Kapitel 5: Digitale Signale

Transkript

1 ZHAW, SiSy, Rumc, 5-1 Kapiel 5: Digiale Signale Inhalsverzeichnis 5.1. EINLEITUNG ABTASTUNG ALIASING REKONSTRUKTION QUANTISIERUNG APERTURE UND CLOCK SAMPLING JITTER...14 Lieraur [1] W. Keser, Edior: Analog-Digial Conversion, Analog Devices, ISBN , grais Download: hp://

2 ZHAW, SiSy, Rumc, Einleiung In vielen DSV-Anwendungen is eine Analog-Digial-(AD)-Wandlung und/oder eine DA- Wandlung erforderlich. In diesem Kapiel wird die konvenionelle AD-DA-Umsezung analysier. Signale können mahemaisch als Funkionen einer oder mehrerer unabhängiger Variablen dargesell werden (z.b. ein Sprachsignal als Ampliude in Funkion der Zei, ein Bildsignal als Helligkei in Funkion zweier Orsvariablen). Im Folgenden berachen wir ausschliesslich Zeisignale. Sie können in Bezug auf den Were- und den Zeibereich koninuierlich oder diskre sein. Zei- und werkoninuierliche Signale bezeichne man als analoge Signale. Digiale Signale dagegen sind zei- und werdiskre, d.h. das Signal nimm nur diskree Were an äquidisanen Zeipunken an. Die Umwandlung eines zeikoninuierlichen in ein zeidiskrees Signal erfolg durch die Abasung und die Umwandlung eines werkoninuierlichen in ein werdiskrees Signal durch die Quanisierung, siehe Abbildung 5-1. Die Umwandlung eines digialen Signals in ein anderes (z.b. binäres) digiales Signal schliesslich bezeichne man als Codierung. x() analoges Signal (zei- und werkoninuierlich) Abasung zeidiskrees, werkoninuierliches Signal Quanisierung digiales Signal (zei- und werdiskre) Codierung binäres Signal (zeidiskre, zweiwerig) Abbildung 5-1: Klassifizierung von Signalen.

3 ZHAW, SiSy, Rumc, Abasung Im Folgenden bezeichne T s die Abasperiode bzw. das Abasinervall und f s =1/T s die Abasrae [Samples/s] bzw. die Abasfrequenz [Hz]. Das iefgeselle s seh für sampling bzw. abasen. In Abbildung 5-2 (A) is die naural sampling Mehode dargesell. Ein Schaler wird zu den äquidisanen Zeipunken nt s, n=, -1, 0, 1,, für eine sehr kurze Zei T 0 <<T s geschlossen. Das resulierende Abassignal kann als Produk des analogen Signals x() mi der Recheck-Impulsfolge (Schalerfunkion) aufgefass werden. (A) x() = nt s T 0 T 0 T 0 -T s T s -T s T s (B) x() = nt s x s () -T s T s -T s T s Abbildung 5-2: Naural Sampling (A) und ideale Abasung (B). Zu einer ech zeidiskreen Darsellung des Signals gelang man mahemaisch durch Verkürzen der Einschalzei T 0, bis im Grenzfall T 0 0 nur noch die Funkionswere x(nt s ) zu den Zeipunken nt s im ideal abgeaseen Signal x s () enhalen sind. Dami die Leisung nich Null wird, muss die Recheck-Impulsfolge durch eine Dirac-Impulsfolge ersez werden. Symbolisch werden die Dirac-Impulse durch Pfeile dargesell, siehe Abbildung 5-2 (B). Das ideal abgeasee Signal x s () kann als Muliplikaion des analogen Signals mi der Dirac- Impulsfolge dargesell werden, d.h. xs( ) x( ) ( nts). (5.1) n Mi der Sieb- bzw. Ausblendeigenschaf der Dirac-Funkion folg xs ( ) x( nts ) ( nts ). (5.2) n

