Grundlegende Algorithmen Kapitel 6: Flussprobleme

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1 Grundlegende Algorihmen Kapiel 6: Fluprobleme Chriian Scheideler WS Kapiel 6 1

2 Grundlagen Definiion 6.1: Ein Flunezwerk (G,,,c) beeh au einem gericheen Graph G=(V,E), einer Quelle V, einer Senke V und einer Kapaziäfunkion c:v V R 0, o da c(u,v) = 0 fall (u,v) E. Wir werden im folgenden annehmen, da ֆ G u ֆ G für alle u V i. Definiion 6.2: Sei (G,,,c) ein Flunezwerk. a) Ein Flu in G i eine Funkion f:v V R, o da f(u, v) c(u, v) für alle u, v V (Kapaziäbedingungen) f(u, v) = - f(v, u) für alle u, v V (Aniymmerie) Σ v V f(u, v) = 0 für alle u V \ {, } (Fluerhalungbedingungen) b) Der Wer f einer Flufunkion f i definier al f =Σ v V f (, v) Kapiel 6 2

3 Grundlagen Bemerkung 6.3: E ei f ein Flu oder ein Flunezwerk (G,,,c). Dann a) f (v, v) = 0 für alle v V (wegen Aniymmerie). b) Σ u V f (u, v) = 0 für alle v V \ {, } (Fluerhalung & Aniymm.). c) Für alle u, v V mi (u, v), (v, u) E gil f (u, v) = f (v, u) = 0. d) Für alle v V \ {, } gil Σ f (u, v) = -Σ f (u,v) u V u V f (u, v) > 0 f (u, v) < 0 e) f mi f (u, v) = 0 für alle u, v V i ein Flu Kapiel 8 3

4 Grundlagen Beipiel für güligen Flu: u x f (u, v) c(u, v), f = v 11 1 y f(v,u)=1, alo f(u,v)=-1 nach Aniymmerie. Da implizier, da für da Paar {u,v} nich gleichzeiig in beide Richungen Flu fließen kann. Warum i da nich nowendig? Kapiel 8

5 Grundlagen Bemerkung 6.: Der in aufließende Flu i gleich dem in einfließenden Flu, wa nich chwer zu ehen i. Zunäch ellen wir fe wegen der Aniymmerie fe: Σ v V Σ w V f(v,w) = Σ {v,w} (f(v,w)+f(w,v)) + Σ v V f(v,v) = 0 Weierhin gil wegen der Fluerhalung: Σ v V Σ w V f(v,w) = Σ w V f(,w) + Σ w V f(,w) = f + Σ w V f(,w) Alo gil wegen der Aniymmerie: f = Σ w V f(w,) Kapiel 8 5

6 Grundlagen Alernaive Definiion von Flüen: Definiion 6.5: Sei (G,,,c) ein Flunezwerk. Ein Flu in G i eine Funkion f : E R 0 o da 0 f (u, v) c (u, v) für alle (u, v) E (Kapaziäbedingungen) Σ v V f (u, v) -Σ v V f (v, u) = 0 für alle u V \ {, } (Fluerhalungbedingungen) Definiion 6.5 i inuiiver, wobei Definiion 6.2 rerikiver i und manchmal leichere Beweie erlaub. Wir benuzen die alernaive Definiion 6.5 in päeren Teilen diee Kapiel Kapiel 6 6

7 Problem MAXFLOW: Eingabe: Ein Flunezwerk (G,,,c). Augabe: Ein Flu f in G mi maximalem Wer f. Bemerkung 6.6: Ein maximale Fluproblem (G, 1,, p, 1, q, c) mi mehreren Quellen 1,, p und mehreren Senken 1, q mi dem Ziel, o viele Güer wie möglich von den Quellen zu den Senken zu ranporieren, kann einfach auf da original MAXFLOW-Problem reduzier werden: Konruiere Gɑ = (Vɑ, Eɑ) und cˈ wie folg: Vɑ = V {, } Eɑ = E {(, i ) 1 i p} {( i, ) 1 i q} cɑ (u, v) = c (u, v) u, v V u = oder v = Dann exiier ein Flu f von 1,, p mi 1,, q Wer ϕ in (G, 1,, p, 1, q, c) genau dann, wenn ein Flu fɑ von nach in (Gɑ,,, cɑ) mi Wer ϕ exiier Kapiel p G G 1 q 8 8

8 Definiion 6.7: E ei (G,,,c) ein Flunezwerk. Für X, Y V bezeichnen wir f (X, Y) = Σ Σ f (x, y), c(x, Y) = Σ x X y Y Σ c (x, y) und X v = X \ {v} x X y Y X Y Lemma 6.8: E ei (G,,,c) ein Flunezwerk und e ei f ein Flu in G. Dann gil für alle X, Y, Z V. a) f (X, X) = 0 b) f (X, Y) = -f (Y, X) c) Wenn X Y = dann f (X Y, Z) = f (X, Z) + f (Y, Z) und f (Z, X Y) = f (Z, X) + f (Z, Y) Bewei: Übung Kapiel 6 8

9 Die Ford-Fulkeron Mehode Definiion 6.9: E ei (G,,,c) ein Flunezwerk und f ein Flu in G. a) Für u, v V i die Rekapaziä c f (u,v) definier al c f (u,v) = c (u,v) f (u,v). b) Da Reidualnezwerk G f = (V,E f ) i definier al E f = { (u,v) V V c f (u,v) > 0} c) Ein einfacher Pfad P von zu in G f wird augmenierender Pfad genann. Die Rekapaziä c f (P) von P i definier al c f (P) = min {c f (u,v) (u,v) P} Kapiel 6 9

10 Die Ford-Fulkeron Mehode Beipiel: augmenierender Pfad und Fluaugmenierung Flunezwerk: G u x v 11 1 y Kapiel 6 10

11 Beipiel: augmenierender Pfad und Fluaugmenierung Flunezwerk: G Reidualnezwerk: G f u v x y u v x y Kapiel 6 11

12 Beipiel: augmenierender Pfad und Fluaugmenierung Flunezwerk: G Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G f u v x y u v x y Kapiel 6 12

13 Beipiel: augmenierender Pfad und Fluaugmenierung Flunezwerk: G u 10 v x Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G f 8 3 y v y u x Augmeniere Flunezwerk: G u x v y Kapiel 6 13

14 Beipiel: augmenierender Pfad und Fluaugmenierung Flunezwerk: Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G u v x G f 12 u 8 3 y v x 7 y 5 15 Augmeniere Flunezwerk: Neue Reidualnezwerk: G u x G f 5 u 12 x v y v y Kapiel 6 1

15 Der Ford-Fulkeron Algorihmu FORDFULKERSON (Flunezwerk G = (V, E),,, c)) { für jede Kane (u, v) E { f [u, v] := 0; f [v, u] := 0; } // iniialiiere leeren Flu G f = Reidualnezwerk von G bezüglich f; olange (Ů ein Pfad P von zu in G f ) // P i der augmenierende Pfad { // berechne maximal hinzufügbaren Flu via P c f (P) := min {c f (u, v) (u, v) P)}; // c f (u, v) = c (u, v) f (u, v) } für jede Kane (u, v) P { f [u, v] := f [u, v] + c f (P); f [v, u] := - f [u, v]; } G f := Reidualnezwerk von G bezüglich f; } gib f au // akualiiere den Flu von P Kapiel 6 15

16 Lemma 6.10: E ei (G,,, c) ein Flunezwerk und f ein Flu in G. E ei G f ein Reidualnezwerk von G induzier durch f und e ei fɑ ein Flu in G f. Dann i (f + fˈ)(u, v) = f (u, v) + fˈ (u, v) ein güliger Flu in G mi Wer f + fˈ = f + fˈ. Lemma 6.11: E ei (G,,, c) ein Flunezwerk und f ein Flu in G. E ei G f da Reidualnezwerk von G induzier durch f und e ei P ein augmenierender Pfad in G f. Dann i f P : V V R mi f P (u,v) = c f (P) wenn (u,v) auf P -c f (P) wenn (v,u) auf P 0 on ein güliger Flu in G f mi Wer f P = c f (P) > 0. Korollar 6.12: E ei (G,,, c) ein Flunezwerk und f ein Flu in G. E ei G f da Reidualnezwerk von G induzier durch f und e ei P ein augmenierender Pfad in G f. E ei f P definier wie in Lemma Dann i fˈ = f + f P ein güliger Flu in G mi Wer f ˈ = f + f P = f + f P > f Kapiel 6 16

