endgültig festlegen, ob dieser Horizont im Endlichen oder im Unendlichen liegt. Dann allerdings, wenn nsere Theorie praktisch angewandt werden soll, werden wir einen nendlichen Planngshorizont vorschlagen. Transversalität Wir gehen in jedem Fall von der Annahme as, dass der Wert des Unternehmens gegen nll geht, wenn man sich dem Ende des Unternehmens nähert. Das ist im Fall eines Unternehmens mit endlicher Lebensdaer eine ganz naheliegende, wenn nicht sogar triviale Assage. Jenseits des Zeitpnktes T fließen keine Cashflows mehr, weswegen der Unternehmenswert verschwinden mss. Wir brachen eine analoge Eigenschaft des Unternehmenswerts aber ach dann, wenn wir ein Unternehmen mit nendlicher Lebensdaer zgrnde legen. Allerdings werden wir nicht vorassetzen können, dass der Unternehmenswert gegen nll geht. Schon im Fall der ewigen Rente, bei dem der Unternehmenswert zeitlich konstant bleibt, wäre dies eine z starke Einschränkng. Es genügt ein nicht allz starkes 5 Unterstellt man gleich bleibende Cashflows nd Kapitalkosten in Höhe von 10 %, so erklären die ersten 30 Jahre nahez 95 % des gesamten Unternehmenswerts.

16 1.2. DAS MODELL 11 Wachstm des erwarteten Unternehmenswertes in der Zknft, lim t E[Ṽ t 1 + k) t = 0, wobei k die Kapitalkosten des Unternehmens sind. Da der Fall der nendlichen Lebensdaer eher einer Fiktion als einer realitätsnahen Vorassetzng entspricht, handelt es sich nserer Überzegng nach m eine technische Annahme. Will man sie nicht akzeptieren, so besteht die Gefahr, dass man sich in ernsthafte Widersprüche verstrickt. 6 Im Zsammenhang mit praktischen Anwendngen dürfte nsere Vorassetzng nproblematisch sein. In der formal orientierten Literatr spricht man, wenn der diskontierte Unternehmenswert mit fortschreitender Zeit gegen nll geht, von so genannter Transversalität. Stetige oder diskrete Zeit Wir haben ns jetzt daraf festgelegt, dass wir das z bewertende Unternehmen über einen Zeitram von mehreren Perioden beobachten werden. Soll nser Modell nn aber zeitstetig oder zeitdiskret sein? Um den Unterschied zwischen beiden Modellklassen klar werden z lassen, betrachten wir ein Unternehmen mit einer endlichen Lebensdaer von T Jahren. Verwenden wir ein Zeitraster, in dem es nr die Zeitpnkte t = 0 hete), t = 1 hete in einem Jahr),, t = T hete in T Jahren) gibt, so ist der Modellrahmen diskret. Selbstverständlich könnten wir jedes Jahr in Qartale, Monate, Wochen oder gar Tage nterteilen. Im letzten Fall würden wir den Zeitindex t von 0 bis 365 T lafen lassen nd hätten immer noch ein diskretes Modell vor ns, denn die Zahl der Tage wäre abzählbar. Je feiner wir die Zeiteinteilng wählen, m so mehr Sbperioden gibt es in jedem Jahr. Aber erst dann, wenn wir die Zahl der jährlichen Sbperioden über alle Grenzen wachsen ließen, so dass die Zahl der Zeitintervalle nicht mehr abgezählt werden könnte, hätten wir ein zeitstetiges Modell vor ns. Nachdem wir eine hinreichende Vorstellng davon gewonnen haben, wo der Unterschied zwischen zeitdiskreten nd zeitstetigen Modellen liegt, kehren wir wieder z der Frage zrück, für welchen der beiden Modelltypen wir ns entscheiden sollen. Dabei stellen wir znächst fest, dass wir gar keinen Maßstab besitzen, mit dem die Vor nd Nachteile des einen oder anderen Typs ermittelt werden könnten. Man könnte af die Idee verfallen, dass die stetige Modellierng deswegen nzweckmäßig sei, weil weder die Kh kontinierlich gemolken werden kann noch ein Unternehmen nnterbrochen Dividenden zahlt. Stattdessen beobachten wir, dass die Kh einmal am Tag gemolken wird nd beispielsweise detsche Kapitalgesellschaften einmal im Jahr Dividende asschütten. Jedoch lassen sich solche intermittierenden Ereignisse sowohl in einem zeitstetigen als ach in einem zeitdiskreten Modell erfassen. Wir müssen eine andere Überlegng anstellen. In der modernen Finanzierngsliteratr haben die zeitstetigen Modelle einen bemerkenswerten Boom erlebt. Sie sind viel poplärer als diskrete Modelle. Allerdings sind die in stetigen Modellen erforderlichen mathematischen Werkzege ngleich ansprchsvoller als jene, welche man in zeitdiskreten Modellen anwenden kann. Nee ökonomische Erkenntnisse gewinnt man in der Unternehmensbewertng nach nserer Erfahrng drch die Annahme einer zeitstetigen Welt nicht. Wir verwenden in diesem Bch stets einen zeitdiskreten Modellrahmen. Das hat einzig nd allein pragmatische Gründe. 6 Krschwitz nd Löffler 1998).

