Formelsammlung Mathematik (ET053)

Transkript

1 Forelalung Matheatik (ET053) Änderunghitorie Differenzialgleichungen, Ordnung, Separierbarkeit, Hoogenität, Linearität, Löungen, Löunganatz Trennen der Variablen, Löunganatz Subtitution, Lineare DGL. Ordnung, Tabelle der Löunganätze Lineare DGL n-ter Ordnung, Wronki-Deterinante, Lineare DGL 2. Ordnung it kontanten Koeffizienten, Tabelle pezieller Laplace-Tranforationen Lineare DGL n-ter Ordnung it kontanten Koeffizienten, Laplace-Tranforation (Linearität) Laplace-Tranforation (Ähnlichkeitatz, Verchiebungatz, Däpfungatz, Faltungatz, Differentiationatz, Multiplikationatz, Integrationatz) Laplace-Tranforation (Diviionatz) Laplace-Tranforation (Grenzwertätze) Spezielle Laplace-Tranforationen (Sprungfunktion, Rechteckipult, periodiche Funktion), Anwendung der Laplace-Tranforation (. und 2. Ordnung, Sytee) Forelalung Matheatik ET053 Seite

2 Inhalt Änderunghitorie... Inhalt...2 Differenzialgleichungen (DGLn)...3 DGL Löunganatz: Trennen der Variablen...4 DGL Löunganatz: Subtitution...4 Lineare DGL. Ordnung...6 Lineare DGL n-ter Ordnung...7 Lineare DGL 2. Ordnung it kontanten Koeffizienten...8 Lineare DGL n-ter Ordnung it kontanten Koeffizienten...9 Löunganätze für inhoogene DGL...0 Laplace Tranforation... Spezielle Laplace Tranforationen...4 Anwendung. der Laplace-Tranf. (lin. DGL it cont. Koeffizienten)...5 Tabelle pezieller Laplace-Tranforationen...8 Forelalung Matheatik ET053 Seite 2

3 Differenzialgleichungen (DGLn) Gleichungen, die Funktionen und deren Ableitungen enthalten. Geucht wird die Funktion y, die it ihren Ableitungen der Gleichung genügt. Ordnung Die Ordnung einer DGL wird durch die höchte vorkoende Ableitung betit. Beipiel: y /// x5 y / x =0 (dritte Ordnung) Linearität Eine DGL it dann linear, wenn Funktionen und Ableitungen nur in erter Potenz vorkoen. Beipiel: y / x yx =3 Hoogenität Enthält eine DGL kein(e) von y und deen Ableitungen freie() Störglied/Störfunktion, o wird it ie hoogen. Beipiel: y / x 2 yx=0 Separierbarkeit It dann gegeben, wenn ich die Gleichung in der For y / x = f x g y x audrücken lät. Beipiele: eparierbar: y / x =in x x 2, y / x inx y co x=0 nicht eparierbar: y / x =2x y Löungen. Allgeeine ind nur von n unabhängigen Paraetern abhängig: y x= y x, c,, c n 2. Spezielle gehen au der Allgeeinen hervor. Durch Einbeziehung von Anfangwerten oder Randbedingungen nehen die Kontanten pezielle Werte an. 3. Singuläre ind nicht in der Allgeeinen enthalten, ind aber dennoch korrekt. Beipiel: y // t=6t y / t = y // t=3t 2 c y t= y / t =t 3 c tc 2 allg. Löung Anfang-/Randbedingungen in allg. Löung einetzen: y 0= c 2 = y / 0=0 c =0 Spezielle Löung: y t=t 3 Forelalung Matheatik ET053 Seite 3

4 DGL Löunganatz: Trennen der Variablen Dieer Anatz wird verwendet, u eparierbare DGLn erter Ordnung zu löen. Hierbei werden die x und y x getrennt integriert. Vorgehenweie. Schreiben der DGL y / x = f x g y x in der For dy = f x g y dx 2. dy g y = f xdx 3. g y dy= f xdx 4. G y=f xc,fall g y 0 5. Auflöen nach y, fall öglich Beipiel: y / = x y 0x, c Anfangbedingung: y =2 allgeeine Löung: dy dx = x y y dy= x dx y dy= x dx ln y=ln xc y=e lnx c = e ln x e c = x c pezielle Löung (einetzen der Anfangbedingung): 2=! c c =2 y x=2x DGL Löunganatz: Subtitution Betite Typen laen ich o in eine eparierbare DGL überführen, die dann it Hilfe der Trennung der Variablen zu löen it. Typ : y / = f x y. Subtituieren u x:= yx x y x =x u x y / x =u x x u / x 2. DGL lautet nun u x u / = f u x u / = f u u u / = 3. Löung durch Trennung der Variablen f u u x 4. Reubtituieren und auflöen nach y, fall öglich Forelalung Matheatik ET053 Seite 4

