Theoretische Physik 4 - Blatt 2

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Kristian Tiedeman
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1 Theoretische Physik 4 - Blatt Christopher Bronner, Frank Essenerger FU Berlin 9.Oktoer 6 Aufgae 3 a) Neenrechnung dye y In den Aufgaen wird immer wieder das Integral auftauchen. Hier dye y wird es erechnet: I I dye y dye y dxe x dxdye [y +x ] drdϕre r [ e r ] + Normierungskontante drre r I π I π ) Als erstes muss die Normierungskonste estimmt werden. Dazu enutzt man die Normierungsedingung So ergit sich für unsere Funktion dxψx)ψ x) ψx, t ) Ae x +ik x.

2 folgende Bestimmungsgleichung für A: A dxae x +ik x Ae x ik x dxe x Nun wird mit y x dy dx sustituiert: A dxe x A dye y A dye y. Dieses Integral ist nach Gl. ) ekannt und es ergit sich für die Normierungskonstante: A 4 π. ) Ψk) ergit sich als Rücktransformation von Ψx): Ψk) + dxψx)e ikx dxae x +ik k)x dxae [x ik k) x] dxae [x ik k) ] k k) Nun mit y x ik k) dy dx sustituieren: Γi Ψk) + +Γi +Γi dyae y Γ. Nun nochmal mit y z dy dz sustituieren Γ Γ): Ψk) A e Γ +Γ i +Γ i dze z. )

3 Hier muss man jetzt noch dieses Integral auf das ekannte Integral aus Aufgae a) zurückführen. Da e z analytisch ist, verschwindet jedes geschlossene Wegintegral in der Gaußschen Zahleneene. dze z Nun wählen wir einen esonderen Weg: +R dze z R dze z + +R +R+Γ i R+Γ i R dze z + dze z + dze z + dze z R +R +R+Γ i R+Γ i R+Γ i +R+Γ i R+Γ i dze z + dze z dze z +R+Γ i +R R } {{ } :W W eg zur reellen Achse) } {{ } W eg Nun wird für die Wege eine Parametrisierung gewählt. W eg : z t) R + iγ t t ɛ [, ] W eg : z t) z t) R iγ t t ɛ [, ]. So ergit sich für den geschlossenen Weg: dze z W + dte z t) iγ } {{ } W eg dte z t) iγ ) z z 3) W + W + dte zt) iγ + dte R RiΓ t+γ t iγ + dte zt) iγ 4) dte R RiΓ t+γ t iγ 5) W + e R dte RiΓ t e Γ t iγ + e R dte RiΓ t e Γ t iγ 6) Jetzt lassen wir R gehen. Die komplexe Exponentialfunktion im Integranden ist von der Form e iα und hat den Betrag. Der reelle Exponentialterm im Integranden ist konstant zgl. R. Die reelle Exponentialfunktion vor dem Integral stet gegen Null und lässt somit eide Summanden verschwinden. W 3

4 Oder explizit:für lim R + fallen die hinteren eiden Terme weg: ± e R e R I ± e R dte t Γ ±RΓit iγ) dte t Γ ±RΓit iγ) ± e R dt e t Γ e ±RΓit iγ) e R e R Maxe t Γ Γ, t) [,] ) LAAnge e R const.. dt e t Γ ±RΓit iγ) dt e ±t Γ Γ) e R Maxe t Γ Γ, t) [,] Der Betrag des Terms ist. Wenn I geht, dann geht I erst recht gegen und Gleichung 3) vereinfacht sich zu:setzen wir W nun wieder ein: R+Γ i R+Γ i R+Γ i R+Γ i dze z +R dze z π. Damit ergit sich für Ψk) nach Gl. ): dze z + R +R dze z R R+Γ i dze z +R+Γ i Ψk) A e Γ π Ae k k) 4 Ae k k) Endergenis: Ψk) 4 π e k k) c) Für die Zeitahängigkeit wählen wir den Ansatz: Ψx, t) dk Ψk)e ikx ωt) 7) Für die Frequenz gilt E ω p m k m 8) 4

5 ω k m Setzt man diese Frequenz und Ψk) in die Gl. 4) ein, ergit sich: Ψx, t) 4 π dk exp ) k k) + ikx k m t) 9) ) Um das Integral lösen zu können, formen wir den Exponenten um: k k) + ikx k m t) k i t ) m +k ix + ) k k ) :β :α :γ α k + k β α + β 4α ) ) γ β 4α :δ α k + β ) + δ 3) 4 Jetzt sieht das Integral schon esser aus. Den Vorfaktor verkürzen wir noch: F :. 4 π Wir definieren α : α. Ψx, t) F e δ dk e αk+ β 4 ) 4) Ψx, t) F e δ Mit der Sustitution y : α k + α β 4 dk e α k+ α β 4 ) 5) dk α dy erhaelt das Inte- gral Wiedererkennungswert. Durch die Sustitution erhalten die Integralgrenzen einen imaginaeren Teil I C. Dieses Integral haen wir ereits in Aufgaenteil ) gelöst. Jetzt setzen wir Ψx, t) F +I eδ dy e y 6) α +I F eδ α π 7) 5

