Optik. Beugung am Spalt, am Steg und an der kreisförmigen Lochblende. LD Handblätter Physik P Bi. Wellenoptik Beugung

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1 Optik Wellenoptik Beugung LD Handblätter Physik P Beugung am Spalt, am Steg und an der kreisförmigen Lochblende Versuchsziele Untersuchung der Beugung am Spalt bei verschiedenen Spaltbreiten und Bestiung der Breite eines Spaltes. Untersuchung der Beugung am Steg und Bestätigung des Babinetschen Prinzips. Untersuchung der Beugung an der kreisförmigen Lochblende bei verschiedenen Lochdurchmessern und Bestiung des Durchmessers eines Loches. Grundlagen Die Natur des Lichtes war lange umstritten. Christiaan Huygens interpretierte das Licht 1690 als ein Wellenphänomen; Isaac Newton beschrieb 1704 den Lichtstrahl als einen Strom von Teilchen. Die Quantenmechanik löste diesen Widerspruch und schuf das Bild vom Welle-Teilchen-Dualismus. Experimente zur Beugung belegen die Wellennatur des Lichtes. Beugungserscheinungen treten grundsätzlich auf, wenn die freie Ausbreitung des Lichtes durch Hindernisse wie z.b. Lochblenden oder Spalte geändert wird. Die dabei zu beobachtende Abweichung von der geradlinigen Ausbreitung des Lichtes bezeichnet man als Beugung. Für die Untersuchung von Beugungserscheinungen werden zwei Fälle der experimentellen Ausführung unterschieden: Bei der Fraunhoferschen Beugung werden parallele Wellenfronten des Lichtes vor und hinter dem Beugungsobjekt untersucht. Dies entspricht auf der einen Seite einer unendlich weit vom Beugungsobjekt entfernten Lichtquelle und auf der anderen Seite einem unendlich weit vom Beugungsobjekt entfernten Beobachtungsschirm. Experimentell wird dies mit Hilfe von Saellinsen realisiert, die beispielsweise zwischen der Lichtquelle und dem Beugungsobjekt in den Strahlengang gesetzt werden. Bei der Fresnelschen Beugung befindet sich die Lichtquelle und der Beobachtungsschirm im endlichen Abstand vom Beugungsobjekt. Bei größer werdenden Abständen gleichen die Fresnelschen Beugungsbilder mehr und mehr den Fraunhoferschen. Die Berechnungen von Beugungsbildern bekannter Beugungsobjekte sind bei der Fraunhoferschen Betrachtungsweise einfacher. Daher wird bei den hier beschriebenen Versuchen die Fraunhofersche Betrachtungsweise zugrundegelegt. Beugungserscheinungen an einem Spalt lassen sich mit dem intensiven und kohärenten Licht eines Lasers deutlich zeigen. Durch Beugung des parallel einfallenden Lichtes an der Spaltöffnung breitet sich das Licht auch im geometrischen Schatten (in Fig. 1 grau unterlegt) der Spaltblende aus. Außerdem beob- Fig. 1 Schematische Darstellung zur Beugung des Lichtes am Spalt b: Spaltbreite L: Abstand des Schirmes vom Spalt x 2 : Abstand des zweiten Intensitätsminimums vom Zentrum 2 : Richtung, in welcher die zweite Auslöschung beobachtet wird s 2 : Gangunterschied S: Beobachtungsschirm 0713-Bi 1

2 P LD Handblätter Physik Geräte 1 Blende mit 3 Einfachspalten Blende mit 3 Beugungslöchern Blende mit 3 Beugungsstegen He-Ne-Laser, linear polarisiert Halter mit Federkleen Linse f = Linse f = Optische Bank, Normalprofil 1 m Optikreiter, H = 60 /B = Durchscheinender Schirm Sockel achtet man auf dem Schirm ein System aus hellen und dunklen Streifen. Dies kann mit den Gesetzen der geometrischen Strahlenoptik nicht erklärt werden. Eine Erklärung ist nur möglich, wenn dem Licht Welleneigenschaften zugeschrieben werden und die auf dem Schirm beobachtete Beugungsfigur als Überlagerung (unendlich) vieler von der Spaltöffnung ausgehender Teilbündel betrachtet wird. Die Überlagerung der Teilbündel führt in bestiten Richtungen zur Auslöschung bzw. zur Verstärkung der Intensität. In einem einfachen Ansatz lässt sich an Hand von Fig. 1 plausibel