D-HEST, Mathematik III HS 2017 Prof. Dr. E. W. Farkas M. Nitzschner. Lösung 7. Bitte wenden!

Transkript

1 D-HEST, Mathematik III HS 27 Prof. Dr. E. W. Farka M. Nitzchner Löung 7 Bitte wenden!

2 . Wir betrachten ein Sytem linearer Differentialgleichungen erter Ordnung mit kontanten Koeffizienten der Form y (t) = Ay(t) + g(t) mit einer n n-matrix A und g = (g,..., g n ), g,..., g n C (R). Eine kontante Löung de obigen Sytem y(t) = y bezeichnet man al tationären Zutand. a) Begründen Sie, da e einen tationären Zutand nur dann geben kann, wenn g kontant it. Angenommen, y it ein tationärer Zutand. Dann gilt = d dt y = Ay + g(t) g(t) = Ay = cont. b) Nehmen Sie an, da A diagonaliierbar it, nur Eigenwerte mit negativem Realteil hat und da e einen tationären Zutand y gibt. Zeigen Sie, da dann lim t y(t) = y gilt. Hinwei: z(t) = y(t) y löt ein homogene Differentialgleichungytem. Zeigen Sie, da für beliebige Anfangbedingungen y () R n z(t) für t. Au a) wien wir, da - fall e einen tationären Zutand y gibt - gelten mu: g(t) = Ay. Wir etzen z(t) = y(t) y und ehen, da gilt: z (t) = y (t) d dt y }{{} = = Ay(t) Ay = Az(t). Fall y() = y () R n, o it z() = y () y. Damit löt z da Anfangwertproblem folglich it z (t) = Az(t), z() = y () y, z(t) = exp(ta)(y () y ). A hat nur Eigenwerte mit negativem Realteil und it diagonaliierbar, alo gilt die λ Gleichung A = T... T, wobei Re λ,..., Re λ n <. Darau ergibt ich λ n e λ t z(t) = T... T (y () y ) T n n T (y () y ) =, e λnt Die Annahme, da A diagonaliierbar it, kann weggelaen werden. ( ) Können Sie die Auage auch in dem Fall beweien? Hinwei: Benutzen Sie die Jordannormalform. Siehe nächte Blatt!

3 für t, da e λ t,..., e λnt. Damit ergibt ich y(t) y = z(t) y(t) y, für t. Wir betrachten nun da 3-Kompartiment-Modell für a > und < b, c, d, e < : a K b K 2 c d e K 3 c) Stellen Sie da zugehörige Differentialgleichungytem y (t) = Ay(t) + g(t) auf, welche die Entwicklung einer Subtanz in den Kompartimenten bechreibt. Da zugehörige DGL-Sytem lautet b d a y (t) = b c e y(t) +. c d d) Berechnen Sie für b = d =, c = e =, a = 2 den tationären Zutand de Sytem und entcheiden Sie, ob jede Löung für t gegen dieen 2 konvergiert. Um einen tationären Zutand zu finden etzen wir y = cont. in da DGL-Sytem ein und löen da ich ergebende lineare Gleichungytem: 2 = y y = = = Da charakteritiche Polynom der Matrix A lautet λ + det λ + = λ λ + 2 λ λ + 32 und diee hat die Nulltellen λ = 2, λ 2 = 3 2 und λ 3 = 3 2. Da λ i < für alle i 3 folgern wir mit b), da für jede beliebige Anfangbedingung y () tet gilt: y(t) y für t. Bitte wenden!

4 2. Die Laplace-Tranformierte einer tückweie tetigen Funktion f : [, ) R mit f(t) Ce αt für α R, C > it definiert al L[f]() = f(t)e t dt, wobei {z C : Re z > α f } mit α f = inf{α R : f(t) Ce αt für ein C > }. Entcheiden Sie, ob die folgenden Funktionen f,..., f die obigen Vorauetzungen erfüllen und berechnen Sie in dieem Fall die Laplace-Tranformierte: a) f (t) = {, a t b, ont, mit a b. f it tückweie tetig und erfüllt f (t) Ce αt für jede α R und C > e αb. Alo it α f =, und e gilt fall und b [ ] b L[f ]() = e t dt = a e t a = e a e b, L[f ]() = b a dt = b a. b) f 2 (t) = t n, n N. f 2 it auf ganz [, ) tetig und erfüllt f 2 (t) Ce αt für α > und C > hinreichend t groß, denn n exp(αt) für t, alo kann man C = max t [, ) t n exp( αt) < wählen. Für α it lim t t n exp( αt) =, alo it α f2 =. Wir berechnen für mit Re > : L[f 2 ]() = = t n e t dt = [ t n e t] + n t n e t dt t n lim t }{{ e t + n t n e t dt = n t n e t dt. } =, da Re > Wir haben alo für n gezeigt, da für I n () = t n e t dt gilt: I n () = n I n (). Alo erhalten wir für mit Re > : L[f 2 ]() = I n () = n I n () = = n! n I () = n! n n(n ) 2 I n 2 () =... e t dt = n! n+ [ e t ] = n! n+. Siehe nächte Blatt!

