Aus Kapitel 39. Regelungstechnik. Aufgaben Ein Übertragungsglied sei beschrieben durch die Differenzialgleichung

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1 Aufgaen Kap Au Kapitel 39 Aufgaen 39 Ein Üertragungglied ei echrieen durch die Differenzialgleichung 3ÿt) +2ẏt) +2yt) ut) +2ut) Da Eingangignal ei ut) e 2t, alle Anfangwerte eien null Eritteln Sie die Löung yt) ithilfe der Laplace-Tranforation und erechnen Sie ithilfe de Endwertatze der Laplace-Tranforation den Endwert de Augangignal yt ) Geen Sie die koplexe Üertragungfunktion G) de Syte an yt) 3 te 2t Der Endwert de Augangignal lautet Die Üertragungfunktion ergit ich zu G) 3+2) 3ÿt)+2ẏt)+2yt) ut)+2ut) 3 2 Y) y ) ẏ ) ] + 2 Y) y ) ] + 2Y) U) u )+2U) Auklaern und Anfangwerte zu null etzen: 3Y) ) U) + 2), Y) U) ) 3 + 2) ut) e 2t U) wird eingeetzt: +2) Y) 3 + 2) 2 yt) 3 te 2t Der Endwert von yt) ergit ich zu: li yt) li Y) li 3 + 2) 2 Au ) liet an die Üertragungfunktion G) Y) U) 3+2) a 392 Ein Syte ei durch folgende Differenzialgleichung charakteriiert: ÿ + a ẏ + a y u + u Wie lautet die Üertragungfunktion G) zwichen der Einganggröße ut) und der Auganggröße yt)? 2 Betien Sie den Endwert de Augangignal li yt) für da prungförige Eingangignal ut) σt) it de Endwertatz der Laplace-Tranforation Unter welcher Vorauetzung it da Ergeni gültig? 3 Betien Sie li yt) it de Anfangwertatz der t Laplace-Tranforation für da Eingangignal ut) δt) 4 Betien Sie für die Paraeterwerte a 4 und a 3 die Sytepole nach 3956) It da Syte ayptotich tail? 5 Wie lautet die Ipulantwort gt) de Syte, wenn an außerde die Paraeterwerte einetzt? Geen Sie die Sprungantwort ht) de Syte an 6 It da Syte it den gegeenen Paraeterwerten üertragungtail? 7 Ordnen Sie die Sprungantworten nach A 392 de jeweiligen Wert für zu:,,,2,, 3 daei it wiederu a 4, a 3und ) Aplitude,8,6,5,4,3,2,,,2,4 Sprungantworten Zeit in Sprungantworten ei unterchiedlicher Lage der Nulltelle G) + 2 +a +a 2 Unter Annahe von Üertragungtailität it der Endwert li yt) a 3 li yt) t egelungtechnik

