8. GV: Interferenz und Beugung

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1 Protokoll zum Physik Praktikum I: WS 2005/06 8. GV: Interferenz und Beugung Protokollanten Jörg Mönnich - Anton Friesen - Betreuer Maik Stuke Versuchstag Dienstag,

2 Interferenz und Beugung 1 Einleitung Im Allgemeinen wird die Wellenausbreitung des Lichtes mit Hilfe des Huygenschen Prinzips beschrieben, wonach jeder Punkt auf einer sich vorwärts bewegenden Wellenfront selbst eine Quelle für sich ausbreitende Wellen darstellt. Treffen Lichtwellen auf ein Hindernis, so kann es zur Ausbreitung der Wellen in verschiedene Richtungen kommen; man spricht von Beugung (s. Abb. 1). Abb. 1: Entstehung elementarer Wellen am Einfach- und Mehrfachspalt Jede Welle breitet sich mit einer für sie charakteristischen Amplitude aus. Treffen Wellen aufeinander, so kommt es zur Interferenz (Überlagerung). Hierbei kann man positive (konstruktive) und negative (destruktive) Interferenz unterscheiden. Positive Überlagerung führt zu einer Verstärkung der Amplitude, negative Überlagerung zur Auslöschung. Addieren sich ihre momentanen Amplituden liegt eine Superposition vor. n 2π maximale Verstärkung, (2n 1) π maximale Abschwächung n Hierbei ist darauf zu achten, dass die Wellen die gleiche Frequenz haben müssen. Daher ist es notwendig monochromatisches Licht (Licht einer Farbe bzw. einer Wellenlänge) für das Interferenzexperiment zu verwenden, da Licht verschiedener Wellenlängen nicht mit einander interferieren könnte. Wird dies berücksichtigt, liegt eine feste Phasenbeziehung (Kohärenz) vor. Der Phasenunterschied - oder auch Gangunterschied genannt - ist dabei wie folgt definiert:

3 Interferenz und Beugung 2 Für eine maximale Verstärkung gilt: = n λ (1.1) Für die maximale Abschwächung gilt: = (2n 1) λ / 2 (1.2) Mit Hilfe dieser Formel lässt sich bei bekannter Wellenlänge λ die Position der Minima und Maxima ermitteln. Im Folgenden wird nun genauer auf das Phänomen der Beugung eingegangen. Unter Beugung versteht man im allgemeinen Sinne eine Erscheinung, durch die sich Wellen infolge von Reflexion oder Brechung nicht geradlinig ausbreiten, sondern in bestimmter Weise abgelenkt werden. Abb. 1: Geometrie des Beugungsexperimentes 1 Bei einem Interferenzexperiment erfolgt die Ablenkung dann, wenn der Durchmesser der Öffnung (Spaltbreite), durch die der Lichtstrahl geschickt wird, in der Größenordnung der Wellenlänge liegt, also nicht mehr als wenige Mikrometer beträgt. Dann ist das Bild auf dem Schirm nicht etwa eine Scheibe vom gleichen Durchmesser wie die Öffnung (wie bei großen Öffnungen tatsächlich der Fall), sondern besteht aus mehreren konzentrischen Ringen. Von dem Mittelpunkt des 1 Quelle:

4 Interferenz und Beugung 3 Bildes aus erscheinen zur linken und rechten Seite hin abwechselnd helle und dunkle Streifen (Interferenzstreifen). Auf diese Weise besteht eine Abhängigkeit zwischen der Größe (und auch Anzahl) der Spaltöffnung(en) und dem dadurch bedingten Interferenzmuster (s. Abb. 3). Die folgende Grafik beschreibt die Beugung an einem breiten und an einem schmalen Spalt: Abb. 3: Beugung einer Lichtwelle an einem breiten und schmalen Spalt 2 Bei der Frauenhoferschen Beugung an einem Einfachspalt mit der Breite s betrachtet man das Interferenzbild in so großem Abstand, dass man sich näherungsweise vorstellen kann, dass das Beugungsbild durch die Überlagerung paralleler Lichtbündel entsteht. Die Entstehung des 1. Hauptmaximums kann gedanklich nachvollzogen werden: Teilt man das Lichtbündel in zwei Hälften, so findet man für jede aus der unteren Hälfte ausgehende Elementarwelle eine Elementarwelle in der oberen Hälfte, die den Gangunterschied λ/2 aufweist und somit zu destruktiven Interferenz führt. Dies gilt immer dann, wenn der Gangunterschied ein Vielfaches von λ ist. Bei einem Gangunterschied von λ = 3 liegt das 1. Nebenmaximum vor. Mit wachsendem 2 Beugungswinkel nimmt die Intensität des Lichtes ab. Allgemein gilt für das n-te Maximum bzw. das n-te Minimum: λ /2 sin α max, n = (2n + 1) (1.3) s 2 Quelle:

5 Interferenz und Beugung 4 n λ λ /2 sinαmin, n = = 2n (1.4) s s Für kleine Winkel (α < 1) gilt näherungsweise sinα tanα. Daraus erhält man die vereinfachte Beziehung für das n-te Minimum: sb λ = (1.5) nl L ist hierbei der Abstand zum Schirm und b der Abstand zur optischen Achse. Zur Beugung am Mehrfachspalt bzw. Gitter werden ähnliche Überlegungen angestellt. Fällt paralleles Licht mit der Wellenlänge λ auf ein Strichgitter, welches aus N Einzelspalten der Breite s im Abstand a voneinander besteht, so lässt sich für das gebeugte Licht folgende Intensitätsverteilung finden: sin Nη sinξ I( α) ( ) sinη ξ = 2 I, 0 (1.6) sπ sinα aπ sinα wobei ξ = und η = sind. Bei einem Strichgitter findet man das λ λ Beugungsmaximum der n-ten Ordnung unter dem Winkel nλ sinα n = (1.7) a Normalerweise wird bei den Strichgittern nicht mehr der Abstand a angegeben sondern die Anzahl der Striche pro mm. Je höher die Anzahl der Striche, desto genauer lässt sich die Wellenlänge des eingestrahlten Lichts trennen und bestimmen. Vorbereitung V.1 Ein Interferenzmuster am Spalt wird nur ab einer bestimmten Spaltgröße erfolgreich sein. Bei einem zu großem Spalt wird es zu keiner sichtbaren Interferenz der Lichtstrahlen kommen.

6 Interferenz und Beugung 5 V.2 Taschenlampen und Kerzen sind für Beobachtung von Interferenz- Erscheinungen nicht geeignet, da sie kein monochormatiches, kohärentes Licht ausstrahlen. V.3 Um zu zeigen, dass die allgemeine Beziehung 1.6 auch für den Fall 1.4 gültig ist, setzen wir das daraus abgeleitete α min,n einfach in die allgemeine sin Nη sinξ 2 Beziehung I( α ) = I0( ) sinη ξ ein, wobei sπ sinα ξ = und λ aπ sinα η =. λ Das abgeleitete α nλ s 1 min, n = sin ( ) α min,n müsste demnach I( α min,n ) = 0 sein. sπ sinα sπ nλ min, n sin( ) sin( ) sin Nη 2 sin Nη s 2 min, n = λ λ 0 = 0 I( α ) I ( ) I ( ) sinη ξ sinη ξ sπ nλ Da sin( ) = 0, ist auch I ( α min, n) = 0. Damit ist bewiesen, dass sin min, λs auch in der allgemeinen Beziehung enthalten ist. α = n nλ s Durchführung In diesem Teil werden die durchgeführten Schritte nur beschrieben. Die genauen Methoden zur Versuchsdurchführung können dem Skript (S ) entnommen werden. 1. Kontrolle des Versuchsaufbau und Bestimmung des Abstands L Der Laser wurde justiert und das verschiebbare Photoelement auf die optische Achse abgestimmt. L = 1 m 2. Vergleich der Interferenzmuster für die Spaltbreiten 0,1 mm und 0,2 mm Die Abstände der Intensitätsmaxima für die Spaltbreite 0,2 mm sind kleiner als die Abstände der Maxima für die kleine Spaltbreite von 0,1 mm. Es ist somit qualitativ