17 Beipiel: Ford-Fulkeron Algorihmu Flunezwerk: G 16 u 12 x v 1 y Kapiel 6 17

18 Beipiel: Ford-Fulkeron Algorihmu Flunezwerk: G Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G f 16 u 12 x u 12 x v 1 y 13 v 1 y Kapiel 6 18

19 Beipiel: Ford-Fulkeron Algorihmu Flunezwerk: Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G 16 u 12 x 20 G f 16 u 12 x v 1 y 13 v 1 y Augmeniere Flunezwerk: G 12 u 16 x v 1 y Kapiel 6 19

20 Beipiel: Ford-Fulkeron Algorihmu Flunezwerk: Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G 16 u 12 x 20 G f 16 u 12 x v 1 y 13 v 1 y Augmeniere Flunezwerk: Neue Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G u v x y 7 20 G f u v x y Kapiel 6 20

21 Beipiel: Ford-Fulkeron Algorihmu Flunezwerk: Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G u 12 9 x 7 20 G f u 8 5 x v 1 y 13 v 10 y Kapiel 6 21

22 Beipiel: Ford-Fulkeron Algorihmu Flunezwerk: Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G u 12 9 x 7 20 G f u 8 5 x v 1 y 13 v 10 y Augmeniere Flunezwerk: G 12 u x v 11 1 y Kapiel 6 22

23 Beipiel: Ford-Fulkeron Algorihmu Flunezwerk: Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G u 12 9 x 7 20 G f u 8 5 x v 1 y 13 v 10 y Augmeniere Flunezwerk: G 12 u x Neue Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G f u x v 11 1 y 13 v 11 3 y Kapiel 6 23

24 Beipiel: Ford-Fulkeron Algorihmu Flunezwerk: Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G u 12 9 x G f u x v y v y Kapiel 6 2

25 Beipiel: Ford-Fulkeron Algorihmu Flunezwerk: Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G u 12 9 x G f u x v 11 1 y 13 v 11 3 y Augmeniere Flunezwerk: G u x v 11 1 y Kapiel 6 25

26 Beipiel: Ford-Fulkeron Algorihmu Flunezwerk: Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G u 12 9 x G f u x v 11 1 y 13 v 11 3 y Augmeniere Flunezwerk: G u x Neue Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G f u x v 11 1 y 13 v 3 11 y Kapiel 8 26

27 Beipiel: Ford-Fulkeron Algorihmu Flunezwerk: Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G u x G f u x v 11 1 y 5 v 11 3 y Kapiel 8 27

28 Beipiel: Ford-Fulkeron Algorihmu Flunezwerk: Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G u x G f u x v 11 1 y 5 v 11 3 y Augmeniere Flunezwerk: G u x v 11 1 y Kapiel 8 28

29 Beipiel: Ford-Fulkeron Algorihmu Flunezwerk: Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G u x G f u x v 11 1 y 5 v 11 3 y Augmeniere Flunezwerk: Neue Reidualnezwerk mi augmenierendem Pfad: G u x G u x v 11 1 y 1 v 11 3 y Kapiel 6 29

30 Beipiel: Ford-Fulkeron Algorihmu u x v y Flunezwerk: G 10 u x v y G f Kapiel 6 30 u x v y Augmeniere Flunezwerk: G 10 u x v y G

31 Schnie von Flunezwerken Definiion 6.13: E ei (G,,, c) ein Flunezwerk und f ein Flu in G. a) Ein Schni (S, T) von G i eine Aufeilung von V in S und T = V \ S o da S und T. b) Der Flu über einen Schni (S, T) i f(s, T). c) Die Kapaziä eine Schnie (S, T) i c(s, T). Bemerkung 6.1: a) Die Definiion eine Flue i konien mi den Flüen, die in den Beipielen berechne wurden: Flüe von T zu S werden abgezogen: f (S, T) = Σ Σ f (x, y) (wobei f (x, y) < 0 fall f (y,x) > 0). x S y T b) Die Definiion einer Kapaziä eine Schnie i konien mi den Kapaziäen, die am Ende de vorigen Beipiel berechne wurden: Kanen von T zu S fügen der Kapaziä de Schnie nich hinzu: c (S, T) = Σ Σ c (x, y) wobei c (x, y) 0. x S y T Kapiel 6 31

32 Lemma 6.15: E ei (G,,, c) ein Flunezwerk und f ein Flu in G. E ei (S, T) ein Schni von G. Dann gil Und inbeondere auch f (S, T) = f. f = f (, V ) = f (V, ). Korollar 6.16: E ei (G,,, c) ein Flunezwerk. Dann i der Wer von jedem Flu f in G nach oben bechränk durch die Kapaziä eine beliebigen Schni in G. G u x G f u x v 11 1 y v 11 1 y Kapiel 8 32

33 Theorem 6.17: (Max-Flow Min-Cu Theorem) E ei (G,,,c) ein Flunezwerk und f ein Flu in G. Dann ind folgende Auagen äquivalen. a) f i ein maximaler Flu in G. b) Da Reidualnezwerk G f von G bezüglich f enhäl keinen augmenierenden Pfad. c) f = c(s, T) für einen Schni (S, T) von G. Bewei: a) b): b) a) gil wegen Korollar 6.12 und dami auch a) b). b) c): Sei S die Menge der Knoen, die von in G f erreichbar ind. Dann i (S,T) mi T=V\S ein Schni und f(s,t)=c(s,t) nach Definiion von G f. Alo i nach Lemma 6.15 f =c(s,t). c) a): Folg au Korollar Korollar 6.18: Sei (G,,, c) ein Flunezwerk mi ganzzahlige Kapaziäen c(u, v). Dann berechne der Ford-Fulkeron Algorihmu einen maximalen Flu f in Zei O ( E f ) Kapiel 8 33

34 Bemerkung 6.19: a) Die Schranke an die Laufzei von FORDFULKERSON i charf: G=G f u G f u G f u v v v b) Wenn die Kapaziäen raionale Zahlen ind, dann kann man ie auf ganze Zahlen kalieren und die Funkion FORDFULKERSON auf da kaliere Nezwerk anwenden. c) Wenn die Kapaziäen nich ganzzahlig ind, dann erminier FORDFULKERSON uner Umänden nich, und der Flu f, den FORDFULKERSON akualiier, konverier uner Umänden nich gegen den maximalen Flu Kapiel 8 3

35 Probleme mi irraionalen Kapaziäen Zu c): Sei φ=( 5 1)/2 0,61803 o gewähl, da 1-φ=φ 2. Um zu zeigen, da der Ford-Fulkeron Algorihmu hängen bleib, berachen wir den folgenden Graphen: X X X 1 1 φ X X X Wir aren mi dem leeren Flu. Nach Anwendung de roen Pfade ind die reidualen Kapaziäen der horizonalen Kanen 1, 0 und φ Kapiel 8 35

36 Probleme mi irraionalen Kapaziäen A B C Angenommen, die horizonalen reidualen Kapaziäen ind φ k-1, 0 und φ k für ein ungerade k N. 1. Augmeniere enlang B, wa φ k zum Flu hinzufüg. Die reidualen Kapaziäen ind nun φ k+1, φ k und Augmeniere enlang C, wa φ k zum Flu hinzufüg. Die reidualen Kapaziäen ind nun φ k+1, 0 und φ k. 3. Augmeniere enlang B, wa φ k+1 zum Flu hinzufüg. Die reidualen Kapaziäen ind nun 0, φ k+1 und φ k+2.. Augmeniere enlang A, wa φ k+1 zum Flu hinzufüg. Die reidualen Kapaziäen ind nun φ k+1, 0 und φ k Kapiel 8 36

37 Probleme mi irraionalen Kapaziäen D.h. Nach n+1 Augmenierungen ind die reidualen Kapaziäen φ 2n-2, 0 und φ 2n-1. Wenn die Anzahl der Augmenierungen gegen reb, konvergier der Wer de Flue gegen 1+2Σ i 0 φ i = 1+2/(1-φ) = + 5 < 7 obwohl der maximale Fluwer 2X+1 i. X X X 1 1 φ X X X Kapiel 8 37

38 Edmond-Karp Algorihmen Fazi: Ford-Fulkeron Algorihmu lä zuviele Freiräume in der Wahl de augemenierenden Pfade ellen Edmond und Karp zwei Heuriiken vor, um effizien maximale Flüe zu beimmen. Heuriik 1: Wähle den augmenierenden Pfad mi dem größen Wer. Heuriik 2: Wähle den kürzeen augmenierenden Pfad Kapiel 8 38

