Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations

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1 Prof. Dr. H. J. Pesch Lehrshl für Ingeniermahemaik Universiä Bareh Opimale Seerng parieller Differenialgleichngen Opimal Conrol of Parial Differenial Eqaions (Teil 1: WS 2011/12) 12. Übng ( Opimale Seerng bei gewöhnlichen Differenialgleichngen ) Vorbemerkng: Mi diesem Übngsbla soll der Weg zr Lösng von speziellen Opimalseerngsproblemen mi pariellen Differenialgleichngen geebne werden, die bisher noch kam nersch worden sind. Insbesondere wollen wir ns im nächsen Übngsbla ellipische Probleme mi freiem Rand nd mi singlären Seerngen ansehen. Probleme mi freiem Rand wie zeiminimale Opimalseerngsprobleme oder Probleme mi singlären Seerngen sind bei Opimalseerngsproblemen mi gewöhnlichen Differenialgleichngen dagegen relaiv g nersch worden. Deshalb gehen wir znächs hisorisch zrück nd berachen Opimalseerngsprobleme mi gewöhnlichen Differenialgleichngen. Wir werden sehen, dass wir diese ach mihilfe der formalen Lagrangeechnik angehen können nd werden dann diese Vorgehensweise drch Vergleich mi der Anwendng der fndamenalen nowendigen Bedingng der Opimalseerngsheorie für gewöhnliche Differenialgleichngen, dem berühmen Minimmprinzips von Ponrjagin e. al. (1955), mahemaisch sreng rechferigen. Die verschiedenen Phänomene werden wir alle anhand des van der Polschen Oszillaors sdieren: ẍ() ε ( 1 () 2) ẋ() + () = 0, ε 0. Eine geschlossene Lösng dieser nichlinearen Differenialgleichng eisier im übrigen nich. As Wikipedia: Der Van-der-Pol-Oszillaor is ein schwingngsfähiges Ssem mi nichlinearer Dämpfng nd Selbserregng. Für kleine Ampliden is die Dämpfng negaiv (die Amplide wird vergrößer). Ab einem besimmen Schwellwer der Amplide wird die Dämpfng posiiv, das Ssem sabilisier sich nd geh in einen Grenzzkls über. 1 1 Benann nach dem niederländischen Phsiker Balhasar van der Pol ( ), der das Modell 1927 als Ergebnis seiner Forschngen an Oszillaoren mi Vakmröhren vorselle.

2 1) Der ngeregele van der Pol-Oszillaor: Qaliaive Analse () = V () Spannng () = V 0 () Seerng Abbildng 1: Schalbild zm van der Polschen Oszillaor Gegeben sei die homogene Differenialgleichng zweier Ordnng des freien van der Polschen Oszillaors ẍ (1 2 ) ẋ + = 0, (0) = 1, ẋ(0) = 1. a) Man besimme die Gleichgewichspnke des aonomen zweidimensionalen Differenialgleichngsssems für (, ) := (, ẋ) nd nersche sein Sabiliäsverhalen m die Gleichgewichspnke. b) Man weise die Eisenz eines Grenzzkls nach. Hinweis: Man verwende den folgenden af die verallgemeinere Liénardsche Gleichng ẍ + f()ẋ + g() = 0 zgeschnienen Saz; siehe z. B. Heser, H.: Gewöhnliche Differenialgleichngen, Tebner, Sgar, 1989, S. 559: 2

3 Die Fnkionen f nd g in der verallgemeineren Liénardschen Gleichng mögen die folgenden Bedingngen erfüllen: a) f nd g sind af R seig differenzierbar; b) f is eine gerade, g eine ngerade Fnkion; c) f(0) < 0, g() > 0 für alle > 0; d) z der Fnkion F() := 0 f(s) ds, R, gib es ein a > 0, so dass folgendes gil: F() < 0 für 0 < < a, F(a) = 0, F() > 0 für > a, F is af [a, ) monoon wachsend; e) F() für. Dann besiz die verallgemeinere Liénhardsche Gleichng, d. h. das zgehörige Ssem ẋ =, ẏ = f() g() gena einen Grenzzkls. Er läf m (0, 0), nd jede andere (nichdegeneriere) Trajekorie schmieg sich ihm für spriralförmig an., Abbildng 2: Trajekorien () (ro), () (grün) links, Phasenbahn (ro) rechs Bemerkng: Beim gesören van der Polschen Oszillaor ẍ() ε ( 1 () 2) ẋ() + () = F(), ε 0. sind die Vorassezngen des Theorems von Poincaré-Bendison nich mehr erfüll; es kann deerminisisches Chaos afreen. 3

