Die 2. Fundamentalform - Gauß-Abbildung

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1 Skrit: Die. Fndmentlform Gß-Abbildng Die. Fndmentlform - Gß-Abbildng Vortrg im Proseminr Kren nd Flächen bei Prof. Thoms Schick m 14. Jnr 004 on Alender Mnn e-mil: fenfndchtzig@gm.de 1. Gß-Abbildng nd fndmentle Eigenschften Ziel Wir hben gesehen, dss die Änderngsrte der Tngente n eine Kre C ns z dem wichtigen geometrischen Begriff der Krümmng on C geführt ht. In diesem Abschnitt soll diese Idee f regläre Flächen übertrgen werden. Wir werden dz messen, wie schnell sich eine regläre Fläche S on der Tngentilebene n S in einem Pnkt entfernt. Einleitng: Orientierng einer Fläche As Tnjs Vortrg über Tngentilebenen ist beknnt, dss wir z einer gegebenen Prmetrisierng : U R S einer reglären Fläche S bei einem Pnkt S einen Einheitsnormlenektor in jedem Pnkt s (U) zordnen können drch die Vorschrift ( q) ( q), q (U) Dies ist eine differenzierbre Abbildng : (U) R 3. Mn nennt eine regläre Fläche orientierbr, wenn es ein f der gnzen Fläche definiertes differenzierbres Einheitsnormlenektorfeld gibt. Die Whl eines solchen Vektorfeldes heißt eine Orientierng on S. icht lle Flächen sind orientierbr (siehe Möbisbnd). Wichtig im folgenden ist or llem die Berechnng on (q). Definition 1 Sei S R 3 eine Fläche mit Orientierng. Die Abbildng : S R 3 ht ihre Werte in der Einheitsshäre S {(,y,z) R 3 ; +y +z 1}, eigentlich lso : S S. Diese Abbildng heißt Gß-Abbildng on S. Seite 1 on 8

2 Skrit: Die. Fndmentlform Gß-Abbildng Die Gß-Abbildng : S S Die Gß-Abbildng ist differenzierbr. Im folgenden soll ds Differentil on bei S mit d bezeichnet werden. d ist eine linere Abbildng on d : T (S) T () (S ). D T (S) nd T () (S ) rllele Ebenen sind, knn mn d ch ls linere Abbildng on T (S) f sich selber fgefsst werden. d misst, wie sich der ormlenektor on () in einer Umgebng on wegdreht. Während dieses Mß im Flle on Kren drch eine Zhl gegeben wr, ist es bei reglären Flächen chrkterisiert drch eine linere Abbildng. Der ormlenektor f einer Kre α(t) in S Beisiel 1 Triiles Beisiel. Sei die Ebene P gegeben drch +by+cz 0 gegeben. Der Einheitsnormlenektor (, b, c ) const. + b + c Hiers folgt, dss d 0. In der Ebene: d 0 Seite on 8

3 Skrit: Die. Fndmentlform Gß-Abbildng Beisiel Einheitsshäre S {(,y,z) R 3 ; +y +z 1}. Sei α(t) ((t),y(t),z(t)) eine rmetrisierte Kre in S, so gilt (bleiten nch t): '+yy'+zz' 0, d.h. der Vektor (,y,z) steht senkrecht f der Shäre im Pnkt (,y,z). Wir wählen (,y,z) ls ormlenektorfeld, zeigt weg om Mittelnkt der Shäre. Eingeschränkt f α(t) ist (t) ((t),y(t),z(t)) eine ektorwertige Fnktion on t, nd es folgt für d: d ( ( t), y ( t), z ( t)) ( t) ( ( t), y ( t), z ( t)) D.h. d () für lle S nd lle T (S ). Proosition 1 Ds Differentil d : T (S) T (S) der Gß-Abbildng ist eine selbst-djngierte ) linere Abbildng. Beweis Sei (,) eine Prmetrisierng on S bei nd {, } die zgehörige Bsis on T (S). Sei α(t) ((t),(t)) eine Kre in S mit α(0). Es gilt dnn: d ( α (0)) d ( (0) + (0)) d ( ( t), ( t)) dt (0) + t 0 (0) Vergleich der letzten nd ersten Gleichng in (1) liefert insbesondere: d ( ) nd d ( ). Um z zeigen, dss d selbst-djngiert ist, genügt es fgrnd der Linerität z zeigen, dss:,, Betrchte hierz die beidseitigen Ableitngen on, 0 Anlog:,, 0 +, +,, 0 0 nd, 0 : Zsmmenfssen der beiden Gleichngen ergibt die Gültigkeit on ():,,,, q.e.d. Dss d eine selbst-djngierte linere Abbildng ist, erlbt ns, d eine qdrtische Form Q() -<d (),)>, T (S) zzordnen. (1) () Definition Die qdrtische Form II, definiert f T (S) drch II () -<d (),> heißt die zweite Fndmentlform on S bei. Definition 3 Sei C eine regläre Kre in S, die drch S geht, sei k die Krümmng on C in nd cos θ <n,>, wobei n der ormlenektor n C nd der ormlenektor f S in ist. Die Zhl k n k cos θ heißt dnn die ormlkrümmng on C S in. ) Erinnerng: Eine linere Abbildng heißt selbst-djngiert, wenn sie gleich ihrer Adjngierten ist. D.h. dss T T * T ( B), A B, T ( A), hierbei bezeichne T : ϑ ϑ die linere Abbildng nd A, B sind Vektoren s ϑ. Seite 3 on 8

