8 Kürzeste Wege KÜRZESTE WEGE. Hier sind alle Graphen gerichtet und gewichtet, d.h. wir haben eine Kostenfunktion K : E R dabei.

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1 04 8 KÜRZESTE WEGE 8 Kürzee Wege Hier ind alle Graphen geriche nd geiche, d.h. ir haben eine Koenfnkion K : E R dabei. Alo ea: K(, ) = 5,K(, ) =,K(, ) = 7,K(, 4) = 0 I W = ( 0,,..., k ) irgendein Weg im Graphen, o bezeichne K(W) = K( 0, )+ K(, ) + + K( k, k ) die Koen on W. K( 0 ) = 0 Berachen ir die Knoen nd 4, o i K(, 4) = 0,K(4, ) = nd K(, 4,, 4) =,K(, 4,, 4,, 4) =,... Negaie Kreie erlaben beliebig krze Wege. Wir bechränken n af einfache Wege, d.h. noch einmal, da alle Kanen erchieden ind. Definiion 8.(Dianz): Für, V i Di(,) = Min{K(W) W = ( 0 =,,..., k = ) i einfacher Weg on nach }, ofern e einen Weg gib. Di(,) =, enn e keinen Weg Di(,) = 0 gib. Un geh e jez darm, kürzee Wege z finden. Daz machen ir znäch folgende Beobachng:... I = 0 k k = ein kürzeer Weg on z nach, o ind alle Wege 0 i oben ach kürzee Wege. Dehalb i e innoll, da ingle orce hore pah-problem z berachen, alo alle kürzeen Wege on einem Agangpnk z chen. I ner Agangpnk, o biee e ich an, eine Kane minimaler Koen on a z berachen:

2 05 Gib n diee Kane einen kürzeen Weg on nach? Im Allgemeinen nich! Nr ner der Einchränkng, da die Koenfnkion K : E R 0 i, alo keine Koen < 0 erlab. Diee Bedingng reffen ir znäch einmal bi af eiere. Alo, arm i der Weg ein kürzeer Weg? (Nachfolgende Aage gil bei negaien Koen o nich: ) Jeder andere Weg on a ha drch eine ere Kane mindeen die Koen K(,). Der Greedy-Anaz e am Anfang. Wie bekommen ir einen eieren kürzeen Weg on a? Wir chaen n die z, adjazenen Knoen an. Oben,,. Wir ermieln z K(, ) z Min{K(, ),K(,) + K(, )} z K(,) + K(, ). Ein minimaler dieer Were gib n einen eieren kürzeen Weg. I ea K(, )+ K(, ) minimal, dann gib e keinen kürzeen Weg. Ein olcher Weg müe ja die Menge, irgendann erlaen. Daz müen aber die eingezeichneen Wege genommen erden nd der Weg z ird höchen länger. (ieder ichig: Koen 0). So geh e allgemein eier: I S eine Menge on Knoen, z denen ein kürzeer Weg on a gefnden i, o berachen ir alleknoen i adjazen z S aber nich in S. S Für jeden Knoen i berechnen ir die minimalen Koen eine Wege der Ar

3 06 8 KÜRZESTE WEGE = 0 S... k i S Für ein i erden diee Koen minimal nd ir haben einen kürzeen Weg i. Wie orher ieh man, da e irklich keinen kürzeren Weg Da Prinzip: Nimm immer den nächkürzeren Weg on agehend. i gib. 8. Algorihm (Dijkra 959) Eingabe: G = (V,E),K : E R 0 (!) V = n, V Agabe: array D[,..., n] of real mi D[] = Di(, ) für V. Daenrkren: S = Menge der Knoen, z denen kürzeer Weg gefnden i Q = V \ S. D[] = 0, S = {}, Q=V\{}. for (i = o n - ){ //Schen noch n- kürzee Wege. M = {{, } S, Q} 4. for each Q adjazen z S{ 5. D[] = Min{D[] + K(, ) (,) M}} 6. = ein Q mi D[] minimal; 7. S = S {}, Q = Q\{}} Korrekhei mi Inariane: Für alle S l i D[] = Koen eine kürzeen Wege. Da Argmen gil ie oben berei orgeführ. Zeck Merken der Wege da Array Π[,...,n] of,...,n mi Π[] = Ein kürzeer i (,...,,). Π kann leich in 6. migeführ erden. E i da Vaerarray de kürzeen-wege- Bame mi Wrzel.

