Kürzere reguläre Ausdrücke aus deterministischen endlichen Automaten

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1 Kürzere reguläre Audrücke au deerminiichen endlichen Auomaen by Hermann Gruber Iniu für Informaik, Juu-Liebig-Univeriä Gieen, Arndrae 2, D Gieen. Februar 2009 gemeinam mi Marku Holzer (JLU Gieen).

2 Überblick Einleiung Einleiung und Moivaion Neue Ergebnie für Reg. Audrücke Zuandeliminaion Da grundlegende Schema Forlaufende Beipiel Eliminaionreihenfolge Gue Reihenfolgen für die Zuandeliminaion Die grundlegende Idee Unabhängige Mengen Teilgraphen mi kleiner Baumweie Anwendung: Operaionen auf Regulären Audrücken Dikuion

3 Einleiung Moivaion. Reguläre Sprachen werden bechrieben durch Deerminiiche endliche Auomaen (DEA) Nichderminiiche endliche Auomaen (NEA) Reguläre Audrücke (RA) Bechreibungkomplexiä. Seien X, Y {DEA, NEA, RA} Umwandlungprobleme: X nach Y Operaionprobleme: z.b. X X nach Y, gegeben Sprachoperaion Bekanne Ergebnie. Einige Probleme ind ehr gu veranden, z.b. NEA nach DEA Einige andere weniger gu, inbeondere mi RAen Hier. Umwandlung endlicher Auomaen in reg. Audrücke (RAe).

4 Neuere Enwicklungen Augangpunk. Ere Abchäzungen für die Gröe von RA für da Komplemen einer Sprache u.ä. Jede Menge offener Probleme... [Ellul e al. 02] Leze Jahr. Überwiegend chleche Nachrichen: Schni, Shuffle von RA i exponeniell [Gelade & Neven 08; Gruber & Holzer 08] Komplemen doppel exponeniell [Gelade & Neven 08; Gruber & Holzer 08] DFA nach RA i exponeniell [Gelade & Neven 08; Gruber & Holzer 08], berei für binäre Alphabe Quoienen und Roaion ind polynomiell [Gruber & Holzer 08]

5 Beere obere Schranken? Augangpunk. Umwandlungalgorihmen EA nach RA McNaughon-Yamada-Algorihmu Zuandeliminaion Löen eine linearen Gleichungyem... Kommenare. Algorihmen ind alle ungefähr dieelben [Sakarovich 05] Anordnung der Zuände bei Eliminaion beeinflu Gröe von RA [McNaughon & Yamada 60] Schlecheer Fall: Kleiner äquivalener RA ha Gröe c n mi c [Gruber & Holzer 08]

6 Zuandeliminaion Schema. Iniialiierung: Neuen Sar- und Endzuand einführen (und geeigne verbinden). Schri: Eliminiere nächen Zuand j (auer Sar-/Endzuand): rjj r ij r jk i j k i r ik + r ij r jj r jk k r ik Manchmal ofor Vereinfachungen der enehenden Audrücke möglich. Theorem Sei A ein EA mi n Zuänden. Dann liefer Zuandeliminaion einen äquivalenen RA der Gröe höchen Σ 4 n, unabhängig von der Eliminaionreihenfolge.

7 Forlaufende Beipiel Beipiel. Man berache den folgenden EA: c a 1 a 3 a 5 a 7 a 2 a a a 4 6 8

8 Berechnung am Beipiel. Eliminaionreihenfolge, e.g., 1, 2, 5, 6, 3, 4, 7, 8

9 Berechnung am Beipiel. Eliminaionreihenfolge, e.g., 1, 2, 5, 6, 3, 4, 7, 8 c a a a a a a a a 4 6 8

10 Berechnung am Beipiel. Eliminaionreihenfolge, e.g., 1, 2, 5, 6, 3, 4, 7, 8 c aa a a a b ab b b 2 a a a 4 6 8

11 Berechnung am Beipiel. Eliminaionreihenfolge, e.g., 1, 2, 5, 6, 3, 4, 7, 8 c aa + bb a a a ab + ba b b b b b 4 a 6 a 8

12 Berechnung am Beipiel. Eliminaionreihenfolge, e.g., 1, 2, 5, 6, 3, 4, 7, 8 c aa + bb aa + bb 3 7 a ab + ba ab + ba ab + ba b 4 aa + bb 8

13 Berechnung am Beipiel. Eliminaionreihenfolge, e.g., 1, 2, 5, 6, 3, 4, 7, 8 c (ab + ba)(aa + bb) + (ab + ba)(ab + ba) 7 a (aa + bb)(ab + ba) + (ab + ba)(aa + bb) 8 b