5 Beipiel: y / = x4 y x x 0 y / =4 y x Subtituieren: u= y x u x u / =4 u x u / =3 u u / = 3 u x Trennen der Variablen : 3u du= x dx 3 ln 3 u =ln x c ln 3u =ln x 3 c 3 u=x 3 c u=c x 3 3 Reubtituieren: y =u x yx=c x 4 3 x Typ 2: y / = f axbyc. Subtituieren: u x=axbyc u / x=aby / x=ab f u 2. DGL lautet nun u / x =ab f u 3. Löung durch Trennung der Variablen 4. Reubtituieren und auflöen nach y, fall öglich Beipiel: y / =8x2y 2 Subtituieren: u=8x2y u / =82y / = 82 u 2 Trennen der Variablen : du dx =82 u2 82u du= dx 2 4 arctan u 2 =xc arctan u =4 xc u=2tan 4xc 2 Reubtituieren: u=8x2y yx=tan4 xc 4 x 2 Forelalung Matheatik ET053 Seite 5

6 Lineare DGL. Ordnung y / p x y=q x y wird geucht, y / it die erte Ableitung p x bzw. c it der Koeffizient (bekannt) q x it die Störfunktion/da Störglied (bekannt) und bei hoogenen DGLn Null y=0 it tet eine, die triviale, Löung Hoogene Löung allgeein: y h x=c e Px, P(x) it die Stafunktion von p(x) Beipiel: y / x y=0 y h x x=c e ln x =c e ln =c x Inhoogene Löung allgeein: y x= q x e P x dx e Px, P(x) it die Stafunktion von p(x) Da P x zweial Verwendung findet, ucht an noralerweie ert die hoogene Löung. Beipiel: y / tan x y=in x co x y h x =c e ln co x =c co x y0= y x= in x cox dx co x co x = in x dx co x = coxc co x = co 2 xc co x y 0=! c= c=2 y x= co 2 x2 cox Forelalung Matheatik ET053 Seite 6

7 Lineare DGL n-ter Ordnung a n x y n a n x y n a x y / a 0 x y = f x =: L [ y ] Eingenchaften von L[ y] : ) L[ y y 2 ]=L[ y ]L[ y 2 ] 2) L[ y]= L[ y], R Hoogene Löung y h x=c y xc n y n x, c,,c 2 R y,, y n ind linear unabhängige Löungen von L[ y]=0 (iehe Wronki-Deterinante). Wronki-Deterinante Die Löungenge einer hoogenen DGL it ein n -dienionaler Vektorrau, deen Bai y,, y n ind. Zur Fettellung der Linearen Unabhängigkeit üen y,, y n n -al differenzierbar ein. W y,, y n ; x 0 :=W x 0 = y x 0 y 2x 0 y n x 0 y / x 0 y 2 / x 0 y n / x 0 y n x 0 y 2 n x 0 y n n x 0 y,, y n lin. abh.. W x =0 x R y,, y n lin. unabh. W x 0 x R Beipiel: y x=, y 2 x= x, y 3 x= x 2 W x= x x2 0 2x =2 2 0 y, y 2, y 3 linear unabhängig Inhoogene Löung E genügt die allg. Löung der hoogenen und eine der inhoogenen DGL zu betien. y x= y h x y p x allgeeine Löung der hoogenen DGL: y h x pezielle Löung der inhoogenen DGL: y p x Forelalung Matheatik ET053 Seite 7

