Thema 6. Ranglisten. von Matthias Glöckner
|
|
- Brigitte Amsel
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Them 6 Rnglisten von Mtthis Glöckner
2 Inhltsverzeichnis Einleitung Ds linere Verfhren Definition der Punktezhl Die Präferenzmtrix Perron-Frobenius Theorem Bewertung nch dem Spielergebnis und Verzerrungsfunktion Ds Potenzverfhren Abschließendes Beispiel
3 Einleitung Schon immer hben Menschen in Spielen und Wettkämpfen versucht heruszufinden, wer der Beste unter Ihnen sei. Dies sollte möglichst durch objektive Methoden geschehen. Oft knn der Sieger durch seine persönliche Leistung (Meter, Sekunden usw.) bestimmt werden. Bei Mnnschftssportrten knn dies über die z.b. die Anzhl der Siege und Niederlgen erfolgen oder durch einfches K.O. - System. Ein gutes Beispiel, wo eine direkte Bestimmung der besten Mnnschft eben nicht möglich ist, bietet ds meriknische College - Footbll. In der I-A Lig spielen 6 Tems und jedes Tem bsolviert nur ein hlbes Dutzend Spiele. Aus dieser Problemtik entwickelte KEENER mehrere mthemtische Rnglistenverfhren. Hier soll ds linere Verfhren beschrieben werden.
4 Ds linere Verfhren Die Anzhl der Wettkmpfteilnehmer bezeichnen wir mit n. Es stehen sich lso die Tems T,T 2,,T n gegenüber. Definition der Punktezhl p i : n pi : = (i, j)z j j= (i,j) spiegelt ds Ergebnis zwischen den Teilnehmern i und j wider. (i,j) muss eine nichtnegtive Zhl sein. z i kennzeichnet den gesuchten Rngwert, der die Spielstärke des i-ten Tems wiedergibt.
5 Aus den definierten Einträgen (i,j) ergibt sich dnn folgende Präferenzmtrix A. A = M n, 2,, n,,2 2,2 n,2 n, O......,n 2,n n,n n,n,n 2,n M, n,n nxn A R Der Eintrg (i,i) ist us sportlicher Sicht unsinnig und im Prinzip beliebig, muss us mthemtischen Gründen für lle i gleich sein.
6 Beispiel : Anzhl der Tems n = 6. Tem = Mount Vernon Tem 2 = Dyton Bech Minlnd Tem = Tllhssee Leon Tem = Jcksonville White Tem = Tmp Chmberlin Tem 6 = Buford Ergebnisse: Tem Tem 6 : 6 Tem Tem 2 : 2 Tem 2 Tem 9 : Tem Tem : 6 Tem 6 Tem : Tem Tem 6 9 : 28 (i,j) =, wenn Tem i gegen Tem j gewonnen ht (i,j) =, wenn unentschieden gespielt wurde (i,j) =, wenn Tem i gegen Tem j verloren ht bzw. kein Ergebnis vorliegt (i,i) = (i,j) =, wenn Tem i gegen Tem j nicht gespielt ht
7 Tem Tem 6 : 6 Tem 6 Tem : (,) = und (,) = (6,) = und (,6) = Ws wäre, wenn Tem erneut gegen Tem spielen würde? Im Allgemeinen: Ws pssiert, wenn zwei Mnnschften im Verluf des Wettkmpfes mehrfch gegeneinnder ntreten? = A
8 Treffen lle Mnnschften gleichermßen oft ufeinnder (z.b. Hinund Rückrunde in der Bundeslig), so können die k Ergebnisse (i,j), 2 (i,j),, k (i,j) ddiert werden. Es ergibt sich folgende Definition: (i, j) : = (i, j) + 2 (i, j) k (i, j) Bei unusgewogener Anzhl der Begegnungen empfiehlt es sich den Durchschnittswert ller k ij Spielergebnisse zu bilden. (i, j) : = (i, j) + 2 (i, j) k ij k (i, j) K ij := mx(, Anzhl der Begegnungen von i und j)
9 Weiteres Problem: Wie lässt sich verhindern, dss Mnnschften durch Extrspiele einfch zusätzliche Fleißpunkte smmeln? Dies knn erreicht werden, indem mn durch die Anzhl m i der Spiele der Mnnschft i teilt. Wir erhlten schließlich: (i, j): = m i (i, j) + 2 (i, j) k ij k (i, j) m i := mx(,anzhl der Spiele der Mnnschft i ) k ij := mx(, Anzhl der Begegnungen von i und j)
10 Beispiel 2: Anzhl der Tems n = 6. Ergebnisse: Tem Tem 6 : 6 Tem Tem 2 : 2 Tem 2 Tem 9 : Tem Tem : 6 Tem 6 Tem : Tem 2 Tem 29 : 2 Tem Tem 2 : 2 Tem 2 Tem : Tem Tem 2 : 26 Tem 6 Tem 2 : Tem Tem 2 : 28 Tem Tem 2 : 28 Wir definieren: Punkt für einen Sieg ½ Punkte für ein Unendschieden Punkte für eine Niederlge
11 Lösung: Spiele von Tem : Punkte für Tem Tem Tem 6 : 6 Tem Tem 2 : 2 Tem 2 Tem 29 : 2 Tem Tem 2 : 2 Tem Tem 2 : 28 Anzhl der Spiele von Tem := m = Anzhl der Begegnungen von und 2 := k 2 = 2 H, 2L = + = 2 =,
12 = A
13 Zusmmenhng zwischen Punktezhl p i und Spielstärke z i ( ) n pi : = (i, j)z j j= ( 2 ) p i = zג i us ( ) und ( 2 ) folgt ( ) n j= (i, j)z j = λz i ( ) Az = zג
14 Perron-Frobenius Theorem Definition: Eine n x n - Mtrix A wird ls nichtnegtiv bezeichnet, flls lle (i,j) Eine n x n - Mtrix A wird ls positiv bezeichnet, flls lle (i,j) > Ein Vektor z wird ls nichtnegtiv bezeichnet, flls lle z i Ein Vektor z wird ls positiv bezeichnet, flls lle z i > Theorem: A R nxn Sei eine irreduzible nichtnegtive Mtrix. Dnn existiert ein bis uf einen sklren Fktor φ eindeutig bestimmter positiver Eigenvektor z, und der zugehörige Eigenwert ג ist positiv und betrgsmäßig größer oder gleich llen nderen Eigenwerten von A.