17 12 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Wir nterscheiden den hetigen Zeitpnkt t = 0 Gegenwart) von der Zknft t = 1, 2..., T, wobei der Endzeitpnkt T von hete as gesehen nendlich weit entfernt sein kann oder ach nicht. Die Länge eines Zeitintervalles hängt von der Sitation ab, in der nser Modell angewandt werden soll. Typischerweise handelt es sich m Intervalle von einem Jahr Unsicherheit Die Zknft ist nsicher. Was heißt das? Für die vom Bewerter analysierten Variablen bedetet es, dass er ihre Realisationen hete noch nicht kennt. Er weiß nicht, wie viel Liter Milch die Kh morgen geben wird. Er kann nicht gena sagen, wie hoch der Cashflow des z bewertenden Unternehmens in drei Jahren sein wird. Statt dessen bestehen mehrere Möglichkeiten. Wir sprechen ach davon, dass die Welt nterschiedliche Zstände annehmen kann, die die Höhe der Cashflows beeinflssen. Formal werden wir die Unsicherheit in Bezg af den Cashflow dadrch beschreiben, dass wir sein Symbol mit einer Tilde versehen, FCF 3. Diese Darstellng lässt ns darüber im Unklaren, wovon die interessierende Variable abhängt. Tatsächlich ist es so, dass wir in Zknft verschiedene Umweltzstände für denkbar halten. Derartige Zstände der Welt könnten beispielsweise drch Marktanteile eines Prodktes oder Arbeitslosenqoten oder andere Variablen beschrieben werden. Der Cashflow hinge dann von einer wie ach immer definierten Zstandsvariablen ab, die üblicherweise mit dem Symbol ω bezeichnet wird, FCF 3 ω). Wenn wir diese asführliche Notation im Folgenden nicht bentzen, sondern ns asschließlich der einfacheren Schreibweise bedienen, so hat das sowohl theoretische als ach praktische Gründe. So werden wir in nserer Theorie keinerlei Assagen darüber machen, ob die Anzahl der möglichen zkünftigen Zstände endlich oder nendlich ist. Vielmehr lassen wir einfach offen, ob der Zstandsram diskret oder stetig ist. Die formalen Techniken für den Umgang mit stetigen Zstandsrämen sind viel komplizierter als das Instrmentarim, welches für die Analyse diskreter Zstandsräme benötigt wird. Unser Ziel ist es, jeden hiermit verbndenen Afwand, so gt es geht, z vermeiden. Nach nserer Erfahrng verzichtet jeder in der Praxis tätige Unternehmensbewerter daraf, Assagen über künftige Zstände der Welt z machen. Stattdessen verscht man in der Praxis, die Erwartngswerte der z ermittelnden Größen z bestimmen. So werden etwa erwartete Cashflows oder erwartete Renditen geschätzt, ohne dass ein Rückgriff af die zstandsabhängigen Größen erfolgt. Warm sollen wir in nserer Theorie dann nicht ach den Versch machen, diese Details z mgehen? As den beiden genannten Gründen nterdrücken wir in Zknft die Abhängigkeit der nsicheren Variablen von den Zständen der Welt nd werden ach die Strktr der Unsicherheit nicht weiter klären.

