Aufgaben zum t-test. 1. Grubbs-Test

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1 ufgaben zum -Te 1. Grubb-Te 2. -Te zum Vergleich von Mielweren von Sichproben mi Sollweren (Rechenhilfen am Ene e rbeiblae 2.1. Eine Gereieore wir auf 51 Veruchfelern angebau un er geernee Errag beimm. Im Miel lieg er Errag bei 55,8 kg/ar, ie Sanarabweichung lieg bei 3,25 kg/ar. Der Verreiber e Saagu behaupe, a ie Sore im Durchchni einen Errag von 56,7 kg/ar erbring. Kann ie Thee, a iee ngabe überrieben i, mi einer Irrumwahrcheinlichkei von 5% beäig weren? 3. -Te zum Vergleich zweier voneinaner unabhängiger Mielwere (Rechenhilfe am Ene e rbeiblae) 3.1. In 2 Sichproben wuren ie bchlunoe von erufchülern an 2 Schulen ermiel: Schule : 2,,6 3,5 1,7 1,4 1,4 2,1 2,4 2,0 4,3 3,1 2,8 4,0 Schule : 1,0 2,6 3,,3 1,6 1,8 1,3 3,7 a) Ermieln Sie für beie Sichproben a arihmeiche Miel. b) Unercheien ich ie Mielwere, auf einem Signifikanzniveau von 5% ignifikan? 3.2 Die Serumkonzenraion an Eien wure in zwei Sichproben bei männlichen un weiblichen Schülern ermiel. Unercheien ich ie Mielwere mi einem einer Irrumwahrcheinlichkei von α = 0,01 ignifikan? x Eienkonzenraion [µg/l] Sanarabweichung n männliche Schüler 102,1 39,1 20 weibliche Schüler 81,4 42,5 20 Hinwei: erechnen Sie zuer ie Varianzen ( 2, 2 ) er beien Sichproben un ermieln Sie arau ie gemeiname Sanarabweichung urch folgene Formel: ( n - 1) + ( n - 1) n + n Te zu paarweie verbunenen Sichproben (Rechenhilfe am Ene e rbeiblae) 4.1 Um herauzufinen, ob ein Unerchie in er Wirkung zwichen zwei opichen Iomeren (D- un L- Iomer) eine Schlafmiel beeh, wure mi 10 Freiwilligen ein Veruch urchgeführ. Dabei erhielen ie Peronen im ban von einer Woche ie beien Präparae in zufälliger Reihenfolge. E wure ie Schlafauer in Sunen gemeen. Hinwei: E hanel ich um paarweie verbunene Sichproben. Paien-Nr D-Iomer (h) 9,7 5,4 6,8 7,1 6,9 10,4 10,7 8,6 7,0 7,2 L-Iomer (h) 8,9 7,8 8,1 8,0 6,9 11,0 12,4 7,9 11,3 10,5 Unercheien ich ie Wirkung er beien Iomere mi einer Irrumwahrcheinlichkei von α = 0,05? 4.2. n 10 Hirchen wure ie Länge e rechen Vorerlauf un e rechen Hinerlauf vermeen. Überprüfen Sie mihilfe eine geeigneen Te, ob ich ie Länge er Vorer- un Hinerläufe mi einer Irrumwahrcheinlichkei von α = 1% ignifikan unercheie! Hirch Hinerlauf x (cm) Vorerlauf y (cm)