15 Definition: Grph einer Mtrix A R nxn Es seien und I n := {,...,n } Die Menge G(A) : = {(i, j) I n I n ij } wird ls Grph einer Mtrix bezeichnet. Die Indizes i I n heißen Knoten Ein Pr Hi, jl Œ G HAL wird gerichtete Knte von i nch j gennnt Definition: Irreduzible Mtrizen Es seien Index A R i I n nxn und I n :={,,n }. Dnn heißt A irreduzibel, flls jeder mit jedem Index verbunden ist. j I n Andernflls nennt mn A reduzibel. In reduzibeln Mtrizen lssen sich die Indizes so nordnen, dss A die Blockstruktur A A 2 A = A 22 A R n n n 2 n2 A 22 R mit qudrtischen Blockmtrizen,, n = n +n 2, besitzt.
16 Beispiel : Mtrix A siehe Beispiel 2 Tem Tem 6 Tem 2 Tem Tem Tem..2 A=
17 Bewertung über ds Spielergebnis: S ij := Punktezhl die Mnnschft i gegen j erzielt ht Def: k ( i, j) = h S ij S ij + + S + 2 ji h ( x) = + sgn( x ) 2x, h[,] [,]
18 Beispiel Die Mtrix ergibt sich us den Spielergebnissen von Beispiel 2.,29,2988,,9,2262,2222,6,9688,,26,989,92,99666,2,98,2 Tem Tem 6 Tem 2 Mtrix ist durch diese Bewertung irreduzibel. Tem Tem Tem
19 Ds Potenzverfhren z z A z A n o n n = 2 lim z := nichtnegtiver Strtvektor Ddurch besitzt z eine Komponente in Richtung des gesuchten Eigenvektors. z.b. = M z
20 Byer Leverkusen VfL Wolfsburg Bor. M Gldbch Byern München SC Freiburg Werder Bremen Bor. Dortmund. FC Nürnberg 86 München. FC Kiserslutern VfB Stuttgrt. FC Köln Energie Cottbus Hmburger SV FC St. Puli Hert BSC FC Schlke Hns Rostock Byer Leverkusen VfL Wolfsburg Bor. M Gldbch Byern München SC Freiburg Werder Bremen Bor. Dortmund. FC Nürnberg 86 München. FC Kiserslutern VfB Stuttgrt. FC Köln Energie Cottbus Hmburger SV FC St. Puli Hert BSC FC Schlke Hns Rostock Abschließendes Beispiel
21 Verein Rnking Pltz,6,98,2,,982,66,,99,22,2,28,9,2,69,68,2,2,68 Byer Leverkusen 2. VfL Wolfsburg. Bor. M Gldbch. Byern München. SC Freiburg. Werder Bremen. Bor. Dortmund.. FC Nürnberg. 86 München 9.. FC Kiserslutern 6. VfB Stuttgrt 8.. FC Köln 6. Energie Cottbus. Hmburger SV. FC St. Puli 8. Hert BSC. FC Schlke. Hns Rostock 2. sortieren. Bor. Dortmund 2. Byer Leverkusen. Byern München. Hert BSC. Werder Bremen 6.. FC Kiserslutern. FC Schlke 8. VfB Stuttgrt München. VfL Wolfsburg. SC Freiburg 2. Hns Rostock. Hmburger SV. Bor. M Gldbch. Energie Cottbus 6.. FC Köln.. FC Nürnberg 8. FC St. Puli
22 Rnkingergebnis Pltz Verein Spiele s u n. Bor. Dortmund Byer Leverkusen Byer Leverkusen 2 Bor. Dortmund 2 2. Byern München. FC Kiserslutern 2. Hert BSC Byern München. Werder Bremen Werder Bremen 6.. FC Kiserslutern 6 Herth BSC 9. FC Schlke FC Schlke 8. VfB Stuttgrt 8 VfB Stuttgrt München 9 86 München. VfL Wolfsburg VfL Wolfsburg 6. SC Freiburg Hns Rostock 8 2. Hns Rostock 2 SC Freiburg 6. Hmburger SV Hmburger SV 8. Bor. M Gldbch Bor. M Gldbch. Energie Cottbus Energie Cottbus FC Köln 6. FC Köln.. FC Nürnberg. FC Nürnberg 8. FC St. Puli 8 FC St. Puli
23 Rnkingergebnis Pltz Verein Spiele s u n. Bor. Dortmund Bor. Dortmund Byer Leverkusen 2 Byer Leverkusen 2 6. Byern München Byern München Hert BSC Herth BSC 8 9. Werder Bremen FC Schlke FC Kiserslutern 6 Werder Bremen 2. FC Schlke. FC Kiserslutern 2 8. VfB Stuttgrt 8 VfB Stuttgrt München 9 86 München. VfL Wolfsburg VfL Wolfsburg. SC Freiburg Hmburger SV 2. Hns Rostock 2 Bor. M Gldbch 9 2. Hmburger SV. Bor. M Gldbch. Energie Cottbus 6.. FC Köln.. FC Nürnberg 8. FC St. Puli 6 8 Energie Cottbus Hns Rostock. FC Nürnberg SC Freiburg. FC Köln FC St. Puli
Ergebnis. Tipp. Punkte. Tipp. Ergebnis. Punkte. Tipp. Ergebnis. Punkte. Punkte
1. Spieltag 05.08.2011 Borussia Dortmund - Hamburger SV 06.08.2011 FC Bayern München - Bor. Mönchengladbach 06.08.2011 Hertha BSC - 1. FC Nürnberg 06.08.2011 FC Augsburg - SC Freiburg 06.08.2011 Hannover