4 ZHAW, SiSy, Rumc, 5-4 Einen besseren Einblick in die Eigenschafen des ideal abgeaseen Signals erhäl man durch Fourierransformaion von x s () in den Frequenzbereich. Die Dirac-Impulsfolge in Gleichung (5.1) is eine periodische Funkion und kann deshalb als Fourierreihe dargesell werden, d.h. n 1 ( nts ) e T s n jn 2 Ts (5.3) Durch Einsezen der Fourierreihe aus der Gleichung (5.3) in die Gleichung (5.1) erhäl man jn 2 T. (5.4) n 1 x ( ) ( ) s s x e T s Mi Hilfe der Fourierransformaion bzw. mi den Eigenschafen Superposiion und Frequenzverschiebung erhäl man das Spekrum des ideal abgeaseen Signals 1 T X ( f ) X ( f nf ) s s s (5.5) n Inerpreaion Das Spekrum X s (f) des ideal abgeaseen Signals x s () beseh bis auf eine Normierung aus dem Originalspekrum X(f) des analogen Signals x() sowie Kopien X(f-nf s ), n 0, bei den ganzzahligen Vielfachen der Abasfrequenz f s. Die Kopien werden auch Spiegelspekren bzw. Images genann. Oder anders ausgedrück: Das Fourier-Spekrum eines ideal abgeaseen bzw. diskreen Signals is periodisch mi der Abasfrequenz f s. Es is vollsändig besimm, wenn man es im Frequenzbereich [-f s /2, f s /2] bzw. [0, f s ] kenn. Die einzelnen Frequenzbänder [(n-1) f s /2, n f s /2], n 1, bezeichne man auch als Nyquisbänder bzw. -zonen, als Referenz an die Pionierarbeien von H. Nyquis in den 20er Jahren des lezen Jahrhunders. Beispiel In Abbildung 5-3 (gesrichel) is das mi f s = 8 khz abgeasee Signal x() = cos(2πf 0 ) dargesell, wobei f 0 = 1 khz. Das analoge Signal x() besiz das Originalspekrum X(f) = 0.5 (δ(f+f 0 )+δ(f-f 0 )). Das Spekrum X s (f) des abgeaseen Signals is in Abbildung 5-3 unen dargesell. Es beseh aus dem Originalspekrum X(f) und Kopien X(f-nf s ), n 0, bei den ganzzahligen Vielfachen der Abasfrequenz f s = 8 khz, d.h. X s (f) = 0.5/T s (... + δ(f+1 khz) + δ(f-1 khz) + δ(f-7 khz) + δ(f-9 khz) +... ).

5 T s X s (f) x s () = x(nt s ) = x[n] ZHAW, SiSy, Rumc, 5-5 Zeibereich x() Frequenzbereich 2. Nyquiszone 1. Nyquiszone 2. Nyquiszone -f s f s Abbildung 5-3: Abgeasees harmonisches Signal im Zei- und im Frequenzbereich. In der Praxis wird die Abasung mi einem Sample-and-Hold-Amplifier (SHA) gemach, siehe Abbildung 5-4. Der SHA is heue meisens im Analog-Digial-Converer (ADC) inegrier. Der ideale SHA beseh aus einem Eingangsversärker, einem Schaler, einer Halekapaziä und einem Impedanzwandler. Die Eingangsimpedanz des Impedanzwandlers muss so hochohmig sein, dass sich die Kapaziä in der Hale- bzw. Konversionsphase (Schaler offen) maximal um 1 LSB (leas significan bi) enladen kann. sampling clock Timing analog inpu S ADC Encoder digial oupu rack (S zu) hold (S offen) rack (S zu) Abbildung 5-4: SHA im ADC (siehe [1], Seie 2.26).

