Beschreibung paralleler Abläufe mit Petri-Netzen

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1 Bechreibung paralleler Abläufe mi Peri-Nezen Grundlagen und Beipiele für den Unerrich Peri-Neze ind ein graphiche Miel zur Bechreibung, Modellierung, Analye und Simulaion von dynamichen Syemen, die eine fee Grundrukur beizen. Beipiele hierfür ind Rechenanlagen, Büroabläufe oder Herellungverfahren. Peri-Neze ind auf der einen Seie anchaulich und können daher auch von Nich-Fachleuen verwende werden, auf der anderen Seie ind ie mahemaich exak definier und ermöglichen daher präzie Uneruchungen. Peri-Neze wurden 96 von dem deuchen Wienchafler C.A. Peri vorgechlagen. Ein Peri-Nez (in einer einfachen Form) i ein gericheer Graph, der au zwei verchiedenen Soren von Knoen beeh, Sellen und Traniionen. Eine Selle wird durch einen Krei O dargeell und ymboliier eine Ablage für Objeke oder Daen. Traniionen bechreiben die Verarbeiung von Objeken und werden durch Balken repräenier. Gerichee Kanen (alo Pfeile) dürfen nur von Knoen der einen Sore zu Knoen der anderen Sore führen. Alle Sellen, von denen Kanen zu einer Traniion führen, heißen Eingabeellen von, alle Sellen, zu denen von au Kanen führen, heißen Augabeellen von. Unen werden wir definieren, wie Traniionen Objeke au den Eingabeellen heraunehmen, verarbeien und die verarbeieen Objeke in Augabeellen ablegen. Beipiel: Eine Bierflachenabfüllanlage. Wir wollen eine kleine (primiive) Bierflachenabfüllanlage durch ein Peri-Nez darellen. E handel ich hierbei um eine Form de klaichen Erzeuger-Verbraucher-Problem. Die Fabrik beeh au zwei Machinen, der Abfüllmachine und der Verchlußmachine, mi der die Flachen verkork werden. Zwichen beiden Machinen befinde ich ein kleine Zwichenlager, da von zwei Gabelaplern benuz wird. Der ere Gabelapler ranporier jeweil einen Kaen mi gefüllen Flachen von der Machine in Lager, der zweie Gabelapler ranporier jeweil einen Kaen au dem Lager an die Verchlußmachine. Der ere Gabelapler oll nur in Akion reen, wenn die Machine einen Kaen mi Flachen abgefüll ha, der zweie darf nur dann ranporieren, wenn die Verchlußmachine berei i (alo nich gerade einen Kaen verkork) und da Lager nich leer i. Ha der ere Gabelapler einen Kaen au der Abfüllmachine ennommen, o kann die Machine den nächen Kaen abfüllen. Die Zulieferung der noch nich gefüllen Flachen bzw. der Abranpor der berei verkorken Flachen erfolg über ein Fließband. Abb. zeig die Siuaion anchaulich. Die genannen Bedingungen ollen nun durch ein Peri-Nez korrek dargeell werden. Abb. zeig ein zugehörige Peri-Nez mi der Knoenmenge { 0,,,,,, 6,,,, }.

2 0,..., 6 ind Sellen,,..., ind Traniionen. Zum Beipiel i eine Eingabeelle von, und ind die Augabeellen von. Man beache: Eine Selle kann gleichermaßen Eingabe- und Augabeelle einer Traniion ein. Welcher Knoen de Peri-Neze welche Elemen innerhalb der Fabrik repräenier, i jeweil verzeichne. Fließband zum Abranpor Abfüllmachine Verchlußmachine Zwichenlager Fließband zur Zuführung von Käen Gabelapler Abb. : Siuaion in der Fabrik

3 Käen Plaz für einen gefüllen Kaen berei 6 abfüllen zwichenlagern Machine bechicken verkorken 0 Käen berei Zwichenlager Plaz für einen zu füllenden Kaen Abb. : Peri-Nez Die einzelnen Elemene, au denen ein Peri-Nez zuammengeez i, kann man ich folgendermaßen al Abbild der Wirklichkei vorellen:

4 Löchen von Objeken Erzeugen von Objeken Weiergabe/Verarbeiung von Objeken Aufpalen von Objeken, Beginn einer Nebenläufigkei Verchmelzen von Objeken, Ende einer Nebenläufigkei "Senke", Archivierung von Objek en "Quelle", Reervoir für Objeke Zwichenablage Willkürliche Verzweigung Gemeinamer Speicher für Objeke, Synchroniaionpunk Peri-Neze über naürlichen Zahlen. Da Peri-Nez in Abb. piegel nur die aiche Srukur eine Ablauf wider, anchaulich die einzelnen Saionen, die ein zu verarbeiende Objek durchläuf. Um dynamiche Vorgänge zu bechreiben, werden die Sellen mi Objeken beleg, die über die Traniionen von Selle zu Selle weiergegeben werden. Allgemein kann man beliebige Objeke zulaen (z.b. Bleiife, Auoeile, Aken, bei un Flachenkäen). Möche man Peri- Neze formal darellen, o bechränk man ich mei auf Objeke einer vorgegebenen Menge oder eine vorgegebenen Daenyp. Wir wollen un im folgenden zunäch auf die Menge IN 0 bechränken, weil wir nur mi einer Sore von Objeken (Bierkäen) zu un

5 haben und un nur die Anzahlen der Käen in den einzelnen Verarbeiungadien (auf den Sellen) inereieren. Jede Selle kann ein Objek der Menge IN 0, alo eine naürliche Zahl aufnehmen. Um anchaulich darzuellen, daß eine Selle eine naürliche Zahl n IN 0 enhäl, und um die Arbeiweie eine Peri-Neze beer von Hand nachvollziehen zu können, zeichne man n Punke (og. Marken) in die Selle hinein. Beipiel: Abb. zeig da um eine Reihe von Marken ergänze Peri-Nez au Abb.. In Abb. befinden ich alo fünf Marken (d.h. die Zahl ) in der Selle 0, eine Marke (d.h. die Zahl ) in der Selle, drei Marken (d.h. die Zahl ) in und eine Marke (d.h. die Zahl ) in. Folglich befinden ich fünf ungefülle Bierkäen im Lager, ein Kaen i ferig abgefüll, drei Käen ehen im Zwichenlager uw. Käen Plaz für einen gefüllen Kaen berei 6 abfüllen zwichenlagern Machine bechicken verkorken 0 Käen berei Zwichenlager Plaz für einen zu füllenden Kaen Abb. : Peri-Nez mi Marken Wie chalen Peri-Neze? Sowei die Bechreibung der aichen Aneile eine Syem mi Peri-Nezen. Kommen wir nun zum dynamichen Apek. Der Bewegungablauf der Marken im Peri-Nez wird durch folgende Schalregel für Traniionen fegeleg: a) Eine Traniion kann chalen (oder zünden oder feuern), wenn jede Eingabeelle mi einer Marke beleg i. Beiz keine Eingabeelle, o kann immer feuern. b) Können mehrere Traniionen chalen, o chale willkürlich (nichdeerminiich) eine dieer Traniionen. c) Schale eine Traniion, o wird au jeder Eingabeelle eine Marke enfern und zu jeder Augabeelle eine Marke hinzugefüg.

6 Beipiel: In Abb. können die Traniionen und chalen. und können nich chalen, da jeweil nich alle ihre Eingabeellen mi Marken beleg ind. Nehmen wir an, e chale, o zeig Abb. die Folgeiuaion. Au der Eingabeelle von wird eine Marke enfern, zu den Augabeellen und wird je eine Marke hinzugefüg. Anchließend können nur und chalen. Schale, o ergib ich Abb., chale danach, o erhäl man die Siuaion in Abb. 6. Bezogen auf die Siuaion in der Flachenabfüllfabrik, die ja durch uner Peri-Nez modellier werden oll, bedeue die Schalfolge,, folgende: Der ere Gabelapler ranporier eine abgefüllen Kaen Bier in da Lager und mach die Abfüllmachine berei (Schalen von ), anchließend verkork die zweie Machine einen Kaen, liefer ihn in da Endlager und mach den Gabelapler berei (Schalen von ). Der bechick daraufhin die Verchlußmachine mi einem weieren Kaen Bier (Schalen von ). Plaz für einen gefüllen Kaen berei Käen 6 0 abfüllen Käen berei Machine bechicken verkorken Plaz für einen zu füllenden Kaen Abb. : Peri-Nez, nachdem gechale ha Plaz für einen gefüllen Kaen berei Käen 6 0 abfüllen Käen berei Zwichenlager zwichenlagern Machine bechicken Zwichenlager zwichenlagern verkorken Plaz für einen zu füllenden Kaen Abb. : Peri-Nez, nachdem gechale ha

