Pflichtmodul Stahlbau - Bachelor

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1 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner Normal- und Schubspannungen aus Torsion Torsion is ein Überbegriff für Beanspruchungen bzw. die Wirkung von Beanspruchungen auf Baueile (Säbe), welche die Baueile um die Schwerachse verdrehen (drillen). Sie enseh, wenn eine Einwirkung senkrech zur Schubmielachse wirk und die Wirkungslinie der Las diese Achse nich schneide. Die Schubmielachse sei dabei die Verbindung der Schubmielpunke M aller Querschnie (Bild 3-31). M, x y z a x = Schubmielachse a = Absand l F z x Bild 3-31: Torsion eines Sabes, Koordinaensysem und Definiionen Bei einer Beanspruchung auf Torsion gil die Hypohese vom Ebenbleiben der Querschnie nich mehr. Der Querschni verwölb sich (meisens). An den Auflagern kann die Verwölbung des Querschnis behinder werden. Daher werden zwei Auflagerypen beschrieben, von denen die Wölbeinspannung (Bild 3-32) die Verwölbung des Endquerschnis behinder und die Gabellagerung (Bild 3-33) eine freie Verwölbung des Querschnis zuläss. In der Praxis sellen diese beiden Lagerypen die Grenzfälle dar, zwischen denen die realen Auflager arbeien. Es gib folglich weder eine 100%-ige Wölbeinspannung noch eine ideale Gabellagerung. M, x x = Schubmielachse M, x = F y h Träger y F y x z h Träger F y Bild 3-32: vollsändige Wölbeinspannung, keine Querschnisverwölbung am Auflager möglich, Zwang erzeug zusäzliche Spannungen im Träger, M, x seh als Süzkraf mi der Belasung im Gleichgewich Die Beanspruchung aus Torsion an Sysemen mi voller Wölbeinspannung wird auch

2 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 116 Wölbkraforsion bzw. Zwangsdrillung genann. Die Ar der Torsionsbeanspruchung häng darüber hinaus auch vom Querschni selbs ab. Daher wird zwischen wölbfreien, wölbarmen und nich wölbfreien Querschnien unerschieden. Wölbfreie Querschnie ensprechen vollsändig und wölbarme Querschnie näherungsweise dem Auflagermodell der Gabellagerung. M, x x = Schubmielachse M, x = F y h Träger y F y x z h Träger F y Bild 3-33: Gabellagerung, freie Verwölbung am Querschni möglich. Die Gleichungen zur Ermilung der Spannungen aus Torsion werden sich an dieser Eineilung orienieren und es wird unerschieden zwischen: a) S. Venansche Torsion (auch freie Torsion oder zwangsfreie Drillung) - gil für wölbfreie Querschnie sreng und für wölbarme Querschnie als Näherung - ruf im Querschni nur Schubspannungen τ p (primäre Schubspannungen) hervor - es reen keine zusäzlichen Normalspannungen auf - Voraussezungen - elasischer Werksoff - bauprakisch kleine Verformungen - Erhalung der Querschnisform - Torsionsmomene nur an den Sabenden b) Wölbkraforsion (auch Zwangsdrillung) - gil für alle nich wölbfreien Querschnie - erzeug wegen der behinderen Verwölbung neben den primären Schubspannungen τ p auch sekundäre Schubspannungen τ ω und zusäzliche Normalspannungen σ ω - Voraussezungen - konsane Querschnie in Sablängsrichung - für offene Querschnie keine Schubverzerrung der Querschnismielline - für geschlossene Querschnie Schubverzerrung nur infolge des Bredschen Schubflusses (Begriffserkärungen in den Abschnien!)

3 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 117 Für die Berechnung der Spannungen aus Torsion und die Nachweise nach EN muss also neben der Beschreibung von Wölbbehinderungen an Auflagern zunächs auch die Enscheidung geroffen werden können, ob der unersuche Querschni wölbfrei is und mi S. Venanscher Torsion bearbeie werden kann oder nich. Es können drei Typen wölbfreier Querschnie beschrieben werden: a) Roaionssymmerische Querschnie r r i M d a M r a d a = r a r i Bild 3-34: Roaionssymmerische Querschnie / wölbfrei b) Profile sich kreuzender, dünnwandiger Sreifen der Dicke i und der Länge l i mi i l i (auch übliche Walzprofile), zu beachen: Schubmielpunk M lieg im einzigen Kreuzungspunk, Lage des Schwerpunkes S is beliebig l 2 l 2 l 2 M 2 M 2 l 1 l 1 1 l 1 1 M 1 2 Bild 3-35: wölbfreie Querschnie aus dünnwandigen Sreifen c) Hohlquerschnie mi zusäzlich zu erfüllender Bedingung (nach [1]) Die Segdicken i eines dünwandig geschlossenen Querschnis werden an den Eckpunken als Richungsvekoren i an den Eckpunken angeragen (Bild 3-36) und zu einer Resulierenden zusammengefass. Schneiden sich alle Resulierenden in einem Punk, is der Querschni wölbfrei. Der Schnipunk muss der Schubmielpunk M sein. (Beweis: s. Bild 3-36, jeder Vekor i ri genau zwei Mal auf, und zwar in engegengesezer Richung, unabhängig von den Absänden zum