14 Berechnung am Beipiel. Eliminaionreihenfolge, e.g., 1, 2, 5, 6, 3, 4, 7, 8 [(ab + ba)(aa + bb) + (ab + ba)(ab + ba)]c a (aa + bb)(ab + ba) + (ab + ba)(aa + bb) 8 b

15 Berechnung am Beipiel. Eliminaionreihenfolge, e.g., 1, 2, 5, 6, 3, 4, 7, 8 [(ab + ba)(aa + bb) + (ab + ba)(ab + ba)]c a + [(aa + bb)(ab + ba) + (ab + ba)(aa + bb)]b

16 Berechnung am Beipiel. Eliminaionreihenfolge, e.g., 1, 2, 5, 6, 3, 4, 7, 8 [(ab + ba)(aa + bb) + (ab + ba)(ab + ba)]c a + [(aa + bb)(ab + ba) + (ab + ba)(aa + bb)]b Reula. [(ab + ba)(aa + bb) + (ab + ba)(ab + ba)]c a + [(aa + bb)(ab + ba) + (ab + ba)(aa + bb)]b

17 Auf die Reihenfolge komm e an Grundlegende Problem. [McInoh 68]... a baic faul of he mehod i ha i generae uch cumberome and o numerou expreion iniially.... a b b a b a Eliminaionreihenfolge. 3, 2, 1 (hier gu) 1, 2, 3 (hier nich o gu)

18 Auf die Reihenfolge komm e an (2) Frühere (experimenelle) Anäze. Einfache Sraegie: Nach dem Knoengrad orieren (hoher Grad zulez) [McNaughon & Yamada 60] Ieraive Sraegien Augeklügelere Gewichfunkion (Eingang-, Auganggrad, Gröe der Zwichenergebnie) [Delgado & Morai 04] Seriell-parallele Srukuren in azyklichen Auomaen [Morai, Moreira & Rei 05, Gulan & Fernau 08] Divide & Conquer Brückenknoen ganz nach hinen bringen [Han & Wood 07] Separaoren in planaren Auomaen [Ellul e al. 05]

19 Inuiion der grundlegenden Idee Inuiion. Keine Inerferenz bei Eliminaion wecheleiig abgechniener Teilrukuren. Schemaiche Zeichnung. Ieraiver Anaz T 1 T 2 Eliminaionreihenfolge. Er die grünen, und blauen, dann die roen Zuände.

20 Inuiion der grundlegenden Idee Inuiion. Keine Inerferenz bei Eliminaion wecheleiig abgechniener Teilrukuren. Schemaiche Zeichnung. Rekuriver Anaz T 1 S T 2 Eliminaionreihenfolge. Er die grünen, und blauen, dann die gelben, und chlielich die roen Zuände.

21 Und jez: Die formale Inuiion Lemma Sei A ein EA mi Zuänden Q. Nimm an, man S Q in zwei Mengen T 1 und T 2 eineilen, o da der induziere Teilgraph in zwei wecheleiig ioliere Komponenen H[T 1 ] und H[T 2 ] zerfäll. Seien j, k Zuände auerhalb von T 1 T 2. Dann gil r T 1 T 2 jk = r T 1 jk + r T 2 jk, d.h., der RA den man durch Eliminaion der Knoen in T 1 gefolg von derer in T 2 bekomm i (modulo =) die Summe der beiden Audrücke, die man bekomm wenn man T 1 bzw. T 2 eliminier. Remark. = abrahier von einfachen Umformungen zwichen RAen, ewa a = [Brzozowki 64]

22 Von EAen zu Regulären Audrücken Wie benuzen wir die formale Inuiion? Suche nach groem Teil de Graphen der einfach i, d.h., durch Wegbeamen diee Teil enehen nich allzu groe Audrücke. Wiederhole diee Idee beim reulierenden Auomaen. (Irgendwann leider: groer einfacher Teil = je ein einziger Zuand.) Groe Induziere Teilgraphen. Wenn Graphen dünn beez, Exienz rieiger... Unabhängiger Mengen [Turán 46] induzierer Teilgraphen of der Baumweie 2 [Edward & Farr 08] garanier. Beache. Man kann mi einfachen Greedy-Algorihmen auch Derarige finden (rieige, nich opimale).

23 Unabhängige Mengen Turán Theorem. Sei G ein ymmericher Digraph mi Durchchnigrad d und n Knoen. Dann ha G eine unabhängige Menge der Gröe n/(d + 1). Theorem Skip example... Sei A ein DEA über binärem Alphabe mi n Zuänden. Dann gib e eine Eliminaionreihenfolge, die einen RA liefer mi Länge höchen O(2.602 n ).