4 Skrit: Die. Fndmentlform Gß-Abbildng Mn sieht, dss k n lso die Länge der Projektion des Vektors k*n f die ormle n die Fläche in ngibt, ws ns f folgende geometrische Interrettion der. Fndmentlform führt. Geometrische Interrettion on II Betrchte eine regläre Kre C S, rmetrisiert drch α(s) mit α(0), wobei s die Bogenlänge on C ist. Es bezeichne (s) die Einschränkng des ormlenektors f die Kre α(s), dnn gilt <(s),α'(s)> 0, lso drch Umstellen nch Prodktregel: Es folgt: ( s), α ( s) ( s), α ( s) II ( α (0)) d ( α (0)), α (0) (0), α (0) (0), α (0), kn ( ) k n ( ) ormlkrümmng Der Wert der zweiten Fndmentlform II ist für einen Einheitsektor T (S) gleich der ormlkrümmng einer reglären Kre, die drch geht nd tngentil ist z. Insbesondere erhält mn ch ds folgende Ergebnis: Proosition (Mesnier) Alle Kren f einer Fläche S, die in einem gegebenen Pnkt S dieselbe Tngente hben, besitzen in diesem Pnkt dieselbe ormlkrümmng. ch dem Sectrl Theorem (Sektrlstz) gibt es z jedem S eine Orthonormlbsis {e 1,e } on T (S), so dss d (e 1 ) -k 1 e 1 nd d (e ) -k e (Eigenwerte nd -ektoren). Sei k 1 k. k 1 nd k sind Mimm nd Minimm der zweiten Fndmentlform II eingeschränkt f den Einheitskreis in T (S), d.h. sie sind die Etremwerte der ormlkrümmng bei. Hiers gewinnt mn die folgende Definition: Definition 4 Die mimle ormlkrümmng k 1 nd die minimle ormlkrümmng k heißen Htkrümmngen bei. Die zgehörigen Richtngen, d.h. die drch die Eigenektoren e 1, e gegebenen Richtngen heißt Htkrümmngsrichtngen bei. In der Bsis {e 1,e } ht die Mtri on d die Form k k. Mn definiert: Definition 5 Sei S nd d : T (S) T (S) sei ds Differentil der Gß-Abbildng. Die Determinnte on d ist die Gßsche Krümmng K on S in. Ds negtie der hlben Sr on d heißt mittlere Krümmng H on S in : K k k 1, k 1 + k H Seite 4 on 8

5 Skrit: Die. Fndmentlform Gß-Abbildng. Gß-Abbildng in loklen Koordinten Ziel Bisher hben wir mit der Gß-Abbildng nd den dzgehörigen Definitionen gerbeitet, ohne ein Koordintensystem z definieren. Um llgemeinere Sittionen behndeln nd Rechnngen einfcher drchführen z können, soll nn die Drstellng der zweiten Fndmentlform nd ds Differentil der Gß-Abbildng in loklen Koordinten sgedrückt werden. Einführen lokler Koordinten Sei (,) eine Prmetrisierng einer reglären Fläche bei einem Pnkt S. Sei α(t) ((t),(t)) eine rmetrisierte Kre f S mit α(0). Zr Vereinfchng der ottion schreiben wir nicht mehr elizit dz, dss lle nten ftretenden Fnktionen für ihren Wert in stehen. Es gilt α' ' + ' (Tngentenektor) nd d(α ) ( ( t), ( t)) + D nd in T (S) liegen, können wir schreiben: + 1 b) + (1) 1 d( α ) ( + ) 1 + ( 1 + ) ( + ) + ( + ) Ws sich ch schreiben lässt ls: d Wir können lso ds Differentil der Gß-Abbildng d in der Bsis {, } drstellen ls -Mtri ( ij ). Betrchten wir nn die zweite Fndmentlform II in der Bsis {, }. ch Def. nd Formel (1): II ( α ) d( α ), α +, + e( ) + f + g( ) wobei wir e, f nd g wie folgt definieren: e : f : g :,,,,,,, Für (3) wrde erwendet, dss nd senkrecht f stehen, d.h.,, 0, Wir wollen nn die Mtri ( ij ) in Termen der Koeffizienten e, f, g sdrücken. Dz setzen wir () in (3) ein: f,, + F + G nd f e g, 1, 1,,, 1 1 E + E + F + 1 F F G (1) () (3) (4) b) Dies, in Verbindng mit den säter berechneten Koeffizienten ij, sind die Gleichngen on Weingrten. Seite 5 on 8