2 23 Aufgaen Kap 39 egelungtechnik 4 Da Syte it ayptotich tail 5 gt) e 3t und ht) 3 e 3t ) 6 Da Syte it üertragungtail 7 Zu den Sprungantworten gehören von oen helllau) nach unten rot) die folgenden Werte von : 3; ;,2; ; Laplace-Tranforation der Differenzialgleichung: ÿ + a ẏ + a y u + u 2 Y) y ) ẏ ) ] + a Y) y ) + a Y) ] U) u ) + U) Zur Erittlung der Üertragungfunktion alle Anfangwerte zu null annehen: Der Anfangwert der Ipulantwort it die Anfangteigung der Sprungantwort iehe Aufgaenteil e) Für ieht an, da diee Anfangteigung ei PT2-Glied ier null it 4 Ayptotiche Stailität: Die Sytepole ergeen ich al Löungen von , alo: p,2 4 ± ± 2 p, p 2 3 Beide Sytepole liegen in der linken koplexen Haleene Da Syte it ayptotich tail Für die hier vorgegeenen Zahlenwerte von a und a it oit da Ergeni von Aufgaenteil 2 gültig) 5 Ipulantwort de Syte für und a 4, a 3): 2 Y)+a Y)+a Y) U)+ U) Die Üertragungfunktion echreit da Verhalten zwichen Eingang und Augang: Y) G)U) G) Y) U) a + a 2 U yt) für t für da Eingangignal ut) σt) U) zu eritteln, wenden wir den Endwertatz der Laplace-Tranforation an: li yt) li Y) li G)U) li G) li G) + li 2 + a + a a Da üer den Endwertatz erechnete Ergeni it nur gültig, wenn der Grenzwert li yt) exitiert Die Syteantwort darf alo weder gegen ±) treen etit divergent) noch unetit divergent ein, alo eipielweie einen Dauerchwingunganteil aufweien Wenn da Syte üertragungtail it und da Eingangignal für t gegen einen feten Wert tret, wird diee Vorauetzung erfüllt ein 3 U yt) für t für da Eingangignal ut) δt) U) zu eritteln, verwenden wir den Anfangwertatz der Laplace Tranforation: li yt) li Y) li G)U) t li G) li a + a + li + a + a 2 G) + + ) + 3) + 3 gt) e 3t Die Sprungantwort ergit ich durch Integration der Ipulantwort: ht) t gτ)dτ t e 3τ dτ 3 e 3t + 3 e 3t ) 3 3 e 3τ ] t τ oder durch Multiplikation der Üertragungfunktion it de Eingangignal, alo der Sprungfunktion, i Frequenzereich und anchließender ücktranforation: H) G) + 3) ) ht) e 3t ) 3 6 Üertragungtailität: Da ei etrachteten -Glied die Sprungantwort gegen einen feten Wert läuft, nälich 3, iehe 5, gilt hier Üertragungtailität Alternativ kann an arguentieren, da au der in 4 gezeigten ayptotichen Stailität ofort Üertragungtailität folgt 7 Nulltelleneffekte: In der Aildung ind die Sprungantworten den zugehörigen Werten von T zugeordnet Die in der rechten koplexen Haleene gelegene Nulltelle veruracht ein Unterchwingen der Sprungantwort, d h, der Syteaugang läuft zunächt in die falche ichtung lo Eine link und daei nahe null gelegene Nulltelle ewirkt ein deutliche Üerchwingen der Sprungantwort Für tellt ich reine PT2-Verhalten ein

3 Aufgaen Kap Aplitude Sprungantworten,8,6,5,4,3,2, T T T,2, T,2 T 3, Zeit in Sprungantworten ei unterchiedlicher Lage der Nulltelle 393 Folgende Zutandrauodell wurde ei einer Modellierung der Kurzzeitdynaik eine Flugzeuge hergeleitet: ) ), 5, 75 ẋ 4 A, 2 x +, y ) c T Unteruchen Sie da Syte auf Stailität und erechnen Sie die Üertragungfunktion! 394 Ein in der egelungtechnik häufig auftretende Prole it die Poitionregelung Die Aildungen de Wagen und der Fetplatte zeigen zwei Beipiele y F u F A eiung Antriekraft Poitionieren eine Wagen Schrei-Leekopf egelungtechnik Hinwei: Verwenden Sie Kriteriu 2a der ayptotichen Stailität Da Syte it intail Die koplexe Üertragungfunktion G) lautet:, 2 + 7, 7 G) 2 + 2, 5, 5 Stailitätunteruchung: Da Syte it alo intail deti A) 2 + 2, 5, 5 p 3, p 2, 5 Berechnung der Üertragungfunktion: G) c T I A) +, 5, 75, 2 ) 4 + +,75, 2 ) 2 + 2, 5, 5 4 +, 5, 2 2 +,75) + 2, 5, 5, 2 + 7, , 5, 5 Poitionier-Antrie Poitionieren de Schrei-Leekopfe eine Fetplatten-Laufwerk Für die folgenden Aufgaen wird der Wagen etrachtet, in ähnlicher Weie könnte an diee auch für da Fetplatten-Laufwerk durchführen Der Wagen der Mae werde durch eine Antriekraft F A Stellgröße u) echleunigt, woei eine gechwindigkeitproportionale eikraft F c ẏ entgegenwirkt egelgröße ei der Ort y de Wagen Stellen Sie die Bewegungdifferenzialgleichung de Syte auf und geen Sie die koplexe Üertragungfunktion an Hinwei: Die Sue der angreifenden Kräfte it gleich ÿ ÿ F + F A c ẏ + u G) 2 + c

