Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2007/08)

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Lieselotte Maurer
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1 Vorleung Kombinaoriche Opimierung (Wineremeer 007/08) Kapiel : Flüe und Zirkulaionen Volker Kaibel Oo-von-Guericke Univeriä Magdeburg (Verion vom 0. November 007) Definiion. Ein Nezwerk i ein Paar (D, u) beehend au einem Digraphen D = (V, A) und nich-negaiven Bogenkapaziäen u R A +. Ein Flu in (D, u) i eine Abbildung f : A R + (f R A +) mi f (a) = f a u a für alle a A. Für v V definieren wir den Überchu von f in v. Ein Flu f R A + mi ex f (v) := f (δ ein (v)) f (δ au (v)) ex f (v) = 0 für alle v V (Fluerhalungbedingungen) heiß eine Zirkulaion. Für, V i ein --Flu ein Flu f R A + in (D, u) mi und ex f () 0. ex f (v) = 0 für alle v V \ {, }

2 Flüe Flüe al Zirkulaionen 5

Arbeier, Arbeizei i Q n +, die Job i benöig

Job j können (für alle i), T Q + Aufgabe:

3 Da Max-Flow Problem 5 Problem. (Max-Flow Problem) Inanz: Nezwerk N = (D = (V, A), u), zwei Knoen, V Aufgabe: Ein --Flu in N mi maximalem Fluwer Anwendung: Problem. (Job-Aignmen Problem) Inanz: n Job, m Arbeier, Arbeizei i Q n +, die Job i benöig und Teilmenge J(i) [n] von Arbeiern, die Job j können (für alle i), T Q + Aufgabe: Finde, wenn möglich, einen Plan, mi dem alle Job nach T Zeieinheien ferig ind Job-Aignmen al Fluproblem 6

4 Inzidenzmarizen 7 Definiion.5 Die Inzidenzmarix eine Digraphen D = (V, A) i die Marix Inz(D) {, 0, } V A mi Inz(D) v,a = für alle v V und a A., fall a δ au (v) +, fall a δ ein (v) 0, on Inzidenzmarizen

5 Saz von Menger (bogendijunk, geriche) 9 Spezielle Unergraphen 0 Definiion.0 Für einen Graphen G = (V, E) und F E, W V definieren wir die folgenden Graphen: G[F ] := (V, F ) G \ F := G[E \ F ] G[W ] := (W, E ( ) W ) G \ W := G[V \ W ]

6 Zuammenhang von Graphen Definiion. Für k N >0 heiß ein Graph G = (V, E) k-fach kanenzuammenhängend, wenn V i und für alle F E mi F < k der Graph G \ F zuammenhängend i. Der Graph G i k-fach knoenzuammenhängend (oder: k-zuammenhängend), wenn V > k i und für alle W V mi W < k der Graph G \ W zuammenhängend i. Idee: Augmenierung

7 Muli-Digraphen... Definiion.6 Ein Muli-Digraph i ein Tripel D = (V, A, Ψ) mi einer endlichen Knoenmenge V und einer endlichen Bogenmenge A und einer Abbildung Ψ : A V V \ {(v, v) v V }. Zwei Bögen a, a A mi a a und Ψ(a) = Ψ(a ) heißen parallel. Sie heißen ani-parallel, wenn Ψ(a) = (v, w) und Ψ(a ) = (w, v) i.... Muli-Digraphen Definiion.7 Ein Muli-Digraph, der keine parallelen Bögen ha, heiß einfach. Ein einfacher Muli-Digraph (V, A, Ψ) i ein Digraph, wenn man jeden Bogen a A (eineindeuig) mi Ψ(a) V V idenifizier. Definiion.8 Ein Muli-Digraph D = (V, A, Ψ ) i ein Uner-Muli-Digraph von D = (V, A, Ψ), wenn V V, A A und Ψ = Ψ A ind.