18 1.3. BEDINGTE ERWARTUNGEN Bedingte Erwartngen Als Bewerter eines Unternehmens befinden wir ns im Zeitpnkt t = 0, also in der Gegenwart. Die Unternehmensbewertng findet hete statt, nd es ist überflüssig, sich darüber Gedanken z machen, wie die Vermehrng nserer Kenntnisse über das Bewertngsobjekt im Zeitablaf erfolgen wird. Obwohl wir ns sozsagen nicht as der Gegenwart fortbewegen, machen wir ns dennoch einige Gedanken darüber, was wir hete wissen nd was wir in Zknft wissen werden. Wir klären jedoch nicht, wie wir nser Wissen vermehren, sondern beschreiben nr, wie mit dem zsätzlichen Wissen mgegangen wird nd welche Konseqenzen das für die Bewertng nseres Unternehmens haben wird. Daz benötigen wir den Begriff der bedingten Erwartng Notation Um ns verständlich z machen, müssen wir einige mathematische Variablen in die Diskssion einführen. Dabei werden wir die in der hetigen Finanzierngsliteratr übliche Notation verwenden. Der hiermit nicht vertrate Leser wird sich möglicherweise znächst fragen, warm wir nicht z einer weniger anstrengenden Schreibweise greifen. Die formale Notation, die wir jetzt vorstellen werden, ist zwar etwas gewöhnngsbedürftig, aber drchas nicht so kompliziert, dass man wirklich vor ihr zrückschrecken müsste. Sie stellt eine eindetige nd sehr kompakte Schreibweise für Sachverhalte dar, die sich anschalich beschreiben lassen. Wir bitten daher nsere Leser, die Mühe af sich z nehmen, sich nsere Notation sorgfältig anzeignen. Wir versprechen, dass wir ns nsererseits alle Mühe geben werden, die Zsammenhänge so einfach darzstellen, wie sie sind. Wir befinden ns in der Gegenwart t = 0). Selbstverständlich können wir hete nicht wissen, was wir später wissen werden. Zr Zeit können wir bestenfalls sagen, welchen Informationsstand wir künftig vermtlich besitzen werden. Betrachten Sie z diesem Zweck Abbildng 1.1. Wir bezeichnen mit F t jenen Informationsstand, den wir nach hetigem Wissen) im Zeitpnkt t vermtlich haben werden. Es handelt sich nicht m den Informationsstand, über den wir im Zeitpnkt t tatsächlich verfügen werden. Wir wissen nichts Genaes darüber, wie sich die Veränderng des Informationsstandes im Einzelnen vollziehen wird, gehen allerdings davon as, dass wir im Zeitablaf nicht dümmer, sondern klüger werden. F 0 F 1 F T t = 0 t = 1 t = T Zeit Abbildng 1.1: Vorassichtlicher Informationsstand im Zeitpnkt t 0 as Sicht des Zeitpnktes t = 0 Konzentrieren wir ns nn beispielsweise af den Cashflow, den das z bewertende Unternehmen im Zeitpnkt t = 3 abwerfen wird, also FCF 3. Über diesen nsicheren Cashflow wird der Bewerter im Zeitpnkt t = 2 etwas besser Bescheid wissen als im Zeitpnkt t = 1. Wenn wir vom erwarteten Cashflow des dritten Jahres sprechen nd präzise sein wollen, müssen wir also angeben, von welchem Informationsstand wir gerade asgehen. Der Asdrck E [ FCF 3 F 1

19 14 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN beschreibt, wie hoch die Erwartngen über den Cashflow des Zeitpnktes t = 3 beim hete vermteten Informationsstand des Zeitpnktes t = 1 für einen Bewerter sein werden. Verwendet der Investor sein vorassichtliches Wissen im Zeitpnkt t = 2, so wird sich seine Sicht af den Cashflow des dritten Jahres differenzierter darstellen. Diese differenziertere Sicht wird drch den bedingten Erwartngswert E [ FCF 3 F 2 beschrieben. Wie ist das z lesen? Der Asdrck beschreibt, was der Investor hete über den Cashflow des Zeitpnktes t = 3 in zwei Jahren z wissen glabt. Sie sehen also, dass die af den ersten Blick etwas komplizierte Schreibweise ns erlabt, Sachverhalte sehr kompakt z notieren, die in verbaler Form nr mühsam dargestellt werden können. Mathematisch ist der Asdrck E [ FCF t F s die