6 ZHAW, SiSy, Rumc, Aliasing In Abbildung 5-5 is das Spekrum X s (f) eines ideal abgeaseen Signals x s () für zwei verschiedene Abasfrequenzen f s dargesell. X(f) f g f Fall f s 2f g H TP (f) X s (f) Spiegelspekren bzw. images f -3f s -2f s -f s f s 2f s 3f s Fall f s <2f g X s (f) Aliasing -3f s -2f s -f s -4f s f s 2f s 3f s 4f s f Abbildung 5-5: Spekrum eines ideal abgeaseen Signals ohne und mi Aliasing. Wenn das analoge Signal mi IfI f g frequenzbeschränk is und die Abasfrequenz f s 2f g gewähl wird, dann überlappen sich die periodisch repeieren Spekralaneile im Spekrum des ideal abgeaseen Signals nich. Das Originalspekrum X(f) kann dann mi einem idealen Tiefpass-Filer H TP (f) mi der Grenzfrequenz f s /2 fehlerfrei aus dem Spekrum X s (f) des ideal abgeaseen Signals zurückgewonnen bzw. rekonsruier werden. Die Abasung mi f s = 2f g wird manchmal auch als kriische Abasung und die Abasrae f s = 2f g als Nyquis-Rae bezeichne. Wenn das mi IfI f g frequenzbeschränke, analoge Signal x() hingegen mi einer Abasrae f s < 2f g abgease wird, überlappen sich die periodisch repeieren Spekralaneile im Spekrum des ideal abgeaseen Signals und das Originalspekrum des analogen Signals kann nich mehr fehlerfrei bzw. nur noch mi nichlinearen Verzerrungen rekonsruier werden. Dieser Überlappungseffek im Spekrum des abgeaseen Signals wird aliasing genann. Effekiv werden dann höhere Frequenzkomponenen in iefere reflekier, oder anders ausgedrück, höhere Frequenzkomponenen nehmen die Ideniä von ieferen Frequenzen an (alias oder Pseudonym bedeuen u.a. Deckname). Beispiel Im Beispiel von Abbildung 5-3 oben is neben dem 1 khz Cosinussignal (gesrichel) auch ein 7 khz Cosinussignal (Srich-Punk-Linie) dargesell. Beide analogen Signale haben im Diskreen das gleiche Abassignal und das gleiche Spekrum X s (f), wenn die Abasrae f s =8 ksps beräg. Das 7 khz Cosinussignal sieh wegen dem Aliasing in der 1. Nyquiszone wie ein f s -7 khz = 1 khz Cosinussignal aus.

7 ZHAW, SiSy, Rumc, 5-7 Beispiel Im Film oder am Fernsehen drehen bei vorwärsfahrenden Auos manchmal die Räder rückwärs. Das is ein (sörender) Aliasing-Effek! Um das Aliasing genügend zu unerdrücken, muss das analoge Signal vor der Abasung mi einem (analogen) Ani-Aliasing-Tiefpass-Filer auf das 1. Nyquisband frequenzbegrenz werden, siehe Abbildung 5-6. f s f g < f s /2 f g < f s /2 f s ADC DSP DAC mi ZOH* Ani- Aliasing-Filer ZOH- Kompensaion * Pos-Filer * Abbildung 5-6: Digialisierungssysem (*: Komponenen des Rekonsrukionsfilers). Das Ani-Aliasing-Filer muss sehr sorgfälig spezifizier werden. In Abbildung 5-7 is der Ampliudengang IH(f)I eines Ani-Aliasing-Filers dargesell, das Signalkomponenen bis zur Grenzfrequenz f g passieren läss und darüber liegende Frequenzkomponenen dämpf. IH(f)I Durchlassbereich Übergangsbereich Sperrbereich DR DR f g f s /2 f s -f g f s f Abbildung 5-7: Spezifikaion Ani-Aliasing-Filer (siehe [1], Seie 2.29).