8 Lineare DGL 2. Ordnung it kontanten Koeffizienten y // ay / by= f x a,b R Hoogene Löung Nach de Auftellen der charakteritichen Gleichung 2 a b=0 werden und 2 it Hilfe der pq-forel,2 = a 2 ± a2 4 b betit. Nun werden drei Fälle unterchieden:. Fall: a2 4 b0 y h x=c e x c 2 e 2 x ho. DGL beitzt die zwei Löungen, 2 R, 2 2. Fall: a2 4 b=0 a 2 y h x=c c 2 x e x ho. DGL beitzt eine doppelte Löung = a 2 3. Fall: a2 4 b0 y h x=c e x co x c 2 e x in x ho. DGL beitzt die konjugiert koplexen Löungen = j und 2 = j, = a 2, = a2 b 4 Inhoogene Löung Der Anatz richtet ich nach de Typ der Störfunktion f x (iehe Tabelle). Beipiel: y // 2y / y=6e x, y0=, y / 0=2 ) Charakteritiche Gleichung: 2 2 =0,2 =± y h x=c c 2 x e x 2) Anatz für f x=6 e x au Tabelle ableen und Ableitungen berechnen: y p x= A x 2 e x y / p x=2a x e x A x 2 e x y // p x= A e x 25xx 2 Einetzen in die DGL: A24x x 2 e x 2A 2xx 2 e x a x e x =6 e x 2A=6 A=3 y p x=3x 2 e x 3) y x =c c 2 x e x 3x 2 e x = c c 2 x3x 2 e x 4) Für pezielle Löung c und c 2 finden: y / x betien und die Werte au de gegebenen Anfangproble einetzen. y / x =c c26xc 2 x3 x 2 e x y x= x3x 2 e x Forelalung Matheatik ET053 Seite 8

9 Lineare DGL n-ter Ordnung it kontanten Koeffizienten y n a n y n a y / a 0 y= f x Hoogene Löung charakteritiche Gleichung: n a n n a a 0 =0 (beitzt n Nulltellen) Löungfunktionen (geäß der Vielfalt der Nulltellen): R : einfache Nulltelle e x 2 R : k-fache Nulltelle e 2 x, x e 2x, x 2 e 2 x,, x k e 2 x 3 = j, 3 = j C : einfache Nulltelle e x co x, e x in x 4 = j, 4 = j C : k-fache Nulltelle e x co x, x e x co x,, x k e x co x e x in x, x e x in x,, x k e x in x Die Linearkobination dieer Löungfunktionen ergibt y h x. Inhoogene Löung Der Anatz richtet ich nach de Typ der Störfunktion f x (iehe Tabelle). Beipiel: y 4 2y /// 5y // =30x 2 charakteritiche Gleichung: = =0 it doppelte Nulltelle 2 /3 =± 4 2 = j2, 3 = j2 =0 2/3 =± j2 y h x=c c 2 xc 3 e x co 2xc 4 e x in2x Anatz für partikuläre Löung nach Tabelle: f x=30x 2 y p x= A 0 x 2 A x 3 A2 x 4 y p x= A 0 x 2 A x 3 A 2 x 4 y / p x=2 A 0 x3 A x 2 4 A 2 x 3 y // p x=2 A 0 6 A x2 A 2 x 2 y /// p x=6 A 24 A 2 x y (4) p x=24 A 2 Einetzen in Augang-DGL it anchließende Koeffizientenvergleich: 60 A 2 x 2 30 A 48 A 2 x24 A 2 2 A 0 A 0 =30 x 2 60 A 2 x 2 =30 x 2 A 2 = 2 30 A 48 A 2 x=0 A = A 2 2 A 0 A 0 = A 0 = 7 50 y p x= 7 50 x x 3 4 x 4 Forelalung Matheatik ET053 Seite 9