machen, dass dunkle Streifen dort auftreten, wo es zu jedem Teilbündel aus der einen Spalthälfte genau ein Teilbündel aus der anderen Spalthälfte gibt und beide sich auslöschen. Dies ist für die unter dem Winkel n austretenden Teilbündel jedes Mal dann erfüllt, wenn der Gangunterschied s n zwischen Mittelpunktstrahl und Randstrahl ein ganzzahliges Vielfaches n der halben Wellenlänge des Lichtes ist: s n = n 2 n = 1,2,3, Für kleine Beugungswinkel und großen Schirmabstand L lässt sich näherungsweise setzen: 2 s n b n x n L Aus der Auslöschungsbedingung (I) folgt damit für die Wellenlänge: (I) (II) Fig. 2 Diese Beziehung stellt einen Zusaenhang zwischen der Wellenlänge und der Versuchsgeometrie her. Bei bekannter Spaltbreite b kann mit Gl. (III) die Wellenlänge des Lichtes bestit werden. Umkehrt kann aus einem Beugungsexperiment mit monochromatischem Licht bekannter Wellenlänge die Größe des Beugungsobjektes ermittelt werden. Für eine genaue Berechnung der Beugungsfigur suiert man die Schwingungszustände aller vom Spalt ausgehenden Teilbündel unter Berücksichtigung ihrer Phasendifferenzen auf und erhält die Feldstärkenamplitude A des gebeugten Lichts an einem beliebigen Ort x auf dem Schirm. Aus der so berechneten Amplitudenverteilung A(x) erhält man unmittelbar die Intensitätsverteilung I(x) = A 2 (x). In Fig. 2 ist die Intensitätsverteilung für verschiedene Spaltbreiten b dargestellt. Die Intensitätsminima des Beugungsbildes sind äquidistant. Die Intensitätsmaxima niederer Ordnung sind zum Hauptmaximum 0-ter Ordnung hin verlagert. Die Nebenmaxima liegen um so besser in der Mitte zwischen zwei Nebenminima, je größer die Ordnungszahl ist. Fig. 3 Intensitätsverteilung des Beugungsbildes eines Spaltes Intensitätsverteilung des Beugungsbildes einer kreisförmigen Lochblende (diametraler Schnitt) = x n n b L (III) Sicherheitshinweise Der He-Ne-Laser genügt den Sicherheitstechnischen Anforderungen für Lehr-, Lern- und Ausbildungsmittel- Laser; DIN Teil 6 für Laser Klasse 2. Bei Beachtung der entsprechenden Hinweise in der Gebrauchsanleitung ist das Experimentieren mit dem He-Ne-Laser ungefährlich. Nicht in den direkten oder reflektierten Laserstrahl blicken. Überschreitung der Blendungsgrenze vermeiden (d.h. kein Beobachter darf sich geblendet fühlen). 2

3 LD Handblätter Physik P Zur Beugung am Spalt ist die Beugung an einem Steg gleicher Breite komplementär. Daher ist die Amplitudenverteilung A (x) des Beugungsbildes eines Stegs komplementär zur Amplitudenverteilung A(x) eines Spalts; d.h. A(x) und A (x) addieren sich zur Amplitudenverteilung A 0 (x), die ohne Beugungsobjekt auf dem Schirm messbar wäre (Babinetsches Prinzip). Außerhalb des Bildes der Lichtquelle auf dem Schirm ist A 0 (x) = A(x) + A (x) = 0. Dort stien somit die zugehörigen Intensitäten I(x) und I (x), die sich aus den Quadraten der Amplituden berechnen, überein. Mit anderen Worten: Die Beugungsbilder eines Stegs und eines Spaltes sind außerhalb des Bildes der Lichtquelle gleich. Das bedeutet, dass die für die Spaltbeugung gültige Beziehung (II) auch für die Beugung am Steg gilt. Auch Beugungserscheinungen an einer Lochblende lassen sich mit Laserlicht deutlich zeigen. Ein Sonderfall, der für die Erklärung der Beugung bei Beugungsobjekten beliebiger Form eine grundlegende Rolle spielt, ist das ringförmige Beugungsmuster bei Löchern mit kreisförmiger Begrenzung. Doch schon für diesen Sonderfall ist die theoretische Bestiung der Richtungen, in denen Auslöschung oder Verstärkung auftritt, mathematisch relativ aufwendig. Deshalb wird hier ohne Herleitung auf das Ergebnis verwiesen. Für die Auslöschung gilt: d n 2 L = k n (IV) D mit k 1 = 1,220, k 2 =2,232, k 3 = 3,238, und n = 1,2,3, D = Radius der Lochblende