6 Skrit: Die. Fndmentlform Gß-Abbildng (Erinnerng: Im letzten Vortrg htten wir die Koeffizienten der ersten Fndmentlform definiert: E,, F,, G, ) Wir können nn die Gleichngen (4) schreiben ls: e f f g 1 1 E F F G Mit der inersen Mtri A, definiert ls E : F folgt s (5): F G 1 1 G F F E A c) 1 1 e f f A g Hiers erhält mn die folgenden Asdrücke für die Koeffizienten ( ij ) der Mtri on d bezüglich der Bsis {, }: ff eg ef fe gf fg ff ge 1 1 Wir können nn die Gßsche Krümmng K nd die mittlere Krümmng H in loklen Koordinten berechnen. As Def. 5 folgt direkt: eg f K ij d) (7) Um H z berechnen müssen wir etws weiter sholen nd ns erinnern, dss -k 1 nd -k die Eigenwerte on d sind:, 0, wobei I die Einheitsmtri ist. d( ) k ki, T (S) Es folgt, dss d + ki nicht inertierbr ist e), die Determinnte ist lso ll: + k det 1 k + k k + ) + ( 0 (8) D k 1 nd k die Wrzeln der obigen qdrtischen Gleichng sind, schließen wir nhnd on Definition 5, dss k H + k ff + ge eg ( + ) womit sich (8) schreiben lässt ls k Hk + K 0 nd sich nch der -q-formel ergibt, dss k H ± H K (10) Wählen wir k 1 (q) k (q), q S, so folgt s dieser Beziehng, dss die Fnktionen k 1 nd k stetig sind in S nd differenzierbr sind in S, ßer ielleicht bei H K. (5) (6) (9) enner 0 c) d) Dies sieht mn besonders einfch, wenn mn berücksichtigt, dss (det A)(det B) det (AB) nd Gleichng (6) erwendet. e) d ker(d+ki) {0} Seite 6 on 8

7 Skrit: Die. Fndmentlform Gß-Abbildng Beisiel 1 Gßsche Krümmng beim Tors Wir erwenden folgende Prmetrisierng des Tors: (( r cos) cos, ( r cos )sin, r sin ), 0 < < π, 0 < < π, r > 0, > r (,) + + Wir berechnen znächst einige benötigte Vektoren: ( sin cos, sin sin, r cos ) ( ( + r cos )sin, ( + r cos ) cos,0) ( cos cos, cos sin, sin ) ( r sin sin, sin cos,0) ( ( + r cos ) cos, ( + r cos) sin,0) Es ergibt sich für E, F nd G mit cos ϕ + sin ϕ 1: E F G,,, r r sin cos ( + r cos)sin r sin sin ( + r cos) cos 0 ( + r cos) Wir erinnern ns, dss wir ds innere Prodkt on Vektorrodkt nd einem Vektor ls Determinnte einer 33-Mtri schreiben können:, w (,, w) für,, w R 3 Aßerdem wissen wir (s dem ergngenen Vortrg on Mtthis über die erste Fndmentlform), dss. Wir erhlten dmit für e, f nd g: ( ( + r cos ) cos * r cos, cos * ( + r cos )sin, r sin cos ( + r cos ) cos r sin sin ( + r cos )sin ) (,, ) r ( + r cos) e, r( + r cos ) (,, ) f 0 (,, ) g cos( + r cos) r Ein Tors mit, r 1 Dmit folgt für K: K eg f r cos( + r cos) cos ( r( + r cos ) ) r( + r cos) Bei π/ nd 3π/, d.h. f den Breitenkreisen, ist K 0. Mn nennt solche Pnkte, n denen K 0 ber d 0 ist f), rbolische Pnkte. Af dem Bereich mit π/ < < 3π/ ist K < 0, dies sind hyerbolische Pnkte. Af dem restlichen Interll zwischen 0 nd π ist die Krümmng K > 0, liegen lso ellitische Pnkte or. Mn stelle sich jeweils den Schnitt des Tors mit einer Tngentilebene im entsrechenden Pnkt or. f) Pnkte, bei denen d 0, heißen Flchnkte. Vergleiche Ebene. Seite 7 on 8

8 Skrit: Die. Fndmentlform Gß-Abbildng Die Gßsche Krümmng K beim Tors Proosition 3 Sei S ein ellitischer Pnkt einer Fläche S. Dnn gibt es eine Umgebng V on in S, so dss lle Pnkte in V f derselben Seite der Tngentilebene T (S) liegen. Ist S ein hyerbolischer Pnkt, dnn gibt es in jeder Umgebng V on in S Pnkte, die f beiden Seiten on T (S) liegen. Dieser Stz wird hier ohne Beweis ngeführt. Zr Vernschlichng eignet sich gt ds oben behndelte Beisiel des Tors. ottion: <,b> : inneres (ch Sklr-) Prodkt b : Vektor- (ch Krez-) Prodkt R : Rm der reellen Zhlen S : regläre Fläche im R 3 T (S) : Tngentilebene n S mit Berührnkt in : / ; /, etc. Litertr: Mnfredo P. do Crmo: Differentilgeometrie on Kren nd Flächen; Brnschweig, Wiesbden: Vieweg 1983 Seite 8 on 8