4 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner gemeinsamen Schnipunk gil für die Momene aus den Schubflüssen M = 0, folglich muss der gemeinsame Schnipunk der Schubmielpunk M sein.) 2 M Bild 3-36: Besimmung der Wölbfreihei durch Vekoren i, links ein wölbfreier Querschni, rechs ein nich wölbfreier Querschni Die Folge aus den Bedingungen is: a) sämliche Dreieckshohlquerschnie sind wölbfrei b) Polygonquerschnie aus Blechen mi konsaner Dicke sind wölbfrei, wenn sie einen Kreis einschließen, Quadra, besimme Trapeze c) Querschnie die keine der 3 genannen Bedingungen erfüllen, das sind leider die meisen, sind nich wölbfrei d) auch bei wölbfreien Querschnien kann eine Zwangsdrillachse aufreen, die Querschnie verlieren die Eigenschaf der Wölbfreihei Die S. Venansche Torsion Die Voraussezungen wurden bereis genann. Berache sei zunächs ein beliebiges dünnwandiges, geschlossenes Profil (s.a. Bild 3-37). Die Umfangskoordinae u laufe enlang der Profilmiellinie (auch Miellinie), die im Bild ro gesrichel gekennzeichne is. Sie eil das Profilblech in einen inneren und einen äußeren ringarigen Teil mi der Dicke (u). Dabei kann die Wanddicke =(u) durchaus variabel sein. Allerdings sei im 2 gesamen Profil klein gegenüber dem charakerisischen Durchmesser D, der größen Abmessung des Profils in einer beliebigen Richung. Es wird ein imaginärer Drehpunk im Inneren des Profils fesgeleg (im Bild nich bezeichne). Der Orsvekor r beginne an diesem Punk und sehe senkrech zur Tangene an die Profilmiellinie. Parallel zur Tangene (senkrech zu r ) wirk der resulierende Schubfluss T. Für ein infiniesimal kleines Elemen der Länge du is dieser Schubfluss das Produk der als über die Dicke (u) konsan angenommenen Schubspannung τ() und der Fläche da = du (verikale Schraffur im Bild 3-37)

5 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 119 dt da du r Miellinie da m A m kons. D Bild 3-37: dünnwandiges geschlossenes Profil bei S. Venanscher Torsion, Definiionen Im Bild 3-37 werden nun zwei weiere Flächen beschrieben. Dabei sei zunächs die Fläche A m die von der Profilmiellinie (Miellinie) eingeschlossene Fläche, die für praxisaugliche Profile (Rundrohr, Quadra, Recheck) leich ermiel werden kann. Für das infiniesimal kleine Segmen der Länge du sell d A m den zugehörigen ebenfalls infiniesimal kleinen Aneil der Fläche A m dar (horizonale Schraffur im Bild 3-37). Für den Schubfluss T gil das "Srömungsprinzip". Das bedeue, dass er konsan im gesamen dünnwandig geschlossenen Profil is. Der Schubfluss wurde bei der Ermilung der Schubspannungen aus Querkräfen definier als Produk der Schubspannung τ und Profildicke : T = τ i i i des Querschnis (3-66) Die auf das Segmen du enfallende Kraf aus den Schubspannungen is folglich: d F τ = T du (3-67) Die Summe der Momene aus allen Kräfen d F τ aller kleinen Abschnie des dünnwandig geschlossenen Profils muss mi dem einwirkenden Torsionsmomen im Gleichgewich sehen: d M τ = M, x (3-68) Da der Bezug auf ein infiniesimales Elemen du des Profils erfolge, is im allgemeinen Fall über die Ringkoordinae u zu inegrieren, wobei ein Linieninegral vorlieg, bei dem Anfangs- und Endkoordinae der Inegraion übereinsimm: d M τ = d M τ du (3-69)

6 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 120 Das Momen d M τ des Abschnis berechne sich als Produk aus Kraf ( d F τ nach 3-67) und Absand ( r(u), Bild 3-37). Dami wird aus 3-66 bis 3-69 erhalen: M, x = T r(u)du = τ() r(u) du = τ() r(u) du (3-70) Die zum Abschni du gehörende Fläche d A m lau Bild 3-37 kann aus den geomerischen Verhälnissen (Dreieck) wie folg berechne werden: d A m = 1 2 r(u) du r(u) du = 2 d A m (3-71) Das wird in 3-70 implemenier: M, x = 2 τ() da m = 2 τ() A m (3-72) wodurch sich das Linieninegral auflösen läss. (3-72) kann nun nach τ() umgesell werden und es wird die Gleichung zur Berechnung der (primären) Schubspannungen aus S. Venanscher Torsion erhalen: τ()= M, x 2 A m (3-73) Gleichung 3-73 is die 1. Bredsche Formel und basier auf der Annahme des (konsanen) Bredschen Schubflusses. Mi Hilfe der 1. Bredschen Formel kann die Schubspannung τ() infolge eines einwirkenden Torsionsmomenes M, x an jeder Selle eines dünnwandig geschlossenen Hohlprofils allein mi Kennnis der Wanddicke am Berechnungsor und der durch die Miellinie eingeschlossenen Fläche A m berechne werden.dami kann auch der Torsionswidersand eines dünnwandig geschlossenen Profils definier werden: τ = M W * W * = 2 A m (3-74) Bei Rohrprofilen mi konsaner Dicke is dami die Berechnung einfach. Für viele Profile is W * abellier. Bild 3-38 zeig nun jeweils einen Vollkreis und ein Rundrohr. Beide Querschnie sind ypisch roaionssymmerisch und daher können mi wenigen Definiionen die Berechnungen vereinfach werden. Für das Rundrohr mi dem Durchmesser D = 2 r a und der Dicke kann aus der Gleichung 3-74 die Lösung schnell gefunden werden. Die Fläche A m wird zu A m, o = π r m 2 = π 4 (D)2 (3-75) und das Torsionswidersandsmomen mi W * = 2 π r m 2 definier.

