25. Flüsse in Netzen. Motivation. Fluss. Flussnetzwerk

Transkript

1 Moivaion 25. Flüe in Nezen Flunezwerk, Maximaler Flu, Schni, Renezwerk, Max-flow Min-cu, Ford-Fulkeron Mehode, Edmond-Karp Algorihmu, Maximale Biparie Maching [Oman/Widmayer, Kap. 9.7, 9.8.1], [Cormen e al, Kap ] Modelliere Flu von Flüigkeien, Baueile auf Fliebändern, Srom in elekrichen Newerken oder Informaion in Kommunikaionnezwerken Flunezwerk Flu Flunezwerk G = (V, E, c): gericheer Graph mi Kapaziäen Aniparallele Kanen verboen: (u, v) E (v, u) E. Fehlen einer Kane (u, v) auch modellier durch c(u, v) = 0. Quelle und Senke : pezielle Knoen. Jeder Knoen v lieg auf einem Pfad zwichen und : v Ein Flu f : V V R erfüll folgende Bedingungen: Kapaziäbechränkung: Für alle u, v V : 0 f(u, v) c(u, v). Fluerhalung: Für alle u V \ {, }: f(v, u) f(u, v) = 0. 1/10 7/6 20/1 Wer w de Flue: w(f) = f(, v) f(v, ). Hier w(f) =

2 Wie gro kann ein Flu ein? Wie gro kann ein Flu ein? E gil für jeden Flu und jeden Schni, da f(s, T ) = w(f): Begrenzende Fakoren: Schnie von rennender Schni: Pariionierung von V in S und T mi S, T. Kapaziä eine Schnie: c(s, T ) = v S,v T c(v, v ) Minimaler Schni: Schni mi minimaler Kapaziä. Flu über Schni: f(s, T ) = v S,v T f(v, v ) v S,v T f(v, v) f(s, T ) = f(v, v ) f(v, v) v S,v T v S,v T = f(v, v ) f(v, v ) v S,v V v S,v S = f(, v ) f(v, ) v V v V Zweie Gleichhei: Ergänzung, leze Gleichhei: Fluerhalung. v S,v V f(v, v) + 20/1 v S,v S f(v, v) 7/ /10 72 Maximaler Flu? Maximaler Flu? E gil inbeondere für alle Schnie (S, T ) von V. f(s, T ) c(v, v ) = c(s, T ) Naive Vorgehen: 20/1 20/15 v S,v T Werden ehen, da Gleichei gil für min S,T c(s, T ). 7/6 13/11 1/10 7/7 1/ /17 7/7 9/2 16/10 /2 7/7 9/0 20/ /13 1/11 13/13 1/ Folgerung: Greedy Fluerhöhung lö da Problem nich. c =

3 Die Ford-Fulkeron Mehode Fluerhöhung, negaiv Sare mi f(u, v) = 0 für alle u, v V Beimme Renezwerk* G f und Erweierungpfad in G f Erhöhe Flu über den Erweierungpfad* Wiederholung bi kein Erweierungpfad mehr vorhanden. *Wird nun erklär Sei ein Flu f im Nezwerk gegeben. Erkennni: Fluerhöhung in Richung einer Kane möglich, wenn Flu enlang der Kane erhöh werden kann, alo wenn f(u, v) < c(u, v). Rekapaziä c f (u, v) = c(u, v) f(u, v). Fluerhöhung engegen der Kanenrichung möglich, wenn Flu enlang der Kane verringer werden kann, alo wenn f(u, v) > 0. Rekapaziä c f (v, u) = f(u, v) Renezwerk Renezwerk G f gegeben durch alle Kanen mi Rekapaziä: 1/10 7/6 20/ Beobachung Sei G = (V, E, c) ein Flunezwerk mi Quelle und Senke und f ein Flu in G. Sei G f da dazugehörige Renezwerk und ei f ein Flu in G f. Dann definier f f einen Flu in G mi Wer w(f) + w(f ). { (f f f(u, v) + f (u, v) f (v, u) (u, v) E )(u, v) = 0 (u, v) E. Renezwerke haben dieelben Eigenchafen wie Flunezwerke, auer da aniparallele Kanen zugelaen ind

4 Bewei Kapaziäbechränkung: (f f )(u, v) = f(u, v) + f (u, v) f (v, u) f(u, v) + f (u, v) f(u, v) = f (u, v) 0 (f f )(u, v) = f(u, v) + f (u, v) f (v, u) f(u, v) + f (u, v) f(u, v) + c f (u, v) = f(u, v) + c(u, v) f(u, v) = c(u, v). Bewei Fluerhalung u V (f f )(u, v) = u V (Fluerhalung von f und f ) = u V f(u, v) + u V f(v, u) + u V = u V (f f )(v, u) f (u, v) u V f (v, u) u V f (v, u) f (u, v) Bewei Wer von f f (im Folgenden N + := N + (), N := N ()): w(f f ) = (f f )(, v) (f f )(v, ) v N + v N = f(, v) + f (, v) f (v, ) f(v, ) + f (v, ) f (, v) v N + v N = f(, v) f(v, ) + f (, v) + f (v, ) v N + v N v N + N v N + N = f(, v) f(v, ) + f (, v) + f (v, ) = w(f) + w(f ). 733 Flu in G f Erweierungpfad p: Pfad von nach im Renezwerk G f. Rekapaziä c f (p) = min{c f (u, v) : (u, v) Kane in p} Die Funkion f p : V V R, { c f (p) wenn (u, v) Kane in p f p (u, v) = 0 on i ein Flu in G f mi dem Wer w(f p ) = c f (p) > 0. [Bewei: Übung] 73