MehrBundesliga-Spielplan für den VfB Stuttgart (fett) p pdf-datei by http://vfb-fansite.npage.de/ Erster Spieltag (15. bis 16. August)
Bundesliga-Spielplan für den VfB Stuttgart (fett) p pdf-datei by http://vfb-fansite.npage.de/ Erster Spieltag (15. bis 16. August) Bayern München - Hamburger SV (Freitag, 20.30 Uhr) Schalke 04 - Hannover
MehrVorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre
Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt
MehrCanon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30
15 Mtrizenrechnung 15 Mtrizenrechnung 15.1 Mtrix ls Zhlenschem Eine Internetfirm verkuft über einen eigenen Shop Digitlkmers. Es wird jeweils nur ds Topmodel der Firmen Cnon, Nikon und Sony ngeboten. Verkuft
MehrMatrizen und Determinanten
Mtrizen und Determinnten Im bschnitt Vektorlgebr Rechenregeln für Vektoren Multipliktion - Sklrprodukt, Vektorprodukt, Mehrfchprodukte wurde in einem Vorgriff bereits eine interessnte mthemtische Konstruktion
MehrVersuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich!
Versuchsplnung 22 CRGRAPH www.crgrph.de Grundlgen Die Aufgbe ist es Versuche so zu kombinieren, dss die Zusmmenhänge einer Funktion oder eines Prozesses bestmöglich durch eine spätere Auswertung wiedergegeben
Mehr!!! !!! Bundesligaspielplan Saison 2015/16! Hinrunde:! 1. Spieltag 14. bis 16. August 2015! Heim - Gast!
Bundesligaspielplan Saison 2015/16 Hinrunde: 1. Spieltag 14. bis 16. August 2015 Heim - Gast Bayern München - Hamburger SV Borussia Dortmund - Borussia Mönchengladbach Bayer Leverkusen - TSG 1899 Hoffenheim
Mehr1.2 Der goldene Schnitt
Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert
MehrSpiel Nr. 21 Tipp Spiel Nr. 22 Tipp Spiel Nr. 23 Tipp
Seite 1 SPIELER: STARTGELD 10 Spiel Nr. 18 Tipp Spiel Nr. 19 Tipp Spiel Nr. 20 Tipp 1 VfL Wolfsburg FC Bayern München: 10 FC Bayern München FC Schalke 04 : 19 VfB Stuttgart FC Bayern München : 2 Bayer
MehrBundesligatip 2015/2016. Teilnehmer
Bundesligatip 2015/2016 Teilnehmer Spieltag: 1 14.08.2015 Spieltag: 6 22.09.2015 Bayern München : Hamburger SV : Bayern München : Vfl Wolfsburg : Darmstadt 98 : Hannover 96 : Schalke 04 : Eintracht Frankfurt
MehrDef.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt:
8. Grundlgen der Informtionstheorie 8.1 Informtionsgehlt, Entropie, Redundnz Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* ller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 1.
MehrBundesliga Spielplan 2009/2010
30.07.2009 UEL Q3 H 01./02.08.2009 DFB R1 06.08.2009 UEL Q3 R 07.08.2009 1 VfL Wolfsburg VfB Stuttgart 08./09.08.2009 1 Borussia Dortmund 1. FC Köln 08./09.08.2009 1 1. FC Nürnberg FC Schalke 04 08./09.08.2009
MehrFußball-Ergebnistipps, Saison 2015/16
Fußball-Ergebnistipps, Saison 2015/16 V1.0, Sven Guyet 2015 1. Spieltag (14.-16.08.2015) FC Bayern M ünchen - Hamburger SV : Borussia Dortmund - Borussia Mönchengladbach : Bayer 04 Leverkusen - TSG 1899
MehrFür den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -
Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen..
MehrDie Perron Frobenius Tabelle der Deutschen Fußballbundesliga
Die Perron Frobenius Tabelle der Deutschen Fußballbundesliga GÜNTER CZICHOWSKI (UNIV. GREIFSWALD), DIRK FRETTLÖH (UNIV. BIELEFELD) In der Fußballbundesliga gibt es für jeden Sieg drei Punkte, für jedes
MehrSkript für die Oberstufe und das Abitur 2015 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, WG)
Sript für die Oerstufe und ds Aitur Bden-Württemerg erufl. Gymnsium (AG, BTG, EG, SG, WG) Mtrizenrechnung, wirtschftliche Anwendungen (Leontief, Mterilverflechtung) und Linere Optimierung Dipl.-Mth. Alexnder
MehrMusterlösungen (ohne Gewähr) Aufgabe 1 ( 7 Punkte) Geben Sie die Koordinaten des Flächenschwerpunktes des dargestellten Querschnitts an!
