Z-Transformation. Laplace-Transformation. Laplace-Transformation der Delta-Funktion

Transkript

1 Z-Tranformation Laplace-Tranformation Laplace-Tranformation der Delta-Funktion

2 Z-Tranformation Für eine Differenengleichung wie.b. f(n+) f(n) = n n (alternative Schreibweie n+ n = n n ) it eine expliite Form für die Folge f(n), n N, geucht. Al hilfreiche Werkeug dient die Z-Tranformation. Hierbei wird u einer Folge,,,,... die Summe gebildet, die auf dem Konvergenbereich eine gebrochen-rationale Funktion F()(Z-Tranformierte) dartellt. Die Z-Tranformierten der verchobenen Folgen wie.b. n+, n+ oder n laen ich durch die Z-Tranformierte F von n audrücken, o da bei einer Tranformation der Differenengleichung (genauer deren Folgen) eine Gleichung entteht, die nach F umgetellt werden kann. Der Funktionterm von F wird in handliche Summanden umgeformt (häufig Partialbrucherlegung) und mit einer Tabelle für die Rücktranformationen kann die geuchte Folge gefunden werden. f(n) f(n ), n Erläutere: F( n ) = F( n ), n

3 Erläutere: F( n ) = F( n ), n Die Z-Tranformierte von n lautet , die Z-Tranformierte von n hingegen:

4 Z-Tranformation Link-Verchiebung f(n) f(n+) Erläutere: F( n+ ) = (F( n ) ) 5 F( n+ ) = (F( n+ ) ) =? c Roolf

5 Erläutere: F( n+ ) = (F( n ) ) Die Z-Tranformierte von n lautet , die Z-Tranformierte von n+ hingegen: F( n+ ) = (F( n+ ) ) =? Dieelbe Überlegung wird für eine weitere Link-Verchiebung um noch einmal angewandt. F( n+ ) = (F( n ) ) 5

6 Z-Tranformation Beipiel n+ n+ + n = n, =, = Die Z-Tranformation ergibt: (F( n ) ) (F( n ) ) +F( n ) = F( n ) = ( +) F( }{{} n ) = + ( ) = F( n ) = ( ) + = ( ) beachte F(a n ) = a n = n n + (n n) n, n (Tabelle) vereinfacht: n = (n+n ) n, n 6

7 Rücktranformation Die Rücktranformation erfolgt prakticherweie mit einer Tabelle. Der mathematiche Zuammenhang für die Rekontruktion der Folge au der Z-Tranformierten wird durch die beeindruckende Formel erfat: (n) = πi F() n d Ähnliche gilt für die Laplace-Tranformation. Sei.B. n =. F() = = F() = Da Reiduum von F(), C, it. Da komplexe Kurvenintegral läng einer gechloenen Kurve ergibt ich unmittelbar au dem Reiduenat der Funktionentheorie. Hiernach liefert bei der Integration von F() nur der Summand einen von Null verchiedenen Beitrag, und war πi. c Roolf 7

8 Laplace-Tranformation Die Laplace-Tranformierte einer Funktion f(t), t, lautet (ofern da Integral exitiert): F() = f(t)e t dt Die Laplace-Tranformierte von f (t) it dann F() f() (mit partieller Integration einehbar), und die von f (t) it: (F() f()) f (). In einer DGL können die Summanden durch die Laplace-Tranformierten augetaucht werden. Die Gleichung wird nach F() umgetellt, f(t) mit einer Tranformation-Tabelle ermittelt. Die folgenden Graphen veranchaulichen die Laplace-Tranformation t (,t) e t al Faktor drückt alle u Boden. f(t) = t.. F() = F() gibt die Querchnittfläche in t-richtung an..5 t

9 Laplace-Tranformation F() = e e f(t) = t t F() = + f(t) = int t 5 6 c Roolf 9

10 Eindeutigkeit der Laplace-Tranformation, heuritich t Wir betrachten die Treppenfunktion: f(t) = t + t t in Maple f(t) = Heaviide(t )+ Heaviide(t ) Heaviide(t ) Die Laplace-Tranformierte lautet: F() = e + e e E it u ehen, wie die Funktion f in die Laplace-Tranformierte eingeht und umgekehrt wieder au ihr gefiltert werden könnte. Wenn man nun noch bedenkt, da wir Funktionen betrachten, die durch Treppenfunktionen approximiert werden können, wird der eindeutige Zuammenhang einer Funktion und ihrer Laplace- Tranformierten erkennbar. c Roolf

11 Approximation von f(t) = t durch eine Treppenfunktion g g:=t > um(f(i*dx)*(heaviide(t i*dx) Heaviide(t (i+)*dx), i=..n): dx:=: n:=: F() = e e t dx:=: n:=5: F() = 5 i= = e f(idx)[ e idx + e + 5e e (i+)dx + 7e ] + 9e 5 5e t c Roolf

12 Laplace-Tranformation Beipiel Die DGL + + = 9e t it u löen, Anfangwerte: () =, () = Die Tranformation der DGL ergibt: ( F() )+( F() )+F() = 9 = F() = +7 (+) ( ) Eine Partialbrucherlegung mit dem Anat liefert eine Zerlegung. +7 (+) ( ) = A + + B (+) + C F() = + (+) + Nun gelingt die Rücktranformation. (t) = e t te t +e t = (t+)e t +e t

13 Laplace-Tranformierte der Delta-Funktion x Die Laplace-Tranformierte der Funktion f(t) = ε t ε lautet: L(f(t)) = f(t)e t dt = ε ε e t dt =... = e ε ε Mit lim ε e ε ε erhalten wir: L(δ(t)) = = (l Hopital oder Tangentengleichung de Zähler) Weiter gilt: L(δ(t a)) = e a c Roolf

14 Laplace-Tranformation Beipiel Die DGL + + = δ(t) it u löen, Anfangwerte () =, () =. Die Tranformation der DGL ergibt: F()+F()+F() = = F() = ++ Die Rücktranformation liefert (t) = e t in(t).