7 Käen Plaz für einen gefüllen Kaen berei 6 abfüllen zwichenlagern Machine bechicken verkorken 0 Käen berei Zwichenlager Plaz für einen zu füllenden Kaen Abb. 6: Peri-Nez, nachdem gechale ha Aufgabe : In Abb. i da Zwichenlager o modellier, daß e eine beliebige Kapaziä beiz, d.h. die Abfüllmachine kann beliebig lange weierarbeien, auch wenn die Verchlußmachine defek i. Wie muß da Peri-Nez geänder werden, wenn da Zwichenlager maximal fünf Käen faen kann. Die Abfüllmachine muß alo waren, wenn da Zwichenlager gefüll i, und ie kann er wieder anlaufen, wenn Pläze im Zwichenlager frei ind. Formale Definiion von Peri-Nezen. Die biherigen anchaulichen Erläuerungen wollen wir nun in eine formale Definiion faen. Zunäch da Peri-Nez: Definiion A: Ein Peri-Nez i ein -Tupel P=(S,T,A,E), wobei gil: - S i eine nichleere endliche Menge von Sellen, - T i eine nichleere endliche Menge von Traniionen, - S und T ind dijunk, alo S T=, - A S T i eine endliche Menge von gericheen Kanen, die von Sellen augehen und zu Traniionen führen, - E T S i eine endliche Menge von gericheen Kanen, die von Traniionen augehen und bei Sellen enden. Eine Abbildung M: S IN 0 heiß Markierung von P und gib an, wieviele Marken ich in jeder Selle befinden.

8 Beipiel: Da Peri-Nez au Abb. i gemäß Definiion A folgendermaßen definier: P=(S,T,A,E) mi S={ 0,..., 6 }, T={,..., }, A={( 0, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, E={(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 6 )}. Die Markierung in Abb. laue M: S IN 0 mi M( 0 )=, M( )=, M( )=, M( )=, M( )=M( )=M( 6 )=0. Die folgenden beiden Definiionen präziieren da dynamiche Verhalen von Peri-Nezen. Die ere bechreib diejenigen Traniionen, die in der Folge chalen können, die zweie definier einen Schalvorgang. Eine Traniion heiß akivier, wenn jede ihre Eingabeellen mi mindeen einer Marke beleg i. In Abb. ind z.b. die Traniionen, und akivier. Definiion B: Sei P=(S,T,A,E) ein Peri-Nez. a) Für jede Traniion T i e()= - ={ S (,) A} die Menge der Eingabeellen und a()= + ={ S (,) E} die Menge der Augabeellen von. b) Sei M eine Markierung von P. Eine Traniion T i akivier, wenn e()= oder M()>0 für alle e() gil. Die folgende Definiion präziier die Schalregel, alo die Änderung der Markierung eine Peri-Neze beim Schalen einer Traniion. Definiion C: Sei P=(S,T,A,E) ein Peri-Nez und M eine Markierung von P. Eine akiviere Traniion T chale von der Markierung M in die Markierung M : S IN 0, wenn gil: M()+, fall a(), aber e(), M ()= M()-, fall e(), aber a(), M(), in allen übrigen Fällen. Beipiel: Modellierung de Verkehr über eine Brücke. Man berache einen Auchni au einem Sadplan (Abb. 7). Eine Brücke geringer Tragfähigkei, die zu einem Zeipunk nur von einem Fahrzeug befahren werden darf, kann au zwei Richungen A und B erreich werden. Fahrzeuge, die au Richung A kommen, möch-

9 en e in Richung C weierfahren. Fahrzeuge au Richung B fahren in Richung D weier. Geuch i ein Peri-Nez, da diee Siuaion imulier. au Richung A au Richung B in Richung C in Richung D Abb. 7: Auchni au einem Sadplan Abb. 8 zeig ein mögliche Peri-Nez. Die au Richung A und B anfahrenden Fahrzeuge werden in und geammel. org dafür, daß e nur ein Fahrzeug die Brücke befahren kann. In und 6 wird - gewiermaßen al Laufkare - die Informaion migeführ, au welcher Richung da Fahrzeug kam, um e nach Überfahren der Brücke in die richige Richung weierzuleien. Die Brücke i hier ein kriicher Abchni. Die Selle beiz die Funkion eine Semaphor, der den kriichen Abchni Brücke konrollier.

