Bewertungsmethoden in der Versicherungsmathematik

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1 Bewerungmehoden in der Vericherungmahemaik Techniche Reerven und Markwere II Johanne Pacheag Mahemaiche Iniu der Univeriä zu Köln Sommeremeer 2010 Bereuung: Prof. Schmidli, Dr. Eienberg

2 1 Inhalverzeichni 1 Leiungpflich und Zahlungröme Die markwirchafliche Leiungpflich Die Rückkauf-Opion Ineniäbaiere Bewerung von Rückkauf-Opionen Inervenion-baiere Bewerung von Rückkauf-Opionen Markwirchafliche Verbindlichkeien Prämienfreie Vericherungopionen Eine einfache prämienfreie Policenbewerung Inervenionbaiere Bewerung der prämienfreien Verragopion

3 1 1 Leiungpflich und Zahlungröme In dieem Kapiel führen wir die Idee der Zahlungvorgänge ein und uneruchen, wie der markwirchafliche Aufbau durch garaniere Zahlungen und nich-garaniere, alo zufällige Zahlungen, beeinflu wird. Die Zahlungvorgänge ind die Elemene der Geamzahlungröme in einem Vericherungverrag. In unerem Beipiel alo folgende: b ad dn(), b a ()I(n), πi()d und (b a (n) b a ())I(n). Die ere Aufgabe in Verbindung mi einer präzien Bechreibung der Zahlungröme i, die ochaichen Phänomene, wovon die Schadenanforderung abhäng, zu idenifizieren. Für beimme elemenare Vericherungen piel der Todezeipunk eine wichige Rolle. E erwei ich al nüzlich, einen ochaichen Proze Z einzuführen, der auf dem ochaichen Todezeipunk baier. Der Todezeipunk wird durch die Wahrcheinlichkeivereilung eine Zählprozee N modellier, beipielweie über die Einführung einer deerminiichen Ineniä µ. Um Schadenforderungen zu formaliieren führen wir einen Zahlungproze B ein, oda B() die kumulieren Zahlungen de Vericherer an den Vericheren in der Zeipanne [0, ] widerpiegel. D.h. da Zahlungen vom Vericheren an da Unernehmen al negaive Zahlungen aufreen. Wir geben die Zahlungen in eiger Zei an, obwohl ie prakich geehen dikre ind, z.b. jeweil zu Beginn eine Mona. Wir ezen n al Zeihorizon de Vericherungverrag fe und können dann die Schadenforderungen durch den Zahlungproze audrücken: B() = 0 db() (1) wobei db() = b ad dn() + b a ()I()dɛ(, n) πi() d. (2) Hier i ɛ(, n) ein Indikaorproze für n. Durch die Inegraion in der eren Gleichung werden die infinieimalen Änderungen db aufummier, wobei anchließend die Elemene dieer Änderungen aufgelie ind. Der Proze Z dien dazu, eine Anzahl elemenarer Schadenforderungen in der Leben- und Penionvericherung genau zu bechreiben. Allerding gib

4 2 e viele Fälle die durch olch einen Proze nich bechrieben werden können. Ein Beipiel i die Prämienbefreiung. Diee und andere Formen von Berufunfähigkeivericherungen können bechrieben werden durch die Erweierung de Zuandraum von Z mi einem drien Zuand, nämlich unfähig. Nach dem Zuammenfaen der Schadenforderungen in einen Zahlungproze uchen wir nach dem akuellen Wer und dem Markwer de Zahlungprozee. Durch da No-Arbirage-Prinzip erhalen wir, da der akuelle Wer die Summe der akuellen Were der Einzelelemene i. Der akuelle Wer eine Zahlungprozee B() zur Zei über da Zeiinervall (, n] i alo n r db(). Bezieh man nun noch da Prinzip der Riikoreuung (=Diverifikaion, iehe Seie 24) mi ein, o erhalen wir folgende Ergebni für den Markwer zur Zei eine Zahlungprozee: E n e R ] r db(). 1.1 Die markwirchafliche Leiungpflich In dieem Abchni berachen wir den Zahlungproze in einer markwirchaflichen Zuammenezung der Verbindlichkeien. Wir bezeichnen mi B(, ) den zur Zei garanieren Zahlungrom. Für erhalen wir db(, ) = πi() d + b ad dn() + b a ()I() dɛ(, n), (3) V g n () = E e R ] r db(, ). (4) Demenprechend bezeichne B b (, ) den nich garanieren Zahlungrom zur Zei und e gil db b (, ) = (b a () b a ())I() dɛ(, n), (5) V b n () = E e R ] r db b (, ). (6) Die Differenz V () V g () ha ihre Urache in den kumulieren Sicherheimargen in den garanieren Zahlungen, bezeichne mi C(, ), o da für