39 Edmond-Karp Algorihmen Theorem 6.20: Sei (G,,, c) ein Flunezwerk mi ganzzahlige Kapaziäen c(u, v). Dann berechne Heuriik 1 einen maximalen Flu f in Zei O( E 2 log E log f ). Bewei: Sei f* ein maximaler Flu in G. Sei f ein beliebiger Flu in G und f ein maximaler Flu im reidualen Graph G f. (Anfang i f leer und dami f =f*.) Sei e die Engpakane im gewählen augmenierenden Pfad. S V: Knoen, die von au mi Kanen der Kapaziä >c(e) erreichbar ind. T=V\S: nich leer wegen Wahl von e. E gil: c(s,t) c(e) E und c(s,t) f. Alo i c(e) f / E. Wer von f eig alo mindeen um Fakor (1+1/ E ) an Kapiel 8 39

40 Edmond-Karp Algorihmen Theorem 6.20: Sei (G,,, c) ein Flunezwerk mi ganzzahlige Kapaziäen c(u, v). Dann berechne Heuriik 1 einen maximalen Flu f in Zei O( E 2 log E log f ). Bewei (Forezung): Wer von f eig alo mindeen um Fakor (1+1/ E ) an. (1+1/ E ) k f* genau dann, wenn k E ln f*. E reichen alo E ln f* augmenierende Pfade, um zum maximalen Flu zu gelangen. Zei für Berechnung eine augmenierenden Pfade mi größem Wer: O( E log E ). (Da i eine Übung.) Alo Geamzei O( E 2 log E log f ) Kapiel 8 0

41 Edmond-Karp Algorihmen Analye von Heuriik 2: G i : reiduale Nezwerk nach i. Augmenierungchrien, d.h. G 0 =G. Für Knoen v ei di i (v) die Dianz (d.h. die Anzahl Kanen de kürzeen gericheen Pfade) von zu v in G i. Kein Weg von nach v: di i (v)=. Lemma 6.21: Für jeden Knoen v mi di i (v)= gil auch di i+1 (v)= Kapiel 8 1

42 Edmond-Karp Algorihmen Lemma 6.21: Für jeden Knoen v mi di i (v)= gil auch di i+1 (v)=. Bewei: Berache beliebigen Knoen v V mi di i (v)=. U: Menge aller Knoen, die Weg zu v haben. Dann gil auch für alle u U, da di i (u)=. Angenommen, di i+1 (v). Dann mu in Runde i ein augmenierende Pfad augewähl worden ein, der durch einen Knoen in U führ. (Warum?) In dieem Fall mu e aber einen Weg von zu einem Knoen in U gegeben haben, ein Widerpruch! Kapiel 8 2

43 Edmond-Karp Algorihmen Lemma 6.22: Für jeden Knoen v V gil di i+1 (v) di i (v). Bewei: v=: rivial, da immer di i ()=0. v : Indukion über Dianz zu. p=(,,u,v): kürzeer Weg von nach v in G i+1. (Kein Weg, dann ind wir nach Lemma 6.21 ferig.) Da dieer ein kürzeer Weg i, gil di i+1 (u)=di i+1 (v)-1. Nach Indukionvorauezung i di i+1 (u) di i (u). Fall 1: (u,v) war Kane in G i. Dann i di i (v) di i (u)+1. Alo i di i+1 (v)=di i+1 (u)+1 di i (v). Fall 2: (u,v) war keine Kane in G i. Dann war (v,u) eine Kane im i-en augmenierenden Pfad. In dem Fall i (v,u) auf einem kürzeen Weg von in G i und dami auch di i (v) di i (u) Kapiel 8 3

44 Edmond-Karp Algorihmen Lemma 6.23: Während der Abarbeiung von Heuriik 2 kann jede Kane (u,v) höchen V /2-mal vom reidualen Graphen verchwinden. Bewei: Angenommen, (u,v) i in den reidualen Graphen G i und G j+1 aber nich in den reidualen Graphen G i+1,,g j. Dann mu (u,v) im i-en augmenierenden Pfad liegen, alo di i (v)=di i (u)+1 ein. Weierhin mu (v,u) im j-en augmenierenden Pfad liegen, alo di j (u)=di j (v)+1 ein. Zuammen mi Lemma 6.22 folg di j (u) = di j (v)+1 di i (v)+1 = di i (u)+2 Da jede endliche Dianz höchen V -1 ein kann, kann (u,v) höchen V /2-mal verchwinden Kapiel 8

45 Edmond-Karp Algorihmen Jez ind wir owei, eine Laufzeichranke für Heuriik 2 zu berechnen. Da jede Kane höchen V /2-mal verchwinden kann, gib e höchen E V /2 Ereignie, in denen eine Kane verchwinde. Aber mindeen eine Kane verchwinde in jeder Ieraion, o da der Algorihmu nach höchen E V /2 Ieraionen halen mu. Da ein kürzeer augmenierender Pfad in O( E ) Zei gefunden werden kann, gil: Theorem 6.2: Sei (G,,, c) ein Flunezwerk mi ganzzahlige Kapaziäen c(u, v). Dann berechne Heuriik 2 einen maximalen Flu in Zei O( E 2 V ) Kapiel 8 5

46 Dinic Algorihmu Die Laufzei von Heuriik 2 häng nich länger von dem Wer de maximalen Flue ab, aber ie i noch zu groß. Wir präenieren jez einen Algorihmu von Dinic, der lediglich O( V 2 E ) Zei benöig. Definiion 6.25: Ein Flu f in einem Flunezwerk (G,,, c) heiß blockierend, wenn e auf jedem Weg von nach mindeen eine auriere Kane gib. Eine Kane e heiß aurier, fall f(e)=c(e) i. Bemerkung: Nich jeder blockierende Flu i maximal, aber jeder maximale Flu i blockierend Kapiel 8 6

47 Dinic Algorihmu Definiion 6.26: Der Level eine Knoen v i definier durch level(v)=δ f (,v) (die Anzahl der Kanen enlang eine kürzeen Wege in G f von nach v). Der Levelgraph L f i ein Teilgraph in G f, der alle Kanen (u,v) enhäl mi (u,v) G f und level(u)=level(v)-1. Lemma 6.27: L f enhäl alle kürzeen augmenierenden Wege und i in O(m) Zei (z.b. über BFS) konruierbar Kapiel 8 7

48 Dinic Algorihmu Dinic Algorihmu: beginne mi leerem Flu f wiederhole finde einen blockierenden Flu f in L f eze f:=f+f bi Senke nich mehr erreichbar in L f Lemma 6.28: Dinic Algorihmu häl nach höchen n-1 Ieraionen der Schleife Kapiel 8 8

49 Dinic Algorihmu Lemma 6.28: Dinic Algorihmu häl nach höchen n-1 Ieraionen der Schleife. Bewei: Berache eine fee Ieraion und ei vorher: Flu f und Funkion level nachher: Flu f und Funkion level Eine Kane (v,w) in L f i enweder eine Kane in G f (wenn die Kane nich aurier wurde) oder eine umgekehre Kane in L f. Für jede Kane (v,w) G f gil daher level(w) level(v)+1. Darau folg, da level () level() i. Berache dazu Pfad in L f : v w E gil ogar level ()>level(), wie wir ehen werden Kapiel 8 9

50 Dinic Algorihmu Lemma 6.28: Dinic Algorihmu häl nach höchen n-1 Ieraionen der Schleife. Bewei (Forezung): Angenommen, level ()=level(). Dann mu e einen kürzeen Weg p von nach in G f geben, der auch kürzeer Weg in G f war (da level(w)=level(v)+1 für alle Kanen (v,w) in p). Jede Kane von p i dann in L f, und keine von dieen i aurier worden. Da i aber ein Widerpruch zu der Annahme, da wir einen blockierenden Flu in L f gewähl haben. In jedem Schleifendurchlauf erhöh ich alo der Aband von zu in G f um mindeen 1. Da der kürzee Weg von nach nich länger al n-1 ein kann (fall einer exiier), folg da Lemma Kapiel 8 50

51 Dinic Algorihmu Auf Einheinezen benöig man ogar noch weniger Ieraionen. Definiion 6.29: Ein Einheinez i ein Flunezwerk (G,,,c) mi ganzzahligen Kapaziäen, in dem jeder Knoen v V\{,} genau eine hineingehende Kane mi Kapaziä 1 oder genau eine hinauführende Kane mi Kapaziä 1 ha. Bemerkung: Wenn ein Knoen genau eine hineingehende Kane mi Kapaziä 1 ha, o kann er mehrere herauführende Kanen beizen (und anderherum) Kapiel 8 51