bedingte Erwartng der Zfallsvariablen FCF t, gegeben die Information des Zeitpnktes s. Was nterscheidet den klassischen vom bedingten Erwartngswert? Beim klassischen Erwartngswert wird eine Zahl bestimmt, die die drchschnittliche Höhe einer Zfallsvariable wiedergibt. Ach der bedingte Erwartngswert will die drchschnittliche Höhe einer Zfallsvariablen ermitteln hier hat dies jedoch nter der Einschränkng z geschehen, dass bereits bestimmte Informationen über diese Zfallsvariable vorliegen. Beispielsweise könnte die sich die Information daraf beziehen, ob ein nees Prodkt erfolgreich war oder sich als Flop erwies. Nn mss der Investor je nach Szenario in nserem Beispiel zweimal die drchschnittliche Höhe einer Zfallsvariablen wir denken an Cashflows) bestimmen, m den bedingten Erwartngswert z ermitteln. Der bedingte Erwartngswert wird damit keine einzelne Zahl wie der klassische Erwartngswert mehr sein. Vielmehr stellt er eine Größe dar, die von der nsicheren Zknft selbst abhängig ist: je nach Marktlage Erfolg oder Flop) sind zwei drchschnittliche Cashflows denkbar. Fassen wir diese Beobachtng zsammen, so müssen wir Folgendes festhalten: der bedingte Erwartngswert kann selbst eine Zfallsvariable sein! Dies nterscheidet ihn vom klassischen Erwartngswert, der immer eine Zahl darstellt. In nserer Theorie der Unternehmensbewertng werden wir häfig mit bedingten Erwartngen z tn haben. Daher ist der eine oder andere Leser womöglich daran interessiert, eine sabere Definition z bekommen nd über wichtige Eigenschaften dieses mathematischen Konzepts im Detail nterrichtet z werden. Diese Leser werden wir jetzt enttäschen, weil wir nicht beabsichtigen, noch genaer z erklären, was bedingte Erwartngswerte sind. Vielmehr werden wir bloß beschreiben, wie man mit ihnen z rechnen hat. Unsere Zrückhaltng hat einen einfachen Grnd. Wir haben es bisher vermieden, die Strktr der zgrndeliegenden Unsicherheit detailliert z beschreiben. Wollten wir jetzt erklären, wie eine bedingte Erwartng definiert ist, so müssten wir ach darstellen, wie man Erwartngswerte überhapt berechnet nd was bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilngen sind. Diese Details benötigen wir aber bei der Unternehmensbewertng nicht. Es genügen ein paar einfache Rechenregeln. Der gesamte mathematische Apparat kann im Hintergrnd bleiben. Wer ein ordentlicher Atofahrer werden will, mss sich ebenfalls nicht mit der Physik des Verbrennngsmotors aseinandersetzen oder Kenntnisse über die Fnktionsweise von Getrieben erwerben. Es reicht, wenn er die Gebrachsanweisng liest, sich die Verkehrsvorschriften aneignet nd Fahrpraxis

20 1.3. BEDINGTE ERWARTUNGEN 15 erwirbt. Fachlete mögen ns verzeihen, dass wir hier so grob vorgehen Rechenregeln Im Folgenden werden wir fünf einfache Regeln für das Rechnen mit bedingten Erwartngswerten darstellen. Diese sollten Sie sich gt einprägen, weil wir sie immer wieder bentzen werden. Welcher Zsammenhang besteht zwischen der bedingten Erwartng nd dem klassischen Erwartngswert? Dies klärt nsere erste Rechenregel. Rechenregel 1 klassische Erwartng) Im Zeitpnkt nll fallen bedingte Erwartng nd klassische Erwartng zsammen, [ [ E X F 0 = E X Die Regel zeigt, dass es sich bei der bedingten Erwartng m eine Verallgemeinerng der klassischen Erwartng handelt, die mehr Informationen nd andere Zeitpnkte als die Gegenwart berücksichtigen kann.. Es sei daran erinnert, dass es sich bei der Bedingng F t nicht m den Informationsstand handelt, den wir in diesem Zeitpnkt tatsächlich haben werden. Vielmehr handelt es sich m den Informationsstand, den wir für den Zeitpnkt t nterstellen. Die zweite Rechenregel verwendet nsere Vorstellng, mit fortschreitender Zeit