Signal- und Systemtheorie

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1 Prof. Dr. P. Pogazki en für Kommunikaionsechniker und Informaionsechniker an der sn ( ) si( 2π f ( ) g n ) FH-Düsseldorf

2 2 Aufgabe : Prüfen Sie, ob die folgenden Syseme g()=f{s()} s() F{s()} g() mi d g () = s () d g () = s () + 2 g () = s() g () = sa ( ) ( π ) g () = s( ) g () = As () cos 2 f linear und zeiinvarian sind. Aufgabe 2: Gegeben is das Sysem Inegraor mi der Gleichung g () = s( τ ) dτ. Is der Inegraor ein LI-Sysem? 2. Besimmen Sie die Soßanwor des Inegraors! Aufgabe 3: Gegeben is das Sysem Verzögerungsglied mi der Gleichung g () = s ( ). Is das Verzögerungsglied ein LI-Sysem? 2. Besimmen Sie die Soßanwor des Verzögerungsgliedes! 3. Enwerfen Sie mi Hilfe des Inegraors und des Verzögerungsgliedes ein Sysem mi der Soßanwor /2 h () = rec

3 3 Aufgabe 4: Berechnen Sie die Falung g() = rec() rec() Aufgabe 5: Berechnen Sie das Ausgangssignal g() des Sysems für s ( ) = sin( ) h () = ε() Aufgabe 6: Beweisen Sie, daß gil! s () h () = h () s () Aufgabe 7: Skizzieren Sie folgende Zeifunkionen: s () = rec () cos( π) s () = ε () Λ() s () =Λ(2)sin( π) s () = e ε( ) Aufgabe 8: Gegeben is die folgende Soßanwor h(): e / h () = sons. Berechnen Sie die zugehörige Überragungsfunkion H(f)! 2. Geben Sie das Ausgangssignal g() für das Eingangssignal rec(-,5) auf 2 verschiedene Aren an, in dem Sie sowohl rec mi e-funkion falen als auch e-funkion mi rec falen!

4 4 Aufgabe 9: Die Energie eines Signals is definier als 2 E = s() d Beweisen Sie das Parseval sche heorem und zeigen Sie, daß die Energie auch im Frequenzbereich berechne werden kann mi E = S(f) df 2 Aufgabe : Zeigen Sie, daß die Beziehung gil. g () = s () h () G( f) = S( f) H( f) Aufgabe : Berechnen Sie das Spekrum des cos 2 -Impulses mi ( π) + s () = sons 2 cos,5,5 Aufgabe 2: Berechnen Sie das Spekrum des Dreiecks-Impulses mi Hilfe des Spekrums eines rec- Impulses!

5 5 Aufgabe 3: ransformieren Sie einen Doppelrecheck-Impuls mi Hilfe der heoreme zur Fourier- ransformaion. s() - - Aufgabe 4: ransformieren Sie ( π ) s () = ε() e cos 2 F in den Spekralbereich. Aufgabe 5: Gegeben is die Überragungsfunkion eines Bandpasses. H(f) f f f 2. Berechnen Sie die zugehörige Soßanwor h() und verwenden Sie die Abkürzungen f + f f = f = f f 2 2. Skizzieren Sie die Soßanwor 3. Is der obige Bandpaß ein kausales Sysem? 2 2

6 6 Aufgabe 6: Das Signal cos(2πf) wird mi der Rae abgease und miels eines idealen iefpasses mi der Grenzfrequenz fg=/2 inerpolier. Zeigen Sie, daß am Ausgang des iefpasses wieder ein cosinusförmiges Signal anseh und besimmen Sie die Frequenz dieses Signals als Funkion von F! Aufgabe 7: Gegeben is das folgende ideale Bandpaß-Signal mi den Grenzfrequenzen f und f 2. S(f) f -f 2 -f f f 2 Das Signal soll im Zeibereich abgease werden mi einer Abasrae kleiner als 2*f2!. Überlegen Sie, ob es prinzipiell möglich is, miels eines idealen Filers das ursprüngliche Signal aus den Abasweren zu rekonsruieren! 2. Es is nun f 2 =7 und f =6. Wählen Sie eine möglichs niedrige Abasrae, mi der das Signal fehlerfrei rekonsruier werden kann. Skizzieren Sie das Spekrum des abgeaseen Signals! 3. Es is nun f 2 =7,5 und f =6,5. Wählen Sie eine möglichs niedrige Abasrae, mi der das Signal fehlerfrei rekonsruier werden kann. Skizzieren Sie das Spekrum des abgeaseen Signals! Aufgabe 8: Das Bandpaß-Signal aus Aufgabe 7: soll mi Hilfe einer Schalung besehend aus Abaser und iefpaß-filer in ein iefpaß-signal der Form überführ werden.