Seite 1/15 Aufgbe 1 ( 7 Punkte) Geben Sie die Koordinten des lächenschwerpunktes des drgestellten Querschnitts n! 2 Gegeben:. 4 ΣA i = y 2 x Σx i A i = x s = Σy i A i = y s = ΣA i = 8 2 Σx i A i = 13 3
MehrGrundwissen Mathematik 7I
Winkel m Kreis Grundwissen themtik 7I Rndwinkelstz Der Winkel heißt ittelpunktswinkel über der Sehne []. Die Winkel n sind die Rndwinkel über der Sehne []. lle Rndwinkel über einer Sehne eines Kreises
MehrDefinition Suffixbaum
Suffix-Bäume Definition Suche nch einer Menge von Mustern Längste gemeinsme Zeichenkette Pltzreduktion Suffixbäume für Muster Alle Pre Suffix-Präfix Übereinstimmung Sich wiederholende Strukturen Definition
MehrPräfixcodes und der Huffman Algorithmus
Präfixcodes und der Huffmn Algorithmus Präfixcodes und Codebäume Im Folgenden werden wir Codes untersuchen, die in der Regel keine Blockcodes sind. In diesem Fll können Codewörter verschiedene Länge hben
MehrUNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis
MehrEinleitung. Mathematik für Volkswirte. Literatur. Über die mathematische Methode. Weitere Übungsbeispiele. Statische (Gleichgewichts-) Analyse
Mthemtik für Volkswirte Mthemticl Methods for Economists Josef Leydold Institute for Sttistics nd Mthemtics WU Wien Wintersemester 05/6 009 05 Josef Leydold This work is licensed under the Cretive Commons
MehrDIE LIGA - Fußballverband e.v.
20.-22.01.2012 18 154 Bayer 04 Leverkusen 1. FSV Mainz 05 20.-22.01.2012 18 155 FC Schalke 04 VfB Stuttgart 20.-22.01.2012 18 156 Hamburger SV Borussia Dortmund 20.-22.01.2012 18 157 1. FC Nürnberg Hertha
MehrMusterlösung zu Aufgabe 1 (Klassenstufe 9/10)
Musterlösung zu Aufgbe 1 (Klssenstufe 9/10) Aufgbe. Drei Freunde spielen mehrere Runden eines Spiels, bei dem sie je nch Rundenpltzierung in jeder Runde einen festen, gnzzhligen Betrg x, y oder z usgezhlt
Mehr1 Kurvendiskussion /40
009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.
MehrReader. für den Einsatz in der Wiederholungsphase im Mathematikunterricht der Jahrgangsstufe 11
Reder für den Einstz in der Wiederholungsphse im Mthemtikunterricht der Jhrgngsstufe Anhng zur schriftlichen Husrbeit zur Zweiten Sttsprüfung für ds Lehrmt n öffentlichen Schulen von Andres Rschke Vorwort
MehrElemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse
Elemente der Anlysis II: Zusmmenfssung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse J. Wengenroth Dies ist die einzige zugelssene Formelsmmlung, die bei der Klusur benutzt werden drf. Es dürfen Unterstreichungen
MehrGrundwissen Abitur Analysis
GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ mthem-technolog u sprchl Gmnsium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 9257 PEGNITZ FERNRUF 0924/48333 FAX 0924/2564 Grundwissen Abitur Anlsis Ws sind Potenzfunktion mit ntürlichen
MehrFC BAYERN MÜNCHEN VOR SCHALKE 04 UND BORUSSIA DORTMUND
allensbacher berichte Institut für Demoskopie Allensbach Oktober 20 FC BAYERN MÜNCHEN VOR SCHALKE 0 UND BORUSSIA DORTMUND Deutliche Unterschiede im Interesse an den 1 Bundesliga-Vereinen Besonders großer
MehrMathematik. Name, Vorname:
Kntonsschule Zürich Birch Fchmittelschule Aufnhmeprüfung 2007 Nme, Vornme: Nr.: Zeit: 90 Minuten erlubte Hilfsmittel: Tschenrechner us der Sekundrschule, lso weder progrmmierbr noch grfik- oder lgebrfähig
MehrSeminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen
Seminr Quntum Computtion - Finite Qunten-Automten und Qunten-Turingmschinen Sebstin Scholz sscholz@informtik.tu-cottbus.de Dezember 3. Einleitung Aus der klssischen Berechenbrkeitstheorie sind die odelle
MehrBeispiel-Abiturprüfung
Mthemtik BeispielAbiturprüfung Prüfungsteile A und B Bewertungsschlüssel und Lösungshinweise (nicht für den Prüfling bestimmt) Die Bewertung der erbrchten Prüfungsleistungen ht sich für jede Aufgbe nch
MehrVorlesungsskript Mathematik I für Wirtschaftsingenieure
Vorlesungsskript Mthemtik I für Wirtschftsingenieure Verfsserin: HSD Dr. Sybille Hndrock TU Chemnitz Fkultät für Mthemtik e-mil: hndrock@mthemtik.tu-chemnitz.de Wintersemester 2005/06 Litertur [] Dllmnn,
MehrGroßübung zu Kräften, Momenten, Äquivalenz und Gleichgewicht
Großübung u Kräften, omenten, Äuivlen und Gleichgewicht Der Körper Ein mterielles Teilgebiet des Universums beeichnet mn ls Körper. Im llgemeinen sind Körper deformierbr. Sonderfll strrer Körper (odellvorstellung)
MehrNutzung der Abwärme aus Erneuerbare-Energie-Anlagen
5 2014 Sonderdruck us BWK 5-2014 Wichtige Kennzhlen und effiziente Plnung für die dezentrle Wärmewende Nutzung der Abwärme us Erneuerbre-Energie-Anlgen Wichtige Kennzhlen und effiziente Plnung für die
MehrProgrammieren in C/C++ und Matlab
Progrmmieren in C/C und Mtl Sine Schmidt & Sestin Buer Institut für Geowissenschften Christin-Alrechts-Universität zu Kiel Progrmmieren in C/C und Mtl CAU, SS 08 for- / while-schleifen: - numerische Integrlerechnung
