Tragwerksberechnung. f 1

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Joseph Kopp
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1 Tragwerkserechnung apl Doz Dr-Ing hail G Georgi Platteneulung Bei Platten kommt zur Querelastung häufig Druckelastung in Plattenmittelfläche Das führt zu einer Üerlagerung mit dem Scheienspannungszustand Stailitätsprolem: Platteneulung 1 Prolemstellung Analogie zur Staknickung EI f F F f F 1 F k F 1 F F 1 Idealisierung: dehnsteife Balkenachse dehnsteife Plattenmittelfläche F f f f 1 = 1 F k Bei F= F k Lösungsverzweigung (Bifurkation): F Fk : f f1 F Fk : f f Weg erfordert weniger Kraft (Energie) als Weg 1 Eistenz von f prüfen! Bei der Formulierung der Gleichgewichtsedingungen ist die Auslenkung der undehnaren Mittelfläche zu erücksichtigen (Theorie zweiter Ordnung)! 58 4 / April 9

2 apl Doz Dr-Ing hail G Georgi Tragwerkserechnung Herleitung einer Dgl für das Prolem Gleichgewicht am UverformtenU Plattenelement dv d d h : z m Schnittgrößendefinition s S 9 (11) n n q m m m q n n q+q,d m+m,d h dick d d n+n n+n,d n+n d, q+q,d m+m,d n+n,d d, m+m, d m+m, d z, w nw, n m w, q+q,d q w+w d,, m+m,d n+n,d nw +nw d+n wd,,,, nw, w, z n nw, n w, n+n, w+w d,, d nw+nwd+n,,,, wd w+w,,d n+n, d nw+nwd+n wd,,,, 4 / April 9 59

3 Tragwerkserechnung apl Doz Dr-Ing hail G Georgi Gleichgewichtsedingungen: : : n, ddn, d d n d d n d d,, Scheie ESZ z : q d d q d d,, n w d d n w d d,,, n w d d n w d d,,, n w d d n w d d,,, n w d d n w d d,,, : m d d m d d q d d,, : m d d m d d q d d,, Zusätzliche Terme gegenüer Platteniegung Alle Gleichgewichtsedingungen vereinfacht: : : n n n,, n,, z: q q n w n w n w,, : m m q,,, : m m q Partielle Aleitung nach,,,, Partielle Aleitung nach m m m w,,, n w, n w, n, (16) Geometrie: Wenn durch die Lagerung keine Behinderung erfolgt, leit die Plattenmittelfläche ungedehnt Es tritt dann nur die ereits ekannte Biegeverformung w(,) (s 1) auf Damit werden die Verzerrungen wie in 1 erechnet Üer das HOOKEsche Gesetz folgen die eenfalls schon ereit gestellten Beziehungen für die Spannungen,, Die damit formulierten Schnittgrößen liefern den ekannten Zusammenhang:,,, Dieser wird in Gleichung (16) eingesetzt und die Dgl des Prolems formuliert: Kwn w, n w, n w, m m m K w, w, w, K w (17) 6 4 / April 9

4 apl Doz Dr-Ing hail G Georgi Tragwerkserechnung 3 Randedingungen Im Falle der unehinderten Mittelflächenverschieung gelten die Randedingungen der Platteniegung analog Eine Ausnahme ilden die Ersatzquerkräfte Die isherigen sind durch die vertikalen Komponenten der Normalkräfte zu ergänzen: q q m q,, nw, n w, q m n w, n w, (18) 4 / April 9 61

5 Tragwerkserechnung apl Doz Dr-Ing hail G Georgi 4 Beispiel Allseitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte unter Druckelastung n Geg: a,,( a), n n, Eh,, n h dick a n Ges: Kritische Belastung in Ahängigkeit vom Seitenverhältnis (Beuldiagramm) Mit n n, lautet die zu verwendende Dgl: 3 Eh K w n w, mit : K 1 1 Die Lösung muss die Randedingungen (jeweils an 4 Rändern) : a: : : w w ( m ), w w ( m ), erfüllen (s Beispiel zur Platteniegung) Der folgende Ansatz (s 14) verwirklicht das: m n w, wmn sin sin a m1,, n1,, In die Dgl eingesetzt, liefert der Ansatz: mn m1,, n1,, m n m m n w K n sin sin a a a Daraus folgt der Zusammenhang für jedes Reihenglied: m n m n a a n K K m m a a 6 4 / April 9

6 apl Doz Dr-Ing hail G Georgi Tragwerkserechnung Minimale Werte erhält man für n = 1 (d h für eine Halwelle in -Richtung): m 1 n K K m a m a a m a 1 Mit dem Seitenverhältnis a wird daraus: m 1 m K n K k n m m e mit: m k m k Beulfaktor n e K E h Der Graf des Beulfaktors k in Ahängigkeit vom Seitenverhältnis und der Anzahl der Beulen m in -Richtung, die so genannte Girlandenkurve, hat dieses Aussehen: 46 m=1 m= m=3 m=4 44 Beulfaktor k k1 ( a) k ( a) k3 ( a) k4 ( a) Beule Beulen 3 Beulen 4 Beulen a Seitenverhältnis a/ 4 / April 9 63

7 Tragwerkserechnung apl Doz Dr-Ing hail G Georgi Für den Beulfaktor k wird das Minimum in Ahängigkeit von dk m m 1 d m m m a estimmt: m Der kleinste Beulfaktor ist also mit = +m: k 11 4 und damit unahängig von der Anzahl der Beulen m Für die dargestellte Funktion k k mit dem Parameter m werden noch die Schnittpunkte mm, 1 von jeweils enacharten Paraeln ermittelt: Es gilt allgemein: k m k m1 m m1 m m1 mm, 1 mm, 1 mm, 1 mm, 1, mit den Lösungen: mm, 1 m m1 Die ersten Schnittpunkte erhält man damit zu: m 1: 1 1, m : 3 6,3 m 3: 34 1, 3,4 Signifikant zur Auswertung von Beulprolemen sind damit die jeweiligen Paraelaschnitte unterhal der Schnittpunkte von jeweils zwei enacharten Paraeln ( Girlande ) 64 4 / April 9

8 apl Doz Dr-Ing hail G Georgi Tragwerkserechnung Zur Illustration und Kontrolle: Beispielrechnung mit FE-BEUL (DLUBAL GmH) Geometrie und Beulform für 1, 41 Geometrie und Beulform für 1, 44 4 / April 9 65

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