8 Weiere Definiionen Seien D = (V, A, Ψ) ein Muli-Digraph mi Bogenlängen c R A. Sind v 0, v,..., v l V und a,..., a l A mi Ψ(a i ) = (v i, v i ) für alle i [l], o heiß Q = {a,..., a k } ein v 0 -v l -Weg in D, fall v i v j für alle i, j {0,,..., l} mi i j. Fall l, v 0 = v l und v i v j für alle i, j [l] mi i j, o i Q ein Krei in D. Die (kombinaoriche) Länge von Q i Q = l. Die c-länge von Q i c(q). Für V bezeichne R D () V die Menge aller Knoen w V, für die ein -w-weg in D exiier. Haben alle Kreie in D nich-negaive c-länge, o heiß c konervaiv. Ein Vekor π R V i ein c-poenzial für D, wenn für alle a A mi Ψ(a) = (v, w) 5 π w π v + c a gil. 6 Der Muli-Digraph D Definiion.0 Für einen Digraphen D = (V, A) definieren wir den Muli-Digraphen D= (V, A, Ψ) mi A= A A und einer Bijekion A A mi a a für alle a A, owie für a A mi a = (v, w) Ψ(a) = (v, w) ψ( a ) = (w, v). Die Bögen in A heißen Vorwärbögen, die in A heißen Rückwärbögen. Bögen a und a heißen rever zueinander.

9 7 Da Reidualnezwerk Definiion. I f R V + ein Flu in einem Nezwerk (D = (V, A), u), o i da Reidual-Nezwerk bzgl. f der Muli-Digraph D f = (V, A f, Ψ Af ) wobei A f die Teilmenge von A i, für die für alle a = (v, w) A gil: a A f f a < u a a Af f a > 0 Die Reidualkapaziäen ū R A f >0 ind definier durch { ū a := u a f a für alle a A mi a A f ū a := f a für alle a A mi a A f 8 Beipiel: Reidualnezwerk

10 9 Augmenierende Wege Ein f -augmenierender Weg/Krei i ein Weg/Krei R A f in D f. Seine Kapaziä i cap f (R) := min{ū r r R}. I R A f ein f -augmenierender Weg/Krei und γ R, o definieren wir aug(f, R, γ) al f R V + durch f a := f a + γ, fall a R f a γ, fall a R f a, on für alle a A ( Augmenierung von f um γ enlang R ). 0 Augmenierender Weg im Reidualnezwerk

11 Algorihmu.5 (Ford-Fulkeron Algorihmu) Eingabe: Nezwerk N = (D = (V, A), u),, V ( ) Augabe: Ein --Flu f Q A + in N mi maximalem Fluwer : for all a A do : f a 0 : if / R Df () hen : Sop 5: Beimme einen f -augmenierenden --Weg R in D f. 6: f aug(f, R, cap f (R))) 7: Gehe zu Schri Exponenielle Laufzei de FF-Algorihmu N N N N

12 Bewei von Lemma.0 Der Harri-Ro Repor Ford & Fulkeron (95): (Bechreiben da Problem, da T. E. Harri formulier hae.) Ford & Fulkeron (96): (Über da Max-Flow Problem.)

13 Schrijver (Combinaorial Opimizaion, S. 66) 5 (Ziier au dem Repor von Harri und Ro au dem Jahre 955 an die Air Force, downgraded o unclaified im Jahr 999) Abbildung au dem Harri-Ro Repor 6

14 Finden von Zirkulaionen 7 Min-Co Zirkulaionen 8 Problem.5 (Min-Co Circulaion Problem) Inanz: D = (V, A), l, u Q A (l u), c Q A Aufgabe: Opimallöung von min{ c, f f Circ(D, l, u)} oder Feellung, da Circ(D, l, u) =

15 9 Cycle Cancelling Algorihmu Algorihmu.9 (Cycle Cancelling) Eingabe: D = (V, A), l, u Q A (l u), c Q A Augabe: Opimallöung von min{ c, f f Circ(D, l, u)} oder Feellung, da Circ(D, l, u) = : Beimme irgendein f Circ(D, l, u) (oder elle fe, da Circ(D, l, u) = i (Lem.. und oppe). : while D f ha c -negaiven Krei do : Beimme Krei C A f mi c (C) < 0. : f aug(f, C, cap f (C)) 0 Exponeniell viele Augmenaionen [0,N] - [0,] [0,N] 0 0 [0,N] 0 - [0,N] (Augmenaiere e enlang von Dreiecken.)

16 b-flu al Zirkulaion

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