immer klüger z werden. Rechenregel 2 Iterierte Erwartng) Für zwei Zeitpnkte s t gilt immer E [E[ X F t F s = E[ X F s. Vermtlich ist diese Regel am schwierigsten z begreifen. Dabei hat sie einen ganz plasiblen Hintergrnd. Betrachten wir nser Wissen zm Zeitpnkt t. Dieses Wissen mfasst das Wissen, das ns bereits hete zgänglich ist, schließt aber darüber hinas das Wissen ein, das wir bis zm Zeitpnkt s gewonnen haben. Wenn s vor t liegt, wir im Zeitpnkt t mehr als im Zeitpnkt s. Wir gehen ja von der Vorstellng as, dass wir im Zeitablaf nicht dümmer, sondern klüger werden. Wollten wir die Rechenregel 2 verbal beschreiben, müssten wir vielleicht Folgendes sagen: Wenn wir hete darüber nachdenken, was wir im Zeitpnkt s über den Zeitpnkt t wissen werden, so werden wir nr das wissen, was wir bereits hete im Zeitpnkt s z wissen glaben. Die dritte Regel betrifft die Linearitätsforderng, die nseren Lesern für den klassischen Erwartngswert vermtlich bekannt ist. Rechenregel 3 Linearität) Für beliebige Zahlen a, b nd beliebige Zfallsvariablen X nd Ỹ gilt [ E [a X + bỹ F t = a E X F t + b E [Ỹ Ft. 7 Für diejenigen, die mehr wissen wollen, geben wir im letzten Abschnitt weiterführende Literatrhinweise.

21 16 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Wir benötigen as technischen Gründen eine weitere Regel, die sichere Größen betrifft. Wir wissen, dass diese Größen ihrem Erwartngswert entsprechen. Dies soll nn ach ztreffen, wenn wir mit bedingten Erwartngswerten arbeiten. Rechenregel 4 Sichere Größe 1) Für die sichere Größe 1 gilt E[1 F t = 1. Eine zwingende Folgerng as dieser Rechenregel betrifft alle Größen, die nicht risikobehaftet sind. Afgrnd der Linearität Rechenregel 3) gilt für derartige Zahlen X E[X F t = X E[1 F t = X. 1.5) Rechenregel 5 Erwartng über sich realisierende Größen) Wird sich eine Größe X im Zeitpnkt t realisieren, dann gilt für jede andere Größe Ỹ [ E X Ỹ F t = X E [Ỹ Ft. Die Regel nterstreicht ein wichtiges Prinzip nserer Vorgehensweise. Wir betonten immer wieder, dass wir ns nnterbrochen in der Gegenwart befinden nd nr über nsere Vorstellngen von der Zknft sprechen. Die tatsächliche Entwicklng dagegen ist nicht Gegenstand nserer Betrachtngen. Die Regel 5 verdetlicht das. Im Zeitpnkt t werden wir wissen, welche Realisation sich für die Zfallsvariable X eingestellt haben wird. X ist dann keine Zfallsvariable mehr, sondern eine Zahl. Wenn wir dann den Erwartngswert für die Größe X Ỹ ermitteln, können wir X as dem Erwartngswert herasziehen, genaso wie wir es mit sicheren Größen tn: X ist im Zeitpnkt t bekannt. Die Regel 5 besagt, wenn wir beim Informationsstand F t die Realisation von X kennen werden, so können wir in der bedingten Erwartng X wie eine sichere Größe behandeln: bekannte Größen können wir bei der bedingten Erwartng wie sichere Größen behandeln Beispiel Um den Umgang mit bedingten Erwartngen nd nsere Rechenregeln noch verständlicher z machen, betrachten wir ein Zahlenbeispiel. Das dient einzig nd allein der Illstration nd wird in den weiteren Kapiteln nicht mehr verwendet. Wenn Sie also sicher sind, dass Sie bereits alles verstanden haben, können Sie das Beispiel getrost überspringen nd gleich af Seite 19 weiterlesen. Andernfalls konzentrieren Sie sich af Abbildng 1.2. Wir haben es hier mit einem Unternehmen z tn, das an seine Eigentümer drei Jahre lang Zahlngen leisten wird, die sich nicht mit Sicherheit vorhersagen lassen. 1. Im ersten Jahr t = 1) sind zwei Zstände denkbar, die wir als gt beziehngsweise schlecht bezeichnen wollen. Ist die Entwicklng gt, so beläft sich die Zahlng af 110, sonst af 90. Beide Zstände sind gleich wahrscheinlich. 2. Im zweiten Jahr t = 2) sind drei Zstände möglich.