6 Stochastische Differentialgleichungen

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1 6 Sochaiche Differenialgleichungen Viele deerminiiche Modelle der Naur- und der Wirchafwienchafen laen ich mi Hilfe von Differenialgleichungen audrücken. Mi dem Io-Inegral und der Io-Formel haben wir die Grundlagen für ochaiche Differenialgleichungen geleg, mi denen ich nun auch viele ochaiche Modelle mahemaich formulieren laen. Gegeben einen Wahrcheinlichkeiraum mi Browncher Bewegung und Browncher Sandardfilraion owie zwei eige Funkionen µ : R R R und σ : R R R nennen wir die Gleichung dx = µ(, X )d + σ(, X )db, X = x ochaiche Differenialgleichung. Für dieen Begriff verwenden durchweg die engliche Abkürzung SDE (ochaic differenial equaion). In Inegralform gechrieben laue die Gleichung X = x + µ(, X )d + σ(, X )db und ein eiger adapierer ochaicher Proze X der diee Gleichung erfüll heiß Löung der SDE. E i einfach zu ehen, da jede Löung auomaich ein Io-Proze im Sinne de lezen Kapiel i. Wir nennen µ(, X ) Drifkoeffizien und σ(, X ) Diffuionkoeffizien der Gleichung. E ei nochmal an die unerchiedliche Rolle der zwei Terme bei der Bechreibung de lokalen Trend und der lokalen Variabiliä von X erinner, wie ie am Beginn von Kapiel 5 dikuier wurde. 6.1 Beipiele Sochaicher Differenialgleichungen Geomeriche Brownche Bewegung Wir berachen die ochaiche Differenialgleichung dx = µx d + σx db, X = x (6.1) mi µ R, σ > und x. Diee SDE bechreib einen ochaichen Proze deen lokale Wachum ich genauo wie eine lokale Variabiliä proporional zum augenblicklichen Wer verhäl. Ander geag ind die relaiven Änderungen de Prozee von konaner Größenordnung. Diee Hypohee i ewa in finanzmahemaichen Modellen, z.b. bei der Bechreibung eine Akienkure zureffend, wo Kurgewinne bzw. -verlue immer relaiv zum Baiwer zu inerpreieren ind. Al einfacher Anaz zum Auffinden einer Löung biee ich X = f(, B ) mi f 6

2 aureichend differenzierbar an. Nach der Io-Formel gil 7 dx = ( f (, X ) + 1 ) 2 f xx(, X ) d + f x (, X )db, und ein Koeffizienenvergleich mi (6.1) liefer σf(, x) = f x (, x), µf(, x) = f (, x) f xx(, x). Die Löung der eren Gleichung i von der Geal f(, x) = exp(σx + g()); einezen in die zweie Gleichung liefer g () = µ σ2 2. Wir erhalen alo al Löung der ochaichen Differenialgleichung (6.1) den Proze ( X = x exp σb + ) ) (µ σ2, 2 auch geomeriche Brownche Bewegung genann und Bai für da Finanzmarkmodell von Black & Schole. E ei bemerk, da wir an dieer Selle noch nich auchließen können, da auch noch andere Löungen der SDE (6.1) exiieren; wir werden aber im nächen Abchni zeigen, da die nich der Fall i. Der Ornein-Uhlenbeck-Proze Al näche wenden wir un der ochaichen Differenialgleichung dx = λx d + σdb, X = x (6.2) mi λ, σ > und x R zu. Wir ellen fe, da bei dieer SDE der Diffuionkoeffizien im Gegenaz zu (6.1) nich proporional zum augenblicklichen Wer, ondern immer von konaner Größenordnung σ i. Der Driferm λx i negaiv, wenn X poiiv i und poiiv wenn X negaiv i, mi aboluer Größe proporional zu X. Wir können alo davon augehen, da der Proze X langfriig geehen roz ochaicher Flukuaionen dazu endier in die Nähe der Null zurückzukehren. Diee Phänomen wird auch al mean-reverion (Rückkehr zum Mielwer) bechrieben. Da ochaiche Modell (6.4) wurde von den Phyikern Ornein und Uhlenbeck zur Modellierung der Gechwindigkei einzelner Gamoleküle verwende. Zugrundeliegende Annahme i dabei da die Gechwindigkei eine einzelnen Molekül zwar zufällig flukuier, aber lezendlich nich zu ark von der Durchchnigechwindigkei der Geamhei aller Moleküle abweichen darf, und daher eine Tendenz der Rückkehr zum 7 Zur Vereinfachung der Noaion chreiben wir ab nun die pariellen Ableiungen miel iefgeellen Indice, d.h. f := f, fxx := 2 f x 2, ec. 61