52 Dinic Algorihmu Beipiel für Einheinez: : Kapaziä 1 : beliebige Kapaziä Kapiel 8 52

53 Dinic Algorihmu Lemma 6.30: Für ein Einheinez häl Dinic Algorihmu nach höchen 2 n-2 Ieraionen. Bewei: Wir berachen eine fee Ieraion. Sei f der momenane Flu und f* der maximale Flu, beide ganzzahlig. Dann i f*-f ein Flu in G f. Da G ein Einheinez i, i f*(e)-f(e) auf jeder Kane e in {-1,0,1}. Wir eilen die Kanen, auf denen f*(e)-f(e)=1 i, in eine Sammlung von Wegen von nach auf. Da gib e exak f* - f Wege von nach. (Bewei: Übung) Diee Wege ind knoendijunk (bi auf und ). Dehalb gib e einen augmenierenden Weg mi höchen (n-2)/( f* - f )+1 Knoen. Nach n-2 Ieraionen gil, da der kürzee augmenierende Weg mindeen n-2 +1 Knoen beiz (nach Lemma 6.28 enfern ich zunehmend von ). E gil n (n-2)/( f* - f )+1 f* - f n-2. Nach höchen n-2 weieren Ieraionen ha man alo den max. Flu Kapiel 8 53

54 Dinic Algorihmu Wie finde man einen blockierenden Flu? Verwende wiederhol Tiefenuche: wiederhole finde einen Weg p von nach in L f über Tiefenuche und chicke den Fluwer c f (p) über p bi kein augmenierender Weg in L f mehr übrig Lemma 6.31: Die Laufzei zur Ermilung eine blockierenden Flue i O(n m). Theorem 6.32: Die Laufzei von Dinic Algorihmu i O(n 2 m) Kapiel 8 5

55 Dinic Algorihmu Theorem 6.33: Die Laufzei von Dinic Algorihmu auf Einheinezen i O( n m). Bewei: Bei der Suche nach einem blockierenden Flu mu jeder Knoen im Einheinez nur einmal beuch werden, da er auf höchen einem augmenierenden Pfad liegen kann. Ein blockierender Flu kann alo in Zei O(m) gefunden werden. Mi Lemma 6.30 folg dann die Laufzei Kapiel 8 55

56 Dinic Algorihmu Anwendung von Dinic Algorihmu: Maching maximaler Kardinaliä in biparien Graphen. Theorem 6.3: Dinic Algorihmu auf dem biparien Graphen G=(V,E) erweier um und berechne einen maximalen Flu f in Zei O( n m), für den f die Größe de Maching maximaler Kardinaliä in G i Kapiel 8 56

57 Dinic Algorihmu Bewei: f M : Sei M ein Maching maximaler Kardinaliä in G. Dann i der Flu f, der M und alle Kanen von und zu M verwende, ein legaler Flu mi Wer f = M und dami f M Kapiel 8 57

58 Dinic Algorihmu Bewei: M f : Sei f ein maximaler Flu in G erweier um und. Dann i die Menge M,der Kanen, die f in G verwende, ein Maching mi M = f und dami M f Kapiel 8 58

59 Goldberg Algorihmu Inuiion: Ein Flunezwerk i ein Flüigkeinezwerk: Kanen enprechen Rohren und Knoen enprechen Rohrverknüpfungen. Jeder Knoen ha ein Reervoir, da eine beliebige Menge Flüigkei ammeln kann. Jeder Knoen, ein Reervoir und alle eine Rohrverknüpfungen ind auf einer Plaform, deen Höhe eig, wenn der Algorihmu abläuf Kapiel 6 59

60 Inuiion: Knoenhöhen beimmen, wie der Flu durch da Nezwerk geleie wird: der Flu fließ immer bergab. Iniial pump die Quelle oviel Flu wie möglich in da Nezwerk (= c(, V )). Wenn der Flu einen Zwichenknoen erreich, ammel er ich in deen Reervoir. Von dor wird er päer bergab geleie. Wenn alle nichaurieren Rohre, die einen Knoen u verlaen, zu Knoen v führen, die oberhalb von u liegen, o wird die Höhe von u erhöh, d. h. der Knoen u wird gelife. Wenn der geame Flu, der zur Senke fließen kann, dor angekommen i, wird der überchüige Flu in den Reervoiren zur Quelle zurückgechick, indem Zwichenknoen über die Höhe der Quelle hinau gelife werden Kapiel 6 60

61 Goldberg Algorihmu Definiion 6.35: Sei (G,,,c) ein Flunezwerk. Ein Präflu i eine Funkion f:v V R, o da f (u, v) c (u, v) für alle u, v V (Kapaziäbedingungen) f (u, v) = - f (v, u) für alle u, v V (Aniymmerie) f (V, u) 0 für alle u V \ {} (Präflubedingung) Der Überchu eine Knoen v i definier al e f (v)=f(v,v). Ein Knoen v heiß akiv, fall e f (v)>0. Goldberg Algorihmu wei jedem Knoen v eine Höhe h(v) N 0 zu. Die Höhenfunkion i legal, fall h()= V, h()=0 und für alle Kanen (v,w) in G f gil, da h(v) h(w)+1. (D.h. für alle (v,w) E mi h(v)>h(w)+1 mu gelen, da (v,w) E f.) Eine Kane (v,w) in G f heiß zuläig, fall h(v)>h(w). (Zuammen mi der vorigen Bedingung folg darau, da h(v)=h(w)+1.) Kapiel 8 61

62 Goldberg Algorihmu Grundlegende Operaionen: Puh(u,v): chieb oviel Flu wie möglich von u nach v Lif(u): heb u owei an wie möglich, ohne die Legaliä der Höhenfunkion zu verlezen. Formal: Puh(u,v): δ:=min{e f (u),c f (u,v)} f(u,v):=f(u,v)+δ c f (u,v):=c f (u,v)-δ c f (v,u):=c f (v,u)+δ e f (u):=e f (u)-δ e f (v):=e f (v)+δ Lif(u): h(u):=min{ h(v)+1 (u,v) E f } Kapiel 8 62

63 Goldberg Algorihmu Goldberg Algorihmu arbeie wie folg: Preflow-Puh Algorihmu: for each u V\{} do h(u):=0; e f (u):=0 for each (u,v) E do f(u,v):=0; f(v,u):=0 h():= V for each (,u) E do f(,u):=c(,u); f(u,):=-f(,u); e f (u):=c(,u) while (e gib akiven Knoen u) do if (e gib zuläige Kane (u,v) ) hen Puh(u,v) ele Lif(u) Kapiel 8 63

64 Beipiel: Kapaziäen ind ro markier Kapiel 6 6

65 Beipiel: Nach der Iniialiierungphae: Nach der Iniialiierungphae: wurde auf Höhe 7 gelife. Alle anderen Knoen ehen auf Höhe 0. Jede Kane au wurde aurier. Alle anderen Kanen haben Flu 0. Nun i keine PUSH-Operaion anwendbar. Anwendbare Operaionen ind LIFT(u), LIFT(v) oder LIFT(w) Kapiel 6 65

66 Beipiel: Nach LIFT(v): Nach der Iniialiierungphae: Die Höhe von h(v) wurde auf 1 + min {h [u] (v, u) E f } = = 1 geez. Anwendbare Operaionen ind nun LIFT(u), LIFT(w) oder PUSH(v, u), PUSH(v, w), PUSH(v, x), PUSH(v, y), PUSH(v, ) Kapiel 6 66

67 Beipiel: Nach PUSH(v, y): Nach der Iniialiierungphae: Anwendbare Operaionen ind nun LIFT(u), LIFT(w), LIFT(y) oder PUSH(v, u), PUSH(v, w), PUSH(v, x), PUSH(v, ) Kapiel 6 67

68 Beipiel: Nach der Iniialiierungphae: Nach LIFT(y): Die Höhe h(y) wurde auf 1 + min{h[u] (y, u) E f } = = 1 geez. Anwendbare Operaionen ind nun LIFT(u), LIFT(w) oder PUSH(v, u), PUSH(v, w), PUSH(v, x), PUSH(v, ), PUSH(y, ) Kapiel 6 68

69 Beipiel: Nach der Iniialiierungphae: Nach PUSH(y, ): Anwendbare Operaionen ind nun LIFT(u), LIFT(w) oder PUSH(v, u), PUSH(v, w), PUSH(v, x), PUSH(v, ). Der Algorihmu wird forgeführ, bi weder PUSH noch LIFT Operaionen anwendbar ind Kapiel 8 69