5 c) f 3 (t) = co(ωt), ω >. f 3 it auf ganz [, ) tetig und erfüllt f 3 (t) Ce αt für α und C. Für α < it lim up t co(ωt)e αt =, alo it α f3 =. Wir berechnen für mit Re > : L[f 3 ]() = d) f (t) = exp(at 2 ), a >. co(ωt)e t dt = ( e iωt + e iωt) e t dt 2 = e (iω )t dt + e (iω+)t dt 2 2 = [e (iω )t] 2 iω 2 iω + = 2 iω + 2 iω + = 2 + ω 2. [e (iω+)t] f erfüllt die Wachtumbedingung f (t) Ce αt für keine Wahl von α R und C >. Angenommen, e gäbe α R und C > mit f (t) Ce αt. Dann it e at2 Ce αt e at2 αt = e α2 a e a(t α 2a }{{ )2 } C, für t ein Widerpruch. Damit hat f keine Laplacetranformierte. Bitte wenden!

6 3. In dieer Aufgabe wollen wir mithilfe der Laplacetranformierten zeigen, da inc(t)dt = π 2, wobei inc(t) = in(t) t für t >, inc() =. Wir gehen in mehreren Schritten vor: a) Zeigen Sie, da inc die Bedingungen au Aufgabe 2 erfüllt. Hinwei: Benutzen Sie die Regel von de l Hopital, um lim t inc(t) zu berechnen. inc it auf (, ) tetig. Um Stetigkeit in zu zeigen, benutzen wir die Regel von de l Hopital: in(t) co(t) lim inc(t) = lim = lim = co() =. t t t t Außerdem erfüllt inc die Wachtumbedingung inc(t) Ce αt für jede α > und C. b) Berechnen Sie e σt dσ für, t >. Stellen Sie damit al Doppelintegral dar. L[inc]() = t in(t) e dt t E gilt e σt dσ = [ t e tσ ] = t lim A e ta + t e t = t e t. Alo gilt: t in(t) ( ) L[inc]() = e dt = e σt dσ in(t)dt t c) Zeigen Sie, da L[inc]() = π arctan() gilt. 2 Hinwei: Vertauchen Sie die Reihenfolge de Doppelintegral au b). Verwenden Sie d arctan(σ) =. dσ +σ 2 Wir vertauchen die Integrationreihenfolge im obigen Doppelintegral und erhalten: ( ) L[inc]() = e σt in(t)dt dσ ( ) = 2i (e(i σ)t e (i+σ)t )dt dσ [ = 2i i σ e(i σ)t + ] i + σ e (i+σ)t ) dσ ( = 2i σ i ) dσ = σ + i + σ 2 dσ = [arctan(σ)] = π 2 arctan(). Siehe nächte Blatt!

7 Hierbei haben wir verwendet: arctan(σ) π 2 für σ. Bemerkung: Man kann auch direkt verwenden, da gilt e σt in(t)dt = L[in](σ) =. Allgemein gilt: It g(t) = f(t) +σ 2 t, o it L[g]() = iehe auch Propoition 3.23 im Skript. d) Berechnen Sie damit inc(t)dt. E gilt: inc(t)dt = = = lim L[f](u)du, inc(t)e t dt lim inc(t)e t dt = lim L[inc]() inc(t)e t dt ( π ) = lim 2 arctan() = π 2, denn arctan it tetig auf R und erfüllt arctan() =. Bitte wenden!