Mehr1KOhm + - y = x LED leuchtet wenn Schalter x gedrückt ist
. Ohm = LED leuchtet wenn chlter gedrückt ist 2. Ohm = NICH ( = NO ) LED leuchtet wenn chlter nicht gedrückt ist = ist die Negtion von? Gibt es so einen kleinen chlter (Mikrotster)? 2. Ohm = UND LED leuchtet
MehrInhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis... 1 3.Logik... 2. 3.1 Zahlensysteme... 2. 3.2 Grundbegriffe zweiwertiger Logik... 13
Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... 3.Logik... 2 3. Zhlensysteme... 2 3.2 Grundegriffe zweiwertiger Logik... 3 3.3 Rechengesetze für logische Ausdrücke... 9 3.4 Logische Funktionen... 24 3.5 Logische
MehrThema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n
Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1
MehrAutomaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung)
Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Wörter Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 2012 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Alphet Ein
MehrInternationale Ökonomie I Vorlesung 3: Das Riccardo-Modell: Komparative Vorteile und Produktivität (Master)
Interntionle Ökonomie I Vorlesung 3: Ds Riccrdo-Modell: Komprtive Vorteile und Produktivität (Mster) Dr. Dominik Mltritz Vorlesungsgliederung 1. Einführung 2. Der Welthndel: Ein Überblick 3. Ds Riccrdo-Modell:
MehrLehrgang: Digitaltechnik 1 ( Grundlagen ) - Im Lehrgang verwendete Gatter ( Übersicht ) Seite 3
Lehrgng: Digitltechnik ( Grundlgen ) Dtum: Nme: Seite: Inhltsverzeichnis: Im Lehrgng verwendete Gtter ( Üersicht ) Seite 3 Aufu von Zhlensystemen deziml, dul ( Infoseite ) Seite 4 ( Areitsltt ) Seite 5
MehrSpielplan 3. Liga Saison 2015/2016
1. Spieltag 24.07.2015 20.30 4 1. FC Magdeburg FC Rot-Weiß Erfurt 24.-26.07.2015 1 FC Erzgebirge Aue VfL Osnabrück 24.-26.07.2015 2 SG Dynamo Dresden VfB Stuttgart II 24.-26.07.2015 3 SV Wehen Wiesbaden
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere
MehrDer beste Umzug, den wir je hatten. Privatumzüge Überseeumzüge Senioenumzüge Kunsttransporte Lagerung ERWIN WEDMANN
Der beste Umzug, den wir je htten. Privtumzüge Überseeumzüge Senioenumzüge Kunsttrnsporte Lgerung ERWIN WEDMANN Erwin Wedmnn Euromovers erfolgreiche Koopertion seit über 20 Jhren Heute zählt die EUROMOVERS
MehrAbitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999
Abitur - Leistungskurs Mthemtik Schsen-Anhlt 999 Gebiet L - Anlysis Augbe.. y, D, R,. Die Funktionenschr sei gegeben durch Die Grphen der Funktionen der Schr werden mit G bezeichnet. ) Ermitteln Sieden
MehrMathematik PM Rechenarten
Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz
MehrHamburg Kernfach Mathematik Zentralabitur 2013 Erhöhtes Anforderungsniveau Analysis 2
Hmburg Kernfch Mhemik Zenrlbiur 2013 Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 Smrphones Die Mrkeinführung eines neuen Smrphones vom Elekronikherseller PEAR wird ses ufgereg erwre. Zur Modellierung der Enwicklung
MehrLeitfaden für die Berechnung des Netzentgeltes bei der Rhein-Ruhr Verteilnetz GmbH
Leitfden für die Berechnung des Netzentgeltes bei der Rhein-Ruhr Verteilnetz GmbH Stnd: 20.01.2012 Gültig b: 01.01.2012 Inhltsverzeichnis 1 Benötigte Dten... 3 2 Netzentgelte... 4 2.1 Entgelt für Entnhme
MehrGrundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III
Grundwissen m Ende der Jhrgngsstufe 9 Whlpflichtfächergruppe II / III Funktionsbegriff Gerdengleichungen ufstellen und zu gegebenen Gleichungen die Grphen der Gerden zeichnen Ssteme linerer Gleichungen
MehrBrückenkurs Mathematik
Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Brückenkurs Mthemtik WS 0/ us und überrbeitet von B. Eng. Sevd Hppel und Dipl.Ing. Jun Rojs Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Inhltsverzeichnis Brüche, Potenzen und Wurzeln. Brüche..
MehrDomäne und Bereich. Relationen zwischen Mengen/auf einer Menge. Anmerkungen zur Terminologie. r Relationen auf/in einer Menge.
Reltionen zwischen Mengen/uf einer Menge! Eine Reltion R A B (mit A B) ist eine Reltion zwischen der Menge A und der Menge B, oder uch: von A nch B. Drstellung: c A! Wenn A = B, d.h. R A A, heißt R eine
MehrReguläre Sprachen und endliche Automaten
2 Reguläre Sprchen und endliche Automten Sei Σ = {, b,...} ein endliches Alphbet. Ein endliches Wort über Σ ist eine Folge w = 0... n 1, wobei i Σ für i = 0,...,n 1. Wir schreiben w für die Länge von w,
MehrSTATUS DES WINDENERGIEAUSBAUS IN DEUTSCHLAND
1. Hlbjhr Im Auftrg von: Deutsche WindGurd GmbH - Oldenburger Strße 65-26316 Vrel 04451/95150 - info@windgurd.de - www.windgurd.de Onshore Offshore Gesmt 1. Hlbjhr WINDENERGIEAUSBAUS AM 30. JUNI Im ersten
Mehr13 Rekonfigurierende binäre Suchbäume
13 Rekonfigurierende inäre Suchäume U.-P. Schroeder, Uni Pderorn inäräume, die zufällig erzeugt wurden, weisen für die wesentlichen Opertionen Suchen, Einfügen und Löschen einen logrithmischen ufwnd uf.