4 2) Der geseere van der Pol-Oszillaor: Nowendige Bedingngen Wir berachen im folgenden zwei Opimalseerngsprobleme für den van der Polschen Oszillaor. Die Dnamik sei in beiden Fällen gegeben drch ẋ() = (), ẏ() = () + (1 () 2 ) () + (), 1 () 1, 0 f, Die beiden Zielfnkionale seien (0) = 1, (0) = 1, ( f ) 2 + ( f ) 2 = r 2. J 1 (,, ) := 1 2 f d mi f vorgegeben nd J 2 (,, ) = f. 0 Das Zielfnkional J 1 beschreib ein Reglaor-Problem, das Zielfnkional J 2 den zeiopimalen van der Pol-Oszillaor. a) Man besimme mihilfe der formalen Lagrangeechnik die nowendigen Bedingngen für das Reglaor-Problem mi feser Endzei. Man gebe das Opimaliässsem als wohl definieres Randwerproblem an. Hinweis: Die Endbedingng ( f ) 2 + ( f ) 2 = r 2 koppele man ebenfalls mihilfe eines Lagrangeparameers an. b) Man besimme mihilfe der formalen Lagrangeechnik die nowendigen Bedingngen für den zeiopimalen van der Pol-Oszillaor. Man gebe das Opimaliässsem als wohl definieres Randwerproblem über einem fesen Inervall an. c) Man leie die nowendigen Bedingngen für die beiden Probleme nochmals mihilfe des Minimmprinzips her. Man vergleiche die erhalenen Opimaliässseme. Man diskiere den Fall singlärer Eremalenbögen, wo die Minimmbedingng keine eindeige Lösng liefer. Hinweis: Das Minimmprinzip (Ponrjagin, Boljanskij nd Gamkrelidze, 1955) sell die wichigse nowendige Bedingng as der Theorie der Opimalen Seerng für gewöhnliche Differenialgleichngen dar. Wir ziieren sie hier für die folgende Grndafgabe der Opimalen Seerng bei aonomen gewöhnlichen Differenialgleichngen: min g((0),( f ), f ) + U ad f 0 f 0 ((),()) d 4

5 ner den Nebenbedingngen ẋ() = f((),()), 0 f, r((0),( f ), f ) = 0 R s, () U ad R m, U ad konve. Die Fnkionen g: R n R n R R, f 0 : R n R m R, f : R n R m R n nd r: R n R n R R s seien hinreichend of seig differenzierbar nach ihren Argmenen. Mi der wie folg definieren Hamilonfnkion H(,p,) := p 0 f 0 (,) + p f(,) läss sich dann das Minimmprinzip (nowendige Bedingng) formlieren: Es seien (,ū) nd gegebenenfalls f eine opimale Lösng des obigen Opimalseerngsproblems. Dann gib es eine Zahl p 0 0 nd eine seige nd sückweise seig differenzierbare Fnkion p: [0, f ] R n nd einen Zeilenvekor q R s mi (p 0,p(),q) 0 für alle [0, f ], so dass die folgenden Assagen geln: (1) An allen Seigkeissellen [0, f ] von ū gelen die Minimmbedingngen H(,p,ū) := min U ad H(,p,), (2) die adjngiere Gleichng ṗ() = H (,p,ū) (3) nd die Transversaliäsbedingngen ( a, b nd sind formale Variable für g( a, b, f ) nd r( a, b, f ) ) p(0) = ( ) g + q r ( (0), ( f ), f ), a p( f ) = ( ) g + q r ( (0), ( f ), f ). b Ferner gil im aonomen Fall H( ( f ),p( f ),ū( f )) = cons für alle [0, f ] nd im Falle freier Endzei zsäzlich noch H( ( f ),p( f ),ū( f )) + ( ) g + q r ( (0), ( f ), f ) = 0. 5

6 , Abbildng 3: Zsände () (ro), () (grün) links, Seerng () (ro) rechs für das Reglaor-Problem (Zielfnkional J 1 ) z den Daen f = 4 nd r = 0.2. Lösng ohne Seerngsbeschränkng, σ Abbildng 4: Zsände () (ro), () (grün) links, Seerng () (ro) rechs, Schalfnkion σ (grün) für den zeiopimalen Oszillaor (Zielfnkional J 2 ) z dem Dam r = 0.2 6

7 3) Der gedämpfe van der Pol-Oszillaor als Opimalseerngsproblem: Nowendige Bedingngen Wir ändern noch einmal das Zielfnkional ab, J 3 (,, ) := 1 2 f () 2 + ẋ() 2 d mi f vorgegeben, 0 schreiben die van der Pol-Gleichng jez als Differenialgleichng zweier Ordnng ẍ() ( 1 () 2) ẋ() + () = nd fordern die Anfangsbedingngen (0) = 0 nd (0) = 1. Die Endbedingng enfäll. Wie laen nn die nowendigen Bedingngen? Insbesondere nersche man den Fall, dass der adjngiere Zsand idenisch verschwinde. ẋ σ = p Abbildng 5: Zsände (), ẋ() links, Seerng () vom Tp bang-singlär oben rechs, Schalfnkion σ = p 2 nen rechs für den gedämpfen Oszillaor (Zielfnkional J 3 ) z dem Dam f = 4 7

8 Bemerkng: Wenn man die in Afgabe 2 formliere Grndafgabe noch m gemische Beschränkngen der Form C(, ) 0, C 0, nd reine Zsandsbeschränkngen der Form S() 0 erweier, ha man bereis die allgemeine Afgabensellng der opimalen Seerng bei gewöhnlichen Differenialgleichng erreich., Abbildng 6: Zsände () (ro), () (grün) links, Seerng () (ro) rechs, für das Reglaor-Problem (Afgabe 2a, Zielfnkional J 1 ) z den Daen f = 4 nd r = 0.2 sowie der Seerngsbeschränkng 1 () 1 nd der Zsandsbeschränkng () für alle [0, f ]. Man beache, hier werden in einem gewissen Zeiinervall sogar beide Ungleichngsbeschränkngen akiv. Nmerische Reslae: Helm Marer, Torial on Conrol and Sae Consrained Opimal Conrol Problems. Par I: Eamples, SADCO Smmer School, Imperial College London, Sepember 5,