10 Konrolle au Richung A au Richung B Anfang der Brücke nach C weier auf der Brücke nach D weier Ende der Brücke in Richung C 9 0 in Richung D Abb. 8: Simulaion der Brückenüberquerung Aufgabe : a) Definieren Sie da Peri-Nez au Abb. 8 formal. b) Führen Sie einige Schalvorgänge durch und überzeugen Sie ich von der Korrekhei de Neze. c) Die Brücke wurde verärk: Nun können maximal zwei Fahrzeuge gleichzeiig die Brücke paieren. Ändern Sie da Peri-Nez au Abb. 8 geringfügig ab, um die neue Siuaion zu modellieren. d) Wir wollen nun annehmen, daß die beiden Wege in Richung C und D auch geperr werden können. In dieem Falle ollen die Fahrzeuge in die noch freie Richung gelei-

11 e werden. Ergänzen Sie da Peri-Nez o um Sellen und Traniionen, daß in der Löung (neben evl. weieren Sellen) vier augezeichnee Sellen C frei, D frei, C geperr, D geperr exiieren, über die man die Wege konrollieren kann. Eine Marke in einer dieer Sellen ymboliier, daß der enprechende Weg frei oder geperr i. Befinde ich alo in Ihrer Löung eine Marke in C frei und eine Marke in D frei, o verhäl ich Ihre Löung genauo wie da Peri-Nez au Abb. 8. Ha man ein Syem durch ein Peri-Nez dargeell, o kann man ein Verhalen analyieren und darau Erkennnie für da Syem herleien, z.b. über Fehler, Engpäe und Verbeerungmöglichkeien. Typiche Frageellungen auf Peri-Nezen ind: - Terminier da Peri-Nez? D.h., kann man augehend von einer Sariuaion e nur endlich of Traniionen chalen? - I jede Traniion lebendig? D.h., kann man augehend von einer Sariuaion die Traniionen e o chalen, daß eine vorgegebene Traniion im weieren Verlauf noch mindeen einmal chalen kann? - Treen Verklemmungen auf? D.h., gib e Siuaionen, in denen keine Traniion chalen kann, die aber bei anderer Schalreihenfolge häen vermieden werden können? - Erreichbarkeiproblem. Gegeben eien zwei Markierungen M und M. Gib e eine Schalfolge, mi der man augehend von der Markierung M die Markierung M erreich? Beipiel: Ein großer Rechnerhereller ha einmal Teile eine Beriebyem mi Peri- Nezen analyieren laen und dabei mögliche Verklemmungiuaionen endeck, die beim Enwurf de Syem überehen worden ind. Aufgabe : Modellieren Sie da Philoophenproblem (. den gleichnamigen Beirag von A. Schwill in dieem Hef) durch ein Peri-Nez. Erweiere Peri-Neze. Unere Peri-Neze haben eine Reihe von Nacheilen und ind daher für die Praxi (alo für die Modellierung realer Syeme) noch rech wenig brauchbar, denn: - Die durch Sellen dargeellen Pläze (bei der Abfüllaion z.b. da Zwichenlager) ind elen beliebig groß. Vielmehr haben ie mei nur eine begrenze Aufnahmefähigkei (. Aufgabe ). Man benöig alo für jede Selle eine Kapaziä K(), die angib, wieviele Objeke höchen in liegen dürfen. - Die Tranporwege (bei der Abfüllaion z.b. die Gabelapler), alo die Kanen zwichen Sellen und Traniionen, können häufig mehrere Objeke gleichzeiig weierleien. Man benöig alo für jede Kane k=(,) A eine Gewichfunkion g(k), die angib, daß beim Schalen der Traniion genau g(k) Objeke au der Selle abgezogen werden. - Größe Manko unerer Peri-Neze i aber die Bechränkung auf naürliche Zahlen al Objeke. Allgemein ha man e mi beliebigen Objeken zu un, die in Sellen gela-