7 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 121 y r a r m r i z ρ d ρ da y r τ(ρ) ρ z M T dρ da τ(ρ)= τ max ρ r τ max Bild 3-38: Größen am Rundrohr und am Vollkreis Auch für das Rundrohr wird eine über die Wanddicke konsane Schubspannung und ein konsaner Schubfluss angenommen. Daher gil die Gleichung 3-75 nur, wenn D, wie auch für das allgemeine dünnwandig geschlossene Profil vorausgesez wurde. Wegen der paarweisen Gleichhei der Schubspannungen (s. Herleiungen für Schubspannungen aus Querkräfen) können infolge Torsion Längsrisse aufreen. Bei Sahl selener sind diese bei Holzrägern (Rundhölzern) zu beobachen. Für den Vollkreis gil weder der Ansaz einer konsanen Schubspannung im gesamen Querschni noch das Modell eines konsanen Schubflusses. Vielmehr kann für den Kreismielpunk fesgesell werden, dass die Schubspannung dor idenisch Null sein muss, da hier die Drillachse verläuf. Analog der Vereilung der Normalspannungen aus Biegung wird das Modell einer linear vereilen Schubspannung im Querschni angenommen. Das heiß der Maximalwer lieg am Rand, wenn also die Radialkoordinae ρ = r is (Bild 3-38). Nach diesem Modell kann bei Kennnis der maximalen Schubspannung τ max die Schubspannung an einer beliebigen Selle im Querschni aus einfachen Geomerieberachungen (im Bild rechs) ermiel werden: τ(ρ)= τ max ρ r (3-76) Der Aneil eines geschlossenen Kreissegmens der Fläche da und der Dicke d ρ (im Bild 3-38 rechs dunkelblau gezeichne, kann nun aber wieder die Schubspannung τ(ρ) als konsan berache werden. Der Aneil der Schubspannungen in diesem Segmen ensprich einem Teil des einwirkenden Torsionsmomenes: d M, x = τ(ρ) da ρ (3-77) In Gleichung 3-77 is τ(ρ) da die einwirkende Kraf und ρ der Absand zur Drillachse wird in 3-77 eingeführ: d M, x = τ max ρ r da ρ = τ max r ρ2 da (3-78) Nach Inegraion über die Radialkoordinae ρ wird aus 3-78:

8 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 122 d M, x = τ max r ρ 2 da (3-79) und mi Einführung des polaren Trägheismomenes I p : M, x = τ max r I p I p = ρ 2 da (3-80) wird die Gleichung für die maximale Schubspannung in vollkommener Analogie zur Gleichung 3-22 für die Biegespannung erhalen: τ max = M, x r I p σ x = M y z I y (322) (3-81) Die Auswerung des Inegrals für das polare Trägheismomen liefer mi da = 2π ρ d ρ (Umfang mal Dicke des Segmens): a) für den Kreisring mi Innenradius r i und Außenradius r a : r a I p = ρ 2 da = ρ 2 2π ρ dρ = r i π r a 2 ρ4 = π ri 2 (r 4 ar 4 i ) (3-82) b) für den Vollkreis aus 3-82 mi r i = 0 : I P = π 2 r 4 a (3-83) c) für ein Rohr mi sehr dünner Wandung näherungsweise (aus 3-82): r a = r m + 2 r i = r m 2 r 4 a = (r 2 m +r m ) = r 4 m +2r 3 m r 2 m r m r 4 a r 4 m +2 r 3 m r 4 i =(r 2 m r m ) = r 4 m 2r 3 m r 2 m r m r 4 i r 4 m 2r 3 m I p = π 2 (r 4 ar 4 i ) = π 2 [r 4 m+2 r 3 m (r 4 m 2 r 3 m )] = 2 π r 3 m (3-84) Dabei wurden Terme, die Poenzen der (kleinen) Wanddicke enhalen, vernachlässig. Wird das Ergebnis aus Gleichung 3-84 im Zusammenhang mi 3-81 berache, kann ebenfalls in Analogie zu den Gleichungen der Biegung durch W * = I P r m = 2 π r m 2 (3-85)