3 Abbildung 1: Vier Pfade einer geomerichen Brownchen Bewegung mi Parameern µ =.1, σ = 1. 62

4 Mielwer (mean-reverion) aufweien mu. Eine weiere wichige Anwendung finde die SDE (6.5) in der Finanzmahemaik, wo ie al Vaicek-Modell für Zinraen bekann i. Der einfache Anaz X = f(, B ) führ bei dieer SDE nich mehr zum Ziel. Man könne jedoch vermuen, da e ich aufgrund der einfachen Srukur de Diffuionerm bei X um einen Gaußchen Proze handel. Wir wien au Kapiel 4, da Io-Inegrale von deerminiichen Inegranden, d.h. von der Geal b()db Beipiele für Gaußche Prozee ind. Um eine ewa allgemeinere Klae von Gaußchen Prozeen abzudecken wählen wir den Anaz { X = a() x + b()db }. (6.3) Beache da X da Produk der zwei Io-Prozee Y = a() und Z = x + b()db i. Weier gil [Y, Z] = und wir erhalen nach Anwendung der Produkformel au Korrolar 5.9 { } dx = a () x + b()db d + a()b()db. Mi der Annahme a() > lä ich die umchreiben al Koeffizienenvergleich mi (6.4) liefer dx = a () a() d + a()b()db. a () a() = λ, a()b() = σ. Die Löungen dieer Gleichungen ind a() = e λ und b() = σe λ. Au dem Anaz (6.3) erhalen wir alo X = e λ {x + σ e λ db } = e λ x + σ e λ( ) db al Löung der Ornein-Uhlenbeck SDE (6.4). Au dieer Darellung folg mi den Eigenchafen de Io-Inegral E [X ] = e λ x und Var(X ) = σ 2 e 2λ( ) d = σ2 2λ (1 e 2λ ). Für gil alo E [X ] und Var(X ) σ2 2λ. Da X ein Gaußcher Proze i, chließen wir darau da die Vereilung von X für gegen eine Normalvereilung 63

5 mi Mielwer und Varianz σ2 2λ konvergier. Die Exienz olch einer Grenzvereilung für unercheide den Ornein-Uhlenbeck weenlich von anderen ochaichen Prozeen wie der (gewöhnlichen)brownchen Bewegung oder der geomerichen Brownchen Bewegung. Abbildung 2: Vier Pfade eine Ornein-Uhlenbeck-Prozee mi Parameern λ = 2, σ = 1. Die Brownche Brücke Wir berachen die Differenialgleichung dx = 1 1 X d + σdb, X = x, [, 1). (6.4) Der Einfachhei halber laen wir X bei aren, d.h. wir ezen x =. Wie chon beim Ornein-Uhlenbeck-Proze i da Vorzeichen de Driferm dem Vorzeichen von X genau engegengeez, der Proze zeig alo eine Tendenz zur Null zurückzukehren. Hier wäch aber der Driferm umo ärker je näher ich der Ein 64

6 annäher, und i für = 1 ogar ingulär. Au dieem Grund berachen wir die SDE auch nur auf dem Inerval [, 1). Wegen der ähnlichen Geal können wir auch hier probieren den Anaz (6.3) anzuwenden und erhalen die Gleichungen Die Löungen dieer Gleichungen ind und omi gil a () a() = 1, a()b() = σ. 1 a() = 1 und b() = σ 1 1 X = σ(1 ) 1 db. Wieder laen ich Erwarungwer und Auokovarianz diee Gaußchen Prozee leich berechnen und wir erhalen mi < 1 E [X ] = und Cov(X, X ) = σ 2 1 (1 )(1 ) (1 u) 2 du = σ2 (1 ). Inbeondere gil E [ ] X 2 = σ 2 (1 ) und omi lim 1 E [ ] X 2 =. Wir können ogar zeigen, da der Proze X für 1 fa icher gegen konvergier. Angenommen e gäbe eine Folge n 1, oda mi poiiver Wahrcheinlichkei lim n X 2 n > gil. Dann erhalen wir mi dem Lemma von Faou [ ] < E lim n X2 n lim inf E [ X 2 ] n n = und omi einen Widerpruch. Wir können alo X zu einem eigen ochaichen Proze auf dem abgechloenen Inerval [, 1] forezen, indem wir den Wer X 1 = hinzufügen. Die o definiere Brownche Brücke i ein Gaußcher Proze der bei X = are und auch fa icher wieder bei X 1 = ende. 6.2 Exienz und Eindeuigkei von Löungen Häufig laen ich die Löungen von ochaichen Differenialgleichungen nich in gechloener Form angeben. Dennoch können wir hinreichende Bedingungen für die Exienz und Eindeuigkei einer Löung formulieren. Theorem 6.1. Wenn die Koeffizienen der ochaichen Differenialgleichung dx = µ(, X )d + σ(, X )db, X = x, [, T ] (6.5) 65