4 8. Algorihm (Dijkra 959) S D[] D[] D[] D[4] D[5] {} / {, } {,, 5} {,, 5, 4} {,, 5, 4, } Die Wege erden der Länge nach gefnden: S Kürzeer-Wege-Bam {} {, } Π[6] =, Π[] =, Π[] = {,, } Π[4] = 5, Π[5] = 4 {,,, 4, 5} {,,, 4, 5, 6} Die Lafzei i bei direker Implemenierng ea O( V E ), da e O( V ) Schleifendrchläfe gib nd jedemal die Kanen drchch erden, ob ie z M gehören. Q nd S ind al booleche Array mi Q[] = re Q z implemenieren. Die Daenrkr de dicionary (Wörerbch) peicher eine Menge on Elemenen nd nerüz die Operaionen Find() = Finden de Elemene innerhalb der Srkr Iner() = Einfügen

5 08 8 KÜRZESTE WEGE Delee() = Löchen (I die Grndmenge nich al Indexmenge geeigne: Hahing oder Schbam.) In Q i ein dicionary implemenier. Jede Operaion erfolg in O(). Ziel: beere Implemenierng Für elche Q kann ich D[] in 5. nr ändern? Nr für diejenigen, die adjazen z dem de orherigen Lafe ind. Dann ieh e ea o a: 8. Algorihm (Dijkra ohne mehrfache Berechnng deelben D[]). D[] = 0; D[] = K(,) für Adj[]; D[] = für V\ ( {} Adj[] ) ; Q = V\{}; S = {};. for i = o n - {. = ein Q mi D[] minimal; 4. S = S {}; Q = Q\{}; 5. for each Adj[]{ //D[] aparen für adjazen z 6. if D[] + K(, ) < D[]{ D[] = D[] + K(, ) }} Korrekhei mi zäzlicher Inariane: Für Q l i D l [] = minimale Koen eine Wege der Ar = 0 S... k Q Man kann ach leich zeigen: Für alle S l i D l [] D l [ l ], l = da Minimm der l-en Rnde. Dami änder 6. nich mehr an D[] für S l. Lafzei:. ingeam n - mal Minimm finden 4. ingeam n - mal Minimm löchen 5., 6. ingeam O( E ), da dor jede Adjazenzlie nr einmal drchlafen ird. Mi Q al booleche Array:

6 8. Algorihm (Dijkra ohne mehrfache Berechnng deelben D[]) 09. O(n ) ingeam. Da Finden eine neen Minimm nach dem Löchen daer O(n). 4. O(n) ingeam,. Löchen O() 5., 6. Bleib bei O( E ). Alo alle in allem O(n ). Aber mi Q benöigen ird die klaichen Operaionen der prioriy qee, alo Q al heap, den Schlüeler a D.. O(n) ingeam. 4. O(n logn) ingeam. 5., 6. E -mal heap anpaen, mi Decreaekey(, ) (gl. Prim) O( E logn). Zm Finden Index miführen! Alo: Q al booleche Array: O(n ) (Zei fäll beim Finden der Minima an). Q al heap mi Index: O( E logn) (Zei fäll beim Decreaekey(, ) an). I E logn n, alo i der Graph ehr dich, dann i ein Array beer (gl. Prim). Ab jez berachen ir ieder eine beliebige Koenfnkion K : E R. Der Greedy-Anaz ie bei Dijkra geh nich mehr. Kürzee Wege finde man drch Drchprobieren. Die Zei i (n )! Ω(logn+n) n! E erden im Allgemeinen iele Permaionen generier, die gar keinen Weg ergeben. Da ermeide backracking: Wähle Minimm K(, ) + K (, ) i i kürzee Wege... k gech Adj[] = {,..., } kürzee Wege kürzee Wege k in G\{} in G\{} Die i korrek, da Teilege kürzeer Wege ieder kürzee Wege ind nd ir mi kürzeen Wegen immer nr einfache Wege meinen. Da Ganze i leich drch Rekrion mzezen: Eingabe: G = (V,E),K : E = R beliebig.