12 ger und durch Traniionen in beliebiger Weie verarbeie werden müen. Wie man Peri-Neze hinichlich de lezen Punke erweier, wollen wir im folgenden anchaulich erläuern. Man gruppier dazu die möglichen Objeke zu Typen (vergleichbar zu Daenypen). Sei D,...,D n eine beliebige Menge von Objekypen. r x :D i P A y r p x p :D i p y q q Abb. 9: Traniion im erweieren Peri-Nez ) Dami Sellen beliebige Objeke aufnehmen können, erez man die Markierung M: S IN 0 durch eine Abbildung M von S in die Menge aller Objeke über den Typen D,...,D n. ) Kanen von Sellen zu Traniionen ind mi Objekypen und Bezeichnern der Form x:d markier, um darzuellen, daß nur Objeke de angegebenen Typ D die Kane durchlaufen dürfen. Da Objek vom Typ D, da die Kane beim Schalen der Traniion paier, erhäl für den Momen den Bezeichner x. Dieer Bezeichner i nöig, um die Objeke innerhalb von P und A (. Punk )) anprechen zu können (Abb. 9). Kanen von Traniionen zu Sellen ind nur mi Bezeichnern markier. Die durch A berechneen Reulae werden enprechend der Bezeichner weiergeleie. Die Bezeichner an den einlaufenden und aulaufenden Kanen einer Traniion müen verchieden gewähl ein. ) Jede Traniion (gem. Abb. 9) i in zwei Teile unereil und beeh au einem Prädika P und einer Akion A. Traniionen ellen wir nun nich mehr durch Balken ondern durch zweigeeile Käen dar. ) Eine Traniion mi den Eingabeellen r,...,r p i akivier, wenn jede r i ein Objek de Typ enhäl, mi dem die Kane (r i,) markier i, o daß da Prädika P für diee Objeke wahr i. ) Wenn chale, o änder ich die Markierung M folgendermaßen zu M : - Au jeder Eingabeelle r i wird ein (bezgl. P paende) Objek abgezogen und mi x i bezeichne. - Auf die Objeke x,...,x p wird die Operaion A angewende. A möge die Ergebnie y,...,y q liefern. - Die y j werden gemäß der Bezeichner auf den Augangkanen auf die Augabeellen,..., q vereil.

13 Beipiel: Modellierung einer Bibliohek. Wir modellieren da Leihverfahren in einer Bibliohek. Die Bibliohek beeh au zwei zenralen Organiaioneinheien, dem Magazin und einer Karei der enliehenen Bücher. Zu jedem Buch gehör eine naürliche Zahl al Signaur und eine Kareikare, auf der die Signaur verzeichne i. Befinde ich ein Buch im Magazin, o eck die zugehörige Kareikare vorne im Buch. I ein Buch augeliehen, o bewahr man die Kareikare im Kareikaen auf. Mi der Bibliohek kommunizieren die Benuzer über drei Theken, - die Beellheke, an der man einen Beellzeel mi der Signaur de gewünchen Buche aufüll und abgib, - die Abholheke, an der man da gewünche Buch in Empfang nimm oder, fall e augeliehen i, den Beellzeel mi dem Vermerk enliehen zurückerhäl, - der Rückgabeheke, an der man enliehene Bücher zurückgeben kann. Zurückgegebene Bücher werden wieder mi der zugehörigen Kareikare zuammengeführ und in da Bücherlager zurückgebrach. Welche Objekypen kommen in der Bibliohek vor? E gib Bücher und Kareikaren, die jeweil durch eine naürliche Zahl idenifizier werden. Ferner gib e Beellzeel, auf die man naürliche Zahlen oder den Vermerk enliehen einräg. Dann gib e noch die Objekpaare (Buch, Kareikare) und (Buch, Beellzeel). Bezeichnen wir mi nr(...) eine Funkion, die die Signaur eine beliebigen Objeke Buch, Beellzeel oder Kareikare liefer; und für ein beliebige Paar (x,y) eien π und π die Projekionen, alo π (x,y)=x und π (x,y)=y. Abb. 0 zeig ein Peri-Nez, da die Bibliohek modellier. Zur Arbeiweie: Angenommen, jemand gib an der Beellheke einen Beellzeel mi der Zahl ab, d.h. er möche da Buch mi der Signaur auleihen. Dann kann in Abb. 0 die Traniion auleihen chalen, denn da Prädika i für dieen Beellzeel x und da Paar y:(buch,kareikare) erfüll, weil die Nummern von Beellzeel (=x), Buch (=π (y)) und Kareikare (=π (y)) übereinimmen. Da Schalen von auleihen bewirk nun, daß y in Buch u und Kareikare v aufgepalen wird, wobei u zur Abholheke und v zur Karei der enliehenen Bücher wander.