9 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 123 die Definiion des Torsionswidersandsmomenes für den Kreisring (s. a. 3-75) besäig werden. Grundlage für die vorsehenden Ansäze bleib naürlich das Hooksche Gesez. In Analogie zur Gleichung σ = E ε wird es hier für den Zusammenhang zwischen Schubspannung τ und Gleiung γ aufgeschrieben: τ = G γ (3-82) Die Gleiung γ gehör wie auch die Dehnung ε zu den Verzerrungen des deformierbaren elasischen Körpers. Im Bild 3-39 wird die Gleiung dargesell und definier für kleine Drehwinkel d φ als auf den Sababschni dx bezogener Aneil des Winkels d φ in einem Absand ρ von der Drillachse. Demnach is die Gleiung γ mahemaisch also die erse Ableiung des Drehwinkels nach der Sabkoordinae x muliplizier mi dem Absand ρ von der Drillachse. Während der Drehwinkel d φ am Sabelemen konsan is, häng die Gleiung vom Absand ρ von der Drillachse ab. γ = d φ ρ = φ ' ρ (3-83) dx γ = v y dx = d φ dx ρ ρ v y = ρ dφ dx d φ = v y ρ M, x x Bild 3-39: geomerische Deuung der Gleiung γ Die Schubspannungen und Gleiungen sind Reakionen des Querschnis auf seine äußere Beanspruchung. Sie leisen folglich dieselbe (innere) Arbei, wie die Belasung (äußere Arbei). Der Zusammenhang wird allgemein über die Drehseifigkei bzw. Torsionsseifigkei ( G I T ) hergesell, wobei I T das noch zu definierende Torsionsrägheismomen is. Es gil: τ = G γ = G dφ dx ρ τ G = d φ dx ρ M = d φ G I T dx (3-84) wobei der Drehwinkel als Verformung die Arbei "sichbar" mach. (3-84) is die allgemein Schreibweise der Differenialgleichung der S. Venanschen Torsion. Die wird nun zur Herleiung der Formeln für dünnwandig offene Profile genuz.

10 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 124 Dünnwandig offene Profile sind of aus einzelnen Rechecken zusammengesez. Folglich is nunmehr zuers ein dünnwandiger Recheckquerschni zu berachen. Ähnlich wie beim Vollkreis wird er in geschlossene Segmene eingeeil, in denen der Schubfluss T näherungsweise konsan sein soll. Über den gesamen Querschni der Dicke b lieg aber wieder eine lineare Vereilung der Schubspannungen vor. Ausgehend von der Profilmielfläche wird eine Koordinae ρ definier. Es gil Bild Analogie als dünnwandig geschlossener Ring d ρ τ max dt = τ d ρ τ max ρ b Bild 3-40: Definiionen am dünnwandigen Recheckquerschni für Torsion Ähnlich wie am Kreismielpunk sei die Schubspannung in der Profilmielfläche gleich Null: τ(ρ = 0)= 0 (3-85) Für den Aneil von d M, x in einem Segmen des Profils mi der Dicke d ρ kann nach Gleichung 3-73 (1. Bredsche Formel) geschrieben werden: τ(ρ)= d M, x 2 d ρ A m d M, x = 2 τ(ρ) A m d ρ (3-86) Wegen der linearen Spannungsvereilung gil für τ(ρ) nach 3-76: τ(ρ)= τ max ρ r mi r = 2 (3-87) Aus 3-86 und 3-87 folg zunächs: d M, x = 4 τ ρ max A m d ρ mi A m = 2 b ρ (3-88) und durch Ersezen von A m : d M, x = 8 τ max ρ 2 b d ρ (3-89) Die Inegraion von 3-89 liefer:

11 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 125 M, x = 8 τ max b 2 0 ρ 2 dρ = 1 3 τ max b 2 (3-90) Für die noch zu reffende Definiion des Torsionsrägheismomens I T wird die Gleichung 3-84 genuz. Dabei is nunmehr mi ρ = zu arbeien, denn in den auf der Basis von Bild 3-40 aufgeschriebenen Gleichungen is der gesame Schubfluss erfass ( τ max wirk je einmal oben und unen), während 3-84 auf der Basis von Bild 3-39 aufgeschrieben wurde (einseiige Wirkung von τ max zur Erzeugung des Winkels d φ ). Dami kann für τ max geschrieben werden: τ max = G γ = G d φ dx (3-91) 3-91 wird nun in 3-90 eingeführ; M, x = 1 3 G d φ dx b 2 (3-92) und ersezen ebenfalls aus 3-84 den Ausdruck d φ dx : M, x = 1 3 G M, x G I T b 2 I T = 1 3 b 3 (3-93) Gleichung 3-93 beschreib den Torsionswidersand für ein dünnwandiges Recheckprofil (Blech). In der Praxis reen häufig Profile auf, die aus mehreren dünnwandigen Recheckprofilen zusammengesez sind. Es is klar, dass bei Beibehalung der Querschnisform alle Profile denselben Drehwinkel infolge einer Torsionsbelasung aufweisen. Dami darf für den Torsionswidersand von aus n dünnwandigen Rechecken zusammengesezen Querschnien geschrieben werden: n I T = i=1 1 3 b i i 3 (3-94) Wird die Randbedingung b nich mehr sreng eingehalen, lassen sich Gleichungen ableien, welche gegenüber 3-94 lediglich einen Korrekurfakor κ enhalen: n I T = i=1 1 3 κ i b i i 3 (3-95) Die Korrekurfakoren sind in einschlägigen Tabellenbüchern abellier (s. a. Schneider Bauabellen o. dgl.). Allgemeine dickwandige Querschnie werden hier nich behandel. Es sei daher auf umfangreich vorhandene Fachlieraur verwiesen. Allgemein läss sich für beliebige dünnwandig geschlossene Querschnie der Torsionswidersand nach der 2.