24 Forlaufende Beipiel Unabhängige Mengen Hier: Graph G \ {, } ha 8 Zuände und 26 ungerichee Kanen. c a a a a a a a a Alo d 3. Mi Saz von Turán: unabhänige Menge der Gröe 8/(4 + 1) = 1.6 in grün dargeell. Reihenfolge.

25 Forlaufende Beipiel Unabhängige Mengen Hier: Graph G \ {, } ha 8 Zuände und 26 ungerichee Kanen. c a a a a a a a a Alo d 3. Mi Saz von Turán: unabhänige Menge der Gröe 8/(4 + 1) = 1.6 in grün dargeell. Reihenfolge. 1, 2, 5, 6

26 Forlaufende Beipiel Unabhängige Mengen Hier: Graph G \ {, } ha 8 Zuände und 26 ungerichee Kanen. c aa + bb aa + bb a 3 7 ab + ba ab + ba ab + ba b 4 aa + bb 8 Alo d 3. Mi Saz von Turán: unabhänige Menge der Gröe 8/(4 + 1) = 1.6 in grün dargeell. Reihenfolge. 1, 2, 5, 6

27 Forlaufende Beipiel Unabhängige Mengen Hier: Graph G \ {, } ha 8 Zuände und 26 ungerichee Kanen. c aa + bb aa + bb a 3 7 ab + ba ab + ba ab + ba b 4 aa + bb 8 Alo d 3. Mi Saz von Turán: unabhänige Menge der Gröe 8/(4 + 1) = 1.6 in grün dargeell. Reihenfolge. 1, 2, 5, 6, 3, 4

28 Forlaufende Beipiel Unabhängige Mengen Hier: Graph G \ {, } ha 8 Zuände und 26 ungerichee Kanen. c (ab + ba)(aa + bb) + (ab + ba)(ab + ba) a 7 (aa + bb)(ab + ba) + (ab + ba)(aa + bb) 8 b Alo d 3. Mi Saz von Turán: unabhänige Menge der Gröe 8/(4 + 1) = 1.6 in grün dargeell. Reihenfolge. 1, 2, 5, 6, 3, 4

29 Forlaufende Beipiel Unabhängige Mengen Hier: Graph G \ {, } ha 8 Zuände und 26 ungerichee Kanen. c (ab + ba)(aa + bb) + (ab + ba)(ab + ba) a 7 (aa + bb)(ab + ba) + (ab + ba)(aa + bb) 8 b Alo d 3. Mi Saz von Turán: unabhänige Menge der Gröe 8/(4 + 1) = 1.6 in grün dargeell. Reihenfolge. 1, 2, 5, 6, 3, 4, 7, 8

30 Forlaufende Beipiel Unabhängige Mengen Hier: Graph G \ {, } ha 8 Zuände und 26 ungerichee Kanen. [(ab + ba)(aa + bb) + (ab + ba)(ab + ba)]c a + [(aa + bb)(ab + ba) + (ab + ba)(aa + bb)]b Alo d 3. Mi Saz von Turán: unabhänige Menge der Gröe 8/(4 + 1) = 1.6 in grün dargeell. Reihenfolge. 1, 2, 5, 6, 3, 4, 7, 8 Ergebni. [(ab + ba)(aa + bb) + (ab + ba)(ab + ba)]c a + [(aa + bb)(ab + ba) + (ab + ba)(aa + bb)]b

31 Auomaen mi kleiner Baumweie Balanciere Separaoren of G = (V, E). Eine Teilmenge von Knoen X i ein balancierer k-wege Separaor für S V fall der durch S \ X induziere Teilgraph in k wecheleiig ioliere Teilgraphen G[T i ] zerfäll, mi 1 i k, o da jeder höchen noch halb o gro i, d.h. 0 T i 1 2 S \ X. Lemma. Sei G = (V, E) Digraph mi (ungerich.) Baumweie k. Dann ha jede Teilmenge S von V einen balancieren 3-Wege Separaor mi höchen k + 1 Knoen. Theorem Sei A ein NEA mi n Zuänden und (unger.) Baumweie k. Dann gib e eine Eliminaionreihenfolge, die einen RA liefer mi Länge höchen Σ n O(k).

32 Der Allgemeine Fall Saz von Edward und Farr, DM 308 (2008). Sei G ein zuammenhängender Graph mi Durchchnigrad höchen d 2. Dann ha G einen induzieren Teilgraph mi (unger.) 3n Baumweie höchen 2 und mindeen Knoen. d+1 Theorem Skip example... Sei A ein DEA über binärem Alphabe mi n Zuänden. Dann gib e eine Eliminaionreihenfolge, die einen RA liefer mi Länge höchen O(1.742 n ).

