Musterlösungen zur Klausur Informatik III WS 02/03 Seite 1

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1 Muserlösungen zur Klausur Infrmaik III WS 02/03 Seie Aufgabe. ( Punke) Es seien zwei Schlangen S, S 2 und ein Keller K gegeben. In S befinden sich die Zahlen, 2,..., n(n > 2) (in dieser Reihenflge). Sie können nun die Operainen P USH K (P OP S ) und P USH S2 (P OP K ) in beliebiger Reihenflge (swei möglich) ausführen, bis alle Elemene in S 2 angekmmen sind. Geben Sie eine Permuain der Elemene an, die s nich erzeug werden kann und begründen Sie, warum dies s is. Nehmen wir an, die Zahlen, 2, 3 sind in der Schlange gespeicher und verläss diese als erses. Dann kann die Permuain 3,, 2 nich erzeug werden, da, wenn 3 als erses ausgegeben werden sll, zunächs alles auf den Sack gepushed werden muss und ein Auslesen dann nur nch in der Reihenflge 3, 2, möglich is.

2 Muserlösungen zur Klausur Infrmaik III WS 02/03 Seie 2 Aufgabe 2. ( Punke) Beschreiben Sie kurz das Prinzip der dynamischen Größenanpassung vn Hashabellen: Erläuern Sie, wie man einerseis allzuviele Anpassungsperainen, andererseis allzugrße Speicherverschwendung vermeide. (s. Buch)

3 Muserlösungen zur Klausur Infrmaik III WS 02/03 Seie 3 Aufgabe 3. ( Punk) Geben Sie die Zugriffsperainen für eine Pririy Queue an. (s. Buch)

4 Muserlösungen zur Klausur Infrmaik III WS 02/03 Seie 4 Aufgabe 4. (6 Punke) Berachen Sie das Prduk M = M M 2... M n vn n Marizen, wbei M i die Dimensin d i d i, i n ha. Wir wissen, dass für die Marixmuliplikain das Assziaivgesez gil, d.h. wir dürfen eine beliebige Ar der Klammerung wählen und smi die Reihenflge der einzelnen Muliplikainen feslegen. Je nachdem, in welcher Reihenflge die Muliplikainen der Marizen durchgeführ werden, benöig man bei Verwendung der Schulmehde für die Marixmuliplikain mehr der weniger arihmeische Operainen. Enwickeln Sie uner Verwendung vn dynamischer Prgrammierung einen Algrihmus, der in O(n 3 ) Zei eine pimale Anrdnung der Marixmuliplikainen berechne. Berache die Ksen für das Muliplizieren der Marizen M i... M j (i j): C i,i = 0 C i,i+ = d i d i d i+ C i,j = C i,k + C k+,j + d i d k d j für ein k mi i k < j Sei die Funkin cs wie flg definier: cs(i, k, j) := C i,k + C k+,j + d i d k d j dann läss sich C i,j wie flg schreiben: C i,j = min{cs(i, k, j) i k < j} Da wir nich nur nach den Ksen suchen, sndern gleichzeiig auch die pimale Klammerung berechnen wllen, speichern wir das bereffende k in der Variablen K i,j. Algrihmus MMKsen : fr i n d {Iniialisierung} 2: C i,i 0 3: K i,i 0 4: end fr : fr l 2 n d {l = Länge des beracheen Ausdrucks} 6: fr i n l + d 7: j i + l 8: C i,j 9: fr k i j d {Finde billigses k} 0: c cs(i, k, j) : if c < C i,j hen 2: C i,j c 3: K i,j k 4: end if : end fr 6: end fr 7: end fr

5 Muserlösungen zur Klausur Infrmaik III WS 02/03 Seie Aufgabe. (0 Punke) Berachen Sie flgendes Gedich : s mps klpf : kmm mps kmm s mps kmm s mps kz : gg a) Knsruieren Sie einen (erweieren) Trie für die Menge der in dem Gedich benuzen Wre. Hierbei gele : als ein Wr. b) Knsruieren Sie einen pimalen präfixfreien Binärcde für das Gedich und cdieren Sie dami die erse Zeile. m k g l p m s p m z : s f g a)

6 Muserlösungen zur Klausur Infrmaik III WS 02/03 Seie 6 b) Häufigkeien: f g k l m p s z : Opimaler Cdebaum: [ ] m 0 0 s k p : g z 0 f l