7 0 8 KÜRZESTE WEGE KW (W,, ) //, W, W = nach b berachee Knoenmenge. if ( == ) rern 0;. l = ;. for each Adj[] W{ l = KW(W\ {},, ); l = K(, ) + l j ; if(l < l) l = l ; //Hier Π[] = gib kürzee Wege elb } 4. rern l //Agabe, enn Adj[] W = Ø. Afrf: KW(V, a, b) Korrekhei: Indkion über W. Ea einfacher i e, alle einfachen Wege yemaich z erzegen nd den Längenergleich nr am Ende drchzführen. Daenrkr: L L = Lie on Knoen al Keller implemenier Inenion: L enhäl den Weg om Sarknoen a bi zm akellen Knoen. G = Lie on Knoen. Der akell kürzee Weg a L,G = globale Array b Afrf mi K(L) =, K(G) =, L = (a), KW(, a, b) KW(W,, ){. if ( == ){ if (K(L) < K(G)) // K(L), K(G) = Koen on L, G G = L; rern; }. for each Adj[] W { af Keller L ablegen; KW(W\{},, ); om Keller L löchen } } Korrekhei mi der Aage: Beim Afrf on KW(W,, ) i L =...a. Am Ende de Afrf KW(W,, ) enhäl G einen kürzeen Weg der Ar G = b...l. (L i da L on oben) Da Ganze indki über W.

8 8. Algorihm (Dijkra ohne mehrfache Berechnng deelben D[]) Lafzei der rekrien Verfahren? Enhäl der Graph alle n(n ) Knoen, o ieh der Afrfbam folgendermaßen a: a b... b n Kinder on a b... b... je n Kinder = b Alo (n )(n )... Ω(n logn). Wieiele erchiedene Afrfe haben ir höchen? Alo Afrfe KW(W, c, d)? W V n Möglichkeien. c,d n Möglichkeien, da Endpnk immer gleich. Alo n n = logn n = O(n). Alo bei Ω(nlogn) Afrfen ie oben iele doppel. E i ja O(n) = Ω(nlogn) = Ω(logn) n ǫ 0 (obei n ǫ = n Ω() ) für ein ǫ > 0 konan. Alo: Vermeiden der doppelen Berechnng drch Merken (Tabellieren). {0,} {}} n { Daz da Array T [... n ][...n] of in mi der Inerpreaion: Für W V mi b, W i T[W, ] = Länge eine kürzeen Wege b nr drch W. Füllen T[W,] für W =,,.... W =, dann = b W,T[{b},b] = 0. W =, dann T[W,b] = 0,T[W,] = K(,b), enn b. W =,T[W,b] = 0 T[W, ] ergib ich a: l =,W = W \ {}

9 8 KÜRZESTE WEGE for each Adj[] W{ l = K(,) + T[W,] if (l < l) l = l } T[W,] = l Alo, da heiß: T[W,] = Min{Q(,) + T[W,] W = W \ {}, W } T[W, ] =, enn keine Kane mi W. Da Miführen de Wege drch Π[W,] =, om Minimm ermöglich eine leiche Ermilng der Wege. Alo, der Einrag T[W,] ird o geez: Seze(W,, b) {. if ( == b) { T[W, ] = 0; Π[W, ] = b; rern; } W = W \ {}; // Hier W T[W,] = ;. for each Adj[] W { l = K(,) + T[W, ]; if (l < T[W,]) { T[W,] = l; Π[W,] = ; }}} Dann ingeam KW(V,, b) {. for i = o n {. for each W V, b W, W = i{. for each W{ 4. Seze(W,, b); }}}} Dann enhäl T[V,a] da Ergebni. Weg i a 0 = a,a = Π[V,a],a = Π[V \ {a},a ],...,a i = Π[V \ {a 0,...,a i },a i ],... Inariane für. Nach dem l en Laf i T l [W,] korrek für alle W mi W l. Lafzei: O(n n ), da ein Laf on Seze(W, ) in O(n) möglich i. Da hier erendee Prinzip: Mehr rekrie Afrfe al Möglichkeien Tabellieren der Afrfe heiß:

10 8. Algorihm (Dijkra ohne mehrfache Berechnng deelben D[]) Dynamiche Programmieren (Affüllen einer Tabelle, 950er) Wir beginnen einmal mi einer anderen Fallnercheidng beim backracking: Minimm KW ohne Knoen n mi Knoen n ohne n Hier Möglichkeien n =, n n =, n n = n n = ohne n ohne n rekri eier Korrekhei: I, + n nd i ein kürzeer Weg ohne n, dann ird dieer nach Indkionoraezng link gefnden. Erhale jez jeder kürzee Weg den Knoen n. Wird ein olcher nbeding rech gefnden? Nr dann, enn die kürzeen Wege n, n keinen eieren gemeinamen Knoen haben. Wenn ie einen gemeinamen Knoen haben, o n. Da dieer Weg kürzer i al n jeder Weg ohne n, m ein Krei der Länge < 0 ein. Berachen ir alo jez K : E R, aber o, da keine Kreie < 0 exiieren.

11 4 8 KÜRZESTE WEGE 4 kürzeer Weg ohne 4, Koen kürzeer Weg 4 Koen kürzeer Weg 4 Koen nd (, 4,, ) Krei der Koen 6 E i güniger, die Fallnercheidng nach den echen Zichenknoen z machen die Zichenknoen... Alo Backracking: ohne Zichen knoen n mi Zichenknoen n ( = n, = n) ohne Zichenknoen n, n ohne Zichenknoen ohne n, n ohne n, n n n ohne n, n n ohne n, n n n n n n n k l ohne n n, n,... n i+ Tiefe i bi Tiefe n! Alo rekrie Prozedr: KW(,, i) für kürzee Wege ohne Zichenknoen n,n,n

12 8. Algorihm Floyd Warhall 5,...,n i +. Kürzeer Weg ergib ich drch KW(,, 0). Rekrionanfang KW(,, n) gib Kane Alo dynamiche Programmieren:. Wieiele erchiedene Afrfe? O(n )! T[,,i] = kürzeer Weg obei Zichenknoen {,...,i} (Alo nich ner i+,..., n.) 0. T[,, 0] = K(,) für alle,!. T[,, ] = Min{T[, ] + T[,],T[,, 0]} für alle,. n. T[,,n] = Min{T[,n,n ] + T[n,,n ],T[,,n ] für alle, All pair hore pah. 8. Algorihm Floyd Warhall G ohne Kreie 0, V = {,..., n}. T[, ] = 0, T[, ] = K(, ) für (, ) E T[, ] = für, (, ) E. for i = o n{ for each (, ) V{ Alle geordneen Paare. T[, ] = Min{T[, ], T[, i] + T[i, ]} } Inariane: Nach l em Laf der Schleife in. eneh T l [,] = Länge eine kürzeen Wege mi Zichenknoen {,...,l}. Wichig: Keine negaien Kreie, denn in l+-er Rnde gil T l [,l+]+t l [l+,] < T l [,], dann i der Weg hiner T l [,l + ] + T l [l +,] ein einfacher! l+ kürzer al kürzee Wege ohne l +, dann oben nich l+ l+ da on K( ) <0 ein müe. Erkennennegaie Kreie: Immer gil, alo bei beliebiger Koenfnkion, da Floyd

13 6 8 KÜRZESTE WEGE Warhall die Koen eine Wege on in T[,] leie. Dann T[,] < 0 G ha Krei < 0. Lafzei: O(n ) (Vergleiche Dijkra O( E log V ) oder O( V ).) Am Anfang Beor k af geh: E i A[i, j] = Min{A[i, j], A[i, ] + A[, j]} Direke Wege. Wege mi Zichenkomponenen. In beor k af geh: Direke Wege + Wege mi Zichenknoen + Wege mi Zichenknoen,. Nich: mi Zichenknoen!