33 Forlaufende Beipiel Separaoren Hier. Graph G \ {, } ha Baumweie mind. 3 Wegen Edward und Farr: Induzierer Teilgraph c a a a a a a a a der Baumweie 2 mi mindeen (3 8)(4 + 1) = 4.8 Knoen Teilgraph in grün, Separaor in gelb dargeell. Reihenfolge.

34 Forlaufende Beipiel Separaoren Hier. Graph G \ {, } ha Baumweie mind. 3 (konrahiere roe Kanen). Wegen Edward und Farr: Induzierer Teilgraph c a a a a a a a a der Baumweie 2 mi mindeen (3 8)(4 + 1) = 4.8 Knoen Teilgraph in grün, Separaor in gelb dargeell. Reihenfolge.

35 Forlaufende Beipiel Separaoren Hier. Graph G \ {, } ha Baumweie mind. 3 Wegen Edward und Farr: Induzierer Teilgraph c a a a a a a a a der Baumweie 2 mi mindeen (3 8)(4 + 1) = 4.8 Knoen Teilgraph in grün, Separaor in gelb dargeell. Reihenfolge. 6

36 Forlaufende Beipiel Separaoren Hier. Graph G \ {, } ha Baumweie mind. 3 Wegen Edward und Farr: Induzierer Teilgraph c a a a a a a a a der Baumweie 2 mi mindeen (3 8)(4 + 1) = 4.8 Knoen Teilgraph in grün, Separaor in gelb dargeell. Reihenfolge. 6

37 Forlaufende Beipiel Separaoren Hier. Graph G \ {, } ha Baumweie mind. 3 Wegen Edward und Farr: Induzierer Teilgraph c a a a a a a a a der Baumweie 2 mi mindeen (3 8)(4 + 1) = 4.8 Knoen Teilgraph in grün, Separaor in gelb dargeell. Reihenfolge. 3, 4, 5 6

38 Forlaufende Beipiel Separaoren Hier. Graph G \ {, } ha Baumweie mind. 3 Wegen Edward und Farr: Induzierer Teilgraph c a a a a a a a a der Baumweie 2 mi mindeen (3 8)(4 + 1) = 4.8 Knoen Teilgraph in grün, Separaor in gelb dargeell. Reihenfolge. 1, 2 7, 8 3, 4, 5 6

39 Forlaufende Beipiel Separaoren Hier. Graph G \ {, } ha Baumweie mind. 3 Wegen Edward und Farr: Induzierer Teilgraph c a a a a a a a a der Baumweie 2 mi mindeen (3 8)(4 + 1) = 4.8 Knoen Teilgraph in grün, Separaor in gelb dargeell. Reihenfolge. 1, 2 7, 8 3, 4, 5 6 Ergebni. [(aa + ba)a + (ab + ba)b](ac a + bc a) + [(aa + ba)b + (ab + ba)a](ab + ba)

40 Anwendung: Operaionen auf Regulären Audrücken Theorem Seien L 1, L 2 Σ reguläre Sprachen mi alphabeicher Breie höchen m bzw. n. 1. Dann gil alph(l 1 L 2 ) 2 O(1+log m n ) min{m,n}. Bemögliche Schranke fall m = Θ(n). 2. Dann gil ( ) 1 alph 2 L 1 Σ 2 O(m), wobei 1 2 L = { x Σ y wih x = y.. xy L }. Anmerkung. Bewei beruh auf Kreuzproduk und rekuriver Suche nach Separaoren darin.

41 Dikuion Wa wir jez wien. Umwandlung EA-nach-RA: Zuandeliminaion aufgepepp Umwandlung binärer DEA in RA der Länge O(1.742 n ). (Für größere Alphabee höhere Schranke) Beache: Unere Schranken Ω(1.001 n ) (binär) und Ω(2 n ) (allgemein). Sprachoperaionen Wa wir gerade heraufinden oder chon aufchreiben. Experimeneller Vergleich der unerchiedlichen Sraegien zur Zuandeliminaion Verallgemeinerung de Reulae für Auomaen mi bechränker Baumweie (Bonu: jez Baumweie) Vergleichbare obere Schranke für Shuffle (wie Durchchni)

42 Aublick Wa wir noch gern wien wollen. Wa i die bemögliche Schranke (z.b. für binäre Alphabe)? I die Beimmung der been Eliminaionreihenfolge NP-chwer? Beere Beweiechniken? Vgl. Fooling e für NEAen... Alphabeiche Breie vieler einfacher regulärer Sprachfamilien bleib völlig offen [Ellul e al. 05]

43 Vielen Dank für Zuhören! Kriik? Fragen? Anregungen?