10 Löunganätze für inhoogene DGL Mit freundlicher Genehigung von Frau Prof. Dr. Gabriele Schreieck. für eine pezielle Löung von y // a y / b y=q x charakteritiche Gleichung: 2 a b=0 : Grad der Störfunktion A und B : unbekannte Kontanten, die durch Randbedingungen betit werden üen Typ der Störfunktion q x= a k x k k =0 Einchränkung für die Löung der charakt. Gleichung Null it keine Löung (d.h. b 0 ) Null it einfach Löung (d.h. a 0, b=0 ) Null it doppelte Löung (d.h. a=b=0 ) y p = A k x k k =0 Anatz y p = A k x k k =0 y p = A k x k2 k =0 q x=e kx k it einfach Löung y p = A x e kx k it keine Löung kx y p = A e q x=a cox oder q x=b in x q x= a k x k e cx in x k =0 oder q x= a k x k e cx co x k =0 k it doppelte Löung y p = A x 2 e kx ± j ind keine Löungen y p = A co xb in x ± j ind einfache Löungen y p = x A co xb in x c j it keine Löung c j it eine Löung y p =e cx ( A k x k in x k =0 k=0 B k x k co x) y p = x e cx ( A k x k in x k =0 k=0 B k x k co x) Die Löung einer linearen inhoogenen Differenzialgleichung zweiter Ordnung it kontanten Koeffizienten kann in folgenden Schritten erfolgen: ) Betien der allgeeinen Löung y h =c y c 2 y 2 der zugehörigen ho. DGL 2) Eritteln einer peziellen Löung y p in den Teilchritten Anatz für y p geäß obiger Tabelle Bilden der erten und zweiten Ableitung von y p Koeffizientenvergleich nach Einetzen de Anatze und einen Ableitungen in die DGL und Eritteln der unbetiten Größen i Anatz 3) Bilden der allgeeinen Löung y= y h y p der inhoogen DGL 4) Gegebenfall Löen einer Anfangwertaufgabe zur Betiung von c und c 2 Forelalung Matheatik ET053 Seite 0

11 Laplace Tranforation Hinwei: Aufgrund der i Foreleditor fehlenden tiliierten Großbuchtaben für Integraltranforationen, wird der einfache Großbuchtabe hierfür verwendet. Eine Integraltranforation it eine Abbildung T, die jeder Funktion f t eine gewien Funktionrau eine Funktion F =T { f t } zuordnet. Allgeeine Vorgehenweie:. Forulierung der Aufgabe ( Gleichung) 2. Anwendung der Tranforation auf da Modell 3. Löen de tranforierten Modell 4. Rücktranforation Sei f t eine Funktion der Zeit it D f =[ 0, ), dann heißt die Funktion L { f t }:= F = e t f t dt Laplace Tranforierte von f t (fall da Integral exitiert). 0 BEISPIEL FEHLT! Linearität L {a f ta 2 f 2 t } = a L { f t }a 2 L { f 2 t} Ähnlichkeitatz L { f a t } = a F a, a0 Der Übergang von f t zu f at entpricht einer Dehnung bzw. Stauchung de Graphen läng der Zeitache (iehe Bild). Beipiel: L {int } = 2 L {inat } = a a = 2a 2 a 2 a 2 = a a 2 2 a 2 Verchiebungatz Nach recht: L { f t b} = e b F Beipiel: L {cot} = 2 L {cot 3} = e 3 2 Forelalung Matheatik ET053 Seite

12 Nach link: L { f tb} = e b b F 0 f t dt Beipiel: L {t3} = e 3 = e t t dt = e3 [ t] 3 t e oder: L {t3} = L {t }L {3}= 2 3 Däpfungatz L {e bt f t} = F b, b0 Beipiel: L {e 3 t cot } = F 3= F = 2 Faltungatz Die Faltung it koutativ, aoziativ und ditributiv. L {F F 2 } = f t f 2 t = L { 0 L { f t f 2 t} = F F 2 t f u für t u einetzen für t (t-u) einetzen f 2 t u du} Differentiationatz L { f (n) t} = n F n f 0 n 2 f / 0 f n 0 Beipiel: f t=in at f / t =a coat L { f // t} = 2 a 2 a 2 0 a Forelalung Matheatik ET053 Seite 2

13 Multiplikationatz L {t n f t} = n F n Beipiel: L {t 2 int } = 2 F // = 2 3 F = 2 F / = F // = Integrationatz t L { 0 f u du} = F Beipiel: t L { 0 coudu} = L {[inu] t 0} = L {int } = 2 Diviionatz F udu = L { Beipiel: in t L { t } = t f t } u 2 du = [arctanu] = 2 arctan = arctan Grenzwertätze f 0 f = li t 0 = li t f t = li F F f t = li 0 Forelalung Matheatik ET053 Seite 3

14 Spezielle Laplace Tranforationen Sprungfuntion (Heaviide-Funktion) f t= 0, t0, t t 0 L { f t }=e t 0 t 0 t Rechteckipul f t= 0, t tt 0, t 0 t t 0 T 0, tt 0 T L { f t }= e t 0 e T t 0 t 0 T Periodiche Funktionen L { f t }= T e t dt e T 0 Beipiel: f t=, 0 ta, a t2a T =2a L { f t } = e t f t dt e t f t dt 0 e 2a a = a 2a e t dt e t dt e 2a 0 a = e [ e t] a 2a [ e t] 2a 0 a = e 2a e a e 2a e a = e 2a 2 e a e 2a = e 2a 2 ae a 2 e a = e a e a = ae a e a = tanh a 2 2a (iehe Beipiel) a 2a 3a 4a Forelalung Matheatik ET053 Seite 4