14 7 9 Flüe in Nezerken G = (V,E) geriche, Koenfnkion K : E R 0. Hier nn K(,) = die Kapaziä on (, ). Sellen n or, (, ) ell eine Verbindng dar, drch die ea fließ (Waer, Srom, Ao,... ). Dann beag K(,) = 0 zm Beipiel 0 Lier Waer pro Seknde 0 prodziere Waren pro Tag... Definiion 9.(Flnezerk): Ein Flnezerk i ein gericheer Graph G = (V,E) mi K : V V R 0,K(,) = 0 fall (,) E. Aßerdem gib e zei agezeichnee Knoen V, Qelle (orce) V, Ziel (arge, ink) Wir erlangen noch: Jeder Knoen V i af einem Weg. Ziel: Ein möglich arker Fl pro Zeieinhei on nach. Fl drch E i f(,) R +. E m für einen Fl f gelen: f(,) K(,) Wa z hinfließ, m ach egfließen (ofern, ). Alo k k dann f( i,) = (, i ). Prinzip: Mehode der Ereierngpfade (Ford - Flkeron 950er Jahre). Beginne mi dem Fl 0, f(, ) = 0 für alle (, ) = 0 k=. Sche einen Weg (Ereierngpfad)...

15 8 9 FLÜSSE IN NETZWERKEN o da für alle f( i, i+ ) < K( i, i+ ).. Erhöhe den Fl enlang de Wege o ei e geh. Dann bei. eier. Wieo negaie Flüe? 0/ 0/ 0/ 0/ Fl 0/4 Kapaziä Weg (,,, ) + / / 0/ 0/ Fl /4 Kapaziä Weg (,, ) + / / 0/ / Fl 4/4 Kapaziä kein Ereierngpfad, aber / / / / Fl 4/4 Kapaziä

16 9 i größer! Mi negaien Flüen: / / /0 0/ / Fl 4/4 Kapaziä Immer i f(,) = f(,). Weg (,,, ) + gib den minimalen Fl. Wir laen ach f(,) < 0 z. Definiion 9.: Ein Fl i eine Fnkion f : V V R mi f(,) K(,) für alle, (Kapaziäbedingng) f(,) = f(,) für alle, (Symmerie) Für alle, gil f(, ) = 0 (Kirchhoffche Geez) V f = f(,) i der Wer on f. V Problem: Maximaler Fl f. Immer i f(,) = f(,) = 0, da K(,) = 0, da nie (,) E. Ach f(,) = f(,) = 0, enn (,), (,) E. Denn e i f(,) = f(,), alo ein Wer > 0. I f(,) 0, o Nich ein kann / ezen f(,) = f(, 0) = 0. E oder E. /4 Wir können (müen) kürzen, aber geh. egen f(,) = f(,). Hier ürden ir /4 / oder /4 /0

17 0 9 FLÜSSE IN NETZWERKEN Definiion 9.: Gegeben i da Flnezerk G = (V,E) mi Kapaziä K : V V R 0 nd ein zläiger Fl f : V V R. Da Renezerk G f mi Rekapaziä K f i gegeben drch: K f = (,) = K(,) f(,) 0,E f = {(,) K f (,) > 0}. (E i K f (,) 0, da f(,) K(,)) G F = (V,E f ) Ein Ereierngpfad on G nd f i ein einfacher Weg in G f = 0 k= W =... Die Rekapaziä on W i K f (W) = Min{K f ( i, i+ )} (Nach Definiion gil K f ( i, i+ ) > 0)) E i G f ein Flnezerk nd e i g : V V R mi g( i, i+ ) = K f (W) > 0, g( i+, i ) = K f (W) = G( i, i+ ), g(,) = 0 für (,) W, ein zläiger Fl af G f g = K f (W). Taächlich gil nn ogar: Lemma 9.: Sei G,K,f Flnezerk mi zläigem Fl f. Sei G f da Renezerk. Sei g irgendein zläiger Fl af G f. Dann i f+g Fl af G, f+g = f + g. Renezerke z orangegangenem Nezerk