MehrDein Trainingsplan. sportmannschaft. ... und was sonst noch wichtig ist. Deine Zähne sind wie deine. und du bist der Trainer!
hben Freunde Deine Zähne sind wie deine sportmnnschft und du bist der Triner! Und jeder Triner weiß, wie wichtig jeder einzelne Spieler ist eine wichtige und schöne Aufgbe! Drum sei nett zu deinen Zähnen
MehrSPIELPLAN: SAISON 2014/2015 BUNDESLIGA
29./30.07.2014 UCL Q3 H 31. Juli 2014 - Do UEL Q3 H 05./06.08.2014 UCL Q3 R 07. Aug 2014 - Do UEL Q3 R 12. Aug 2014 - Di 20.45 USUP in Cardiff (WAL) 13. Aug 2014 - Mi 18.00 DFL SCUP in Dortmund 15.-18.08.2014
MehrF 0 =0, F 1 =1 und F n+1 =F n +F n-1 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
F 0 0, F und F n+ F n +F n- 0,,,,,, 8,,, 4,, N A U T I L U S Fiboncci - Zhlen S. Nutilus - Nmen gebend für ds berühmte U-Boot des Kpitäns Nemo us Jules Vernes Romn "0 000 Meilen unter dem Meer" - ist ein
MehrÜbungsheft Mittlerer Schulabschluss Mathematik
Ministerium für Bildung und Kultur des Lndes Schleswig-Holstein Zentrle Abschlussrbeit 011 Übungsheft Mittlerer Schulbschluss Mthemtik Korrekturnweisung Impressum Herusgeber Ministerium für Bildung und
MehrVersuchsumdruck. Schaltungsvarianten des Operationsverstärkers
Hchschule STDIENGANG Wirtschftsingenieurwesen Bltt n 6 Aschffenburg Prf. Dr.-Ing.. Bchtler, Armin Huth Versuch 2 Versin. m 23.3.2 Versuchsumdruck Schltungsrinten des Opertinserstärkers Inhlt Verwendete
MehrÜbungsblatt Gleichungssysteme Klasse 8
Üungsltt Gleichungsssteme Klsse 8 Auge : Berechne die Lösungen des Gleichungspres: I II 7 Kontrolliere durch Einseten. Auge : Löse dem Additionsverhren: I 7-6 II 9 Auge : Gegeen ist olgendes linere Gleichungssstem
MehrREGSAM-Handbuch. für neue Facharbeitskreissprecherinnen und -sprecher
REGSAM-Hndbuch für neue Fchrbeitskreissprecherinnen und -sprecher Inhlte Vorwort. 2 Über REGSAM. o Wozu REGSAM? o REGSAM holt lle Hndelnden n einen Tisch o Wie wird gerbeitet? Oder: Die Gremien o Zentrler
MehrSTATUS DES WINDENERGIEAUSBAUS AN LAND IN DEUTSCHLAND
Jhr STATUS DES WINDENERGIEAUSBAUS AN LAND Im Auftrg von: Deutsche WindGurd GmbH - Oldenburger Strße 65-26316 Vrel 4451/9515 - info@windgurd.de - www.windgurd.de jährlich zu- / bgebute Leistung kumulierte
MehrAluminium - Spezialprofile
Aluminium - Spezilprofile fc lu & future components Entwicklungs- und Hndels GmbH A-3100 St. Pölten Porschestrße 23 Tel.: +43 (0)2742/730 93 Fx.: +43 (0)2742/730 93-30 office@lu-future.com www.lu-future.com
Mehrnach der FIT-Methode HANDBALL LEKTÜRE Mannhard Bech Malte Gertenbach Mehr Stabilität Mehr Kraft Mehr Leistung
Mnnhrd Bech Mlte Gertenbch Athletiktrining nch der FIT-Methode Mehr Stbilität Speziell für den Hndbllsport entwickelt Für bessere Körperbeherrschung, Leistungssteigerung und Verletzungsprävention Ab der
MehrBoole'sche Algebra. Inhaltsübersicht. Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schaltalgebra. Verknüpfungen der mathematischen Logik
Boole'sche Algebr Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schltlgebr Inhltsübersicht Verknüpfungen der mthemtischen Logik Boole sche Algebren Grundelemente der Schltlgebr Regeln der Schltlgebr Normlformen
MehrNumerische Mathematik I
Numerische Mthemtik I Dr. Wolfgng Metzler Universität Kssel unter Mitwirkung von Dipl.-Mth. Mrtin Steigemnn Sommersemester 2005 ii c 2005 Dr. Wolfgng Metzler, Fchbereich Mthemtik und Informtik der Universität
MehrSponsored Search Markets
Sponsored Serch Mrkets ngelehnt n [EK1], Kpitel 15 Seminr Mschinelles Lernen, WS 21/211 Preise Slots b c Interessenten y z 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 1 Them dieses Vortrgs
MehrMathematik Thema Vielecke
Them Vielecke Im Jnur 2006 Florin Vetter, Klsse 8, Riegelhof Relschule Seite 1 von 15 INHALTSVERZEICHNES 1. EINLEITUNG 3 2. ARTEN VON VIELECKEN 4 2.1. DREIECK 4 2.2. VIERECK 4 2.2.1. RECHTECK 4 2.2.2.