7 Abbildung 3: Vier Pfade einer Brownchen Brücke mi Parameer σ = 1. 66

8 die Lipchiz-Bedingung und die Wachumbedingung µ(, x) µ(, y) 2 + σ(, x) σ(, y) 2 K x y 2 (6.6) µ(, x) 2 + σ(, x) 2 K(1 + x 2 ) (6.7) für alle (, x) [, T ] R erfüllen, dann exiier ein eiger adapierer Proze der (6.5) erfüll und welcher gleichmäßig in L 2 (dp ) bechränk i: up E [ X 2 ] <. [,T ] Sei Y eine weiere eige und gleichmäßig in L 2 (dp ) bechränke Löung von (6.5), dann ind X und Y ununercheidbar. Bewei von Theorem 6.1: Eindeuigkei. Der einfachere Teil de Beweie i die Eindeuigkei. Wir nehmen an da zwei eige gleichmäßig in L 2 (dp ) bechränke Löungen X und Y der SDE (6.5) auf [, T ] exiieren und berachen deren Differenz X Y = (µ(, X ) µ(, Y )) d + Mihilfe der Ungleichung (a + b) 2 2a 2 + 2b 2 erhalen wir (σ(, X ) σ(, Y )) db. E [ [ ( (X Y ) 2] ) 2 ] [ ( ) 2 ] 2E µ(, X ) µ(, Y )d +2E σ(, X ) σ(, Y )d. (6.8) Aufgrund der Lipchiz-Bedinung an σ(, x) gil (σ(, X ) σ(, Y )) 2 K(X Y ) 2, worau gemeinam mi der gleichmäßigen L 2 (dp )-Bechränkhei von X und Y folg da σ(, X ) σ(, Y ) H 2 [, T ]. Wir können alo auf da zweie Inegral in (6.8) die Io-Iomerie anwenden. Da ere Inegral chäzen wir mi der Cauchy-Schwarzchen Ungleichung ab und erhalen uner erneuer Verwendung der Lipchiz-Bedingung E [ [ ( (X Y ) 2] 2 ] [ ( 2 ] 2E µ(, X ) µ(, Y )) d + 2E σ(, X ) σ(, Y )) d C E [ (X Y ) 2] d <,, [, T ] 67

9 mi C = 2K max(1, T ). Wir ehen alo da g() = E [ (X Y ) 2] die Inegralungleichung 8 g() C g()d erfüll. Seze nun M = up [,T ] g(). Au der Ungleichung folg g() MC. Erneue Anwenden liefer g() MC und nach n Ieraionen erhalen wir g() MCn n /n!. Da n! ärker wäch al n folg mi n, da g() = für alle [, T ]. Dami gil X = Y fa icher für alle [, T ]. Da X und Y eige Prozee ind, folg mi Lemma 1.1 die Ununercheidbarkei von X und Y. Für den Exienzbewei können wir eine Idee au der Theorie der gewöhnlichen Differenialgleichungen übernehmen die Picard-Ieraion. Wir ezen X () x und definieren eine Folge (X (n) ) n N von ochaichen Prozeen miel X (n+1) = x + µ(, X (n) )d + σ(, X (n) )db. (6.9) Zuer i zu zeigen, da die Prozee X (n) aächlich wohldefinier ind. Lemma 6.2. Wenn X (n) auf [, T ] in L 2 (dp ) bechränk i, dann gil σ(, X (n) ) H 2 [, T ] und µ(, X (n) ) L 2 (d dp ). auf [, T ] in L 2 (dp ) be- Weier i auch der durch (6.9) definiere Proze X (n+1) chränk. Bewei. Aufgrund [ der L 2 -Bechränkhei von X (n) exiier ein C >, oda ( ) ] 2 up [,T ] E X (n) = C <. Au der Wachumbedingung (6.7) folg E [ T ] ( ) 2 σ(, X (n) ) d T K(1 + C) und dami σ(, X (n) ) H 2 [, T ]. Au der Io-Iomerie erhalen wir alo ( T E σ(, X (n) ) 2 )db = E [ T ] ( ) 2 σ(, X (n) ) d T K(1 + C). Ebeno folg au der Wachumbedingung (6.7) µ(, x) 2 K(1 + x 2 ) und dami nach 8 Diee Inegralungleichung i eine beonder einfache Form der Gronwall-Ungleichung die auch in der Theorie der gewöhnlichen DGLen eine Rolle piel. 68