7 Muserlösungen zur Klausur Infrmaik III WS 02/03 Seie 7 Aufgabe 6. (4 Punke) Sei B ein Baum mi unendlich vielen Knen, aber endlichem Grad in jedem Knen. Sie möchen einen besimmen Knen (über eine seiner Eigenschafen) suchen; verwenden Sie hierfür DFS der BFS? Geben Sie eine Begründung an. DFS finde den Knen evenuell nich: Beispiel, ein Baum, der aus zwei am Anfang verbundenen unendlichen Pfaden beseh. DFS wird nur einen davn unersuchen. BFS finde den Knen: Jeder knkree Knen ha eine endliche Tiefe. S auch der gesuche:. BFS unersuch ers alle Knen der Tiefe, dann der Tiefe 2 usw. Um zu zeigen, dass nach endlicher Zei auch die Knen der Tiefe durchsuch werden, genüg es zu zeigen, dass zu jeder Tiefe nur endlich viele Knen exisieren. Beweis durch Indukin: Tiefe 0: k Indukinsschri: Es gib nur endliche viele Knen der Tiefe n. Nennen wir deren Anzahl x. Jeder dieser x Knen ha einen endlichen Grad. D.h. es gib eine maximale Gradzahl uner diesen Knen y. Dann is aber die Zahl der Knen der Tiefe n durch xy beschränk, da jeder Knen der Tiefe n einen Knen der Tiefe n zum Vaer haben muss.

8 Muserlösungen zur Klausur Infrmaik III WS 02/03 Seie 8 Aufgabe 7. (8 Punke) Wie sehen die 3-Heaps aus, die (auch als Zwischenergebnisse) ensehen, wenn man die Zahlen 0, 2, 22, 23,, 8, 3, 4, 46, 0, 9, 8 in dieser Reihenflge in einen anfangs leeren Heap einfüg? Zeichnen Sie nur die Zwischenergebnisse, die nach einer Umrdnung des Heaps aufreen, swie das Endergebnis

9 Muserlösungen zur Klausur Infrmaik III WS 02/03 Seie 9 Aufgabe 8. (0 Punke) Zeigen Sie, dass die flgenden Aussagen wahr sind: a) 7 O(). b) n(n ) 2 O(n 2 ). c) max(n 3, 0n 2 ) O(n 3 ). d) n k m Θ(n m+ ) für m N. k= e) Für ein Plynm p(x) vm Grad k mi psiivem führenden Keffizienen gil p(n) Ω(n k ). Wdh.: f O(g) n 0, c : n > n 0 : f(n) c g(n) f Ω(g) g O(f) f Θ(g) f O(g) f Ω(g) a) 7 < 7 n b) n (n )/2 = n 2 /2 n/2 < n 2 = n 2 n > 0 c) n 0 := 0 : für n n 0 is 0n 2 n 3 = n 3 d) O: n k= km n k= nm n n m n m+ Ω : n k= km n k=n/2 km n k=n/2 (n/2)m n/2 (n/2) m 2 m n m+, seze als c := 2 (m+). e) Sei p(n) = a k n k a 0. Wähle n 0 := 2 k i=0 ai a k Dann is k a k n k a k n n k 2 i=0 k a i n k 2 i=0 k a i n i 2 a i n i i=0 Dami is aber und smi Wähle als c := 2 a k. k a i n i 2 a kn k i=0 k p(n) a k n k a i n i 2 a kn k i=0

10 Muserlösungen zur Klausur Infrmaik III WS 02/03 Seie 0 Aufgabe 9. (7 Punke) Gegeben sei der flgende Graph: Besimmen Sie die sarken Zusammenhangskmpnenen und geben Sie eine plgische Srierung des reduzieren Graphen an. Warum gib es ses eine slche? Referenzknen der am weiesen links sehenden Kmpnene is Knen. Tplgische Srierung is z.b.: 6,,7,,4 Die Tplgische Srierung exisier immer, da die Redukin einen kreisfreien Graphen erzeug.