8 ZHAW, SiSy, Rumc, 5-8 Wenn das analoge Eingangssignal full-scale -Komponenen wei über der Grenzfrequenz f g besiz, ensehen beim Abasen wegen den Komponenen oberhalb f s -f g Aliaskomponenen im ineressierenden Frequenzband [0,f g ]. Diese Aliaskomponenen können von den eigenlichen Signalkomponenen nich mehr unerschieden werden und limiieren deshalb den Dynamikbereich DR ( dynamic range ), siehe Abbildung 5-7. Die Aliaskomponenen im Bereich [f g,f s /2] hingegen sind unineressan und limiieren den Dynamikbereich nich. Das Ani-Aliasing-Filer soll also einen Durchlassbereich bis zur Eckfrequenz f g und einen Sperrbereich ab der Eckfrequenz f s -f g mi einer Sperrdämpfung >DR aufweisen. Der erforderliche Dynamikbereich DR is von Anwendung zu Anwendung verschieden und muss ensprechend den Anforderungen an die Signalreue gewähl werden (z.b. >30 db in der Telephonie oder >90 db in der Audioechnik). Die Breie des Übergangsbereichs [f g,f s -f g ] des Ani-Aliasing-Filers häng von der Abasfrequenz f s ab. Je näher die Abasrae bei der kriischen Abasrae f s = 2f g gewähl wird, deso seilflankiger und dami aufwändiger wird das Ani-Aliasing-Filer. Umgekehr kann das Ani-Aliasing-Filer einfacher ausgeleg werden, wenn die Abasfrequenz um einiges grösser als 2f g gewähl wird. Dafür müssen dann die Abaswere mi der höheren Rae verarbeie werden (grösserer Rechenaufwand). Typischerweise wähl man die Abasfrequenz f s im Bereich [2.5 f g, 4 f g ]. Für ein Buerworh- Ani-Aliasing-Filer N-er Ordnung nimm die Dämpfung A(f) im Übergangs- bzw. Sperrbereich f>f g mi N 6 db pro Okave (Frequenzverdoppelung) bzw. mi N 20 db pro Dekade zu, d.h. A(f) 20 N log 10 (f/f g ) für f>f g. Wenn das analoge Eingangssignal oberhalb f s -f g X db kleinere Komponenen als im ineressierenden Frequenzbereich f<f g besiz, kann die Anforderung an die Sperrdämpfung des Ani-Aliasing-Filers naürlich von DR auf DR-X gelocker werden. Beispiel Wenn Signalkomponenen bis f g = 3.1 khz ineressieren, die Abasrae f s = 2.58 f g = 8 ksps beräg und ein Dynamikbereich DR > 30 db angesreb wird, is ein Buerworh- Ani-Aliasing-Filer der Ordnung N 8 erforderlich, dami die Signalkomponenen bei f > f s -f g = 4.9 khz mehr als 30 db gedämpf werden. Rechnung: N log 10 (4.9 khz/3.1 khz) => N 7.5 => N=8. Beispiel: In der professionellen Audioechnik is eine Abasfrequenz von 48 khz üblich (und eine Quanisierung mi mindesens 16 Bi/Sample). Dami lassen sich realisierbare Ani-Aliasing-Filer (und Rekonsrukionsfiler) einsezen, um Audiosignale bis 20 khz verzerrungsfrei zu verarbeien. Die Abasfrequenz bei der Audio-CD beräg 44.1 khz.

9 ZHAW, SiSy, Rumc, Rekonsrukion Solange das Spekrum des abgeaseen Signals kein Aliasing aufweis, kann das Originalspekrum X(f) des analogen Signals mi einem idealen Tiefpass-Filer H TP (f) mi der Grenzfrequenz f s /2 fehlerfrei aus X s (f) rekonsruier werden. Für X(f) gil dann X(f) = X s (f) T s H TP (f), (5.6) wobei das Rekonsrukionsfiler bzw. das Ani-Imaging-Filer ein recheckiges Spekrum aufweis, d.h. H TP (f) = 1 für IfI f s /2 und H TP (f) = 0 für IfI > f s /2. Mi Hilfe der Fourier-Rückransformaion erhäl man sin( f ) x( ) x ( ) s s, (5.7) fs wobei die sin(x)/x-funkion die Sossanwor des idealen Rekonsrukionsfilers und * die Falung darsellen. Wenn man für x s () nun den Ausdruck rechs in der Gleichung (5.2) einsez und die Falung ausführ, erhäl man schliesslich das Abasheorem (C. Shannon) fs sin(2 ( nts )) x( ) ( ) 2 x nts. (5.8) f n s 2 ( nts ) 2 Inerpreaion Jedes mi f g <f s /2 frequenzbegrenze Signal x() kann mi Hilfe von sin(x)/x-inerpolaionsfunkionen fehlerfrei aus seinen Abasweren x(nt s ) wiedergewonnen werden. Dieser Sachverhal is in Abbildung 5-8 dargesell. Für = nt s verschwinden jeweils alle Inerpolaionsfunkionen mi einer Ausnahme, welche dann den Wer 1 annimm. x() = cos(2π(f s /16)) 1 x(t s ) T s Abbildung 5-8: Rekonsrukion mi sin(x)/x-inerpolaionsfunkionen. In der Praxis kann das ideale Rekonsrukions- bzw. Ani-Imaging-Filer mi seiner zeilich unbeschränken Sossanwor naürlich nur approximier werden. Die meisen DAC halen am Ausgang einfach den diskreen Süzwer während dem ganzen Abasinervall T s fes, um Überschwinger während der D/A-Konversion zu vermeiden (degliching). In Abbildung 5-6 is das resulierende Treppensufen-Signal dargesell.