70 Goldberg Algorihmu Lemma 6.36: Zu jedem Zeipunk de Algorihmu gil e f () 0 und für alle Knoen v V\{}, da e f (v) 0. Bewei: Wir führen eine volländige Indukion über die Anzahl der augeführen Puh und Lif Operaionen durch. Anfang i da Lemma offenichlich wahr. Wir nehmen alo an, e i zu einem Zeipunk wahr. Dann erhäl jede Fluveränderung in der Puh Operaion aufgrund der Wahl von δ die Eigenchaf, da e f (v) 0 für alle v V\{}. (Lif änder nich an e f (v).) E gil alo Σ u V\{} f(v,u) 0. Deweieren gil für jede aniymmeriche Funkion f: Σ u V f(v,u) = 0. Darau folg, da e f ()=f(v,) 0 ein mu Kapiel 8 70

71 Goldberg Algorihmu Lemma 6.37: Jeder Lif(u) Aufruf erhäl die Legaliä der Höhenfunkion und erhöh h(u) um mindeen 1. Bewei: Eine Lif Operaion wird nur dann für einen Knoen u durchgeführ, wenn e keine zuläige Kane (u,v) gib und dami h(u) h(v) für alle (u,v) E f i. Da die neue Höhe h (u)=min{h(v)+1 (u,v) E f } i, folg, da h (u)>h(u) und h (u) h(v)+1 für alle (u,v) E f i Kapiel 8 71

72 Goldberg Algorihmu Lemma 6.38 (Superopimaliä): Für einen legalen Präflu f und eine legale Höhenfunkion h gib e keinen augmenierenden Pfad in G f. Bewei: Angenommen, e gäbe einen augmenierenden Pfad (=v 1,v 2,,v l=) in G f. Da die Höhen der Knoen mi der Zei nur anwachen können (iehe Lemma 6.37), gil h() n, und da niemal akiv ein kann, gil h()=0. Darau folg, da n h() h(v 2 )+1 h(v 3 )+2 h()+l-1 = l-1 n-1 da der augmenierende Pfad einfach i und omi höchen n Knoen enhalen kann. Wir haben alo einen Widerpruch Kapiel 8 72

73 Goldberg Algorihmu Lemma 6.39 (Opimaliä): Wenn e keinen akiven Knoen in G f gib, dann i der Präflu ein maximaler Flu. Bewei: Wenn e keinen Knoen u V\{,} gib mi e f (u)>0, dann gil für alle Knoen u V\{,} nach Lemma 6.36, da e f (u)=0. Der Präflu i alo ein legaler Flu. Die Maximaliä de Flue folg au Lemma 6.38 und dem Maxflow-Mincu Theorem. Wir müen nur noch zeigen, da der Algorihmu erminier Kapiel 8 73

74 Goldberg Algorihmu Lemma 6.0: Für jeden akiven Knoen u gib e einen Pfad in G f von u nach. Bewei: Sei U die Menge der Knoen, die in G f von u erreichbar ind. Fall U i, dann haben alle Knoen in U wegen Lemma 6.36 einen nichnegaiven Überchu. Der Flu in U hinein mu 0 ein, denn gäbe e eine Kane (v,w) E mi v U und w U und f(v,w)>0, dann wäre auch c f (w,v) f(v,w)>0. Alo gil 0 = Σ v V\U f(v,u) Σ v V\U f(v,u) - Σ v U f(v,v\u) = Σ v V\U f(v,u) - Σ v U f(v,v\u) + Σ v U f(v,u) - Σ v U f(v,u) = Σ v U ( f(v,v) f(v,v) ) = Σ v U\{u} ( f(v,v) f(v,v) ) + 2e f (u) > 0 Wir haben alo einen Widerpruch, und omi mu in U ein Kapiel 8 7

75 Goldberg Algorihmu Lemma 6.1: Für jeden akiven Knoen v V gil h(v) 2n-1. Bewei: Da aufgrund Lemma 6.36 und per Definiion nie akiv ein können, gil zu jeder Zei h()=n und h()=0. Berache einen beliebigen akiven Knoen u V\{,}. Nach Lemma 6.0 i von u erreichbar in G f. Sei p=(u=v 1,v 2,,v l =) ein einfacher Pfad von u nach. Wir wien, da h()=n i. Weierhin gil h(v i ) h(v i+1 )+1 für alle i {1,...,l-1}. Darau folg, da h(u) n+l 2n-1 i, da der Weg nich enhalen kann und omi l n-1 i. Jez ind wir owei, den Aufwand für die Lif und Puh Operaionen zu berechnen Kapiel 8 75

76 Goldberg Algorihmu Lemma 6.2: Die Geamzahl der Lif Operaionen i O(n 2 ) und deren Zeikomplexiä i O(n m). Bewei: Aufgrund von Lemma 6.37 und 6.1 können höchen 2n-1 Lif Operaionen auf jeden Knoen angewand werden. Ingeam wird die Lif Operaion alo höchen O(n 2 )-mal augeführ. Die Koen einer Lif(v) Operaion ind gleich dem augehenden Grad von v in G f, da wir für jede v alle eine adjazenen Knoen überprüfen müen. Die Geamkoen der Lif Operaion ind alo nach oben hin bechränk durch Σ v V (2n-1) deg(v) = O(n m) wobei deg(v) der (augehende) Grad von Knoen v i Kapiel 8 76

77 Goldberg Algorihmu Eine Puh Operaion i äigend, fall δ=c f (u,v) i, und on nichäigend. Lemma 6.3: Die Geamzahl aller äigenden Puh Operaionen i O(n m). Bewei: Nach einem äigenden Puh auf (u,v) können wir nich nochmal Flu von u nach v chieben, ofern v nich vorher eine Puh Operaion auf (v,u) durchgeführ ha. Da h(u)=h(v)+1 bei Puh(u,v) und h(v)=h(u)+1 bei Puh(v,u) gelen mu und die Höhen der Knoen monoon eigen, mu ich alo die Höhe von u für einen nochmaligen äigenden Puh enlang (u,v) um mindeen 2 erhöh haben. Über (u,v) kann e omi höchen (2n-1)/2 äigende Puh Operaionen geben, worau eine Geamzahl von O(n m) äigenden Puh Operaionen folg Kapiel 8 77

78 Goldberg Algorihmu Lemma 6.: Die Geamzahl der nichäigenden Puh Operaionen i O(n 2 m). Bewei: Wir verwenden die Poenialfunkion Φ=Σ akive v V h(v). Am Anfang i Φ=0, da alle Höhen akiver Knoen gleich 0 ind. Wir unercheiden zwichen drei Typen von Operaionen, die Φ verändern: Nichäigender Puh enlang Kane (v,w): Dann wird Knoen v deakivier und omi Φ um h(v) verminder. Auf der anderen Seie kann w nun akiv werden, wa Φ um h(w) erhöhen kann. Da aber h(v)=h(w)+1 gil, wird Φ immer um mindeen 1 erniedrig. Säigender Puh enlang Kane (v,w): Da kann Φ um höchen 2n-1 erhöhen, da im wor cae v akiv bleib und w akiv wird und h(w) 2n-1 i. Lif Operaion: Die Lif Operaionen erhöhen Φ zuammen um höchen (2n-1)n. Da e nur O(n m) äigende Puh Operaionen gib, kann ich Φ durch diee um höchen O(n 2 m) erhöhen. Φ kann ich durch die Lif Operaionen um höchen O(n 2 ) erhöhen. Ingeam kann Φ alo um höchen O(n 2 m) erhöh werden. Da immer Φ 0 gil, i die Anzahl der nichäigenden Puh Operaionen maximal O(n 2 m) Kapiel 8 78

79 Goldberg Algorihmu Da eine Puh Operaion nur konane Zei benöig, ergib ich au den Lemma eine Geamlaufzei von O(n 2 m) für Goldberg Algorihmu. Durch eine verbeere Auwahl der Puh und Lif Operaionen kann man diee Laufzei noch verbeern. Regeln für die Wahl der akiven Knoen: FIFO: Die akiven Knoen werden in einer FIFO Queue verwale, d.h. neue akive Knoen werden hinen in die Queue eingefüg und vorne raugenommen. Dami i eine Laufzei von O(n 3 ) erreichbar. Highe-Label-Fir: Nimm immer den akiven Knoen mi der höchen Höhe. Dami i ogar eine Laufzei von O( m n 2 ) erreichbar Kapiel 8 79

80 Weiere Varianen Goldberg, 1985: FIFO PPA: O( V 3 ). Goldberg, Tarjan, 1986: Verbeerer FIFO PPA: O( V E log ( V 2 E )). Goldberg, Tarjan, 1986, Cheriyan, Mahehwari 1989: Highe Label PPA: O( V 2 E ). Ahuja, Orlin 1989: Exce Scaling PPA: O( V E log( V 2 f max )). Ahuja, Orlin, Tarjan, 1989: Improved Exce Scaling PPA: O( V E log( V log f max / E + 2)). Randomiiere Varianen Kapiel 8 80