12 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 126 Bredschen Formel besimmen. Auf eine vollsändige Herleiung über den Arbeissaz sei an dieser Selle ebenfalls verziche. I T = 4 A 2 m 1 du (3-96) Dabei is A m mi Bild 3-37 definier, die (nich konsane) Dicke des Profils und u die Laufkoordinae des Querschnis enlang der Mielfläche des allgemeinen dünnwandigen Querschnis. Abschließend werden die Schubflüsse in dünnwandig geschlossenen Profilen mi denen in dünnwandig offenen Profilen verglichen. Dabei wird deulich, dass sich bezüglich des Torsionswidersandes exreme Unerschiede ergeben. Geschlossene Profile sind um ein Vielfaches resisener gegen Torsionsmomene. Begründe werden kann das mi dem Hebelarm der Schubflüsse (Bild 3-41), der bei offenen Profilen wegen der linearen Vereilung 2 der Schubspannungen über den Querschni exak 3 beräg, während er bei geschlossenen Profilen ewa dem kleinsen Durchmesser ensprich. Kleine Hebelarme wecken bei analoger Beanspruchung ensprechend große Schubspannungen. Schni AA A A T τ max τ max B B Schni BB T τ max τ max Bild 3-41: Schubfluss bei offenem und geschlossenem Profil im Vergleich Hinweis: gil für kleine Dicken, Darsellung unmaßsäblich Der rechnerische Vergleich der Torsionswidersände der Profile aus Bild 3-41 mi dem Umfang u, dem Radius r und der Dicke kann mi den hergeleieen Gleichungen erfolgen. I T,offen = 1 3 u 3 = 2 3 π r 3 (nach Gl. 3-93) I T, geschl = 4 (π r2 ) 2 2 π r = 2 π r 3 (nach Gl. 3-96) (3-97) Ausgewere für eine Blechdicke von 8 mm und einen Radius von 100 mm wird als Ergebnis aus 3-97 erhalen:

13 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 127 I T, geschl I T, offen = 3 r2 = = 468,75 (3-98) 2 64 Die Torsionsseifigkei des offenen Profils is im Beispiel fas 500 mal niedriger, als die des geschlossenen Profils gleicher Abmessung. Für planmäßig auf Torsion beanspruche Baueile sind geschlossene dünnwandige Profile den offenen Baueilen vorzuziehen. Das gil sowohl für S. Venansche Torsion als auch für die Wölbkraforsion Wölbkraforsion - einige Grundgedanken Bild 3-42: nich wölbfreies gabelgelageres Profil uner Torsionsbeanspruchung, rechs sind die Verwölbungen erkennbar, Bernoulli gil nich Wird ein nich wölbfreier Querschni auf Torsion beanspruch (Bild 3-42), dann bleiben die Querschnie nich eben. Im Bild sind die Verwölbungen erkennbar, da das Profil im Berechnungsmodell gabelgelager wurde. Diesen Verformungen müssen neben den Schubspannungen aus S. Venanscher Torsion (primäre Schubspannungen) weiere Spannungen zugeordne sein. Das sind die Wölbnormalspannungen und die dazugehörigen Schubspannungen die sekundären Schubspannungen. Die erweieren Voraussezungen für die rechnerische Behandlung der Wölbkraforsion nach der Elasiziäsheorie I. Ordnung wurden auf Seie 116 bereis genann. Aus der Belasung im Bild 3-42 is nun folgende Modellvorsellung zu enwickeln. Infolge eines angreifenden Torsionsmomenes M, x können für einen Doppel-T-Träger äquivalene Lasen enwickel werden, die im Absand der Gurschwerachsen in engegengesezer Richung wirken (Ersazlasen). Dadurch werden die Gure bzw. Flansche in engegengesezer Richung verbogen. Im Bild 3-43 is das in der Draufsich dargesell. Dabei wurde das Torsionsmomen wie folg in ein Kräfepaar aufgeeil: M, x F OG h Träger =F UG h Träger (3-99) Es is deulich sichbar, dass sich bei dieser Modellvorsellung die Gure gegenläufig verbiegen und an den Gurenden ebenfalls gegenläufige Verschiebungen in x-richung aufreen. Diese sind die Verwölbungen.

14 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 128 F OG F UG - V UG + + V OG - - M OG M UG + Bild 3-43: gegenläufige Flanschbiegung durch Ersazlasen für M, x Dargesell werden die Verwölbungen üblicherweise in der Querschnisebene. Für ypische Sahlbauräger mi doppelsymmerischem Profil ergib sich dafür Bild Dabei werden die Ordinaen in der Regel als Einheisverwölbung ω definier, die für einen Drehwinkel φ =1 besimm werden. Bild 3-44: Darsellung der Einheisverwölbung am Doppel-T-Profil Für das Versändnis der Gleichungen müssen einige Definiionen erläuer werden (Bild 3-45). Berache wird erneu ein Sabelemen der differenialen Länge dx. Der Sablängsachse x sei die Verschiebung u zugeordne, die bei der Wölbkraforsion offensichlich von den Koordinaen x, y und z abhängen kann. Im Querschni kann jeder Punk durch einen Orsvekor r beschrieben werden, der sich in Komponenen angenial ( s ) und normal ( r n ) zur jeweiligen Querschnisfläche aufeilen läss. Mi dem auf die Länge dx bezogenen Aneil d φ des Drehwinkels infolge des Torsionsmomenes und dem Orsvekor r läss sich die Verschiebung eines Querschnispunkes innerhalb des Querschnis mi r d φ beschreiben. Die diesem Punk zugeordnee Gleiung γ wird dann durch Bezug auf die Elemenlänge dx erhalen. Es gil γ = r d φ. Das is bisher dx alles idenisch der S. Venanschen Torsion. Die unere Darsellung von Bild 3-45 zeig die Verdrehung des Recheckelemenes der Länge dx und der Breie ds mi Blickrichung parallel zur Flächennormalen ( r n ). Dabei wird erkennbar, dass das Recheck, in der Profilmielfläche gelegen, keine Gleiungen erfähr, sondern um den Ausgangspunk P roier. Dabei ri der Winkel α an zwei Sellen auf und aus der Ähnlichkei der Dreiecke können in der Folge weiere Gleichungen enwickel werden.