10 Anwendung der Cauchy-Schwarzchen Ungleichung ( T E µ(, X (n) )d ) 2 T K(1 + C). Da Zuammenfügen der Abchäzungen für Drif- und Diffuionerm zeig nun die L 2 -Bechränkhei von X (n+1). Der näche Schri beeh darin zu zeigen, da die Folge der Picard-Ieraionen aächlich gegen einen eigen Proze X konvergier. Ähnlich wie in der Konrukion de Io-Inegral al eigen Proze in Theorem 3.8 benöigen wir dafür pfadweie Konvergenz in der Supremumnorm auf dem Raum C[, T ] der eigen Funkionen. Schlüel dazu i folgende Abchäzung: Lemma 6.3. Wenn die Koeffizienen µ und σ in (6.9) die Lipchiz-Bedinung (6.6) erfüllen, dann exiier ein C > oda für die Prozee X (n) der Picard-Ieraion (6.9) die Ungleichung gil. [ ( E up X (n+1) Bewei. Wir zerlegen X (n+1) D = ) ] 2 X (n) C X (n) und den Beirag der Diffuionerme M = ( ( [ E (X (n) X (n 1) ) 2] d (6.1) in den Beirag der Driferme µ(, X (n) σ(, X (n) ) ) µ(, X (n 1) ) d ) ) σ(, X (n 1) ) db. Wir haben berei gezeig, da σ(, X (n) ) in H 2 [, T ] lieg und folgern darau, da M ein Maringal i. Weier gil ( up X (n+1) ) 2 X (n) 2 up D up M 2. Wir chäzen zuer den Driferm mi der Cauchy-Schwarzchen Ungleichung ab, und erhalen ( 2 up D 2 µ(, X (n) ) µ(, X )) (n 1) d. (6.11) 69

11 Auf den Maringalerm wenden wir die Doobche Ungleichung und die Io-Iomerie an und erhalen [ ] E up M 2 4E [ [ M 2 ] ( ) ] 2 = 4E σ(, X (n) ) σ(, X (n 1) ) d. (6.12) Die Schranken (6.11) und (6.12) gemeinam mi der Lipchiz-Bedingung (6.6) und der Wahl der Konanen C := 8K max(1, T ) liefern die Behaupung. E bleib nur noch die Konvergenz der Picard-Ieraion gegen eine Löung der ochaichen Differenialgleichung zu zeigen. Bewei von Theorem 6.1: Exienz. Wir definieren [ g n () = E up X (n+1) X (n) 2]. (6.13) Mi der Abchäzung au Lemma 6.3 gil g n () C g n 1 ()d n 1. (6.14) Au den Bedingungen an µ und σ folg zunäch, da eine Konane M exiier, oda g () M für [, T ]. Mi der Ungleichung (6.14) folg g 1 () MC und nach n-maliger Anwendung chließlich g n () MC n n /n!. Die Markowche Ungleichung liefer darau [ P up X (n+1) X (n) ] 2 2 n g n ()2 n M (2CT )n. n! Die reche Seie i über n N ummierbar und au dem Lemma von Borel-Canelli folg die Exienz einer Menge A F mi P [A] = 1, oda die Folge der Funkionen X (n) (ω) für jede ω A eine Cauchy-Folge in C[, T ] bezüglich der Supremumnorm bilde. Wir chließen da eine eige Funkion X (ω) exiier mi X up [,T ] X (n) fa icher. E bleib zu zeigen, da der konruiere Proze X in L 2 (dp ) bechränk und aächlich eine Löung der SDE 6.5 i. Au (6.13) erhalen wir X (n+1) X (n) 2 T g n (T ), [, T ]. L 2 (dp ) 7