5 Folgerung Max-Flow Min-Cu Sraegie für den Algorihmu: Mi einem Erweierungpfad p in G f definier f f p einen neuen Flu mi Wer w(f f p ) = w(f) + w(f p ) > w(f) Wenn f ein Flu in einem Flunezwerk G = (V, E, c) mi Quelle und Senke i, dann ind folgende Auagen äquivalen: 1 f i ein maximaler Flu in G 2 Da Renezwerk G f enhäl keine Erweierungpfade 3 E gil w(f) = c(s, T ) für einen Schni (S, T ) von G Bewei Bewei (2) (3) (3) (1): E gil w(f) c(s, T ) für alle Schnie S, T. Au w(f) = c(s, T ) folg alo w(f) maximal. (1) (2): f maximaler Flu in G. Annahme: G f habe einen Erweierungfad. Dann gil w(f f p ) = w(f) + w(f p ) > w(f). Widerpruch. 737 Annahme: G f habe keinen Erweierungfad. Definiere S = {v V : e exiier Pfad v in G f }. (S, T ) := (S, V \ S) i ein Schni: S, S. Sei u S und v T. Wenn (u, v) E, dann f(u, v) = c(u, v), on wäre (u, v) E f. Wenn (v, u) E, dann f(v, u) = 0, on wäre c f (u, v) = f(v, u) > 0 und (u, v) E f Wenn (u, v) E und (v, u) E, dann f(u, v) = f(v, u) = 0. Alo w(f) = f(s, T ) = f(u, v) f(v, u) u S v T v T u = c(u, v) 0 = c(u, v) = c(s, T ). u S v T v T u u S v T 738

6 Algorihmu Ford-Fulkeron(G,, ) Analye Inpu : Flunezwerk G = (V, E, c) Oupu : Maximaler Flu f. for (u, v) E do f(u, v) 0 while Exiier Pfad p : im Renezwerk G f do c f (p) min{c f (u, v) : (u, v) p} foreach (u, v) p do if (u, v) E hen f(u, v) f(u, v) + c f (p) ele f(v, u) f(u, v) c f (p) Der Ford-Fulkeron Algorihmu mu für irraionale Kapaziäen nich einmal erminieren! Für ganze oder raionale Zahlen erminier der Algorihmu. Für ganzzahligen Flu benöig der Algorihmu maximal w(f max ) Durchläufe der While-Schleife. Suche einzelner zunehmender Weg (z.b. mi Tiefenuche oder Breienuche O( E )). Alo O(f max E ). 1 u v Bei chlech gewähler Sraegie benöig der Algorihmu hier bi zu 2000 Ieraionen Edmond-Karp Algorihmu Edmond-Karp Algorihmu Wähle in der Ford-Fulkeron-Mehode zum Finden eine Pfade in G f jeweil einen Erweierungpfad kürzeer Länge (z.b. durch Breienuche). Wenn der Edmond-Karp Algorihmu auf ein ganzzahlige Flunezwerk G = (V, E) mi Quelle und Senke angewende wird, dann i die Geamanzahl der durch den Algorihmu angewendee Fluerhöhungen in O( V E ) [Ohne Bewei] 71 72

7 Anwendung: Maximale biparie Maching Gegeben: biparier ungericheer Graph G = (V, E). Maching M: M E o da {m M : v m} 1 für alle v V. Maximale Maching M: Maching M, o da M M für jede Maching M. Korrepondierende Flunezwerk Konruiere zur einer Pariion L, R eine biparien Graphen ein korrepondierende Flunezwerk mi Quelle und Senke, mi gericheen Kanen von nach L, von L nach R und von R nach. Jede Kane bekomm Kapaziä 1. L R L R 73 7 Ganzzahligkeiheorem Wenn die Kapaziäen eine Flunezwerk nur ganzzahlige Were anehmen, dann ha der durch Ford-Fulkeron erzeuge maximale Flu die Eigenchaf, da der Wer von f(u, v) für alle u, v V eine ganze Zahl i. [ohne Bewei] Folgerung: Ford Fulkeron erzeug beim zum biparien Graph gehörenden Flunezwerk ein maximale Maching M = {(u, v) : f(u, v) = 1}. 75