8 . ( ) Da SIR-Modell: In dieer Aufgabe wollen wir un mit einem nichtlinearen Modell gekoppelter Differentialgleichungen bechäftigen, dem ogenannten SIR-Modell (für uceptibleinfected-recovered ), mit dem die Aubreitung von Infektionkrankheiten in einer Population bechrieben wird. Da SIR-Modell it gegeben durch die Differentialgleichungen S (t) = A βs(t)i(t) + γr(t) µs(t), I (t) = βs(t)i(t) νi(t) µi(t), R (t) = νi(t) γr(t) µr(t). () mit Parametern A, µ, β, ν, γ >. Hierbei tehen S, I, R für S = Anzahl geunder Individuen, I = Anzahl erkrankter Individuen, R = Anzahl immuniierter Individuen, A bechreibt da Wachtum und µ die Sterberate der Population. a) Zeichnen Sie ein zum SIR-Modell paende Box-Modell. Welche Bedeutung haben die Parameter β, ν und γ? β it die Rate, mit der geunde Individuen infiziert werden. ν it die Immuniierungrate (Rate, mit der infizierte Individuen die Krankheit überwinden und immun werden), γ it die Rate, mit der die Immuniierung verloren geht. b) Welche Differentialgleichung erfüllt N(t) = S(t) + I(t) + R(t)? Löen Sie diee Differentialgleichung unter der Anfangbedingung N() = N und zeigen Sie, da lim t N(t) = A µ. Addiert man die drei Differentialgleichungen au () erhält man für N = S + I + R die Differentialgleichung N (t) = A µn(t), mit der allgemeinen Löung N(t) = Ce µt + A µ. Siehe nächte Blatt!

9 Einetzen der Anfangbedingung führt zu C = N A µ, alo erhält man N(t) = A µ ( e µt ) + N e µt A }{{} µ. c) Da SIR-Modell hat zwei tationäre Zutände, einen trivialen, (S, I, R ) = ( A,, ) und einen nichttrivialen (S, I, R). Zeigen Sie, da gilt µ βs = ν + µ, R = ν γ + µ I, β µ I = β A (ν + µ) µ ν + µ γν γ+µ und da tatächlich S, R, I >, wenn βa µ > ν + µ. Wir etzen die Gleichungen für S, I und R in die rechte Seite von () ein: ν A (ν + µ)i + γ γ + µ I µ β (ν + µ) = A µ ( (µ + ν) I ν + µ γν ) = β γ + µ }{{} (ν + µ)i νi µi = ν νi γ γ + µ I µ ν I = νi νi =. γ + µ = µ β ( β µ A (ν+µ) ) Damit liegt bei S, I, R tatächlich ein tationärer Zutand vor. Wir zeigen noch, da diee Werte tatächlich poitiv (und damit innvoll im Anwendungkontext) ind: S = ν+µ β > it klar, und weiterhin it > {}}{ I = µ β A (ν + µ) µ β ν + µ γν > γ+µ ν + µ γν γ + µ > (ν + µ)(γ + µ) > γν µ(γ + µ) + νµ > und die letzte Gleichung gilt immer. Schließlich it auch R = ν I >, da I >. γ + µ }{{} > d) Da DGL-Sytem () eignet ich in der Form nur zur Bechreibung von Krankheiten ohne tödlichen Verlauf. Wie müte man da Sytem ändern, um eine erhöhte zuätzliche Sterberate ϱ > für infizierte Individuen zu modellieren? Bitte wenden!

10 Fall e eine zuätzliche Sterberate ϱ für infizierte Individuen gibt, mu man in I (t) den zuätzlichen Term ϱi(t) einfügen, alo: S (t) = A βs(t)i(t) + γr(t) µs(t), I (t) = βs(t)i(t) νi(t) (µ + ϱ)i(t), R (t) = νi(t) γr(t) µr(t). Abgabe der chriftlichen Aufgaben Donnertag, den in den Fächern im Flur vor Raum HG E 65.2 oder Dientag, den..27 in den Übungtunden. Präenz der Aitenzgruppe Zweimal in der Woche beantworten Aitierende in einer Präenz Fragen: Montag und Donnertag von 2 bi 3 Uhr im HG G Zuätzliche Präenz auf Anfrage Zuätzlich zu den regulären Präenztunden findet Freitag, zwichen 2: und 3: Uhr im HG G 32.6 eine weitere Präenz tatt, fall daran Interee beteht. Fall Sie kommen möchten, chreiben Sie bitte vor Dientag, 7..27, 6 Uhr eine Mail an den Koordinator der Vorleung.