2 Torsion in dünnwandigen Querschnitten

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Liese Buchholz
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1 apl oz r-ing hail G Georgi Tragwerkerechnung Torion in dünnwandigen Querchnien Theorien, Vorauezungen und Hpoheen Theorien: Reine Torion ( Grundufe) Begründer: Jean Claude de T VENANT (9-886) mol, Inde: v Wölorion Begründer: Vaili acharovich VLAOV (96 958) mol, Inde : Vorauezungen zu Geomerie und Belaung: primaiche äe Wanddicke h klein gegenüer relichen Ameungen de Querchni achale Torionmomen M um aache v : M an aenden eingeleie, üer alänge konan : dm M kann üer alänge veränderlich ein: m dz dz v z Profilmiellinie M+dM h() e n r v z e = v =l m M v, v, v z Verchieungen de chwerpunke Hpoheen: Kinemaiche Hpoheen (Annahmen ezüglich der Verformung): Verformung der Querchnie durch die Verformung der Profilmiellinie echrieen Änderungen üer die Wandärke werden vernachläig keine Änderung der Querchniform: = a in z-richung chuarr: = z Querchni in einer Querchnieene nich arr Querchniverwölung v z / 3 Juni 9 8

2 Tragwerkerechnung apl oz r-ing hail G Georgi v: Unahängigkei de Verdrehwinkel/Längeneinhei (rillung d ' ) von der Koordinae z dz Unahängigkei der Verchieung v z von der Koordinae z Verchieung in z-richung (Verwölung) v z nich e- oder verhinder : Verdrehwinkel/Längeneinhei (rillung) i Funkion der Koordinae z Verchieung v z i Funkion der Koordinae z v z e- oder verhinder (Lager, Anchlukonrukionen) Kineiche Hpoheen: linearer Verlauf der chupannungen üer die Wanddicke h v: nur chupannungen Be- zw Verhinderung der Verwölung führ zu zuäzlichen Normal- und chupannungen zuäzliche Normal- und chupannungen üer die Wanddicke h konan Wölehinderung führ zur Vereifung de Profil Querchniverformung co rn in z _ = Profilmiellinie P(,) 6 en 6 e n chwerpunk rehpunk (rillruhepunk) _ 88 / 3 Juni 9

3 apl oz r-ing hail G Georgi Tragwerkerechnung Verchieungen Verchieungen de elieigen Punke P(,,z) in der,-eene: v (, z) v ( z) ( z) v (, z) v ( z) ( z) (38) a die Verchieungen de rehpunke (rillruhepunke) in der,-eene verchwinden müen: v v v v, ergeen ich die Verchieungen de chwerpunke zu: v v (39) in (38) formulier endgülig die raumfeen Verchieungen de Punke P : v v Verchieungen de elieigen Punke P in alängrichung: z B am U-Profil: (39) (3) z dz P(,,z) v ' v ' keine Eene! v z vz,, z vz ( z) v ( z) v ( z) ( z) (, ) arrkörperverchieung Verchieung wegen rehung um -Ache Verchieung wegen rehung um -Ache BERNOULLI-Hpohee Verchieung wegen Verwölung de Querchni (3) / 3 Juni 9 89

4 Tragwerkerechnung apl oz r-ing hail G Georgi Verzerrungen v, v, v v ( z) v ( z) v ( z) ( z), ) zz z, z z vz ( z) ( z) (, ) (mi (39) ) (3) v, v, z v, z vz, v ( z) ( z) v ( z) ( z),, ( z) z v, z vz, v ( z) ( z) v ( z) ( z),, ( z) Für die weiere Behandlung werden noch folgende Zuammenhänge zwichen den Verformungen ereigeell: Zuammenhang raumfee körperfee Verchieungen: v v co v in P v n v in v co Einezen der Verchieungen nach (3): co in v in n v co P' v v e oder ( kizze 88): v r v n r n mi: rn (, ) rn in co r, r co in e n z-unahängige Querchnikenngrößen (33) Verwölung ie Hpohee z v, z vz, liefer mi oigem v : vz, v, z r r, und nach Inegraion üer : v r d v z z ami wird die Einheiverwölung (ezüglich de Punke ) definier: 9 v z () r d Einheiverwölung an der elle (34) / 3 Juni 9