10 ZHAW, SiSy, Rumc, 5-10 Diese einfache Inerpolaion wird mi einem Haleglied 0. Ordnung (engl. zero order hold bzw. ZOH) erzeug. Dieses Filer weis eine recheckige Sossanwor auf, d.h. 1 0 Ts hzoh () (5.9) 0 sons Mi Hilfe der Fourierransformaion erhäl man für die Überragungsfunkion bzw. das Spekrum des ZOH-Filers sin( f / f ) H ( f ) T e ZOH s j f / f s s. (5.10) f / fs Das ZOH-Filer is nur ein bescheidenes Tiefpassfiler, siehe Abbildung 5-9. Um die Ecken des Treppensufensignals zu gläen bzw. die hohen Frequenzaneile ganz auszufilern, muss dem ZOH-Glied noch ein analoges Tiefpassfiler, das sogenanne Pos-Filer, nachgeschale werden, siehe Abbildung Abbildung 5-9: Beragsspekrum des ZOH-Filers. Der Durchlassbereich des ZOH-Filers is nich konsan. Die Dämpfung bei IfI = f s /2 beräg ca. 4 db. Der abfallende Durchlassbereich kann aber of ohne zusäzlichen Aufwand kompensier werden, wenn das Kompensaionsfiler mi einem bereis vorhandenen Digialfiler kombinier werden kann (Vorkompensaion, siehe Abbildung 5-6). Naürlich is auch eine analoge Nachkompensaion möglich. Genau genommen beseh das Rekonsrukions- bzw. Ani-Imaging-Filer aus dem ZOH- Filer, dem ZOH-Kompensaionsfiler und dem nachgeschaleen Tiefpassfiler, siehe Abbildung 5-6, das das Treppensufensignal gläe.

11 ZHAW, SiSy, Rumc, Quanisierung Die Umsezung einer Folge werkoninuierlicher Abaswere in eine Folge von Zahlen beinhale wegen der beschränken Worlängen immer auch eine Rundungs- oder Abschneideoperaion, die Quanisierung, siehe Abbildungen 5-1. Die Quanisierung verursach einen Fehler, den Rundungs- oder Abschneidefehler, der nich mehr rückgängig gemach werden kann. Im Folgenden berachen wir nur die lineare Quanisierung mi äquidisanen Quanisierungssufen. Es wird aber auch mi unerschiedlich grossen Quanisierungssufen gearbeie, z.b. in der PCM-Telefonie. Bei der linearen Quanisierung wird der oal mögliche Werebereich des Eingangssignals, d.h. der Ausseuerbereich A bzw. fullscale-bereich, in 2 W gleich grosse Quanisierungsinervalle A (5.11) W 2 unereil, wobei W die Worlänge eines Abaswers [in Bis] darsell. Die resulierenden Inervalle werden numerier bzw. codier und jedem Code ensprich der Signalwer in der Mie des bereffenden Inervalls (Rundung). Die Quanisierung is eine nichlineare Operaion. In Abbildung 5-10 is die reppenförmige Ein-/Ausgangskennlinie eines linearen Quanisierers mi 8 Inervallen (Worlänge W=3 Bis) und Binär-Codierung im 2er-Komplemen dargesell. x(nt s ) und x q (nt s ) sellen die Abaswere am Ein- und am Ausgang des Quanisierers dar. In Abbildung 5-10 is auch ein lineares Ersazmodell für den Quanisierer dargesell. Für den Quanisierungs- bzw. Rundungsfehler gil (nt s) x(nt s) x q(nt s) [ / 2, / 2[. (5.12) Im Folgenden ineressier das Signal-o-Noise-Raio [db] SNR 10 log (P / P ), (5.13) 10 x d.h. das Verhälnis [db] der Leisung P x des Signals am Quanisierungseingang zur Leisung P ε des Quanisierungsfehlers bzw. des Quanisierungsrauschens.