15 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 129 dx y d φ r dφ x z γ = r d φ dx P r n r s d d dx α P ds du Bild 3-45: einige Definiionen für die Gleichungen der Wölbkraforsion am differenialen Sabelemen Ziel is es nun, eine Beschreibung für die Verwölbung zu finden, mi den hier geroffenen Definiionen ensprich das der Verschiebung u (parallel zur x-achse). Offensichlich is nach Bild 3-45: anα α = d dx =du ds (3-100) In der oberen Darsellung sind die wegen der Aufeilung des Orsvekors r in r n und s offensichlich ähnliche Dreiecke in der Querschnisebene vorhanden. Folglich gil aus rein geomerischen Gründen: r n r = d r dφ d = r n d φ (3-101) Dami kann in der Aneil d ersez und nach du umgesell werden: du =r n d φ ds (3-102) dx und es is bereis ein Ausdruck für die Verwölbung aufgeschrieben. Die Inegraion über die Laufkoordinae s des Querschnis liefer das Ergebnis. Dabei kann wegen der Vor-

16 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 130 aussezung konsaner Querschnie (s.s. 116) der Aneil des Drehwinkels ( ebenfalls konsan vor das Inegral geschrieben werden: d φ dx ) als u(s)= d φ s dx 0 r n ds+u 0 (3-103) u 0 is eine Inegraionskonsane, die an anderer Selle erläuer werden muss. Dabei müssen sogenannen Normierungsbedingungen beache werden. Wegen des konsanen Aneils des Drehwinkels kann dieser für beliebige Querschnie "normier" mi 1 fesgeleg werden. Dami kann die Einheisverwölbung ω als nur vom Querschni abhängige Größe definier werden. d φ dx =1 s ω = r n ds (3-104) 0 Der Vekor r n is dabei der zum Normalenvekor der Tangenialebenen an den Querschni parallele Vekor bis zur Drillachse, wie im Bild 3-45 für einen ausgewählen Punk dargesell. Folgend wird das Inegral zur Einheisverwölbung geomerisch inerpreier. und eine einfache Formel zur Berechnung abgeleie (Bild 3-46). A r a s y D r n r e s r z n A ω E ω = s r n ds = 2 A ω 0 Bild 3-46: Zur Berechnung der Einheisverwölbung am offenen Querschni Posiive ω ensehen, wenn der Querschni wie im Bild gezeig vom Punk A ( r = r a ) zum Punk E ( r = r e ) abgefahren wird. Während der Zei, in der der Fahrsrahl ein gerades Sück des Querschnis übersreich, bleib r n konsan. Die Lösung des Inegrals is mi r n s für jeden geraden Abschni gegeben, ensprich also der doppelen Dreiecksfläche, die für diesen Abschni übersrichen wurde. Dami is die im Bild angegebene Lösung richig. Vorsehend wurde die Einheisverwölbung an offenen Querschnien dargesell. Wegen des Ansazes, dass in der Profilmie keine Gleiung aufri, is also auch keine Schubspannung infolge der Verwölbung in der Profilmie vorhanden (s. Bild 3-45, unen, das Elemen bleib ein Recheck!). In geschlossenen Profilen is aber die Schubspannung wegen des Schubflusses nich gleich Null (s. a. S. Venansche Torsion). Daher müssen andere Beziehungen abgeleie werden. Dabei wird ein zusäzlicher Aneil der Verwölbung zu addieren sein, der einem konsanen Bredschen Schubfluss T zuzuordnen is.

17 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 131 ω geschl = ω offen +ω T,offen (3-105) Zur Berechnung der Einheisverwölbung ω geschl am geschlossenen Profil wird der Querschni also einer Selle aufgeschnien und eine Koninuiäsbedingung formulier. Es is wie folg vorzugehen (s.a. Bild 3-47): Bild 3-47: Einheisverölbung am geschlossenen Querschni a e a) Die Einheisverwölbung ω offen am aufgeschnienen Profil kann berechne werden. Es gil nach Gleichung (3-104) und Bild 3-46: ω offen = a e r n ds = 2 A ω (3-106) a e ω offen ω T,offen b) Die Verwölbung ω T, offen am aufgeschnienen Profil kann für einen zunächs beliebigen konsanen Schubfluss T berechne werden. Es gil (ohne Herleiung): ω T, offen = T G φ ' e 1 a ds (3-107) c) Die Verwölbung ω T infolge eines konsanen Schubflusses T muss nun so berechne werden, dass bei Umfahrung des geschlossenen Querschnis an der Schniselle kein "Sprung" in der Funkion der Verwölbung aufri. Im Übergang von den Inegralen ( ) am aufgeschnienen a ω geschl = ω offen +ω T, offen Querschni zu den Linieninegralen ( ) am geschlossenen Querschni muss also der Fakor ψ so besimm werden, dass e ω offen + ω T,offen =! ω geschl r n dsψ 1 ds = 0 (3-108) gil. Dabei wird ψ als Torsionsfunkion bezeichne und für einzellige Hohlprofile wie folg berechne: ψ = 2 A ω 1 ds (3-109)