81 Gechiche de maximalen Flualgorihmu G = (V, E) mi V = n, E = m, U Wer de maximalen Flue Kapiel 6 81

82 Varianen de maximalen Fluproblem Knoenkapaziäen u c wird lokal erez durch u 1 u 2 c Ungerichee Graphen wird lokal c c u 1 u u 2 2 u 2 u c erez durch 2 c c c Kapiel 6 82

83 Minimaler Schni mi minimaler Anzahl an Kanen Problem MINCUTMINEDGES: Eingabe: Ein Flunezwerk (G,,, c) Augabe: Ein minimaler Schni von (G,,, c) mi minimaler Anzahl von Kanen (zwichen allen minimalen Schnien) Tranformiere (G,,, c) in ein Flunezwerk (G,,, c ) mi c (u, v) = M c(u, v) + 1, bei dem M E + 1 eine Konane i. Eine Löung de MAXFLOW Problem in (G,,, c ) ergib einen minimalen Schni (S, T) mi c (S, T) = M c(s, T) + {e E e S T} minimaler Schni in G Anzahl der Kanen über Schni Kapiel 6 83

84 Zirkulaionen Definiion 6.5: a) Ein Zirkulaionnezwerk i ein Tripel (G, b, c), wobei G = (V, E) ein direker Graph i und b, c : E R mi b(e) c (e) für alle e E. b) Eine Zirkulaion f i ein Flu ohne eine Quelle oder Senke. Formal: f : E R mi 1. b(e) f (e) c (e) für alle e E (Kapaziäbedingungen) 2. Σ (u, v) E f(u, v) = Σ (v, w) E f(v, w) für alle v V (Fluerhalungbedingungen) Problem CIRCULATE: Eingabe: ein Zirkulaionnezwerk (G, b, c) Augabe: eine Zirkulaion f für (G, b, c) Redefiniere da Reidualnezwerk G f = (V, E f ) mi E f = {(u, v) V V c f (u, v) > 0)} und c(u, v) f(u, v) fall f(u, v) < b(u, v) c f (u,v) = c(u, v) - f(u, v) + max{f(v, u) b(v, u), 0} fall f(u, v) b(u, v) Reidualkapaziä wie zuvor maximaler Flu, der gerichen werden kann Kapiel 6 8

85 Zirkulaionen Zirkulaion CIRCULATE (Zirkulaionnezwerk (G, b, c)) { f(e) = 0 für alle e E; /* iniialiiere rivialen nich zuläigen Flu*/ while ( e E : f(e) < b(e)) { wähle (u, v) E mi f(u, v) < b(u, v); /* Flu auf Kane (u, v) i zu klein*/ if ( ein Pfad P von v nach u in G f ) { /* beache die Redefiniion von G f! */ C = (P, (u, v)) i ein Krei mi (u, v) C; chicke δ = min e C c f (e) Flu enlang de Kreie C; /* augmenierender Flu auf (u, v) */ } ele reurn(null); /* e exiier keine Zirkulaion */ } /* while */ reurn(f); } /* CIRCULATE */ Der Algorihmu CIRCULATE erminier. Fall er eine Funkion f zurückliefer, dann i f eine zuläige Zirkulaion für (G, b, c). Wenn der Algorihmu NULL zurückliefer, exiier keine zuläige Zirkulaion (G, b, c). Lemma 6.6: (G, b, c) mi G = (V, E) ha eine zuläige Zirkulaion für jede Menge U V Σ b(u, v) Σ c(v, u) (u, v) (U, Ū) (v, u) (Ū, U) Kapiel 6 85

86 Zirkulaionen Lemma 6.6: (G, b, c) mi G = (V, E) ha eine zuläige Zirkulaion für jede Menge U V Bewei: Σ b(u, v) Σ c(v, u) (u, v) (U,Ū) (u, v) (Ū,U) : : Sei f eine Zirkulaion für (G,b,c). Dann gil für alle v V Σ (u,v) E f(u,v) = Σ (v,w) E f(v,w) Alo gil für jede Menge U V: Σ (u,v) (U,Ū) b(u,v) Σ (u,v) (U,Ū) f(u,v) = Σ (v,w) (Ū,U) f(v,w) Σ (v,w) (Ū,U) c(v,w) Kapiel 6 86

87 Zirkulaionen Bewei (Forezung): : Angenommen, e gib keine Zirkulaion f für (G,b,c). Dann gib der Algorihm CIRCULATE NULL au. D.h. e gib eine Kane e=(u,v) E mi f(e)<b(e), für die e keinen Pfad in G f von v nach u gib. Definiere U={w V v w in G f }. Dann i v U und u Ū und für alle (x,y) (U,Ū): c f (x,y)=0. Alo i f(e)=c(e) für alle e (U,Ū) und f(e) b(e) für alle e (Ū,U). Alo i Σ (u,v) (Ū,U) b(u,v) > Σ (u,v) (Ū,U) f(u,v) = Σ (v,w) (U,Ū) f(v,w) = Σ (v,w) (U,Ū) c(v,w) Kapiel 8 87

88 Unere Schranken für Kanenflüe Definiion 6.7: a) Ein bechränke Flunezwerk i ein Tupel (G,,, b, c), wobei (G,,, c) ein Flunezwerk i und b : E R eine Funkion, die zuläige Flüe nach unen bechränk, wobei b (e) c (e) für alle e E. b) Ein bechränker Flu f für (G,,, b, c) i ein Flu für (G,,, c) mi b (e) f (e) für alle e E. Problem LOWERBOUNDEDFLOW: Eingabe: ein bechränke Flunezwerk (G,,, b, c) Augabe: ein bechränker Flu f für (G,,, b, c) mi maximalem Wer f Kapiel 6 88

89 Unere Schranken für Kanenflüe BOUNDEDFLOW (bechränke Flunezwerk (G,,, b, c)){ konruiere ein Zirkulaionnezwerk (G, b, c ) mi G = G + (, ); b (e) = b(e); c (e) = c(e) für alle e E; b (, ) = 0; c (, ) = ; f = CIRCULATE(G, b, c ); if (f = NULL) reurn (NULL); f = zuläiger Flu für (G,,, b, c) erhalen au f durch Löchen der Kane (, ) und deren Flu; löe da MAXFLOW Problem für (G,,, c) mi f al iniialem Flu und Reidualkapaziäen c (u, v) = c(u, v) f(u, v) + max{f(v, u) b(v, u), 0} für (u, v) E f wie zuvor max. zu löchender Flu e ei g der maximale Flu berechne für (G,,, c); reurn(g); } /* BOUNDEDFLOW */ Wenn der Algorihmu BOUNDEDFLOW NULL zurückliefer, dann exiier kein bechränker Flu für (G,,, b, c). Andernfall liefer der Algorihmu BOUNDEDFLOW eine Löung f für da Problem LOWERBOUNDEDFLOW zurück Kapiel 6 89

90 Minimale Fluproblem Problem MINFLOW: Eingabe: ein bechränke Flunezwerk (G,,, b, c) Augabe: ein bechränker Flu für (G,,, b, c) mi minimalem Wer f MINIMUMFLOW (bechränke Flunezwerk (G,,, b, c)) { h = BOUNDEDFLOW(G,,, b, c); if (h = NULL) reurn(null); konruiere Flunezwerk (G R, R, R, c R ) mi G R = (V, E R ), E R = {(v, u) (u, v) E}; R = ; R = ; c R (u, v) = c f (u, v) für alle (u, v) E R, wobei c f () die redefinieren Reidualkapaziäen ind; löe da MAXFLOW Problem für (G R, R, R, c R ) und e ei g der maximale Flu für (G R, R, R, c R ); f = h g; reurn(f); } /* MINIMUMFLOW */ Wenn der Algorihmu MINIMUMFLOW NULL zurückliefer, exiier kein zuläiger bechränker Flu für (G,,, b, c). Andernfall liefer der Algorihmu MINIMUMFLOW eine Löung f für Problem MINFLOW zurück Kapiel 6 90

91 Flüe mi minimalen Koen a)ein Flunezwerk mi Kanenkoen i ein Tupel (G,,, c, γ), wobei G = (V, E) ein gericheer Graph i, c : E N 0 Kanenkapaziäen bechreib, und γ : E N 0 Kanenkoen bechreib, d.h. γ(e) ind die Koen, um eine Einhei Flu über e zu enden. b) Die Koen eine Flue f von nach in G ind γ(f) := Σ e E γ(e) f(e). e E Problem MINCOSTMAXFLOW: Eingabe: Ein Flunezwerk (G,,, c, γ) Augabe: Ein maximaler Flu f mi minimalen Koen γ(f). O.B.d.A. nehmen wir an, da G=(V,E) nur einfach gerichee Kanen ha, d.h. e gib keine Knoen u,v V mi (u,v),(v,u) E Kapiel 8 91