Mehr9.Rainbow-Cup Zwenkau
Neuseenteamball e.v. präsentiert den 9.RainbowCup Zwenkau Internationales U0 Turnier / International U0 Tournament 28. 29.April 202 I. Teilnehmende Mannschaften Gruppe A und B II. Spielplan Vorrunde Gruppe
MehrEinführung in Mathcad 14.0 2011 H.
Einführung in Mthc. H. Glvnik Eitieren von Termen Tet schreiben mit Shift " + + Nvigtion mit Leertste un Cursor + Löschen mit Shift + Entf + + 5 sin( ) + Arten von Gleichheitszeichen Definition eines Terms
MehrKeil Telecom Homepage - Hersteller von Isdn Tk Anlagen und Türsprechsystemen für Heim und Bü...
Keil Telecom Homepge - Hersteller von Isdn Tk Anlgen und Türsprechsystemen für Heim und Bü... Seite 1 von 1 Einutürlutsprecher esonders kleine und kompkte Buform Einu üerll dort wo Pltz knpp ist Briefkästen,
MehrAnalysis 2. Mitschrift von www.kuertz.name
Anlysis 2 Mitschrift von www.kuertz.nme Hinweis: Dies ist kein offizielles Script, sondern nur eine privte Mitschrift. Die Mitschriften sind teweilse unvollständig, flsch oder inktuell, d sie us dem Zeitrum
MehrVersion 3. Installation. Konfiguration. Bedienung. Referenz. SYNCING.NET Technologies GmbH Weipertstr. 8-10 74076 Heilbronn www.syncing.
Rev. 03 SNT 000.2547 Version 3 Instlltion Konfigurtion Bedienung Referenz SYNCING.NET Technologies GmbH Weipertstr. 8-10 74076 Heilbronn www.syncing.net Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis Einleitung 5
MehrMusterlösung zur Musterprüfung 2 in Mathematik
Musterlösung zur Musterprüfung in Mthemtik Diese Musterlösung enthält usführliche Lösungen zu llen Aufgben der Musterprüfung in Mthemtik sowie Hinweise zum Selbstlernen. Literturhinweise ) Bosch: Brückenkurs
MehrVerbrauchswerte. 1. Umgang mit Verbrauchswerten
Verbruchswerte Dieses Unterkpitel ist speziell dem Them Energienlyse eines bestehenden Gebäudes nhnd von Verbruchswerten (Brennstoffverbräuche, Wrmwsserverbruch) gewidmet. BEISPIEL MFH: Ds Beispiel des
MehrSchleswig-Holstein 2009 Leistungskurs Mathematik Thema: Analysis. ( x) . (14 P) g mit ( ) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen von f a und
Ministrium für Bildung und Frun Schlsig-Holstin 9 Listungskurs Mthmtik Thm: Anlysis Aufg Ggn ist di Funktionnschr f mit f ( ) = (, IR ) ) Untrsuchn Si di Funktionnschr f uf Nullstlln, ds Vrhltn im Unndlichn,
MehrTerminliste B-JUNIOREN-BUNDESLIGA Staffel West Spieljahr 2015/ 2016
Sonntag, 16. August 2015 11:00 Samstag, 22. August 2015 11:00 Sonntag, 30. August 2015 11:00 Samstag, 5. September 2015 11:00 Sonntag, 20. September 2015 11:00 Sonntag, 27. September 2015 11:00 1 1 Rot-Weiß
MehrSTATUS DES WINDENERGIEAUSBAUS
1. Hlbjhr STATUS DES WINDENERGIEAUSBAUS AN LAND Im Auftrg von: Deutsche WindGurd GmbH - Oldenburger Strße 65-26316 Vrel 4451/9515 - info@windgurd.de - www.windgurd.de Jährlich zu- / bgebute Leistung [MW]
MehrSchriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2007 im Fach Mathematik
Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Schriftliche Prüfungsrbeit zum mittleren Schulbschluss 007 im Fch Mthemtik 30. Mi 007 Arbeitsbeginn: 10.00 Uhr Berbeitungszeit: 10 Minuten Zugelssene
MehrDie Trainerzeitschrift des Deutschen Fußball-Bundes. http://fcb-kidsclub.de/de/events/einlaufkinder/
Bayern München Einlaufkinder: Einteilung erfolgt meist über Verlosungen in den Medien, Sponsoren sind zuständig oder über Verlosungen im Kids-Club http://fcb-kidsclub.de/de/events/einlaufkinder/ Mitgliedschaft
MehrMotivation. Kap. 4.2 Binäre Suchbäume ff Kap. 4.3: AVL-Bäume. Überblick. Pseudocode von SEARCH. in binären Suchbäumen. in binären Suchbäumen
Kp. 4.2 inäre Schäme ff Kp. 4.: VL-äme Professor r. Lehrsthl für lgorithm Engineering, LS11 Fkltät für Informtik, TU ortmnd Motition Wrm soll ich hete hier leien? lncierte äme rchen Sie immer wieder! Ws
MehrFunktionen und Mächtigkeiten
Vorlesung Funktionen und Mähtigkeiten. Etws Mengenlehre In der Folge reiten wir intuitiv mit Mengen. Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von Elementen. Zum Beispiel ist A = {,,,,5} eine endlihe Menge mit
MehrEndliche Automaten. S. Kuske: Endliche Automaten; 6.Novenber 2006
1 Endliche Automten Einfches Modellierungswekzeug (z.b. UML-Sttechrts) Verrbeiten Wörter/Ereignisfolgen Erkennen Sprchen Erluben schnelle Sprcherkennung Anwendungsbereiche: Objektorientierte Modellierung,