12 ZHAW, SiSy, Rumc, 5-12 x(nt s ) Quanisierer x q (nt s ) x(nt s ) x q (nt s ) ε(nt s ) x q (nt s ) 3Δ 011 2Δ Δ ou of range -4Δ -3Δ -2Δ -Δ Δ/2 Δ 2Δ 3Δ -Δ x(nt s ) ou of range 110-2Δ 101-3Δ 100-4Δ Abbildung 5-10: Ein-Ausgangskennlinie eines Quanisierers und Ersazmodell. Wenn die meisen koninuierlichen Abaswere x(nt s ) viel grösser als das Quanisierungsinervall Δ sind, reffen folgende Annahmen gu zu: Die einzelnen Quanisierungsfehler ε(nt s ) sind unkorreliere Zufallsgrössen und gleichvereil im Inervall [- Δ/2, Δ/2]. Die Quanisierungsfehler ε(nt s ) und die koninuierlichen Abaswere x(nt s ) sind unkorrelier. Der Mielwer bzw. der Erwarungswer des Quanisierungsfehlers E[ε] = 0. Für die Leisung P ε des DC-freien Quanisierungsfehlers erhäl man / Pe E[ ] d 12 /2 Mi den Gleichungen (5.11) und (5.14) wird das Leisungsverhälnis. (5.14) Px 12Px 2W 2 2 (5.15) P A

13 ZHAW, SiSy, Rumc, 5-13 und das SNR in [db] Inerpreaion 2 SNR 6.02 W 10 log 10(12 P x / A ). (5.16) 1. Mi jedem Bi mehr Worlänge wird das SNR um 6 db erhöh. 2. Die Konsane K is von der Signalleisung P x abhängig. Je kleiner der Signalpegel relaiv zum Ausseuer- bzw. fullscale-bereich is, deso kleiner wird das SNR. 3. Selbs wenn der ADC voll ausgeseuer wird, is die Konsane umgekehr proporional zum Verhälnis von Spizenwer A/2 zum Effekivwer ( P x ), d.h. zum Cres-Fakor des Signals x(). Je grösser der Cres-Fakor is, deso kleiner is K bzw. das resulierende SNR. Bei einem sinusförmigen Signal x(nt s ) mi Vollausseuerung beräg P x =(1/2) (A/2) 2 bzw. K = 1.76 db und dami gil: K SNR [db] = 6 W (5.17) Beispiel Ein sinusförmiges Signal x() = X p sin(2π f 0 ) werde mi einer Abasfrequenz f s > 2f 0 abgease und mi W = 8 Bi quanisier. Für die Ampliude von x() gele X p X max = A/2, wobei A den peak-o-peak-ausseuerungsbereich des AD-Wandlers darsell. Für das Verhälnis von Signalleisung zu Quanisierungsrauschen SNR gil wegen P x = (X p ) 2 /2 bzw. den Gleichungen (6.16) bzw. (6.17) SNR [db] = 6 W log 10 (X p /X max ). In Abbildung 5-11 is das resulierende SNR [db] in Funkion der Ausseuerung X p / X max [db] dargesell. Abbildung 5-11: SNR in Funkion der Ausseuerung für ein sinusförmiges Signal. Bei Vollausseuerung X p = X max, d.h. 20 log 10 (X p /X max ) = 0 db, gil wegen Gleichung (5.17) SNR = db. Wird die Ampliude X p des sinusförmigen Signals x() um x db reduzier, so reduzier sich auch das SNR um x db.