2 4.3. Die Körperemperaur von 10 Paienen wir zum Zeipunk er Verabreichung eine Meikamen (T 1 ) un 2 Sunen päer (T 2 ) gemeen. E oll geprüf weren, ob iee Meikamen eine fieberenkene Wirkung ha. Hinwei: E hanel ich um eine eineiige Frageellung. Paien-Nr Temp. 1 in C 39,1 39,3 38,9 40,6 39,5 38,4 38,6 39,0 38,6 39,2 Temp. 2 in C 38,1 38,3 38,8 37,8 38,2 37,3 37,6 37,8 37,4 38, n 8 Obbäumen wure er Errag in 2 Jahren ermiel. E olle abei geklär weren, ob ie beobacheen Wierungunerchiee einen ignifikanen Einflu auf en Errag beaßen (α = 5%). aum-nr Jahr X 36,1 31,4 34,2 32,8 35,9 31,5 31,3 35,5 Jahr Y 36,3 35,5 37,1 31,1 38,2 34,9 31,1 37,4 Rechenhilfen (ohne Gewähr) Um ie Tipparbei auf em Tachenrechner abzukürzen finen Sie hier ie Summen er quaraichen bweichungen 3.1. Schule : 10,44; Schule : 6, Summe er quaraichen bweichungen er Differenzen: 25, Summe er quaraichen bweichungen er Differenzen: 84, Summe er quaraichen bweichungen er Differenzen: 0, Summe er quaraichen bweichungen er Differenzen: 37,96875 Muerlöungen auf

3 Weiere ufgaben zum -Te Löungen (ohne Gewähr) Wenn Sie von ieen Muerlöungen profiieren, ann geben Sie ewa zurück, inem Sie mich auf Rechenfehler, Verännichwierigkeien o.ä. aufmerkam machen. Lezenlich profiieren auch anere Schüler avon, wenn ie Muerlöungen weigehen fehlerfrei un veränlich in ufellen er Nullhypohee (H 0 ): Die Unerchiee beruhen auf em zufälligen Charaker er Sichprobe. Der wahre Mielwer enprich em Sollwer. x - m T Veruch = n ==> Veruch Freiheigrae FG = 50: ab (0,05): 2,009 55,8-56,7 = 51» 1,978 3,25 Veruch < ab : Nullhypohee akzepier. E beeh kein Unerchie in en Mielweren. Die Irrumwahrcheinlichkei (β-fehler) i abei nich bekann! β-fehler (Fehler 2. r): Fälchlicherweie wir ie Nullhypohee akzepier, obwohl in Wirklichkei ie lernaivhypohee zuriff) 3.1 Nullhypohee (H 0 ): Die wahren Mielwere an beien Schulen in ienich, ie bweichungen in en Sichprobenmielweren beruhen auf en zufälligen Charaker er Sichprobenziehung. arihm. Miel SUMQUDW Schule : 2,,6 3,5 1,7 1,4 1,4 2,1 2,4 2,0 4,3 3,1 2,8 4,0 2,58 10,44 Schule : 1,0 2,6 3,,3 1,6 1,8 1,3 3,7 2,19 6,19 gewogene arihmeiche Miel 2,43 å( x - x) + å ( x - x ) ==>, n + n , ,19» 0, Pr üf x - x n n = n + n 2,58-2, ==> Pr üf =» 0,92 0, Freiheigrae: FG = n 1 +n 2-2 = 19 ==> ab = 2,093 Prüf < ab ==> Nullhypohee akzepier. Die Irrumwahrcheinlichkei für iee nnahme (β-fehler) i unbekann! 3.2. Die Varianzen ( 2 ) enprechen en quarieren Sanarabweichungen. 2 = 1528,81 2 = 1806,25 ( n - 1) + ( n - 1) n + n - 2 ==>, (20-1) 1528,81 + (20-1) 1806, 25» 40, Pr üf x - x n n = n + n 102,1-81, ==> Pr üf =» 1,60 40,84 40 Freiheigrae: FG = 38 ab = 2,712 Prüf < ab ==> Nullhypohee wir akzepier. Die Irrumwahrcheinlichkei für a fälchliche kzepieren er Nullhypohee i abei unbekann.