7 7 S(f) -(f 2 -f ) f 2 -f f Besimmen Sie die ensprechende Schalung sowie Abasrae und Grenzfrequenz des iefpasses! Aufgabe 9: In der Vorlesung war als Inerpolaionsfiler zur Rekonsrukion des Signals aus seinen Abasweren ein Haleglied angegeben.. Geben Sie die Überragungsfunkion eines Filers an, mi Hilfe dessen das ursprüngliche Signal s() wieder aus dem zuvor inerpolieren Signal des Halegliedes fehlerfrei gewonnen werden kann. 2. Zeigen Sie, daß mi der folgenden Anordnung das oben beschriebene Filer realisier werden kann. Welche Überragungsfunkion ha das Elemen H R (f)? inerpolieres Signal idealer iefpaß + ursprüngliches Signal H R (f) 3. Wie kann ein derariges Filer realisier werden?

8 8 Aufgabe 2: Gegeben is der folgende Recheckimpuls s(). s() Es soll das Spekrum einer Fourier-Reihe mi Hilfe von Abasung im Frequenzbereich berechne werden.. Besimmen Sie das Spekrum S(f) des Impulses s()! 2. asen Sie das Spekrum S(f) im Frequenzbereich so ab, daß die nachsehende periodische Funkion s p () enseh. Wie muß die Abasung gewähl werden? Welches Spekrum S p (f) ergib sich? s p () Leien Sie aus UP2 das Spekrum für 2 her. Welches Zeisignal ergib sich? Aufgabe 2: Zeigen Sie, daß gerader und ungerader Aneil eines beliebigen reellen Signals zueinander orhogonal sind. Aufgabe 22: Die Korrelaion von Leisungssignalen s() und g() kann definier werden zu: + L ϕsg ( τ) = lim s ( ) g ( + τ) d 2

9 9. Berechnen sie für die folgenden Signale die Auokorrelaionsfunkion! s () = cos(2 π) s () = sin(2 π) 2 s () = ε() s () = rec( 2) i i= 2. Berechnen sie die Kreuzkorrelaionsfunkion für die Signale s () und s 2 ()! Aufgabe 23: Suchen Sie ausgehend von den beiden orhogonalen Signalen im nachsehenden Bild eine gerade Funkion, die zu s() orhogonal is und eine ungerade Funkion, die zu g() orhogonal is. s() g() Aufgabe 24: Die Fourier-ransformiere Φ sg ( f ) der Kreuzkorrelaionsfunkion ϕ ( τ ) wird Kreuzenergiedichespekrum genann.. Beweisen Sie Φ sg f = S f G f * ( ) ( ) ( ) 2. Welche Eigenschaf ha Φ sg ( f ), falls ϕ () = is? sg sg

10 Aufgabe 25: Berechnen Sie Auokorrelaion, Energie und Energiedichespekrum für die folgenden Funkionen: s () = Λ () s () = s( i π ) 2 Aufgabe 26: E Besimmen Sie die Kreuzkorrelaionsfunkion ϕ ( τ ), wenn sg g () = s () h () gil. Führen Sie die Berechnung sowohl im Zeibereich als auch im Frequenzbereich durch! Aufgabe 27: Das Signal s() wird über ein LI-Sysem mi der Soßanwor h() überragen. π s () = si h () = δ ( n) Zeigen Sie uner Anwendung der Ergebnisse aus Aufgabe 26:, daß die si-funkion zu allen um n verzögeren si-funkionen orhogonal is. Aufgabe 28: k Gegeben is eine Schar von Gleichspannungen s () = A k für k=,...,n. Die Ampliuden A k können die Were V oder 5V annehmen. Der Wer der jeweiligen Ampliude wird durch das Werfen einer Münze besimm.. Besimmen Sie die Scharmielwere 2 3 s ( ), s( ), s( ) 2. Besimmen Sie s() s( ) an der Selle =7,23 s! 3. Is der Prozeß saionär? 4. Is der Prozeß ergodisch?!

