7.2 Wellenoptik Interferenz. 7 Optik
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- Alexander Sachs
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1 7.2 Wellenoptik In Kapitel 6.4 wure Licht ereits als Welle ientifiziert. Wellenphänomene können immer ann eoachtet weren, wenn Gangunterschiee, Blenen, Partikel etc. in er Größenornung er Wellenlänge liegen Interferenz Üerlagerung zweier Wellen. Auslöschung: Gangunterschie x = (2m + 1), mit m = 0, ±1, ±2,... 2 Verstärkung: Gangunterschie x = m, mit m = 0, ±1, ±2,... Der Gangunterschie x entspricht einem Phasenunterschie ϕ von ϕ = k x = 2π x (7.40) Auslöschung: Phasenunterschie ϕ = (2m + 1)π, mit m = 0, ±1, ±2,... Verstärkung: Phasenunterschie ϕ = 2mπ, mit m = 0, ±1, ±2,... Voraussetzung für zeitlich stationäre Interferenzstruktur Kohärenz: In jeem Raumpunkt ist ie Phaseneziehung zwischen en Wellen zeitlich konstant. Inkohärente Wellen: Keine feste Phaseneziehung keine Interferenzmuster (z. B. spontan emittiertes Licht heißer Körper; unahängige Atome tragen ei) Kohärenzzeit τ: Zeit τ währen er er Phasenunterschie ϕ kleiner als 2π ist Kohärenzlänge l: l = cτ für verschieene Lichtquellen: Taelle 7.2: Kohärenzlängen von Licht Kohärenzlänge weißes Licht 1.5 µm Spektrallampe 20 cm Halleiterlaser 150 cm HeNe-Laser 2 km Eine enliche Kohärenzlänge entspricht nach er Fourier-Zerlegung einer enlichen Ban- 80
2 7.2 Wellenoptik reite er Frequenz: f 1 τ Beingung für Interferenz: Gangunterschie x < Kohärenzlänge l. (7.41) = f, Linienreite (7.42) f Erzeugung kohärenter Strahlen: Eine Quelle emittiert Licht, as in zwei Teilstrahlen aufgespalten wir un nach Durchlaufen verschieener optischer Wege wieer üerlagert wir Zweistrahlinterferenz a) Fresnelscher Spiegelversuch L 1 φ L 2 φ Sp 2 Lampe Sp 1 Schirm Ailung 7.26: Fresnelscher Spiegelversuch. Eine Lampe eleuchtet zwei leicht gegeneinaner verkippte Spiegel. Es entsteht ein Interferenzmuster auf em Schirm. 81
3 Winkel für konstruktive Interferenz: sin ϕ m = x (7.43) sin ϕ m = m (7.44) sin ϕ ϕ, für kleine Winkel (7.45) ϕ m (7.46) ) Youngscher Doppelspaltversuch Beleuchtung von zwei Spalten mit einer ausgeehnten Lichtquelle. S 1 D S 2 I Ailung 7.27: Der Doppelspalt wir von einer ausgeehnten Lichtquelle eleuchtet. Interferenzen am Schirm in Punkt P. S 1 un S 2 sin Ausgangspunkte neuer Wellen. Huygenssches Prinzip wichtig: kohärente Beleuchtung er Spalte S 1 un S 2 : S max 2D muss kleiner als 2 < D sein. (7.47) (7.48) (7.49) Michelson-Interferometer Konstruktive Interferenz: S = 2l = m Destruktive Interferenz: S = 2l = (2m + 1) 2 Kann als Interferenzmikroskop zur Bestimmung er Oerflächentopographie herangezogen weren. 82
4 7.2 Wellenoptik Sp (fest) 2 Strahlteiler Lichtquelle Sp1 (verschiear) Schirm Ailung 7.28: Michelson-Interferometer. Das Licht wir am Strahlteiler geteilt un nach Reflexion an en Spiegeln wieer am Schirm üerlagert Interferenz an ünnen Schichten Interferenzen an planparalleler Platte. Vielfachreflexion an en Grenzflächen. Um Interferenzmuster zu erechnen muss er Gangunterschie zwischen en Einzelstrahlen erechnet weren. n Ailung 7.29: Vielfachreflexion an planparallelen Platten. Ausschnitt zur Bestimmung es Gangunterschies. ε A ε ε P C B Gesamtgangunterschie (optisch): s = n( AB + BC) AP (7.50) AB = cos ɛ ; BC = cos ɛ (7.51) AP = 2 tan ɛ sin ɛ, mit Brechungsgesetz sin ɛ = n folgt: (7.52) sin ɛ s = 2 n 2 sin 2 ɛ (7.53) Reflexion am ichteren Meium git einen zusätzlichen Phasenunterschie von π,.h. Gangunterschie von 2. 83