d n = Durchmesser des n-ten dunklen Ringes auf dem Schirm L = Abstand zwischen Schirm und Lochblende Ein diametraler Schnitt durch die Intensitätsverteilung auf dem Beobachtungsschirm ist in Fig. 3 für verschiedene Lochdurchmesser D dargestellt. Die Intensitätsminima des Beugungsbildes sind hier nicht äquidistant, da die Koeffizienten k n in Gl. (IV) keinen konstanten Abstand aufweisen. Dieser Abstand nähert sich erst mit wachsendem n dem Wert 1. Fig. 4 Aufbau Versuchsaufbau (oben) und schematischer Strahlengang (unten) zur Beobachtung der Beugung am Spalt, am Steg und an der kreisförmigen Lochblende. L 1 : Linse f = +5 L 2 : Linse f = +50 H: Halter für Beugungsobjekte S: Beobachtungsschirm Hinweis: Justierung in einem leicht verdunkelten Raum durchführen. Der gesamte Versuchsaufbau ist in Fig. 4 dargestellt. Die Kugellinse L 1 mit Brennweite f = +5 weitet den Laserstrahl zunächst auf. Die folgende Saellinse L 2 mit der Brennweite f = +50 wird so positioniert, dass sich ihr Brennpunkt etwas unterhalb des Brennpunktes der Kugellinse befindet. Auf diese Weise wird erreicht, dass der Laserstrahl etwas aufgeweitet ist und annähernd parallel entlang der optischen Achse verläuft. He-Ne-Laser entsprechend Fig. 4 mittels eines Optikreiters auf der Optischen Bank befestigen. Schirm S ca. 1,90 m vom Laser entfernt aufstellen. Laser auf den Schirm ausrichten und einschalten. Halter für Beugungsobjekte H mit eingespannter Blende mit 3 Einfachspalten in ca. 50 cm Abstand vom Laser auf die Optische Bank stellen. Höhe des Lasers so ausrichten, dass der Laserstrahl die Mitte der Blende durchsetzt. Kugellinse L 1 der Brennweite f = +5 in ca. 1 cm Abstand vor den Laser stellen (der Laserstrahl soll die Blende gut ausleuchten). 3

4 P LD Handblätter Physik Halter für Beugungsobjekte H wieder herausnehmen. Saellinse L 2 der Brennweite f = +50 in ca. 55 Abstand hinter der Kugellinse L 1 positionieren und auf der Optischen Bank in Richtung Kugellinse L 1 verschieben, bis der Laserstrahl auf dem Schirm scharf abgebildet wird. Saellinse L 2 auf der Optischen Bank dann noch ein wenig in Richtung der Kugellinse L 1 verschieben, bis sich der Durchmesser des Laserstrahls auf dem Schirm auf ca. 6 aufweitet (der Laserstrahl sollte dann entlang der optischen Achse ein konstantes kreisrundes Profil aufweisen). Zur Überprüfung, ob der Strahldurchmesser zwischen Linse und Schirm konstant ist, ein Blatt Papier in den Strahlengang halten und das Strahlprofil entlang der optischen Achse verfolgen. Halter für Beugungsobjekte H wieder in den Strahlengang stellen und so verschieben, dass der Abstand d zwischen Schirm und Beugungsobjekt 1,50 m beträgt. Eventuell Linse L 2 noch geringfügig verschieben, bis das Beugungsbild scharf abgebildet ist. Messbeispiel Mit abnehmender Spaltbreite b wird die Intensität im Zentrum geringer. Die Intensitätsmaxima werden breiter und die Intensitätsminima wandern auseinander. D.h. das Beugungsbild wandert ier mehr in den geometrischen Schatten der Spaltblende hinein. Tab. 1: Abstände x n der Intensitätsminima vom Intensitätsmaximum 0-ter Ordnung Ordnung des Intensitätsminimums x n x n /n 1 4,5 4,50 2 8,5 4, ,5 4, ,1 4, ,0 4, ,5 3, ,5 3, ,5 3,94 Durchführung Nacheinander die Spalte C (b = 0,48 ), B (b = 0,24 ) und A (b = 0,12 ) in den Strahlengang schieben und die Beugungserscheinung in Abhängigkeit von der Spaltbreite b untersuchen. Spalt B erneut einschieben und Beugungsbild auf dem Schirm scharf abbilden. Ein Papier auf den Schirm halten und mit weichem Bleistift die Orte der Intensitätsminima (dunkle Streifen) markieren. Die Abstände x n messen und Werte x n /n berechnen. Nacheinander die Stege B (b = 0,4 ) und A (b = 0,2 ) in den Strahlengang schieben. Die