92 Flüe mi minimalen Koen Sei f ein Flu. Koen eine augmenierenden Pfade p zu f: γ(p) = Σ (u,v) p:(u,v) E c f (p) γ(u,v) Σ (u,v) p:(v,u) E c f (p) γ(v,u) Ein augmenierender Krei bzgl. f i ein augmenierender Pfad, deen erer und lezer Knoen idenich i. Lemma 6.9: Zu jedem augmenierenden Krei p bezüglich eine Flue f gib e einen Flu f mi f = f und γ(f )=γ(f) + γ(p). Bewei: Sei f =f+p. Dann i f nach wie vor ein legaler Flu. Ferner gil für die Koen von f : γ(f ) = γ(f) + Σ (u,v) p:(u,v) E c f (p) γ(u,v) Σ (u,v) p:(v,u) E c f (p) γ(v,u) = γ(f) + γ(p) Kapiel 8 92

93 Flüe mi minimalen Koen Saz 6.50: Ein Flu f ha minimale Koen uner allen Flüen mi Fluwer f genau dann, wenn e keinen augmenierenden Krei mi negaiven Koen gib. Bewei: : Folg au Lemma 6.9. : : Sei f ein Flu, der keine minimalen Koen beiz. Sei g ein Flu mi minimalen Koen und g = f. Berache da reiduale Nezwerk G g-f = (V,E g-f ) mi E g-f = E + g-f E - g-f, wobei E + g-f = {(u,v) g(u,v) > f(u,v) } und E - g-f = {(v,u) g(u,v) < f(u,v) } Seien die Kanenkapaziäen definier al c g-f = g(e)-f(e). Dann gil für alle Knoen v V, da Σ u V c g-f (u,v) Σ w V c g-f (v,w) = 0 (Deail an der Tafel) Kapiel 8 93

94 Flüe mi minimalen Koen Bewei (Forezung): Sei nun c min = min{c g-f (u,v) (u,v) E g-f }. Wenn wir bei einem beliebigen Knoen v V mi Kanen in G g-f aren, gib e immer eine Kane (v,w) mi c g-f (v,w) c min, und jeder noch nich vorher beuche Knoen mu aufgrund der Kapaziäerhalung auch wieder verlaen werden können. Da die Anzahl der Knoen durch V bechränk i, i daher ein augmenierender Krei in G g-f konruierbar. Enfern man dieen, i die Kapaziäerhalung nach wie vor erfüll. G g-f kann alo in eine Menge augmenierender Kreie zerleg werden. Wende man diee Kreie auf f an, erhäl man g. Da γ(g) < γ(f) i, mu alo mindeen einer dieer Kreie negaive Koen haben Kapiel 8 9

95 Flüe mi minimalen Koen Fall die Kanenkapaziäen und Kanenkoen ganzzahlig und durch eine Konane C bechränk ind, können wir den folgenden Polynomialzeialgorihmu zur Berechnung eine maximalen Flue mi minimalen Koen durchführen: Verwende Ford-Fulkeron zur Berechnung eine maximalen Flue. Laufzei: O(C n m). Suche nach augmenierenden Kreien mi negaiven Koen in G f bi keine olche Kreie mehr zu finden ind. Ein negaiver augmenierender Krei kann miel Bellman-Ford in O(n m) Zei gefunden werden (warum?). Jeder olche Krei ha eine ganzzahlige Kapaziä >0 und ganzzahlige Koen <0. D.h. die Koen de maximalen Flue verringern ich um mindeen 1 für jeden olchen augmenierenden Krei. Die Geamlaufzei für dieen Teil i alo O(C n 2 m). Forgechrienere Techniken können einen maximalen Flu mi minimalen Koen auch für beliebige Kapaziäen und Koen berechnen (iehe z.b. da Buch von Ahuja, Magnani und Orlin: Nework Flow) Kapiel 8 95

96 Flüe mi minimalen Koen Definiion 6.8: a) Ein Flunezwerk mi Kanenkoen i ein Tupel (G, c, γ, δ), wobei G = (V, E) ein gericheer Graph i, c : E N 0 Kanenkapaziäen bechreib, δ : V N 0 Knoenbedarfe bechreib, Σ v V δ(v) = 0 i und γ : E N 0 Kanenkoen bechreib, d.h. γ(e) ind die Koen, um eine Einhei Flu über e zu enden. Beache: δ(v) > 0 eh für Knoen, die Flu konumieren, während δ(v) < 0 Knoen bezeichne, die Flu produzieren. b) Ein Flu f mi minimalen Koen für (G, c, γ, δ) i eine Funkion f : E N 0 mi 1. f(e) c(e) für alle e E (Kapaziäbedingungen) 2. Σ (u,v) E f(u, v) - Σ (v,w) E f(v, w) = δ(v) für alle v V, (Fluerhalung) der die Koen γ(f) := Σ e E γ(e) f(e) minimier. Problem MINCOSTFLOW: Eingabe: Ein Flunezwerk mi Kanenkoen (G, c, γ, δ) Augabe: Ein Flu f mi minimalen Koen für (G, c, γ, δ) Löung möglich durch Kombinaion de LOWERBOUNDEDFLOW Problem mi dem MINCOSTMAXFLOW Problem Kapiel 6 96

97 Anwendungen de maximalen Fluproblem Scheduling auf uniformen parallelen Machinen Die Aufgabe i e, eine Menge J von Job auf m uniformen parallelen Machinen auzuführen. Jeder Job j J ha Bearbeiungzei p j (z. B. Anzahl der Machinenage) Sarermin r j : Der ere Tag, an dem Job j verfügbar i Fälligkeidaum d j : Der Tag, an dem Job j erledig ein mu. Weierhin reffen wir folgende Annahmen: r j + p j d j Eine Machine kann jeweil nur an einem Job arbeien. Jeder Job kann jeweil nur an einer Machine laufen. Unerbrechung i erlaub, d. h. ein Job kann unerbrochen werden und läuf an verchiedenen Tagen auf verchiedenen Machinen Kapiel 6 97

98 Beipiel: Job, m = 3 Machinen j p j r j d j Sorierung von {r j, d j j J} reulier in einer Folge (1, 3,, 5, 7, 9), die fünf Inervalle [1, 3], [3, ], [, 5], [5, 7] und [7, 9] pezifizier. E ei T k,l da Inervall, da an Tag k are und am Tag l + 1 ende: T 1,2, T 3,3, T,, T 5,6 und T 7,8. Tranformiere da Problem in ein Flunezwerk (G,,, c) wie rech angegeben. Dann gil: Da Schedulingproblem ha eine zuläige Löung genau dann, wenn der maximale Flu in G den Wer Σ j J p j = 8.5 ha. Die obige Konrukion kann verallgemeiner werden (Übung) Kapiel 6 98

99 Vereile Rechnen auf einer Zweiprozeor Machine Ein Compueryem ha zwei (nich nowendigerweie ideniche) Prozeoren. Wir wollen ein ehr große Programm auführen, da au einer Menge J von Modulen beeh, welche mieinander ineragieren. Die folgenden Koen ind gegeben: α i : Koen der Berechnung von Modul i auf Prozeor 1. β i : Koen der Berechnung von Modul i auf Prozeor 2. γ i,j : Koen der Inerprozekommunikaion wenn i und j verchiedenen Prozeoren zugeeil ind. Wenn i und j dem gleichen Prozeor zugeeil ind, beragen die Kommunikaionkoen 0. Ziel: Finde eine Zuweiung der Module auf die Prozeoren, o da die Geamkoen beehend au Rechenkoen und Kommunikaionkoen minimier werden Kapiel 6 99

100 Gegeben ei eine Menge J von Modulen und Koen α j, β j, γ i,j. Konruiere ein Flunezwerk (G,,, c), G = (V, E) wie folg: V = {, } J E = {(, j) j J} {(j, ) j J} {(i, j) i, j J, γ i,j >0} β j c (i, j) = α i γ i,j wenn i = wenn j = wenn i, j Lemma 6.52: In der obigen Konrukion gil: die Geamkoen einer opimalen Zuweiung von Modulen auf Prozeoren i gleich der Kapaziä eine minimalen Schnie (S, T) von G Kapiel 6 100