12 Au (6.14) folg ogar, da n= g n(t ) < und dami, da die X (n) auch in L 2 (dp ) eine Cauchy-Folge bilden. Wir haben alo gezeig da lim n X (n) = X auch in L 2 (dp ) für alle [, T ] gil. Au der Lipchizbedinung (6.6) erhalen wir [ T ( E σ(, X (n) ] ) 2 T [ ) σ(, X (n 1) ) d K E (X (n) Da g n () eine eigende Funkion i, folg darau σ(, X (n) ) σ(, X (n 1) 2 KT g n 1 (T ). L 2 (dp d) ) Analog folg für den Driferm die Abchäzung µ(, X (n) ) µ(, X (n 1) 2 KT g n 1 (T ). L 2 (dp d) ) X (n 1) ) 2] d T K g n 1 ()d. Au der eren Abchäzung chließen wir uner Verwendung der Io-Iomerie die Konvergenz σ(, X (n) )db und au der zweien Abchäzung die Konvergenz µ(, X (n) )db σ(, X )db, in L 2 (dp ) (6.15) µ(, X )db, in L 2 (dp ). (6.16) Wir berachen nun die Picard-Ieraion (6.9) für ein fixe [, T ]. Auf der linken Seie gil X (n) X fa icher. Die gezeige L 2 -Konvergenz in (6.15) und (6.16) lä ich durch Auwahl einer Teilfolge (n k ) k N zu fa icherer Konvergen verärken. Mi n k erhalen wir alo X = x + µ(, X )d + σ(, X )db, fa icher. Da beide Seien der Gleichung eig in ind erhalen wir mi Lemma 1.1 ogar Gleichhei bi auf Ununercheidbarkei und haben gezeig, da der konruiere Proze X aächlich die SDE (6.5) lö. 71

13 6.3 Numeriche Löungmehoden Euler-Schema Bei der numerichen Löung von ochaichen Differenialgleichungen uch man auf einem dikreen Gier = < 1 < < N = T nach einer möglich guen Näherung ˆX( i ) für die aächliche Löung X( i ) der SDE. Auch hier können wir Anleihen bei den Mehoden für gewöhnliche Differenialgleichungen nehmen. Für die einfache Mehode, da Euler-Schema erezen wir in der SDE einfach die infinieimalen Terme d und db durch die finien Differenzen i+1 i bzw. B i+1 B i. Zuäzlich können wir die Skalierungeigenchaf und die Unabhängigkei der Inkremene der Brownchen Bewegung aunuzen und erhalen folgende Rekurion ˆX( i+1 ) = ˆX( i ) + a ( i, ˆX( i ) ) [ i+1 i ] + b ( i, ˆX( i ) ) i+1 i Z i, (6.17) mi Sarwer ˆX() = x, wobei (Z i ) i N unabhängige andardnormalvereile Zufallgrößen ind. Da prakich jede Numerikofware die Erzeugung von normalvereilen Zufallzahlen ermöglich, i da Euler-Schema (6.17) ehr leich zu implemenieren. Wähl man die Gierweie h = i+1 i konan, o lä ich da Euler-Schema noch kompaker al ˆX((i + 1)h) = ˆX(ih) + a ( ih, ˆX(ih) ) h + b ( ih, ˆX(ih) ) hz i, chreiben. Milein-Schema Wie bei den Mehoden für gewöhnliche Differenialgleichungen kann man veruchen da numeriche Näherungverfahren durch Hinzufügen von Termen höherer Ordnung zu verbeern. Bei genauerer Berachung de Euler-Schema fäll auf da die Approximaion de Driferm von Größenordnung O(h) i, die Approximaion de Diffuionerm hingegen von Größenordnung O( h) (in Wahrcheinlichkei). E lieg alo Nahe, ich bei der Verbeerung de Verfahren zunäch einmal auf die Approximaion de Diffuionerm zu konzenieren. In Inegralchreibweie gechrieben verwende da Euler-Schema für dieen Term die Näherung +h b(, X )db b(, X ) [B +h B ]. (6.18) Zur Vereinfachung berachen wir nun den Fall, da a(, X ) und b(, X ) nich explizi vom Zeiparameer abhängen und von der Form a(x ) und b(x ) ind. Wenn wir 72