11 Muserlösungen zur Klausur Infrmaik III WS 02/03 Seie Aufgabe 0. ( Punke) Sei in einem biparien Graphen G ein Maching M gegeben, das alle Knen aus G überdeck. Berachen Sie den Graphen G, der sich aus G durch Enfernen aller Kanen ergib, die nich in M sind. a) Welchen Grad haben die Knen in G? b) Welche Srukur ha die Adjazenzmarix vn G? a) b) Da G bipari war und ein Maching exisier, das alle Knen aus G überdeck, müssen beide Kmpnenen vn G gleich grß( sein. Nach ) geeigneer Umnummerierung der Knen ha die Adjazenzmarix dann die Srukur: wbei P eine Permuainsmarix is, d.h. eine Marix, 0 P P 0 bei der in jeder Zeile und jeder Spale genau eine seh.

12 Muserlösungen zur Klausur Infrmaik III WS 02/03 Seie 2 Aufgabe. (4 Punke) Zeigen Sie, dass in einfachen Graphen G = (V, E) gil: lg E O(lg V ) In einem einfachen Graphen gib es zwischen je zwei Knen höchsens eine Kane (und pr Knen höchsens eine Schleife). Dami is E V 2 und smi lg E 2 lg V. Wähle als c = 2.

13 Muserlösungen zur Klausur Infrmaik III WS 02/03 Seie 3 Aufgabe 2. ( Punke) Wie sieh die Unin-Find-Daensrukur aus, die bei Unin durch Mengenverschmelzung enseh, wenn auf der Menge {, 2,..., 6} die Operainen A := 2, B := 3 4, C := B 6, D := A C ausgeführ werden? D

14 Muserlösungen zur Klausur Infrmaik III WS 02/03 Seie 4 Aufgabe 3. (8 Punke) Zeigen Sie, dass man das ungewichee biparie Maching-Prblem mi einem Nezwerkfluss-Algrihmus lösen kann, indem man ein geeignees Nezwerk knsruier. Sei G = (A B, E) der bipaie Graph. Füge eine Quelle s und eine Senke hinzu, swie die Kanen (s, a) a A und (b, ) b B. Riche alle Kanen zwischen A und B vn A nach B und gib allen Kanen Kapaziä. Besimme über augmenierende Pfade einen maximalen (ganzzahligen!) Fluss f in diesem Nezwerk. Behaupung: Die vn A nach B führenden Kanen mi f(e) = bilden ein maximales Maching in G.. Sie bilden ein Maching: Jeder Knen aus A B ha Indegree der Oudegree. D.h. maximal eine Flusseinhei kann ihn passieren. Dami kann aber nur eine der ausgehenden bzw. eingehenden Kanen Fluss ragen. Offensichlich is die Grösse des Flusses gleich der Zahl der A B-Kanen mi Flusswer. 2. Es gib einen Fluss, dessen Größe der eines maximalen Machings ensprich. Seien M die Kanen eines maximalen Machings. Seze f((a, b)) := für (a, b) M swie f(s, a) = f(b, ) =. Dami is in allen Knen die Flusserhalungsbedingung erfüll.

15 Muserlösungen zur Klausur Infrmaik III WS 02/03 Seie Aufgabe 4. (2 Punke) Berachen Sie das sgenanne Damenprblem: Auf einem n n-feld sind n Damen s zu plazieren, dass sie sich nich gegenseiig bedrhen. Eine Dame bedrh alle Felder in der gleichen Zeile, Spale und in den Diagnalen. Eine Dame in Feld (4, 4) bedrh als alle Felder der Spale 4, Zeile 4 und alle Felder (4 + i, 4 + i) und (4 + i, 4 i) mi i Z \ {0}. Da in jeder Zeile höchsens eine Dame plazier werden kann, läss sich eine Lösung als n-tupel (D, D 2,..., D n ) ausdrücken, wbei D i die Psiin (Spale) der Dame in der i-en Zeile angib. Wir beschränken uns in dieser Aufgabe auf n = 4. Der Aufruf PlaziereDame() der flgenden rekursiven Przedur führ dann ein Backracking durch: PlaziereDame(i) : if i = hen 2: Sellung ausgeben 3: HALT 4: end if : fr j := 4 d 6: D i := j {plaziere i-e Dame in Spale j} 7: if keine Bedrhung hen 8: PlaziereDame(i + ) 9: end if 0: end fr a) Knsruieren Sie den vn der rekursiven Przedur asächlich durchlaufenen Teil des zugehörigen Suchbaums. b) Wie f wird überprüf, b eine gegebene Plazierung eine Bedrhung is? D 2 D2 3 4 D2 4 D3 D3 D3 2 D4 D4 3 a) b) 26 mal.