5 apl oz r-ing hail G Georgi Tragwerkerechnung ie Einheiverwölung häng nur von der Geomerie de aquerchnie a! a Inegral r d kann wieder ( auch 83) anchaulich ( kizze) gedeue werden: da r d r da (35) a ifferenzial der Einheiverwölung i danach gleich dem doppelen Flächeninhal der ekorfläche aher amm die Bezeichnung ekorkoordinae für die Einheiverwölung Bei der Auwerung de Inegral i zu eachen, da e dann poiiv i, wenn der Fahrrahl r zur Profilmiellinie ei Zunahme von in Richung von dreh d d -d rd Fahrrahl r P rd Tranformaioneziehung zwichen den Einheiverwölungen ezüglich verchiedener Bezugpunke Formal kann die Einheiverwölung für einen elieigen Bezugpunk (hier: chwerpunk) gechrieen werden: (Wegen der freien Wahl de Bezugpunke wurde auf die Indizierung mi verziche) Mi der Beziehung für r (33) wird da Inegral für die Einheiverwölung neu gechrieen: rd r d co d in d Hierin werden die Winkelfunkionen durch die au dem eren Bild auf dieer eie alearen Beziehungen: d d in co d d (36) erez: rd / 3 Juni 9 9

6 Tragwerkerechnung apl oz r-ing hail G Georgi r d d d k mi: k (3) Bei Kennni de Verlauf der Einheiverwölungen ezüglich zweier reh punke eine Querchnie laen ich üer die Werepaare an jeweil drei ellen de Querchnie die Koordinaen eine rehpunke (, ) und die Konane k ermieln Für die päere Verwendung werden noch die pariellen Aleiungen von (3) ereigeell:,, (3a),, Prakiche Hinweie ie Verwölung i eine animeriche Querchnigröße Auf geomerichen mmerieachen verchwinde ie E i daher empfehlenwer, den Koordinaenurprung für auf einen chnipunk der Profilmiellinie mi einer mmerieache zu legen ie Inegraionkonane zw k verchwinde und e rauch nur die Hälfe (ein Vierel) de-verlauf erechne zu werden Querchnie, die ich au chmalen Rechecken zuammenezen und deren Profilmiellinien ich alle in einem Punk chneiden, ind wölfrei Bezüglich diee Punke ind alle r i gleich null und demzufolge die Verwölung auch Bei verzweigen Profilmiellinien werden ein Hauprang fegeleg und ein oder mehrere Neenränge definier ( Querkrafchu) Zuer wird die Verwölung de Hauprang ermiel und die Inegraionkonane zw k eimm Anchließend werden die Verwölungen der einzelnen Neenränge - mi den i vom freien Ende au laufend - gerenn erechne und deren Inegraionkonanen o eimm, da die Verwölungen von Haup- und Neenrang an dem jeweiligen Verzweigungpunk üereinimmen 9 / 3 Juni 9

7 apl oz r-ing hail G Georgi Tragwerkerechnung Beipiel: Einheiverwölung eine Huprofil A M h B 4 Geg:, h = kon (h<<) Lage de chwerpunke Lage de chumielpunke Ge: Einheiverwölung ezüglich der Punke, und M,, em M e M 3 a der Querchni zur -Ache mmerich i, mu der Verlauf der Einheiverwölung animerich ein Auf der -Ache (Punk ) i = Im kizzieren Koordinaenem gil daher ( ) Einheiverwölung ezüglich de chwerpunke : d d d3 3 3 Einheiverwölung ezüglich de (elieigen) rehpunke : d d 3 3 d3 3 / 3 Juni 9 93

8 Tragwerkerechnung apl oz r-ing hail G Georgi Einheiverwölung ezüglich de chumielpunke M: 5 e d M M 5 5 M d M3 3 3 em d ami können folgende iagramme erell werden: - : - -3 : - 5 M : h 6 h h M 5 9 Au dem Vergleich wird deulich, da der Verlauf ezüglich de chumielpunke der energeich günige i iee Taache i durchau verallgemeinerungfähig Einheiverwölungen und Koordinaen der drei Punke l Aufgaenellung: Punk / / / / M / A B 3-9 Au den konkreen Formulierungen der Gleichung (3): k k M M M 94 / 3 Juni 9

9 apl oz r-ing hail G Georgi Tragwerkerechnung folg da Gleichungem für die Koordinaen de Punke : k 3 k mi der Löung: k k, zw für die Koordinaen de Punke M: M M 9 3 M M k k k mi der Löung: M M k M ie erechneen Koordinaen der Punke und M enprechen aächlich der in der Aufgaenellung gegeenen Lage / 3 Juni 9 95

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