14 auf b(x ) die Io-Formel anwenden erhalen wir b(x ) = b(x ) + ( b (X u ) + 1 ) 2 b (X u )b 2 (X u ) du + b (X u )b(x u )db u. Wegen einer höheren Größenordnung vernachläßigen wir den d-erm und erhalen die Approximaion b(x ) b(x ) + b (X )b(x ) (B B ). Eingeez in die linke Seie von (6.18) ergib ich +h Wir berechnen +h b(x )db b(x ) (B +h B ) + b (X )b(x ) (B B )db = +h B db B (B +h B ) = +h (B B )db. = 1 2 (B2 +h ( + h)) 1 2 (B2 ) B (B +h B ) = = 1 2 (B +h B ) 2 h 2, und wir erhalen chließlich da Milein-Schema ˆX((i + 1)h) = ˆX(ih) + a ( ˆX(ih) ) h + b ( ˆX(ih) ) hzi b ( ˆX(ih) ) b ( ˆX(ih) ) h(z 2 i 1) wobei (Z i ) i N wie zuvor unabhängige andardnormalvereile Zufallgrößen ind. Man beache, da die beiden ochaichen Terme im Milein-Schema unkorrelier ind, denn E [ Z i (Z 2 i 1)] =. Fehlerordnung Naürlich i bei den vorgeellen Verfahren die Konvergenz zur aächlichen Löung X für h zu zeigen und auch die Größe de Dikreiierungfehler i von Ineree. Man nenn ein Dikreiierungverfahren von arker Fehlerordnung δ >, wenn 73

15 eine Konane C exiier, oda 9 [ ] X(T E ) ˆX(Nh) Ch δ für alle aureichend kleinen h. Für eine fegelege Funkionenklae G meien die Klae der eig differenzierbaren Funkionen mi polynomiell bechränken Ableiungen heiß ein Dikreiierungverfahren von chwacher Fehlerordnung δ >, wenn für jede f G eine Konane C f exiier, oda [ ˆX(Nh))] E [f(x(t ))] E f( Cf h δ, für alle aureichend kleinen h gil. Wenn die Klae G nur Lipchizeige Funkionen enhäl gil [ ˆX(Nh))] [ ] X(T E [f(x(t ))] E f( Kf E ) ˆX(Nh) für paende K f und die chwache Fehlerordnung i e größer al die arke Fehlerordnung. Die Moivaion den Begriff der chwachen Fehlerordnung einzuführen i, da in vielen Anwendungen, ewa in der Finanzmahemaik, die Auwerung von Erwarungweren der Form E [f(x(t ))] da lezendliche Ziel der numerichen Berechnung i. Bei manchen Verfahren i uner beimmen Vorauezungen die chwache Fehlerordnung höher al die arke und ie ind daher numerich guariger al die arke Fehlerordnung uggerier. E gil folgende Reula: Theorem 6.4. Gegeben ei eine ochaiche Differenialgleichung dx = a(x )d + b(x )db, X = x deren Koeffizienen die Vorauezungen von Theorem 6.1 erfüllen. Dann i da Euler- Schema von arker Konvergenzordnung 1 2. Wenn zuäzlich a C1 (R) und b C 2 (R) gil, o i da Milein-Schema von arker Konvergenzordnung 1. Ein Bewei finde ich in Kloeden and Plaen [1995, Theorem 1.2.2, Theorem 1.6.3]. Für zeiabhängige Koeffizienen a(, X ) und b(, X ) gil da Reula uner milden zuäzlichen Vorauezungen ebenfall. Wie oben bemerk, i die chwache Konvergenzordnung der bechriebenen Verfahren uner Umänden höher. Fall beipielweie a und b viermal eig differenzierbar mi polynomiell bechränken Ableiungen ind, o i die chwache Konvergenzordnung de Euler-Verfahren 1 (iehe Glaerman [24, Kap ]). 9 In der Fachlieraur werden auch leich abweichende Formen der Fehlerordnung verwende. Wir orienieren un an der Terminolgie von Kloeden and Plaen [1995]. 74