2. Torsion geschlossener Profile

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Leopold Berg
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1 Berache werden Balken mi einem konanen einzelligen gechloenen dünnwandigen Hohlquerchni, die durch ein konane Torionmomen M x belae werden. A B () D C M x x y Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM z

2 Annahmen: Die Schubpannung i über die Wandärke konan. Die Querchnie drehen ich um den Schubmielpunk und können ich dabei in x-richung frei verformen. Die Verchiebung in x-richung wird al Verwölbung bezeichne. Schubflu: Wie beim Querkrafchub wird der Schubflu definier al Produk au Schubpannung und Wandärke: q x ( )=τ x () () Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM

3 Gleichgewich am Wandelemen ABCD: q x (x A, ) A q x (x, B ) B q x (x B, ) α D q x (x, C ) y C z x Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM

4 x F x =0 : B (q x (x, C ) q x( x, B )) dx=0 x A F y =0 : C A F z =0 : C A (q x( x B,) q x( x A,))co(α()) d=0 (q x (x B,) q x ( x A, ))in (α( ))d=0 Diee Gleichungen müen für beliebige Were von x A, x B und B, C erfüll ein. Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM

5 Daher mu gelen: q x ( x, C )=q x (x, B ) für alle x, B, C q x ( x B,)=q x ( x A,) für alle, x A, x B Der Schubflu häng nich von x und ab. Er i konan. Für die reulierenden Querkräfe folg: Q y = q x co(α())d=q x co(α())d=q x dy=0 Q z = q x in (α())d=q x in (α( ))d=q x dz=0 Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM

6 Da die reulierende Querkraf null i, kann für die Berechnung de reulierenden Torionmomen M x ein beliebiger Bezugpunk P gewähl werden: q x d da m M x = q x r n d=q x r n d P Darau folg die 1. Bredche Formel: da m = 1 2 r n d M x =2 A m q x r n d=2 A m Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM

7 Dabei i A m die von der Profilmiellinie umchloene Fläche. Für den Schubflu und die Schubpannung folg: q x = M x 2 A m, τ x ( )= M x 2 A m ( ) Die größe Schubpannung ri an der Selle mi der kleinen Wandärke auf. Bei Profilen mi konaner Wandärke i die Schubpannung konan. Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM

8 Verformung: Der Querchni dreh ich in der yz-ebene um den Schubmielpunk M. Dabei gil für die Verchiebung angenial zur Profilmiellinie: rθ β v β M v =r θ(x)co (β)=r n θ( x) Die Verchiebung in x-richung i u(). Dami gil für die Scherung: γ x = v x + u =r n d θ dx + du d = τ x G Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM

9 Einezen für die Schubpannung ergib: d θ r n dx = M x 2 A m ()G du d Durch Inegraion über da komplee Profil enfäll die Verwölbung u(): r n d d θ dx = M x 2 A m G d Darau folg die 2. Bredche Formel: d θ dx = M x 4 A 2 m G d Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM

10 Für da Torionrägheimomen kann au der 2. Bredchen Formel abgeleen werden: d θ dx = M x G I T I T = 4 A 2 m d Die Verwölbung berechne ich zu M x u() u 0 = 2 A m G 0 d d θ dx 0 M x r n d = 2 A m G 0 d 2 A m () d θ dx Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM

11 Einezen für die Verdrillung ergib: u( ) u 0 = M x 2 A m G ( 0 d A () m d ) A m Dabei i A m () die vom Fahrrahl überrichene Fläche. Die Verwölbung ergib ich relaiv zur x-verchiebung an der Selle = 0. A m () M Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM

12 Beipiel: Kreiring mi konaner Wandärke Schubflu: Torionrägheimomen: d = 2 π R A m =π R 2 q x = M x 2 π R 2 I T = 4 π2 R 4 2 π R =2 π R3 R Verwölbung: A m ()=π R 2 0 d 2 π R = 1 2 R A ( ) m d A m = R 2 π R 2 2 π R =0 u( )=u 0 Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM

13 Beipiel: Recheckige Kaenprofil Schubflu: b A m =b h q x = M x 2 b h h S = M Torionrägheimomen: h d =2 ( b b + h h ) b I T = 4 b2 h 2 2 (b / b +h/ h ) = 2 b 2 h 2 b h b h +h b Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM

14 Wölbfreie Querchnie: Keine Verwölbung ri auf, wenn gil: 0 d d = A m ( ) A m Die Bedingung i erfüll für: Kreiringprofile recheckige Kaenprofile mi b = h b h Kreiangenenprofile mi konaner Wandärke Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM

15 Kreiangenenprofile: Bei einem Kreiangenenprofil i die Miellinie ein Polygon, deen Srecken Tangenen an einen Krei ind. Dazu gehören beliebige Dreiecke, Quadrae owie alle regelmäßigen n-ecke. L i i A m ( i ) R i 0 d = i, d = 1 i L i 0 d / d = i L i A m ( i )= 1 2 R i, A m = R 2 L i A m ( i )/ A m = i L i Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM

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