11 Aufgabe 29: k Gegeben is eine Schar von zeiabhängigen Gleichspannungen s ( ) = A k für k=,...,n. Die Ampliuden A k können die Were V oder 5V annehmen. Der Wer der jeweiligen Ampliude wird durch das Werfen einer Münze besimm. Es finde ein Münzwurf pro Sekunde sa und die ensprechende Ampliude wird dann neu besimm. Es ergib sich der unen dargeselle exemplarische Verlauf. k s() 5 V. Besimmen Sie die Scharmielwere V /sec 2 3 s ( ), s( ), s( ) 2. Besimmen Sie s() s( ) an der Selle =7,23 s! 3. Is der Prozeß saionär? 4. Is der Prozeß ergodisch? 5. Wie laue die Auokorrelaionsfunkion ss ( ) 6. Welches Leisungsdichespekrum ( f ) ϕ τ? Φ ergib sich? ss! Aufgabe 3: Aus den zwei saionären und mielwerfreien Prozessen u() und v() mi den Auokorrelaionsfunkionen ϕ uu (τ) und ϕ vv (τ) sowie den Kreuzkorrelaionsfunkionen ϕ uv (τ) un ϕ vu (τ) werden zwei neue Zufallsprozesse gebilde mi s () = u () + v () g () = u () v (). Wie lauen Auo- und Kreuzkorrelaionsfunkion der neuen Prozesse s() und g()? 2. Besimmen Sie Leisung und Sreuung der Prozesse s() und g()!

12 2 Aufgabe 3: Zur Zei = wird Weißes Rauschen mi der Leisungsdiche N auf den Eingang eines Inegraors gegeben.. Wie groß is die Augenblicksleisung der Zufallsgröße am Ausgang des Inegraors? 2. Is der Prozeß am Ausgang des Inegraors saionär? Aufgabe 32: Am Eingang eines RC-iefpasses lieg Weißes Rauschen mi der Leisungsdiche N an. Die Soßanwor des iefpasses laue: e / h () = ;. Besimmen Sie das Leisungsdichespekrum Φ gg ( f ) am Ausgang der Schalung und daraus die Leisung des Prozesses! 2. Ermieln Sie die Auokorrelaionsfunkion ϕgg ( τ ) am Ausgang des iefpasses und daraus die Leisung! Aufgabe 33: Die Rauschbandbreie eines beliebigen iefpaßfilers wird als die Bandbreie definier, welche die gleiche Rauschleisung am Ausgang generier wie die eines idealen iefpasses mi f H( f) = rec 2 f G Ermieln Sie die Rauschbandbreie eines RC-iefpasses! Aufgabe 34: Weißes Rauschen n() wird auf einen idealen Bandpaß der Bandbreie f und der Mienfrequenz f gegeben.

13 3 f H(f) f f -f f. Besimmen Sie das Leisungsdichespekrum des Ausgangsprozesses g()! 2. Berechnen Sie die Auokorrelaionsfunkion am Ausgang des Bandpasses! 3. Ermieln Sie Mielwer, quadraischer Mielwer und die Sreuung für g()! 4. Welche Kreuzkorrelaion beseh zwischen dem Weißen Rauschen und dem Ausgangsprozeß g()? 5. Das Weiße Rauschen n() wird auch auf einen iefpaß der Grenzfrequenz f g gegeben. Für die Grenzfrequenz f g gil die folgende Bedingung: f g f f 2 6. Welche Kreuzkorrelaion beseh dann zwischen den Ausgangsprozessen des Bandpasses und des iefpasses? Aufgabe 35: Gegeben is das folgende Signal, welches miels eines Mached-Filers empfangen werden soll. Der Abaszeipunk wird zu gewähl. s(). Besimmen Sie die Soßanwor des Filers! 2. Berechnen Sie das Ausgangssignal des Filers. Welcher Wer ergib sich im Abaszeipunk? 3. Vergleichen Sie das Ausgangssignal des Filers im Abaszeipunk mi der Energie des Signals! /2

14 4 Aufgabe 36: Ein binäres Überragungssysem verwende das rägersignal s () und Mached-Filer- Empfang.. Skizzieren Sie die Auokorrelaionsfunkion ϕ ( ) ss τ uner Angabe charakerisischer Were! 2. Wie laue die Soßanwor h() des Mached-Filers, wenn bei = abgease werden soll? 3. Welche maximale Überragungsrae kann ohne Eigeninerferenzen erreich werden (Begründung!)? Aufgabe 37: Gegeben is ein AM-Signal ohne räger gemäß m = s ( π f) () () cos 2 Die Grenzfrequenz f g des Basisbandsignals s() is wesenlich kleiner als die rägerfrequenz f. Die Demodulaion soll miels Muliplikaion mi ( π f + α ) cos 2 ( ) und anschließender iefpaßfilerung durchgeführ werden. Dabei beschreib α() den zeiabhängigen Phasenfehler während der Demodulaion.. Wie laue das Ergebnis, wenn α() = α is? 2. Wie laue das Ergebnis, wenn α() = 2π f is? Aufgabe 38: Gegeben is ein Basisbandsignal der Form a s () = a cos 2 f + sin 4 f 2 ( π ) ( π )