18 9. Algorihm (Ford Flkeron) Kapaziäen immer 0 4 kein Ereierngpfad. Beei. Wir müen alo überlegen, da f + g zläiger Fl on G i. Kapaziäbedingng: i g(,) K f (,) = K(,) f(,). Alo (f + g)(,) = f(,) + g(,) f(,) + K(,) f(,) = K(,) Symmerie (f + g)(,) = f(,) + g(,) = f(,) g(,) = (f + g)(,) Kirchhoff: Sei V \ {,}, dann (f + g)(,) = (f(,) + g(,)) V V = f(,) + g(,) = 0. V V Schließlich i f + g = (f + g)(,) = f + g. V 9. Algorihm (Ford Flkeron). f(,) = 0 für alle, V. hile E gib Weg in G f {. W = ein Ereierngpfad in G f 4. g = Fl in G f mi g(,) = K f (W) für alle W, ie oben 5. f = f + g } Gib f al maximalen Fl a. Definiion 9.4: Ein Schni eine Flnezerke G = (V, E) i eine Pariion S,T on V, d.h. V = S T mi S nd T. Kapaziä on S,T, K(S,T) = I f ein Fl, o i f(s,t) = S, T S, T K(,) mi K(,) 0, S, T f(,).

19 9 FLÜSSE IN NETZWERKEN Immer i f(s,t) K(S,T) nd f = f({},v \ {}). Ein Flnezerk / / / / 4 / S = {,, } T = {,, } K(S, T) = + + = F(S,T) = + + = (Berag de Fle) S,T in mehreren Sücken kein minimaler Schni. Taächlich gil ogar für jeden Schni S,T, da f(s,t) = f Indkion über S. S =, dann S = {}, dann gil e. Sei S = l +, S \ {}, ei S = S \ {},T = {}. Dann f(s,t) = f(s,t ) + f(,) + f(,) = S T f + f(,) = f. V Alo: Für jeden Schni f K(S, T). Alo ach Max{ f ffl} Min{K(S,T) S,TSchni} E gib einen Fl f, der diee obere Schranke erreich, f = Min{K(S,T) S,TSchni} : Saz 9.(Min-C-Max-Flo): I f ein zläiger Fl in G. Äqialen ind (), () nd (). () f i maximaler Fl. () G f ha keinen Ereierngpfad. () E gib einen Schni S,T, o da f = K(S,T). (Immer f(s,t) = f,k(s,t) f ) Beei. () () gil, da f maximal. Gäle () nich, dann gäle ach () nich. () () Seze S = { V E gib Weg (, ) in G f } T = V \ S Dann S nd T, da kein Ereierngpfad nach (). Alo S,T i ordenlicher Schni. Für S, T gil: O = K f (,) = K(,) f(,) Alo K(,) = f(,). Dann f = f(s,t) = ( S, T)f(,) = ( S, T)K(,) = K(S,T). () () gil, da immer f K(A,B).

20 9. Algorihm (Ford Flkeron) Korrekhei on Ford-Flkeron: Inariane: f l i zläiger Fl Qineenz: Am Ende i f l maximaler Fl (Minc-maxflo). Terminaion: f l (S,T) erhöh ich jedemal. Lafzei on Ford Flkeron? Bei ganzzahligen Kapaziäen reich O( E f ), obei f ein maximaler Fl i. Raionale Zahlen: Normieren! Min. Schni = Max. Fl / /5 6/6 S = {,}T = {} K(S,T) = f(s,t) = 7 8 S = {},T = {,},K(S,T) = 8 S = {,},T = {},K(S,T) = f 8. Vergleiche hierz Seie