5 3 gil dc(, ) = I()c(, ) d, (7) V () V g n () = E e R ] r dc(, ). (8) Wir erinnern daran, da dadurch da individuelle Prämienpoenial erzeug wird, ofern U() V () V (). Wir beenden diee Kapiel, indem wir un nochmal die vorgechlagene Definiion de individuellen Bonupoenial angucken (für U() V ()). Naürlich gelen folgende Ungleichungen: [ V ib () = (E n e R ]) + r dc(, ) E [( n E n e R ) + ] r dc(, ) e R ] r dc + (, ) Hierbei können die lezen beiden Gleichungen al alernaive Definiionen der eren angeehen werden. Die Definiionen immen überein, ofern c(, ) für alle enweder poiiv oder negaiv i. Die Definiionen de individuellen Bonupoenial können durch genauere Bechreibung der Verwendung der Sicherheimargen präziier werden. 2 Die Rückkauf-Opion 2.1 Ineniäbaiere Bewerung von Rückkauf-Opionen Wir benuzen erneu ein Markov-Modell mi drei Zuänden (d.h. der Proze i durch die Übergangwahrcheinlichkeien von einem Zuand i in einen anderen Zuand j gekennzeichne). Der Zuand Rückkauf wird zur Zei erreich mi der Rückkauf-Ineniä ν und führ zur Zahlung einer Rückkaufprämie G(). Die führ zur folgenden Differenialgleichung, wobei V ur die geamen Rückellungen beinhale: d d V ur () = r()v ur () + π µ()(b ad V ur ()) ν()(g() V ur ()) V ur (n) = b a (n)

6 4 Wir fordern einen explizien Audruck für die Rückkauf-Opion, z.b. V ur V. Dann kann gezeig werden, da die zuäzliche Reerve gechrieben werden kann al V ur () V () = n r+µ+ν ν()(g() V ()) d (9) Die Berechnung beinhale die zukünfigen Were von G und V nach Rechnunggrundlagen zweier Ordnung. Wir berachen den Fall, da der Rückkaufwer der echnichen Reerve gleich. Sei zunäch V () < V (), d.h. X() < 0. Dann können wir zeigen, da gil, wobei V ur () V () (V () V ())p() (10) p() = n ν ν() d. (11) Fall jedoch V () V (), d.h. X() 0 o gil V ur () V () 0 (12) Zuammengenommen erhalen wir alo folgende Ungleichung: V ur () V () = n r+µ+ν ν()(v () V ()) d 0. Darau folgern wir mi den Rechnunggrundlagen 2. Ordnung { } V ur () V () max p()(g() V ()), Inervenion-baiere Bewerung von Rückkauf-Opionen Wir berückichigen nun, da der Verichere von einer Rückkauf-Opion Gebrauch mach, ofern e ich für ihn lohn. Ein Problem bei dieer Sichweie i, da e hiorich nur ehr elen opimal war, eine Vericherung zurück zu kaufen. Andererei lieg die auch gar nich im Ineree der Vericherungunernehmen, wehalb ich diee vor yemaichem Rückkauf chüzen. Der Verichere oll nun ofor zurückkaufen, obald er darau einen Voreil ziehen kann.

7 5 Berache einen allgemeinen Zahlungproze B. Mi Rückkauf-Opion liefer un da No-Arbirage-Prinzip den Markwer al V ur τ () = max E r db() + e R ] τ r I(τ)G(τ), (13) τ n wobei wir G(n) = 0 ezen. Hier i τ der Zeipunk de Rückkauf. Offenichlich mu der Verichere den Rückkauf zur Zei encheiden aufgrund der bi dahin verfügbaren Informaionen. Man könne ich die Informaion zur Zei al σ -Algebra A denken. Demnach gil alo A A. Der Informaionflu wird alo durch eine Filraion bechrieben. Man prich bei τ dehalb auch von einer Soppzei. Wir definieren den Proze Y ur (, u) durch Y ur (, u) = u r db() + e R u r I(u)G(u). (14) Alo i Y ur (, u) der akuelle Wer der Zahlungen an den Vericheren inkluive Rückkaufprämie gegeben dem Rückkauf zum Zeipunk u. Korollar Sofern V () G() für alle i e opimal, nich zurückzukaufen und e gil V ur () = V (). 2. Fall Y ur (, u) ein Submaringal i, i e nie opimal zurückzukaufen. E gil V ur () = V (). 3. Fall Y ur (, u) ein Supermaringal i, i e opimal ofor zurückzukaufen und wir haben V ur () = G(). Die Aufgabe i nun, gegeben einen Wer de Geamzahlungprozee, diee geamen Rückellungen in Rückellungen für garaniere Zahlungen V g,ur und für nich-garaniere Zahlungen V b,ur zu unereilen. Eine Möglichkei i folgende: V g,ur τ () = max E r db(, ) + e R ] τ r I(τ)G(, τ). τ n Hierbei wird dann V b,ur al Differenz V ur V g,ur berache. G(, τ) i der Rückkaufwer zur Zei τ gegeben da keine Dividenden in (, τ] augechüe werden. Wir führen den Proze Y g,ur (, u) wie folg ein:

8 6 Y g,ur (, u) = τ r db(, ) + e R τ r I(τ)G(, τ) (15) Dami i Y g,ur (, u) genau der akuelle Wer der garanieren Zahlungen gegeben da der Verrag zum Zeipunk u zurückgekauf wird. Lemma 2.2 Nehme an, da G(, u) = V (, u). Dann kann Y g,ur (, u) folgendermaßen umgechrieben werden: Y g,ur (, u) = V () u wobei M ur (, ) ein Maringal i. r I()c(, ) d + M ur (, u), (16) Korollar Für c(, ) 0 gil V g,ur () = V (). 2. Fall c(, ) 0, o folg Y g,ur (, u) = V g (). Bewei. Im eren Fall büß der Verichere die zukünfigen poiiven Sicherheimargen ein, wenn er den Verrag beibehäl. Die wird durch oforigen Rückkauf verhinder, oda die garanieren Zahlungen den Rückkaufwer annehmen. Im zweien Fall mach der Vericherungnehmer maximalen Gewinn, wenn er die Police bi zum Schlu behäl, alo nehmen die garanieren Zahlungen denelben Wer an wie ohne Rückkaufopion. 2.3 Markwirchafliche Verbindlichkeien E gelen folgende Beziehungen für da individuelle Bonupoenial: V ib = max(v, V g ) V g V g,ur V g, (17) mi G(, u) = V (, u). Nach Korollar 2.3 haben wir Gleichhei mi der alen Definiion, ofern c(, ) enweder poiiv oder negaiv für alle i. In der lezen Ungleichung wird eine alernaive Definiion vorgechlagen, die nich von der Dividendenvereilung abhäng.

9 7 3 Prämienfreie Vericherungopionen 3.1 Eine einfache prämienfreie Policenbewerung Augangpunk zur Bewerung von beiragfreien Verragopionen i wieder ein Modell mi drei Zuänden, und zwar lebend mi Prämienzahlung, beiragfreie Police und der Zuand o. Wir führen jedoch keine Ineniä zur beiragfreien Police ein wie im vorangegangen Kapiel zur Rückkaufopion. Dor gal V () V g () = n r+µ c(, ) d. (18) Ein Teil der Sicherheimargen in den garanieren Zahlungen wird gedeck durch zukünfige Prämien. Jedoch ollen wir dann bei der beiragfreien Police auch eine Reerve anlegen für die auf dieen Prämien baierende Dividende. Die Leiungpflich bzgl. Dividenden au den zukünfigen Prämien i gegeben durch da Bonupoenial eine Verrag mi Prämien π und Anzahlung Null zur Zei. Wir berechnen nun diee Bonupoenial, indem wir die Leiungen de augegebenen Verrag uneruchen. Wir halen un an folgende Noaion: V + () = b ad A 1 x+n + ba () n E x+ (19) V g+ () = b ad A 1 x+n + ba () n E x+. (20) Der obere Index + kennzeichne, da hier nur Leiungen einbezogen wurden. Dami können wir die Lebenrenen a x+n umchreiben: und a x+n wie folg a x+n = V + () V () π (21) a x+n = V g+ () V g (). (22) π Die Anzahl Einheien von garanieren Leiungen, β(), die zur Zei au den zukünfigen Prämien erbrach werden können, werden durch da Äquivalenzprinzip fegeleg:

10 8 β() ( b ad A 1 x+n + ba () n Ex+ ) = πa x+n, (23) wodurch ich für β() ergib β() = V + () V () V +. (24) () Zuvor haen wir chon geehen, da da Bonupoenial eine Vericherungverrag zur Zei der Emiion dem negaiven Markwer der garanieren Leiungen gleich, die im Verrag vereinbar wurden. Da Bonupoenial der neuen Vericherung i gegeben durch β() ( b ad A 1 x+n + ba () n E x+ ) + πax+n, da wir umchreiben können zu V () V g+ () V + () V g (). (25) Die oll nun uner Wer für eine prämienfreie Opion werden. Dieer Wer mu zum Markwer der garanieren Leiungen addier werden, um chließlich den Wer der garanieren Zahlungen inkluive Opion zur prämienfreien Police zu erhalen. Dami haben wir erreich: ( V () V g+ () V + () ) V g () + V g () = V () V g+ () V + =: V f (). (26) () Wir wollen da individuelle Bonupoenial zerlegen in ein Poenial V bp baierend auf den Prämien und V bf der prämienfreien Police. Wir berachen die Siuaion V V V f V g. Dann kann V ib = V V g zerleg werden in V ib = V bf + V bp = ( V V f) + ( V f V g).