101 Beipiel: j α j β j γ i,j Kapiel 6 101

102 Beipiel: j α j β j γ i,j Kapiel 6 102

103 Tanker Scheduling Eine Schifffahrgeellchaf ha vereinbar, Waren rechzeiig zwichen mehreren verchiedenen Quell-Ziel-Paaren auzuliefern. Für ihre ju-in-ime Waren haben die Kunden präzie Aulieferungermine fegeleg, an denen die Waren ihren Beimmungor erreichen müen. Die Schifffahrgeellchaf mu felegen, wie hoch die minimale Anzahl von Schiffen ein mu, dami die Aulieferungermine der Waren eingehalen werden können. Beipiel: Termine der Waren Waren Quelle Ziel Termin 1 A C 3 2 A C 8 3 B D 3 B C 6 Fahrzei (voll) C D A 3 2 B 2 3 Fahrzei (leer) A B C 2 1 D 1 2 Nezwerk N = (V N, E N ) der zuläigen Folgen von aufeinanderfolgenden Schiffouren (i, j) E N wenn ein Schiff den Job i auführen kann und dann Job j Kapiel 6 103

104 Da Nezwerk von zuläigen Sequenzen von zwei aufeinanderfolgenden Schiffouren wird in ein Flumodell (G,,, b, c) ranformier: Knoen für die Schiffouren ind verdoppel: i i. neue Knoen und werden hinzugefüg. Kanen werden von zu i, von i zu und von i zu i gezogen für alle Schiffouren i. Außerdem werden Kanen von i zu j gezogen, genau dann wenn (i, j) E N. Alle Kanen haben Kapaziä 1, und die Kanen (u, i ) haben eine unere Schranke b(i,j) = 1. Lemma 6.53: Jede Löung de minimalen Fluproblem für (G,,, b, c) korrepondier zu einer Löung für da Tanker Scheduling Problem und umgekehr Kapiel 6 10

105 Da Baeball Eliminierungproblem Siehe auch: T. Bernhol, A. Gülich, T. Hofmeier, N. Schmid, I. Wegener: Komplexiäheorie, effiziene Algorihmen und die Bundeliga. Informaik Spekrum, 25:(6), 2002, pp Beipiel: In der Deuchen Fußballliga, Saion 6/65, zwei Runden vor dem Ende der Saion ah die Tabelle au wie rech angegeben. Für Sieg/Unenchieden/Niederlage erhiel ein Team damal 2/1/0 Punke. I 1860 München noch ein Kandida, der den Tiel gewinnen kann? 1860 München ha noch zwei Spiele zu pielen, o da da Team noch Punke gewinnen und omi auf 37 Punke kommen kann. Auf den eren Blick i die Anwor Ja. Sand vor den lezen zwei Runden: Team Punke 1 Werder Bremen FC Köln 36 3 Boruia Dormund München 33 Aber die Dinge ind nich o einfach Kapiel 6 105

106 Die Dinge ind aber nich o einfach. Hier ind die relichen Spiele der eren vier Mannchafen: Sand vor den lezen zwei Runden: Team Punke 1 Werder Bremen FC Köln 36 3 Boruia Dormund München 33 Reliche Spiele der eren vier: Werder Bremen - Boruia Dormund 1. FC Köln - 1. FC Nürnberg 1860 München - MSV Duiburg 1. FC Nürnberg - Werder Bremen Boruia Dormund - 1. FC Köln Hamburger SV München Darau folg, da 1860 München die Meierchaf nich mehr gewinnen kann. Warum? Kapiel 6 106

107 Die Dinge ind aber nich o einfach. Hier ind die relichen Spiele der eren vier Mannchafen: Sand vor den lezen zwei Runden: Team Punke 1 Werder Bremen FC Köln 36 3 Boruia Dormund München 33 Reliche Spiele der eren vier: Werder Bremen - Boruia Dormund 1. FC Köln - 1. FC Nürnberg 1860 München - MSV Duiburg 1. FC Nürnberg - Werder Bremen Boruia Dormund - 1. FC Köln Hamburger SV München Darau folg, da 1860 München die Meierchaf nich mehr gewinnen kann. Werder Bremen, der 1. FC Köln und Boruia Dormund haben noch zwei Spiele unereinander zu pielen, daher erhalen ie mindeen zuäzliche Punke. Zuammen haben ie dann mindeen = 112 Punke, alo mu einer von ihnen mindeen 112/3 = 38 Punke haben. Eine andere Argumenaion i die folgende: Wir nehmen an, da 1860 München mi 37 Punken Tabellenerer wird. Aber dann mu Werder Bremen die relichen zwei Spiele verlieren. Boruia Dormund ha, nachdem ie gegen Werder Bremen gewonnen haben, 37 Punke und müen gegen den 1. FC Köln verlieren. Aber dann ha der 1. FC Köln 38 Punke (ein Widerpruch) Kapiel 6 107

108 Formale Modell n Mannchafen 1,2,..., n pielen mehrere Runden gegeneinander um die Meierchaf. Wir befinden un in der Mie der Saion und wollen wien, ob uner Lieblingeam n noch Meier werden kann. E gele, da Mannchaf i genau w(i) der biher gepielen Spiele gewonnen ha, 1 i n. Weier ei g(i, j) die Anzahl der Spiele, die Mannchaf i noch gegen Mannchaf j pielen mu, 1 i j n. Wir bezeichnen Mannchaf i al eliminier, wenn ie nich mehr Meier werden kann. Da Problem i e, zu encheiden, ob Mannchaf n eliminier werden kann. Beipiel: i w(i) g(i,j) Die Mannchafen erhalen 1 Punk für einen Sieg, 0 Punke für eine Niederlage. Unenchieden ind nich möglich. Mannchaf ha bi zum jezigen Zeipunk 0 Siege, mu jedoch noch je einmal gegen Mannchaf 1 und 2 anreen und noch 3mal gegen Mannchaf 3. I Mannchaf eliminier? Kapiel 6 108

109 Da bemögliche Szenario für Mannchaf n ri ein, wenn ie alle verbleibenden Spiele gewinn und omi ingeam W = w(n) + g(j, n) viele Punke erreich. Mannchaf n kann nich eliminier werden, wenn die relichen Spiele zwichen den anderen Team o augehen können, da alle anderen Team am Ende der Saion höchen W Siege haben. E bezeichne x(i, j) die Anzahl der g(i, j) verbleibenden Spiele, die Mannchaf i gegen Mannchaf j gewinn. Dann gil n-1 Σ j=1 n Σ x(i, j) + x(j, i) = g(i, j) = g(j, i), 1 i, j n E ei W(i) = w(i) + j=1 x(i, j) die Anzahl der Siege von Mannchaf i am Ende der Saion 1 i n. Mannchaf n kann Meier werden, wenn e eine Möglichkei gib, die Saion o zu Ende zu pielen, da gil W W (i), 1 i < n Kapiel 6 109

110 Mannchaf n kann nich eliminier werden, wenn e ganze Zahlen x(i, j) 0, 1 i, j n gib, o da x(i, j) + x(j, i) = g(i, j) = g(j, i), 1 i, j n und n-1 n Σ Σ j=1 j=1 W = w(n) + g(j, n) w(i) + x(i, j) = W (i), 1 i < n i w(i) 0 0 g(i, j) Σ W = w() + g(j, ) = = 5 Nach den drei verbleibenden j=1 Spielen zwichen Mannchaf 1 und 2 gil enweder x(1, 2) 2 oder x(2, 1) 2 und daher oder W(1) = w(1) + x(1, j) + 2 = 6 n n Σ Σ j=1 W(2) = w(2) + x(2, j) + 2 = 6 j= Kapiel 6 110

111 Wir formulieren da Baeball Eliminaionproblem al ein maximale Fluproblem, in dem der Flu, der von der Quelle zur Senke gechick wird, die verbleibenden Spiele zwichen den Mannchafen i und j repräenier, 1 i, j < n. Formal konruiere (G,,, c), G = (V, E) wie folg: E ei F = n-2 n-1 Σ Σ i=1 j=i+1 g(i, j). V = {, } {(i, j) 1 i < j < n} {1,..., n 1} E = {(, (i, j)) 1 i j < n} {((i, j), i), ((i, j), j) 1 i j < n} {(i, ) 1 i < n} c(, (i, j)) = g(i, j) c((i, j), i) = F c((i, j), j) = F c(i, ) = W w(i) Kapiel 6 111

112 Beipiel (forgeez): i w(i) 0 0 g(i, j) Der maximale Flu i < 5 = F, d.h. kein güliger Augang möglich. Lemma 6.5: Mannchaf n i nich eliminier, genau dann wenn der maximale Flu in G gleich F i Kapiel 6 112