MehrTerminliste B-JUNIOREN-BUNDESLIGA Staffel West Spieljahr 2015/ 2016
Sonntag, 16. August 2015 11:00 Sonntag, 16. August 2015 11:00 1 1 Rot-Weiß Oberhausen Borussia Mönchengladbach Sonntag, 16. August 2015 11:00 1 2 Sportfreunde Siegen VfL Bochum Sonntag, 16. August 2015
MehrBrückenkurs MATHEMATIK
Brückenkurs MATHEMATIK Professor Dr. rer. nt. Bernd Bumnn Professor Dr. rer. nt. Ulrich Stein Hochschule für Angewndte Wissenschften Hmburg 5. März 008 VO R B E M E R K U N G E N Liebe Studentin, lieber
MehrAnalysis I/II. Skript zur Vorlesung 2009/2010. Peter Junghanns
Skript zur Vorlesung Anlysis I/II 9/ Peter Junghnns Hinweis: Ds vorliegende Skript stellt nur ein Gerüst zu den Inhlten der Vorlesung dr. Die Vorlesung selbst bietet weiterführende Erläuterungen, Beweise
MehrInstitut für Produktion und Industrielles Informationsmanagement
Institut für Produktion und Industrielles Informtionsmngement Universität Essen Fchbereich : Wirtschftswissenschften Universitätsstrße 9, D 44 Essen Tel.: 49 (0) 0 / 8-400 Fx: 49 (0) 0 / 8-40 Arbeitsbericht
MehrGedanken stoppen und entschleunigen
32 AGOGIK 2/10 Bertie Frei, Luigi Chiodo Gednken stoppen und entschleunigen Individuelles Coching Burn-out-Prävention Probleme knn mn nie mit derselben Denkweise lösen, durch die sie entstnden sind. Albert
MehrAnalysis I Probeklausur 2
WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch
Mehr3 Module in C. 4 Gültigkeit von Namen. 5 Globale Variablen (2) Gültig im gesamten Programm
3 Module in C 5 Glole Vrilen!!!.c Quelldteien uf keinen Fll mit Hilfe der #include Anweisung in ndere Quelldteien einkopieren Bevor eine Funktion us einem nderen Modul ufgerufen werden knn, muss sie deklriert
MehrFernUniversität Gesamthochschule in Hagen
FernUniversität Gesmthochschule in Hgen FACHBEREICH MATHEMATIK LEHRGEBIET KOMPLEXE ANALYSIS Prof. Dr. Andrei Dum Proseminr 9 - Anlysis Numerische Integrtion Ulrich Telle Mtrikel-Nr. 474 Köln, den 7. Dezember
MehrBÜrO HYPER aufgebautes BÜrOsYsteM
5 JAHRE NACHKAUFGARANTIE BÜrO HYPER UFGeBUtes BÜrOsYsteM Gerundete ecken und Knten nch din-fchbericht 147 schreibtisch und ergonomische Mße nch din En 527-1 sthl-orgzrge mit verdeckter Führung, Präzisionsuszüge
MehrTechnische Informatik - Hardware
Inhltsverzeichnis Hns-Georg Beckmnn 22 Technische Informtik - Hrdwre Teil : Grundlgen Vorbemerkungen 2 Dezimlzhlen, Dulzhlen, Hexzhlen 3 Umrechnen in Zhlensystemen 4 Addieren zweier Dulzhlen 6 Hlbddierer
Mehr-25/1- DIE RÖHRENDIODE
-25/1- DIE RÖHRENDIODE ufgben: Messverfhren: Vorkenntnisse: Lehrinhlt: Litertur: ufnhme der Kennlinie einer Röhrendiode und einiger rbeitskennlinien. Bestimmung des Exponenten der Schottky-Lngmuirschen
Mehr10. Internationaler Hönne-Cup 2014 am Samstag, 06. und Sonntag, 07. Dezember 2014 in der Kreissporthalle in Menden (Sauerland)
10. Internationaler HönneCup 2014 am Samstag, 06. und Sonntag, 07. Dezember 2014 in der Kreissporthalle in Menden (Sauerland) Teilnehmerfeld Vorrunde Gruppe A VfL Platte Heide I KKS Lech Poznan FC Bayern
MehrKarlsruhe - Mannheim - Aachen
Deutsche Finnzdtenbnk - DFDB Krlsruhe - Mnnheim - Achen - Krlsruhe - Die Bereinigung von Aktienkursen - Ein kurzer Uberblick uber Konzept und prktische Umsetzung - Andres Suer Version 10, August 1991 Projektleitung:
MehrLösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090
OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 1. Ntürliche Zhlen Dezimlsystem Mn nennt die Zhlen, die mn zum Zählen verwendet, 10963 = 1 10000+ 0 1000+ 9 100+ 6 10 + 3 1 ntürliche Zhlen. Der Stellenwert der
MehrStreuungsmaße. Grundbegriffe
Grundbegriffe Untersuchungseinheiten U,...,U n Merkml X Urliste x,...,x n geordnete Urliste x (),...,x (n) Es gilt i.llg.: xi x() i, i, Κ, n In einer westdeutschen Großstdt gibt es insgesmt drei Träger
MehrNachtrag Nr. 71 a. gemäß 10 Verkaufsprospektgesetz (in der vor dem 1. Juli 2005 geltenden Fassung) Unvollständigen Verkaufsprospekt
London Brnch Nchrg Nr. 71 gemäß 10 Verkufsprospekgesez (in der vor dem 1. Juli 2005 gelenden Fssung) vom 6. Novemer 2006 zum Unvollsändigen Verkufsprospek vom 31. März 2005 üer Zerifike uf * üer FlexInves
Mehr