11 9 Der Markwer von garanieren Zahlungen eine Verrag, augeell zur Zei, kann auch augedrück werden durch die Markwere der Sicherheimargen. Allerding kann eine Siuaion enehen, wo diee negaiv ind. Da diee dann nich al Dividenden vereil werden können, wird da Bonupoenial auf Null geez. Dami gil alo: V bp = max(v f, V g ) V g. (27) Wir können zu jeder Zei uner Berückichigung aller möglichen Beziehungen zwichen V, V, V f und V g die Bonupoeniale folgendermaßen audrücken: V bf = (V V g ( V f V g) + ) + (V V g ( V V g) + ) + ( V bp = V V g V V g ( V f V g) ) Inervenionbaiere Bewerung der prämienfreien Verragopion Wir behandeln nun die prämienfreie Verragopion genau o wie zuvor chon die Rückkaufopion im vorangegangenen Kapiel. Der Verichere wechel auch hier in die prämienfreie Police, wenn e ich für ihn lohn. Uner Anaz i nich frei von Kriik. So gib e keinerlei hioriche Beweie für eine Siuaion, wo die Umwandlung in eine prämienfreie Police opimal war. Und auch hier würde da Vericherungunernehmen durch z.b. zuäzliche Koen die yemaiche Umwandlung unarakiv machen (können). Wir nehmen an, da der Verichere ofor umwandel, obald e für ihn einen Voreil darell. Wir berachen einen allgemeinen Zahlungproze B. Bei der Einführung der prämienfreien Verragopion liefer ein Arbirageargumen den Markwer inkluive unerer Opion: V free τ () = max E r db() + e R ] τ r I(τ)(V f (τ) + X f (τ)). τ n Hier enprich V free genau unerem V ur wenn man die Rückkaufprämie G() durch die Reerve V f (τ)+x f (τ) erez. τ i der Zeipunk der Umwandlung

12 10 bzw. da Verragende, je nachdem wa zuer aufri. Der Verichere mu offenichlich über eine Umwandlung mi der ihm bi dahin zur Verfügung ehenden Informaion encheiden. Dami i τ Soppzei. Der Wer X f (τ) i die unvereile Reerve bei Umwandlung. Wir wollen V free () genauer uneruchen und führen dehalb den Proze ein, wobei Y free (, u) = u r db() + e R u r I(u)(V f (u) + X f (u)) (28) V f () = V () V g+ () V +. (29) () Hier i Y free (, u) eine Funkion von u, nämlich der Wer aller Zahlungen an den Vericheren, inkluive Leiungpflich und nich garaniere Leiungen ab Umwandlung gegeben da die Umwandlung zum Zeipunk u paier. Korollar Fall V () V f () + X f () für alle, o i e opimal nie umzuwandeln und e gil V free () = V (). 2. Fall Y free (, u) ein Submaringal i, o i e niemal opimal umzuwandeln und e gil ebenfall V free () = V (). 3. Fall Y free (, u) ein Supermaringal i, o i e opimal, ofor umzuwandeln und e gil V free () = V f () + X f (). Gegeben einen Wer de geamen Zahlungprozee wollen wir dieen nun unereilen in eine Reerve für die garanieren Zahlungen, V g,free, und eine Reerve für die nich garanieren, V b,free. Wir machen folgende Definiion: wobei V g,free τ () = max E r db(, ) + e R ] τ r I(τ)V f (, τ), τ n V f (, τ) = V (, τ) V g+ (, τ) V +. (, τ) Dann können wir V b,free al Differenz V free V g,free anezen. Bei der prämienfreien Police haben wir außerdem ganz analog zur Rückkauf- Opion folgende Reula:

13 11 Korollar Sofern V () V f () + X f () für alle i e opimal, niemal umzuwandeln und e gil V free () = V (). 2. Fall Y free (, u) ein Submaringal i, i e nie opimal umzuwandeln. E gil V free () = V (). 3. Fall Y free (, u) ein Supermaringal i, i e opimal ofor umzuwandeln und wir haben V free () = V f () + X f (). Für nähere Informaionen ei u.a. auf da Buch On Valuaion and Conrol in Life and Penion Inurance von Mogen Seffenen, 2002, verwieen.