18 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 132 Mi der über die Torsionsfunkion ψ "normieren" Größe des vorweg beliebig angesezen konsanen Schubflusses T kann die Einheisverwölbung am geschlossenen Profil asächlich sehr einfach nach berechne werden. Für mehrzellige Hohlkäsen wird auf die Fachlieraur verwiesen. Für die Wölbkraforsion sind nun noch weiere Querschniswere zu definieren, bevor die maßgebenden Gleichungen in Tabelle 3-1 aufgeschrieben werden können. Dabei wird auf vollsändige Herleiungen verziche. Sind die Einheisverwölbungen bekann, vielfach sind diese Were abellier, können berechne werden, das: a) Saische Momen der Wölbordinae S ω = ω da (3-110) A (wie saisches Flächenmomen, nur das sa über den Absand zu einer Achse über die jeweilige Wölbordinae inegrier wird) b) Wölbwidersandsmomen I ω = ω da (3-111) A (wie Trägheismomen, nur dass sa über die Quadrae der Achsabsände über die Quadrae der Wölbordinaen inegrier wird) c) der sogenanne Abklingfakor λ, definier durch: λ = G I T E I ω (3-112) Für übliche Walzprofile sind neben der Einheisverwölbung auch Wölbwidersandsmomen und Abklingfakor abellier. Zur Berechnung der Spannungen muss nunmehr uner Verwendung des Abklingfakors in Abhängigkei vom saischen Sysem das angreifende Torsionsmomen aufgespalen werden in einen Aneil, welcher der S. Venanschen Torsion zugeordne wird und einen Aneil, welcher der Wölbkraforsion zugeordne wird: M x = M, x +M, x2 (3-113) Aus M, x werden die primären Schubspannungen τ p ermiel, aus M,2 x die sekundären Schubspannungen τ s. Ferner muss zusäzlich das Wölbbimomen M ω berechne werden. Aus dem Wölbbimomen werden die Wölbnormalspannungen σ ω berechne. Für das sekundäre Torsionsmomen M, x2 und das Wölbbimomen gelen ähnliche Zusammenhänge wie für Biegemomen und Querkraf. Der Momenenaneil für die S. Venansche Torsion wird analog den vorab angegebenen Gleichungen behandel. Bei der Herleiung der Differenialgleichungen für die Wölbkraforsion läss sich eine große Affiniä zur allgemeinen Differenialgleichung für einachsige Biegung fessellen. In der Tabelle 3-1 sind die ensprechenden Gleichungen gegenübergesell. Für die genaue Herleiung s.a. Fachlieraur. Die Differenialgleichungen für die Biegung werden als bekann vorausgesez, aber bei der Elasiziäsheorie II. Ordnung nochmals dargeleg.

19 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 133 Analogie von Torsion und Biegung Biegung H P z (x) p z (x) Torsion M x m x ( x) Darsellung E I y E I ω, G I T p z (x)= E I y w ' ' ' ' H w ' ' Durchbiegung: Horizonalkraf: Biegeseifigkei: w H E I y Einwirkungen Einzellas: P z Linienlas: p z (x) Differenialgleichung Randbedingungen drehbares Lager: w(g) = 0 (Gelenk) w ' '( g)= 0 (d.h. M y = 0 und σ x = 0 ) Einspannung: w(e) = 0 w '(e)= 0 m, x (x) = E I ω φ' ' ' ' G I T φ' ' Drehwinkel: Torsionsseifigkei: Wölbseifigkei: Einzelmomen: Linienmomen: φ G I T E I ω M x m x Gabellager: φ(g) = 0 φ ' '( g)= 0 (d.h. M ω = 0 und σ ω = 0 ) Wölbeinspannung: φ(e) = 0 φ '(e)= 0 Schnigrößen Spannungen freies Trägerende: w ' '(k) = 0 (d.h. M y = 0 ) Biegemomen: M y = V z dx =E I y w ' ' Querkraf: V z = M y ' =E I y w ' ' ' Biegenormalspannung: σ x = M y z I y Querkrafschubspannung: τ xz = V z S y I y freies Trägerende: φ ' '(k) = 0 (d.h. M ω = 0 Wölbbimomen: M ω = M, x2 dx =E I ω φ' ' Wölborsionsmomen: M, x2 = M ω ' =E I ω φ ' ' ' Wölbnormalspannung σ ω = M ω ω I ω sekundäre Schubspannung τ xz = M, x2 S ω I ω Tabelle 3-1: Analogie der Gleichungen bei Biegung und Wölbkraforsion, resulierend aus den Differenialgleichungen Für die Anwendung der Gleichungen in Tabelle 3-1 bleib abschließend zu klären, wie aus dem einwirkenden Torsionsmomen die Aneile für die S. Venansche Torsion und das Wölborsionsmomen sowie das Wölbbimomen berechne werden.