7 Interferenz und Beugung 6 festzustellen, dass eine kleinere Spaltbreite größere Abstände zwischen den Intensitätsmaxima zur Folge hat. 3. Auswahl einer Spaltbreite und Messung der Lichtintensität in Abhäng igkeit des Abstandes b zur optischen Achse Wir haben uns in diesem Versuch für die Spaltbreite von 0,1 mm entschieden, da die Abstände zwischen den Intensitätsmaxima größer und damit leichter zu vermessen waren. Die Intensitäten wurden jeweils nur einseitig von der optischen Achse vermessen, da das Interferenzbild symmetrisch ist. Tab. 1: Maximale Lichtintensität I in Abhängigkeit vom Abstand b, Einzelspaltversuch Lichtintensität I Abstand b zur opt. Achse [in mm] 0, , , , In Abb. 1 wurde die Intensitätsverteilung an der y-achse gespiegelt, da das erhaltene Interferenzbild wie oben bereits beschrieben symmetrisch ist. Lichtintensität 0,1 0, Abstand b [in mm] Abb. 1: Lichtintensität I in Abhängigkeit vom Abstand b zur optischen Achse, Einzelspalt

8 Interferenz und Beugung 7 4. Bestimmung der Wellenlänge des Lasers Die Laserwellenlänge bestimmen wir aus der Lage des ersten Minimums. Aus Tabelle 1 lässt sich entnehmen, dass das erste Minimum bei b = 6,5 mm liegt. Mit folgender Gleichung lässt sich somit die Wellenlänge bestimmen (Für die Fehlerrechnung wird s als fehlerfrei angenommen). Nach 1.5 errechnet sich für L = 1 m L = 0,005 m n = 1 s =1 * 10-4 m b = 6,5 * 10-3 m b = 5 * 10-4 m λ = sb 650 nm nl s 2 sb 2 λ = ( b) + ( L) 53,25 nm 2 nl nl λ = 650 ± 53,25 nm Der gemessene Wert stimmt - unter Berücksichtigung des Fehlers - mit dem in der Literatur angegebenen Wert 3 von 632,8 nm überein. 5. Vermessen des Interferenzbildes am Doppelspalt Als Doppelspalt haben wir wieder eine Spaltbreite s von 0,1 mm genommen mit einem Spaltabstand a von 0,3 mm. Tab. 2: Maximale Lichtintensität I in Abhängigkeit vom Abstand b, Doppelspaltversuch Lichtintensität I Abstand b zur opt. Achse [in mm] 0, , ,07 4 0, , , Quelle:

9 Interferenz und Beugung 8 Die in Tabelle 2 aufgeführten Werte sind in Abb. 1 dargestellt. Lichtintensität 0,15 0,1 0, Abstand b [in mm] Abb. 2: Lichtintensität I in Abhängigkeit vom Abstand b zur optischen Achse, Doppelspalt Am Doppelspalt ergeben sich im Vergleich zum Einzelspalt drei fast gleich große Maxima. Des Weiteren nimmt die Intensität der Maxima wie erwartet mit steigendem Abstand b rapide ab. 7. Untersuchung der verschiedenen Strichgitter Für das erste Strichgitter mit 40 Strichen/cm, also s = 0,25 mm wurde ein Interferenzmuster aufgenommen (im Folgenden wird a als fehlerfrei angenommen): Tab. 3: Maximale Lichtintensität I in Abhängigkeit vom Abstand b, Strichgitter Lichtintensität I Abstand b zur opt. Achse [in mm] 0, , ,0125 4,5 0, ,0130 9,5 0,

10 Interferenz und Beugung 9 Die in Tabelle 3 aufgeführten Werte sind in Abb. 3 dargestellt. Lichtintensität 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, Abstand b [in mm] Abb. 3: Lichtintensität I in Abhängigkeit vom Abstand b zur optischen Achse, Strichgitter Der Abstand zwischen den Maxima liegt somit bei b = 2,5 ± 0,5 mm. Zur Berechnung von λ kann hier noch die Annahme tanα = sinα gemacht werden, da der Winkel α noch recht klein ist. Somit folgt: b nλ tanα = sinα n = L s bs = λ Ln s = 0,25 mm L = 1000 mm L = 5 mm n = 1 b = 2,5 mm b = 0,5 mm ba λ = 625 nm Ln s 2 bs 2 λ = ( b) + ( L) 0,0125 nm 2 Ln L n