6 F π 4 π 8) α i m t + δ γ β 4α k + 4 ix + k ) i m t + wieder ein und ekommen als Endergenis: [ Ψx, t) 4 exp π i m t + k + ) ix + ] k i m t + 9) ) ) Um zu sehen, dass diese Lösung die Wellenfunktion die Schrödinger-Gleichung erfüllt, ilden wir die Aleitungen Akürzung: α : i m t + ): t Ψx, t) Ψx, t) [ Ψx, t) x x x 4 π α 3 exp[...]i m [ i mα 4 α exp[...] ix + k ) π α i m ] i mα ix + k ) 4 α exp[...] π α ix + k ) i [Ψx, t) iα ] ix + k ) Ψx, t) α ix + k ) Ψx, t) α Ψx, t) [ α α ] ix + k ) Durch Einsetzen in die SG sieht man, dass Ψx, t) Lösung ist. [ iψx, t) i mα i ] mα ix + k ) d) mα + mα ix + k ) Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist gegeen durch ] Ψx, t) [ α m α ] ix + k ) mα + mα ix + k ) ρx, t) Ψx, t) ) 6

7 Einsetzen von Gl. 8): ρx, t) 4 exp π i m t + k + ) ix + k 4 i m t + :E Berechnung des Vorfaktors. 4 π i m t + π + i m t i m t π 4 + 3) 4) Berechnung des Exponenten. e E e ReE) 5) E k + ix + k ) 4 i m t + 6) 4 k + ix k x ) ) k i m t ) k ) [ 6 k x + x k m t + i x 4 k 4 k m t + )] x m t 9) [ ] ReE) 6 k k x + x k m t [ ] 6 k k x + x k m t [ k + k m t + 4 k + x xk [ ReE) 4 + x xk m t + ] k m t 4 + [ x k m t ] m t 3) 3) 3) 33) ] 34) 7

8 Jetzt setzen wir Gl. 34) in Gl. 5) und diese zusammen mit dem oen estimmten Vorfaktor in Gl. 3) ein. ρx, t) π 4 + exp 4 + : σt9 x k m t Das Maximum nimmt die Funktion ein, wenn der Exponent verschwindet. ) 35) t max x) m k x 36) Das zeitliche Maximum ist natürlich eine Funktion vom Ort, da das Paket sich ja ewegt.das Maximum wandert mit: xt) k m t. Die Höhe des Maximums geht daei wie: At) π 4 +. Die Breite ergit sich aus dem Wert für e, welcher ei x / k m t ± σt) angenommen wird, so ist xt): xt) x x 4 + m σt) t). 37) Zusammengefasst lässt sich sagen, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte sich wie erwartet verhält. Das Maximum wandert geradlinig in eine Richtung, daei nimmt seine Höhe a und die Breite der Kurve nimmt zu. Die Kurve zerfließt also langsam. Aufgae 4 Wir üerlegen uns nun wie man ω und k ermittelt. Diese kann man jedoch leicht estimmen, wenn die Geschwindigkeit v der Transformation gegeen ist, da Geschwindigkeiten der Welle v g und v einfach zusammenhängen. Die folgende Rechnung ist voellig allgemein und gilt also speziell fuer die eene Welle. v g v g v p mv g k k v g m k v g m v g v)m k vm. 38) 8

9 Gleiche Üerlegungen kann man auch für ω anstellen: ω E p m ω mv g ω mv g v) ω mv gv + mv. 39) Nun wollen wir sehen, dass die Schrödinger-Gleichung invariant ist zgl. Galilei- Transformationen. Im ewegten Bezugssystem hat die Wellenfunktion folgende Gestalt: Es gilt wegen k k + vm : Ψx, t ) e ifx,t) Ψx, t) dk Ψk)e ikx ωt)+ifx,t) dk dk Die Funktion fx, t) soll so eschaffen sein, dass folgende Gleichung erfüllt ist. ikx ωt) + ifx, t) ik x ω t ) Wenn nun Ψx, t)loesung der Schroedingergleichung ist, gilt fuer die transformierte Wellengleichung: m x Ψx, t ) i t Ψx, t ) dk Ψ k ) k m eik x ω t ) dk ω Ψ k )e ik x ω t ). [ dk ω k ] c m Ψ k )e ik x ω t ) Nach den Zusammenhaengen fuer k und ω und der debroglie-beziehung gilt: [ω k ] m 9

10 Also ist auch Ψx, t ) Loesung der transformierten) SG. Nun leit noch die Berechnung von fx, t) nach der oen gestellten Forderung. ikx ωt) + ifx, t) ik x ω t ) fx, t) k k)x ω ω)t k vt mv x + mvv g t mv t k vt k mv g mv x mv t + mv tv g v g) mv x mv t + mv tv fx, t) mv x + mv t

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