14 ZHAW, SiSy, Rumc, 5-14 Das Überseuern des Quanisierers oder ADCs muss unbeding vermieden werden, weil die ensehenden Oberwellen sörende Aliasingfrequenzen produzieren können. Das Ani- Aliasing-Filer hilf dann nich, weil die Sörungen ja nach dem Filer ensehen. Bei den zufälligen Signalen wie z.b. den Audiosignalen minimier man die Überseuerungswahrscheinlichkei, indem man den ADC ganz selen voll ausseuer bzw. die Leisung P x verkleiner. In der Regel is das erreichbare SNR dann um 8-10 db kleiner als die Daumenregel 6 W. Bei der CD (W=16 Bi) beräg das erreichbare SNR ca. 90 db. Bis jez haben wir angenommen, dass x() unverrausch is. Wenn das analoge Signal x() aber mehr oder weniger verrausch is, kann das digiale Signal x(nt s ) kein höheres SNR aufweisen als x(), auch wenn W sehr gross gewähl wird. Die Vergrösserung von W im ADC ha bei einem verrauschen Analogsignal also seine Grenze. Bei sehr geringer Ausseuerung riff die obige Annahme eines im Inervall [ -Δ/2, Δ/2] gleichvereilen Quanisierungsfehlers nich mehr zu. Im Exremfall wird ein sehr leiser Sinuson nur noch mi dem LSB abgebilde. Die resulierende Recheckwelle besiz Oberwellen, die unharmonische Aliasingfrequenzen verursachen können. Eine Verbesserung kann durch eine höhere Auflösung, eine höhere Abasrae oder durch Zumischen eines geringen Rauschens (diher) zwischen dem Ani-Aliasing-Filer und dem Abaser erreich werden Aperure und Clock Sampling Jier Im AD- und DA-Umsezungsprozess gib es neben der Quanisierung noch weiere Rauschquellen. Insbesondere bei den high speed ADC s und DAC s kann schon ein kleiner Jier beim Öffnen des Schalers im SHA (siehe Abbildung 5-4) einen merklichen Einfluss auf das SNR haben. Dieser Jier enseh einerseis durch Nichidealiäen im SHA selbs (Aperure Jier), aber andererseis vor allem auch durch Sampling Clocks mi Jier und/oder nichideale Clock- Zuführungen (Sampling Clock Jier). In Abbildung 5-12 sind die Auswirkungen des Aperure und Clock Sampling Jiers beim Abasen eines analogen Eingangssignals x() dargesell. Je schneller sich das Signal x() innerhalb der Jierzei j (rms-wer bzw. Sandardabweichung) änder, deso grösser is der saisische Fehler x rms bzw. das resulierende Rauschen. x() x rms Schaler offen (hold) j Abbildung 5-12: Auswirkung von Aperure und Clock Sampling Jier, siehe [1], S In [1], Seie 2.71, wird gezeig, dass beim Abasen eines sinusförmigen Eingangssignals x() mi Frequenz f und fullscale-ampliude das SNR wegen dem Aperure und Clock Sampling Jier wie folg ausgedrück werden kann: SNR = -20 log 10 (2πf j ) [db]. (5.18)

15 ZHAW, SiSy, Rumc, 5-15 Das SNR is umso kleiner, je grösser der rms-jier j und/oder je grösser die Frequenz des Eingangssignals is, siehe Abbildung Abbildung 5-13: SNR versus Frequenz f für verschiedene rms-jier j. Beispiel Wenn ein sinusförmiges Eingangssignal x() mi fullscale-ampliude und Frequenz f=10 MHz abgease und ein schleches Clocksignal mi einem rms-jier j =100 ps Jier verwende wird, dann wird das SNR nich besser als ca. 42 db, auch wenn das Quanisierungsrauschen noch so klein is. Es mach deshalb keinen Sinn, einen 16-Bi-ADC mi einem DDS-Bausein zu clocken, der einen rms-jier von j =80 ps aufweis. DDS seh für Direc Digial Synhesis.