11 Interferenz und Beugung 10 Für die folgenden beiden Strichgitter mit 50 Strichen/mm (s = 0,02 mm) und 570 Strichen/mm (s = 0,00175 mm) ergaben sich (bei L = 1000 ± 5 mm) folgende Abstände zu den ersten Maxima: s 50 = 0,02 mm b 50 = 31 ± 1 mm s 570 = 0,00175 mm b 570 = 415 ± 1 mm Aufgrund der großen Abstände der Intensitätsmaxima kann die Annahme tanα = sinα nicht mehr gelten. Dadurch berechnet sich die Wellenlänge λ und der Fehler λ folgendermaßen: s s sinα λ = = n b L 1 sin(tan ) n Für die jeweiligen Wellenlängen erhält man daraus: λ ,7 nm λ ,8 nm Für den Fehler der Wellenlänge erhält man: λ 50 23,07 nm λ 570 4,24 nm Tab. 4: Errechnete Wellenlänge des Lasers in Abhängigkeit der Strichanzahl des Strichgitters Striche / mm Wellenlänge λ des Lasers in nm ± 0, ,7 ± 23, ± 4,24

12 Interferenz und Beugung 11 In Tabelle 4 fällt in erster Linie auf, dass alle drei Ergebnisse in einem Bereich von nm, in der Nähe der tatsächlichen Wellenlänge des Lasers von 632,8 nm liegen. Der Mittelwert der drei ermittelten Wellenlängen von 638 nm kommt demnach dem eigentlichen Wert sehr nahe. Dies zeigt, dass alle Messungen (so ungenau sie auch waren) zumindest ein qualitativ annehmbares Ergebnis zulassen. Betrachtet man die einzelnen Ergebnisse für sich, so stellt man fest, dass das Strichgitter mit der kleinsten Strichzahl, ohne weitere Betrachtung des Fehlers, mit 625 nm das beste Ergebnis liefert. Unter Berücksichtigung des errechneten Fehlers jedoch, liegt der Literaturwert nicht im Fehlerbereich. Hier liefert das 50er Strichgitter als einziges ein passendes Fehlermaß. Das schlechteste Ergebnis liefert das Strichgitter mit 570 Strichen/mm. Hier liegt der errechnete Wert mit 670 nm am weitesten von dem Literaturwert und auch das Fehlermaß erscheint deutlich zu klein. Dies könnte eventuell daran liegen, dass aufgrund des großen Abstandes zwischen den Maxima nur ein einziges Maximum bestimmt werden konnte und ein Abgleich der Abstände der Maxima fehlt. Die Auswertung der Ergebnisse lässt den Schluss zu, dass eine kleine Auflösung des Gitters ein besseres Ergebnis liefert. Dabei wäre eher das Gegenteil zu erwarten gewesen, nämlich dass eine größere Strichzahl des Strichgitters eine genauere Bestimmung der Wellenlänge zur Folge hat. Eine Erklärung hierfür könnte darin liegen, dass die Intensitätsmaxima bei größer werdender Strichzahl weiter auseinander liegen und der Abstand der Maxima eigentlich genauer bestimmt werden kann. Des Weiteren war anhand des Interferenzmusters, dass wir vermessen haben auch zu erkennen, dass die Breite der Maxima relativ zum Abstand zwischen den Maxima mit größerer Strichzahl zunimmt. 8. Diskussion der Genauigkeit der verschiedenen Verfahren Anhand der Werte der jeweiligen Berechnung fällt es schwer eine eindeutige Aussage über die Genauigkeit der verschiedenen Verfahren zu machen, da alle vier Bestimmungen nah an Literaturwert heranreichen. Es bleibt jedoch festzustellen, dass die Bestimmung der Wellenlänge mit dem 50er Strichgitter am besten erfolgt ist. Mit größer werdender Strichzahl des Strichgitters scheint die Wellenlängenbestimmung mit dem Strichgitterversuch jedoch sehr viel genauer, als

13 Interferenz und Beugung 12 die Bestimmung mit dem Einzelspaltversuch. Dies wird durch einen Blick auf die jeweiligen Fehlerbereiche deutlich. Quellen Udo Werner, Praktikumsskript, 2005 Tipler-Mosca, Physik, 2004 Gerthsen, Physik, 1995