15 5 Dieses Signal soll in einem Zweiseienbandverfahren mi einem räger der Ampliude A überragen werden. Als rägerfrequenz wird f = f gewähl.. Wie groß muß A mindesens sein, dami das Signal noch inkohären demodulier werden kann? 2. Berechnen Sie das Spekrum des demodulieren Signals, wenn der Hüllkurvendeekor einen Einweggleichricher verwende und eine iefpaßfilerung durchgeführ wird! 3. Ensprich das demoduliere Signal originalgereu dem ursprünglichen Basisbandsignal? Aufgabe 39: Es sollen die Eigenschafen eines inkohärenen AM-Empfängers für das DCS8-Band (E- Neze, 85MHz-88MHz) unersuch werden. Das Empfangssignal ( π ) m () = s () cos 2 f mi der rägerfrequenz f wird zunächs mi dem Signal eines Oszillaors gemäß ( π ) s () = cos 2 f LO LO muliplizier und auf eine Zwischenfrequenz ZF umgesez. Nach einer anschließenden Bandpaßfilerung erfolg Gleichrichung und iefpaßfilerung. Die Grenzfrequenz des Basisbandsignals beräg 2kHz<<f.. Geben Sie einen Zusammenhang zwischen f, f ZF und f LO an! 2. Zeigen Sie, daß der Empfänger neben dem gewünschen Signal m() ein weieres Signal mi der Spiegelfrequenz f S empfäng. 3. Wie groß muß die ZF mindesens sein, wenn die Spiegelfrequenz außerhalb des DCS8-Bandes sein soll? 4. Geben Sie 2 Möglichkeien an, die Spiegelfrequenz zu unerdrücken! Aufgabe 4: Der ideale Hilber-ransformaor ha die Überragungsfunkion + j f < HH ( f) = f = j f >

16 6 Es soll die Soßanwor besimm werden.. Berechnen Sie zunächs mi Hilfe des Ergebnisses der Aufgabe 3: den Grenzwer lim cos 2π f f ( ( )) in dem Sie den Doppel-rec in eine Sprungfunkion überführen und das zugehörige Spekrum ermieln! 2. Besimmen Sie nun die Soßanwor des idealen Hilber-ransformaors uner Ausnuzung von UP! Aufgabe 4: Es sollen die Auswirkungen der Hilber-ransformaion unersuch werden.. Besimmen Sie das Spekrum des analyischen Signals g() (s() is reell) mi { } g() = s() + j H s () Welche Eigenschaf ha das Spekrum? 2. Was geschieh, wenn Zeibereich und Frequenzbereich geausch werden, also { } { G f } { G f } Re ( ) Im ( ) =H berache wird? Aufgabe 42: Besimmen Sie für folgende Funkionen die Hilber-ransformiere! s () = cos(2 π f ) s () = si(2 π f ) 2 Aufgabe 43: Beweisen Sie den Zusammenhang { } { } H s () s () = H s () s () 2 2 im Frequenzbereich!

17 7 Aufgabe 44: Die Hilber-ransformiere des Basisbandsignals s() wird mi sin 2 ( π f ) muliplizier und ergib das Signal s (). Das Basisbandsignal s() wird mi cos 2 ( π f ) muliplizier und ergib das Signal s 2 (). 3. Besimmen Sie die Eigenschafen des Sendesignals m () = s() + s() 2 4. Was geschieh, wenn sa der Summe die Differenz überragen wird? 5. Was ergib sich, wenn sin und cos verausch werden? Aufgabe 45: Gegeben is die folgende Modulaorschalung mi zwei idealen iefpässen und einem idealen Hochpaß. s() P, f G s () s 2 () s 3 () s 4 () HP, f G P, f G g() 2sin(2πf G ) 2cos(2πf G ). Besimmen Sie die Überragungsfunkion H(f) und zeigen Sie, daß diese für Frequenzen kleiner f G einen Hilber-ransformaor darsell. Aufgabe 46: Gegeben is die folgende Modulaorschalung. s() + g() -sin(2πf ) cos(2πf )

18 8 Für das Signal s() gil: ( π ) s () = a sin 2 f a. Zeigen Sie, daß uner der obigen Voraussezung die Schalung einen Phasen-Modulaor darsell! Aufgabe 47: Gegeben is die folgende Anordnung zur Überragung eines Sereo-Muliplex-Signals im UKW-Band. Dabei bezeichnen l() und r() die Signale des linken bzw. des rechen Kanals. Beide Sereo-Signale sind bandbegrenz von Hz...5kHz. Die Pilofrequenz f P beräg 9kHz.. Skizzieren Sie das Spekrum des Sendesignals! 2. Wie können aus dem Sendesignal die beiden Sereo-Kanäle wieder zurückgewonnen werden?