4 232 Aufgaen Kap 39 egelungtechnik 2 Y) c Y)+ U), 2 Y)+ c Y) U), Y) 2 + c ) U), Y) 2 + c U) ) 395 Jeand chlägt eine egelung de gerade etrachteten Poitionieryte vor, ei der die Stellgröße u durch proportionale Vertärkung der egelaweichung e w y erechnet wird, alo: u K w y) ) Betien Sie die koplexe Üertragungfunktion Ḡ), die i o geregelten Syte den Zuaenhang Y) Ḡ)W) zwichen Führung- und egelgröße echreit Hinwei: Unterziehen Sie die Gleichung der Laplace- Tranforation und etzen Sie ein K Ḡ) 2 + c + K Laplace-Tranforation ] von ) liefert U) K W) Y) ; die wird in ) eingeetzt: 2 Y)+ c Y) K rw) K Y) Y) 2 + c + K ) K r W) Y) K 2 + c + K Ḡ) W) 396 Für pezielle Werte der Paraeter, c, K deren Einheiten wir der Üerichtlichkeit haler weglaen) erhält an in der vorherigen Aufgae: Ḡ) Berechnen Sie die Pole und eurteilen Sie die Stailität de Syte Hinwei: Zur Beurteilung der Stailität de hier vorliegenden geregelten Syte können Sie da ekannte Kriteriu der Üertragungtailität verwenden p 5, p 2 5 Da Syte it alo tail , + 5) + 5), p 5, p Berechnen Sie die Ipulantwort gt) und die Sprungantwort ht) de Syte au Aufgae 396 Hinwei: ḣt) gt) gt) 25te 5t, ht) e 5t 5te 5t Die Ipulantwort kann durch Laplace-ücktranforation ofort erittelt werden: Ḡ) 25 gt) 25te 5t + 5) 2 Die Sprungantwort ergit ich zu: 25 Y) ) 2 ht) e 5t 5te 5t In folgender Aildung ind die Zeitverläufe eider Ergenie zu ehen 2,5,5 gt ) ht ),5,5 2 2,5 3 Zeit in 398 Eritteln Sie rechnerich den Anfang- und den Endwert der Sprungantwort de Syte au Aufgae 396 Hinwei: E git zwei naheliegende Löungwege ht + ), ht )

5 Aufgaen Kap Der Anfangwert der Sprungantwort, alo ht + ), kann ithilfe de Anfangwertatze der Laplace-Tranforation erittelt werden: ht + ) li G) ] G ) oder durch Auwerten der oen erittelten Funktion ht): ht + ) Der Endwert der Sprungantwort, alo ht ), kann ithilfe de Endwertatze der Laplace-Tranforation erittelt werden: ht ) li G) ] G) oder durch ht ) 399 Betrachtet wird da Lager au A 383 it de Zutandrauodell au Aufgae 388, allerding it der Auganggröße y x Für pezielle Werte der Paraeter, C und D ergit ich die Zutanddartellung ) ẋ ẋ2 ẋ 2 A y ) x, c T x + F x 2 ) x die wir dienionlo, d h ohne Berückichtigung der phyikalichen Einheiten ehandeln Da Eingangignal ei Ft) δt) und der Anfangzutand ei xt ) Wenden Sie auf da oige Syte die Foreln 395) zur direkten Berechnung von X) und Y) an und eritteln Sie die Löung yt) durch Laplace-ücktranforation Berechnen Sie weiterhin die Üertragungfunktion G) direkt au der Zutanddartellung Hinwei: Berechnung der Adjunkte einer 2 2Matrix: a d adj c d c a Löung für yt): Üertragungfunktion: yt) 3 e t in3t) G) Berechnung von X) und Y) it den Foreln X) I A) U) +I A) x), Anregungter Anfangwertter Y) c T I A) U)+c T I A) x) Invere erechnen: I A) adji A) deti A) adj + 2 det Folglich wird: X) I A) + 2, Y) c T X) ) ) : ω 3 + δ) 2 + ω 2 ücktranforation: yt) 3 e δt inωt) 3 e t in3t) Folglich lautet die Üertragungfunktion: G) c T I A) egelungtechnik