14 Buch nich vorhanden Abholheke Beellheke nr(x)=nr(y) Trage auf x "enliehen" ein x 6 enl x: Beellzeel x: Beellzeel y: Kareikare auleihen nr(x)=nr( π (y)) =nr( π (y)) Trenne y in u= (y) und v= (y) π π u v y 6 Bücherlager y: (Buch,Kareikare) u zurückgeben nr(x)=nr(y) Verbinde x und y zum Paar u=(x,y) Karei enliehener Bücher y: Kareikare x: Buch Rückgabeheke Abb. 0: Modell der Bücherei Aufgabe : Wir berachen eine Frankiermachine. E ollen Briefe de Gewich 0g, 0g und 80g in Inland und Auland verchick werden. Gebührenabelle hierfür: Gewich Gebühr/Inland Gebühr/Auland 0 0,80,0 0,0,80 80,90,0 Zur Verfügung ehen Briefmarken zu 0, 60 und 80 Pfennigen. Eine unbekanne Anzahl von In- und Aulandbriefen wird der Machine übergeben und oll korrek frankier werden. Modellieren Sie die Machine durch ein erweiere Peri-Nez. Peri-Neze haben in den lezen Jahren einen Boom erfahren. Langfriig i zu erwaren, daß ehr große Syeme auf hoher Ebene (nämlich in Form erweierer Peri-Neze) enworfen und analyier werden: Man erhäl chnell lauffähige Prooypen, die enweder in machinennahe Sprachen überez werden oder die man per Hand in eine effiziene Verion überräg. Al Beipiele eien genann: (auf mehrere Rechner vereile) Beriebyeme, Kommunikaionyeme, Nezpläne, Rechnerarchiekuren, Büroyeme uw.

15 Didakiche Anmerkungen. Wie die obigen Beipiele anazweie gezeig haben, laen ich mi Peri-Nezen alle wichigen Begriffe und Phänomene der parallelen Programmierung, wie exkluiver Auchluß, Verklemmung, Semaphor, Nichdeerminimu, kriicher/unkriicher Abchni anchaulich udieren und bechreiben. Peri-Neze können folglich im Unerrich in zweierlei Weie eingeez werden: ) Al Ergänzung zu programmierprachlichen Darellungen unerüzen ie da Verändni für parallele Konzepe, indem ie der mehr formalen und relaiv machinennahen Bechreibung durch eine Programmierprache eine mehr informelle und für Schüler einprägamere Darellung auf höherem Niveau gegenüberellen. Alle Problemlöungen ollen dann zunäch auf Peri-Nez-Bai enwickel und er anchließend in parallele Programme umgeez werden. ) Auf der anderen Seie - und die wird die zur Zei in der Schule ypiche Siuaion ein - eh keine Programmierprache mi parallelen Konzepen zur Verfügung. Übungen am Rechner ind augechloen, und der Unerrich wird zu einem Trockenkur mi den bekannen negaiven Effeken auf da Verändni und die Behalenfähigkei der Schüler. Mi Peri-Nezen kann man diee Begleiercheinungen eilweie abmildern und den Unerrich dennoch arakiv und lebendig gealen. Reale Siuaionen können problemorienier mi Peri-Nezen modellier und auf dem Schreibich imulier werden, wobei der dynamiche Apek, ander al bei Programmen, die man rocken nachvollzieh, deulich ichbar bleib. Al Marken verwende man bei Simulaionen von Peri-Nezen über naürlichen Zahlen am been Hefzwecken, die man umdreh und an der Nadel anfaend verchieb, oder Geldücke. Nichdeerminimu realiier man durch einen Würfel, mi dem man diejenige Traniion auwürfel, die uner mehreren gleichzeiig akivieren im nächen Schri chalen oll. Späer können Peri-Neze im Rahmen von Projeken in einer equeniellen Programmierprache auf dem Rechner implemenier werden. Hier biee ich die Enwicklung von Programmen an, um Peri-Neze benuzerfreundlich eingeben, auf dem Bildchirm darellen und manipulieren oder ie nach Eingabe einer Anfangbelegung mi Marken vom Compuer imulieren zu können. Lieraurhinweie Baumgaren, B., Peri-Neze : Grundlagen und Anwendungen, BI-Wienchafverlag 990 Reiig, W., Syemenwurf mi Nezen, Springer 98 Roenengel, B. ; Winand, U.: Peri-Neze : eine anwendungorieniere Einf}hrung, Vieweg 99 Dr. Andrea Schwill Fachbereich Mahemaik/Informaik Univeriä - Geamhochchule Paderborn Pofach 6 D-06 Paderborn