5 Gesamtgangunterschie inkl. Phasensprung: = 2 n 2 sin 2 ɛ 2 (7.54) Konstruktive Interferenz: 2 n 2 sin 2 ɛ 2 = (2m + 1) 2 Destruktive Interferenz: 2 n 2 sin 2 ɛ 2 = m Bei gegeener Plattenicke un Wellenlänge sin iese Beingungen nur für estimmte Einfallswinkel ɛ erfüllar. Interferenzen gleicher Dicke an keilförmigem Glas Interferenzfaren ünner Filme (Seifen- oer Öllamellen); aus weißem Licht weren estimmte Faren reflektiert un anere ausgelöscht (ahängig von, n, ɛ) Antireflexionseschichtungen; an er Grenzfläche zwischen einem Miium mit Brechungsinex n 1 un einem Meium mit Brechungsinex n 3 wir eine Zwischenschicht er Dicke 2 mit n 2 aufgeracht. un n 2 sin so zu wählen, ass sich ie reflektierten Strahlen auslöschen. = 4n 2 ; vollstänige Auslöschung für n 2 = n 1 n Beugung Lichtstrahlen änern ihre Richtung soal Hinernisse ihre freie Ausreitung stören. Sie weren an en Ränern er Hinernisse geeugt. Die Beugung ist umso stärker je kleiner ie Hinernisse sin. Deutung er Beugung: Huygenssches Prinzip er Elementarwelle + Interferenz ieser Wellen. Erzeugung er Elementarwellen urch Beugung; jeer Punkt ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle (Kugelwelle) Ailung 7.30: Huygens Prinzip: Jeer Spalt ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle. 84
6 7.2 Wellenoptik Beugung am Einzelspalt: Aufteilung es Spaltes in Elemente er Breite s ie jeweils Elementarwellen aussenen; Üerlagerung in Punkt P unter Berücksichtigung er Phaseneziehung. r P s Δx x Ailung 7.31: Konstruktion un Beugungsintensität eim Einzelspalt. Gangunterschie: x = s sin Phasenunterschie: ϕ = 2π x s sin = 2π Aufsummation von s = 0 is s = ergit: sin 2 x I() = I 0, mit x = π sin (7.55) x 2 Hauptmaximum: x = 0 = 0 I = I 0 Neenmaxima: sin = (2m + 1) 2 x = (2m + 1) π 2 Minima: sin = ±m x = mπ Die Intensitätsverteilung hängt von a. Je größer enger liegen ie Neenmaxima zusammen. esto schmaler ist er Hauptpeak un 85
7 Doppelspalt P { Δx Ailung 7.32: a) Konstruktion un Beugungsintensität eim Doppelspalt. : Spaltastan : Spaltreite Konstruktive Interferenz: sin = m Destruktive Interferenz: sin = (2m + 1) 2 Beugungsiler er eien Spalte interferieren für >. x Maxima: sin = m Minima: sin = (2m + 1) 2 Innerhal er Hauptmaxima treten Interferenzen auf. Beugungsintensität: I() = ( ) 2 sin[π(/) sin ] cos 2 [π(/) sin ] (7.56) [π(/) sin ] 86
8 7.2 Wellenoptik Beugung am Beugungsgitter Einhüllene = Beugungsverteilung N { 3 sin N-2 Neenmaxima Ornung Ailung 7.33: a) Konstruktion un Beugungsintensität eim Gitter mit N=5 Spalten. N äquiistante Spalte im Astan mit Breite. jeer Spalt erzeugt eine Elementarwelle. Wenn Beugungsil es Einzelspaltes reit gegen Interferenzstrukturen. Üerlagerung er Elementarwellen: Beugung es Einzelspaltes: Interferenz er N Spalte: I() sin2 x x 2 (7.57) x = π sin (7.58) I() sin2 (Nz) z 2 (7.59) z = π I() = I 0 sin 2 x x 2 Hauptmaxima: sin = m Minima: Nz = m π sin = m N sin (7.60) sin2 (Nz) sin 2 (z) = sin2 [π(/) sin ] [π(/) sin ] 2 sin2 [Nπ(/) sin ] sin 2 [π(/) sin ] (7.61) (7.62) 87
9 7.2.5 Röntgeneugung am Kristallgitter Kristalline Festkörper: Atome efinen sich an perioischen Plätzen mit estimmten interatomaren Astänen. Atome Netzeenen Gangunterschie Ailung 7.34: Atome im Kristallgitter ilen ie Netzeenen. Konstruktion es Gangunterschies. Gangunterschie: s = 2 sin Konstruktive Interferenz wenn er Gangunterschie enacharter reflektierter Strahlen ein ganzzahliges Vielfaches er Wellenlänge ist. Braggsche Beingung: 2 sin = m (7.63) m = 0, 1, 2,... (7.64) : Netzeenenastan (7.65) 88
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