Beugungserscheinung beobachten und mit der des Spalts vergleichen. Nacheinander die Löcher C (D = 0,48 ), B (D = 0,24 ) und A (D = 0,12 ) in den Strahlengang schieben und die Beugungserscheinung in Abhängigkeit vom Lochdurchmesser D untersuchen. Lochblende C erneut einschieben und Beugungsbild auf dem Schirm scharf abbilden. Ein Papier auf den Schirm halten und mit weichem Bleistift die Orte der Intensitätsminima (dunkle Ringe) markieren. Die Durchmesser d n der dunklen Ringe messen und Werte d n /k n berechnen. Hinweis: Das Ringmuster ist bei kleinem Lochdurchmesser mitunter etwas gestört, da sich geringe Abweichungen der Blende von der Kreisform bemerkbar machen. Mittelwert: x n n = 4,093 Wellenlänge: = 633 nm Entfernung des Schirms: L = 1,50 m Bis auf die Hauptmaxima in der Mitte der Beugungsfigur entsprechen die Beugungsbilder des Steges denen des Einzelspaltes. Mit abnehmendem Lochdurchmesser D wird die Intensität im Zentrum geringer. Die hellen Ringe werden breiter, die dunklen wandern auseinander. Das Beugungsbild wandert ier mehr in den geometrischen Schatten der Lochblende hinein. Tab. 2: Durchmesser d n der Intensitätsminima Ordnung des Intensitätsminimums Mittelwert d n k n = 3,883 Wellenlänge: = 633 nm d n Entfernung des Schirms: L = 1,50 m d n / k n 1 4,8 3,93 2 8,6 3, ,5 3,86 4

5 LD Handblätter Physik P Auswertung Mit den Messwerten x n = 4,093 n = 633 nm L = 1,50 m ergibt sich mit Umstellung von Gl. (III) für die Spaltbreite b = L x n n = 0,23 s. Messbeispiel. Mit den Messwerten d n k n = 3,883 = 633 nm L = 1,50 m ergibt sich mit Umstellung von Gl. (IV) für den Lochdurchmesser D = L d n k n = 0,49 Ergebnis Beim Durchgang des Laserlichtes durch einen Spalt erscheint auf dem Schirm ein streifenförmiges Beugungsbild. Auch außerhalb des Zentrums sind helle Streifen zu beobachten. Deren Abstand zum Zentrum ist umso größer, je kleiner die Spaltbreite ist. Bei kleinen Spaltbreiten ist also auf dem Schirm auch Intensität an Stellen zu beobachten, die nach den Gesetzen der geometrischen Optik im Schatten der Spaltblende liegen würden. Die Beugung am Steg ist komplementär zur Beugung am Spalt. Daher sind die Beugungsbilder außerhalb des Bildes der Lichtquelle auf dem Schirm gleich. Beim Durchgang des Laserlichtes durch ein kreisförmiges Loch erscheint auf dem Schirm ein Beugungsbild aus konzentrischen Kreisen. Auch außerhalb des Zentrums sind helle Ringe zu beobachten. Deren Abstand zum Zentrum ist umso größer, je kleiner der Lochdurchmesser ist. Bei kleinen Lochdurchmessern ist also auf dem Schirm auch Intensität an Stellen zu beobachten, die nach den Gesetzen der geometrischen Optik im Schatten der Lochblende liegen. Zusatzinformation a) Das Wellenmodell des Lichtes erlaubt eine anschauliche Erklärung aller Erscheinungen des Lichtes, die mit Lichtausbreitung zu tun haben, auch der einfachen, wie sie vom Strahlenmodell der geometrischen Optik bekannt sind. Die Anwendbarkeit des Wellenmodells reicht über den Ausschnitt des sichtbaren Spektrums weit hinaus und umfasst das gesamte Gebiet des elektromagnetischen Spektrums von Radiowellen bis zu ionisierender Strahlung. b) Aus Gl. (III) ist ersichtlich, dass die Beugungserscheinungen besonders deutlich werden, wenn die Wellenlänge des Lichtes in der Größenordnung des Beugungsobjektes ist und je größer die Wellenlänge des benutzten Lichtes ist. c) Zwischen den Koeffizienten k n in Gl. (IV) und den Nullstellen z n der Besselfunktion 1. Ordnung J 1 (z) besteht der Zusaenhang: z n = k n. LD DIDACTIC GmbH Leyboldstrasse 1 D Hürth Phone (02233) Telefax (02233) info@ld-didactic.de by LD DIDACTIC GmbH Printed in the Federal Republic of Germany Technical alterations reserved

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