15 Anwendung. der Laplace-Tranf. (lin. DGL it cont. Koeffizienten) Originalbereich DGL für yt Bildbereich Algebr. Gl. für Y ) Tranforation in den Bildbereich 2) Löen der enttandenen algebraichen Gleichung 3) Rücktranforation 2 y t 3 Y DGL. Ordnung Anfangwertproble: y / t a yt = f t y0= y 0. L {y / ta yt }=L { f t} L {y / t}a L {yt }=F Y y0a Y =F a Y y 0 =F Ableitungatz! 2. ay =F y 0 Y = F y 0 a 3. y t=l { F y 0 a } Beipiel: y / 5 y=4 in3t y 0=. Y y05 Y = Y = Y = L { 5} =e 5t L { 2 Partialbruchzerlegung 2 L 9 5} { } = 6 7 e 5t 6 30 co3t in 3t 7 7 y t = e 5t 6 7 e 5t 6 30 co3t 7 7 in3t = 7 23 e 5t 6 co3t 0 in3t Forelalung Matheatik ET053 Seite 5

16 DGL 2. Ordnung Anfangwertproble: y // ta y / tby t= f t y 0= y 0, y / 0= y. L {y // t}a L {y / t}b L {yt }=L { f t} 2 Y y0 y / 0a Y a y0b Y =F 2. 2 ab Y a y0 y / 0=F Y = F a y0 y / 0 2 ab 3. yt =L { F a y0 y / 0 2 ab } Beipiel: y // 2y / 5 y=0 y0=0, y / 0= Y 2 0=0 2. Y = Y = = = 2 4 = = y t = L {Y }0 e t co2t e t in2t 2 = e t 0 co2t 5 in 2t Sytee von linearen DGL it cont. Koeffizienten Beipiel: y / y / 2 2 y 2 =e t y / 2 y 2 y 2 =0 y 0=, y 2 0 = Laplace-Tranforation: Y y0 Y 2 y 2 02 Y 2 = = = Y 2 y 2 0Y 2 Y 2 = 0 = = Y 2Y 2 = Y 2 Y 2 = Löung it Craer'cher Regel D = 2 2 = 2 2 = Y = = 2 y 2 t = t e t e t = t e t Forelalung Matheatik ET053 Seite 6

17 Y 2 = = 2 2 { 2 2 L 2 } = 3 et 2 { 3 e 2t L Partialbruchzerlegung 2 L 2 } { } y 2 t = 9 4et 3t e t 5 e 2t = 9 et 3 t et 9 e 2t Forelalung Matheatik ET053 Seite 7

18 Tabelle pezieller Laplace-Tranforationen au Matheatiche Forelalung für Ingenieure und Naturwienchaftler von Lothar Papula () (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) () (2) (3) (4) (5) (6) (7) a 2 a a 2 Bildfunktion F a b a 2 a b Originalfunktion f t (Sprungfunktion) e at t e at a t e at e at e bt a b 3 2 t 2 2 a a 2 at e at a e at b e bt a b e at at a 2 at e at a 2 a 3 2 t 2 e at a 3 2 a 3 (n =,2,3,...) t n (n =,2,3,...) t n a 2 a 2 2 at 2 t eat 2 a2 t 2 2at eat n n! n e at n! inat a Forelalung Matheatik ET053 Seite 8

19 (8) (9) (20) (2) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (3) (32) 2 a 2 Bildfunktion F inb a co b 2 a 2 cob a in b 2 a 2 b 2 a 2 b b 2 a 2 2 a 2 2 a 2 b 2 a 2 b b 2 a a a a a a 2 2 a a a 2 2 a 2 2 (33) arctan a coat in atb coatb e bt in at a e bt coat inhat a cohat e bt inh at a e bt cohat in 2 at 2a 2 co 2 at t inat 2 a t coat t inhat 2a t cohat inat t Originalfunktion f t Forelalung Matheatik ET053 Seite 9