20 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 134 Genuz werden die definieren Größen, in erser Linie der Abklingfakor λ (Gl ). Erheblichen Einfluss ha das saische Sysem. Nachfolgend werden für drei Varianen die Ergebnisfunkionen angegeben. a) Kragarm mi Wölbeinspannung am Auflager und Torsionsmomen am freien Ende x 1 x 2 = lx 1 (Komplex 3-114) M, x2 + l + M, x M M x M x ( x 1 )= M, λ s. Gl M, x (x 2 )= M x [ 1 cosh(λ x 2) cosh(λ l) ] M, x2 ( x 2 ) = M x [ cosh(λ x ) 2 cosh(λ l) ] M ω - M ω (x 2 ) = M x λ [ sinh(λ x 2 ) cosh(λ l) ] Bild 3-48: Aufeilung des Torsionsmomenes, Fall 1 b) gabelgelagerer Einfeldräger mi Einzelmomen in Trägermie x 1 x 2 = lx 1 M + M, x l/2 + M, x2 l/2 Ausnuzung der Symmerie ( 0 x 1 l 2 )! M x ( x 1 )= M 2 (Komplex 3-115) [ M, x (x 1 ) = 2 M 1 sinh( λ l x 2 2 ) ] sinh(λ l) cosh(λ x ) 1 + M, x2 M ω - - M, x M x 2 M x sinh( λ l 2 ) M, x2 ( x 1 ) = cosh(λ x sinh(λ l) 1 ) M ω (x 1 )= 2 M x λ sinh( λ l 2 ) sinh(λ l) sinh(λ x 1 ) Hinweis: für x 1 l 2 ggf. die Vorzeichen auschen (außer M ω ) und x 2 verwenden Bild 3-49: Aufeilung des Torsionsmomenes, Fall 2

21 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 135 c) gabelgelagerer Einfeldräger mi konsanem Linienorsionsmomen x 1 x 2 = lx 1 m (Komplex 3-116) l/2 l/2 M x ( x 1 )= m l ( 1 2 x l ) + + M, x M, x2 M ω + - M, x M, x2 - M x M, x (x 1, x 2 ) s. unen M, x2 ( x 1, x 2 ) = m λ [ cosh(λ x 1)+cosh(λ x 2 ) sinh(λ l) ] M ω (x 1, x 2 )= m λ 2 [ 1sinh(λ x 1)+sinh(λ x 2 ) sinh(λ l) ] M, x (x 1, x 2 )= m λ [ λ( l 2 x 1) + cosh(λ x 1)cosh(λ x 2 ) sinh(λ l) ] Bild 3-50: Aufeilung des Torsionsmomenes, Fall Zusammenfassung zur Torsion: Es gib zwei Aren von Querschnien und bzw. Lagerungen, die sich bei Torsion grundsäzlich unerschiedlich verhalen: die (freie) S. Venansche Torsion und die Wölbkraforsion. Die S. Venansche Torsion is in der Wölbkraforsion auch "enhalen". Der bauprakisch häufigere Fall is die Wölbkraforsion. Die Schnigröße M x wird aufgeeil und es werden berechne: - primäre Schubspannungen (S. Venanscher Aneil) - sekundäre Schubspannungen - Wölbnormalspannungen Für die Berechnung der Spannungen wurden einige neue Querschniswere definier. Es sind das insbesondere die Einheisverwölbung ω, das Torsionswidersandsmomen I T und das Wölbwidersandsmomen I ω. Diese Größen sind vielfach abellier. Zur Berechnung is dabei zwischen dünnwandige offenen und dünnwandig geschlossenen Profilen zu unerscheiden. Bezüglich des Widersands gegenüber Torsionsmomenen sind geschlossene Profile zu bevorzugen. Die Güligkei der hier angegebenen Gleichungen beschränk sich auf die Fälle, welche den auf S. 116 genannen Voraussezungen genügen. Insbesondere beschränken sich die Ausführungen auf dünnwandige Querschnie, wie sie im Sahlbau größeneils eingesez werden. Die in Tabelle 3-1 angegebenen Differenialgleichungen für Biegung und Torsion sind enkoppel, wenn die Torsion auf die Drillachse (Schubmielpunk im Querschni) und die Biegung auf die Schwerachse bezogen wird. Das is ggf. bei kombinierer Beanspruchung zu berücksichigen.

22 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner Zusammenfassung Die lineare Elasiziäsheorie I. Ordnung is ein wichiges Verfahren, nach dem für Sahlkonsrukionen aus den Schnigrößen die Spannungen berechne werden dürfen. Es gib sowohl Fälle, in denen diese Theorie angewende werden muss als auch Fälle in denen sie nich angewende werden darf. Bisher wurden lediglich die Normalspannungen aus Biegemomenen um beide Querschnisachsen und Normalkräfen in Baueillängsrichung mieinander kombinier. Schubspannungen infolge der Querkräfe wurden dagegen ebenso gesonder ermiel, wie Schubspannungen aus Torsion und Wölbnormalspannungen. Zur Herleiung der Beziehungen wurden infiniesimal kleine Elemene der Baueile berache und of einfache geomerische Beziehungen genuz. Der Schluss vom infiniesimal kleinen Elemen auf das gesame Baueil erfolge in der Regel durch Inegraion über den Querschni oder über ausgewähle Laufkoordinaen in dünnwandigen Profilen. Dabei waren die definieren lasunabhängigen Querschniswere eine Hilfe, da diese für übliche Sahlbauprofile abellier sind.