4 4.1. ufellen er Nullhypohee (H 0 ): Die wahren Mielwere unercheien ich nich voneinaner. Die Unerchie in er Wirkamkei in rein zufällig. Mi aneren Woren: Der wahre Mielwer er Differenzen i in Wirklichkei Null. Paien-Nr Mielwer SUMQUDW Sanarabw. D-Iomer (h) 9,7 5,4 6,8 7,1 6,9 10,4 10,7 8,6 7,0 7,2 unnöig (7,98) unnöig (28,156) unnöig (1,77) L-Iomer (h) 8,9 7,8 8,1 8,0 6,9 11,0 12,4 7,9 11,3 10,5 unnöig Differenz D-L (9,28) unnöig (31,196) unnöig (1,86) 0,8-2,4-1,3-0,9 0,0-0,6-1,7 0,7-4,3-3,3-1,3 25,12 1,67 Prüf 1,3 = n ==> Prüf = 10 = 2, 46 1,67 Freiheigrae: FG = 9 ==> ab (0,05): 2,262 Prüf > ab : Nullhypohee verworfen. E exiier ein ignifikaner Unerchie (Irrumwahrcheinlichkei lieg uner α = 5%) 4.2 Hirch Mielwer SUMQUDW Sanarabw. Hinerlauf x (cm) ,1 Vorerlauf y (cm) ,3 Differenz (cm) ,8 147,60 4,05 Prüf 3,8 = n ==> Prüf = 10 = 2,967 4,05 Freiheigrae: FG = 9 ==> ab (0,01): 3,250 Prüf < ab : Nullhypohee akzepier. E gib keinen ignifikaner Unerchie (Irrumwahrcheinlichkei unbekann) 4.3 Paien-Nr Temp. 1 in C 39,1 39,3 38,9 40,6 39,5 38,4 38, ,6 39,2 Temp. 2 in C 38,1 38,3 38,8 37,8 38,2 37,3 37,6 37,8 37,4 38,1 Differenz in C ,1-2,8-1,3-1,1-1 -1,2-1,2-1,1-1 Mielwer er Differenzen -1,18 SUMQUDW er Differenzen 0,604 Sanarabweichung er Differenzen 0, Nullhypohee H 0 : Die gemeenen Temperaurifferenzen in zufälliger r. Würe man ehr viele (unenlich viele) Paienen een, ann wäre ie Temperaur vor un nach Meikameneneinnahme im Miel gleich,.h. ie Temperaurifferenzen im Miel 0. 1,18 Prüfgröße: Prüf = n = 10» 14, 40 0, Freiheigra: FG = 9. Tab (0,05) =1,833 bei eineiiger Frageellung.

5 => Prüf > Tab => Nullhypohee wir verworfen. Die Irrumwahrcheinlichkei für iee Encheiung lieg uner 5%. Da heiß e gib einen aiich ignifikanen Unerchie in en Temperauren vor un nach Meikamenneinnahme. Da Meikamen ha ami mi großer Wahrcheinlichkei aächlich eine fieberenkene Wirkung. 4.4 E hanel ich um eine paarweie verbunene Sichproben, weil ie einzelnen Teubjeke zweimal uneruch wuren (bei unerchielichen Wierungeinflüen). Nullhypohee: Der Errag unercheie ich nur zufällig un i nich auf Wierungeinflüe zurückzuführen. Würe man ehr viele äume meen, ann würe man feellen, a im Miel ie Differenz im Errag 0 beräg. aum-nr Jahr X 36,1 31,4 34,2 32,8 35,9 31,5 31,3 35,5 Jahr Y 36,3 35,5 37,1 31,1 38,2 34,9 31,1 37,4 Differenz 0,2 4,1 2,9-1,7 2,3 3,4-0,2 1,9 Mielwer er Differenzen 1,6125 Summe er quar. bw. er Diff. 27,84875 Sanarabweichung er Differenzen 1, ,6125 Prüfgröße: Prüf = n = 8» 2, 287 1, Freiheigra: FG = 7. Tab (0,05) =2,365. => Prüf < Tab => Nullhypohee wir akzepier. E kann kein ignifikaner Unerchie im Errag nachgewieen weren. Die Irrumwahrcheinlichkei für iee Encheiung i nich bekann (un völlig unabhängig von en 5%).