Inhalte. Beugung. Fresnel-Huygens sches Prinzip Beugung an der Kante Fresnelsche Zonen Platte Poisson Fleck

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1 Beugung Inhalte Fresnel-Huygens sches Prinzip Beugung an der Kante Fresnelsche Zonen Platte Poisson Fleck Fresnel-Kirchhoff Theorie der Beugung Fresnel-Kirchhoff-Integral Fraunhofer (Fernfeld) Näherung Babinetsches Prinzip Beugung an Spalt und Kreisblende E3-V Dez 18

2 Die Fresnel-Kirchhoffsche Beugungstheorie. Kirchhoff'sche Theorie berechnet aus der vorgegebenen Feldverteilung in der Ble (Huygenssche Elementarwellen verwendet) λ

3 Die Fresnel-Kirchhoffsche Beugungstheorie. Kirchhoff'sche Theorie berechnet aus der vorgegebenen Feldverteilung in der Ble Eigenschaften des Feld am Punkt P (Integration über offenen Teil der Blende) durch drei wesentliche Faktoren bestimmt: 1. das einfallende Feld U 0 (ξ,η) an der Blendenöffnung, 2. die Kugelwelle, die sich vom Ort (ξ, η) her ausbreitet, 3. die Blendenöffnung Ω(ξ, η) (Form, Transmission). Fresnel-Kirchhoffsche Integral

4 . Fraunhofer'schen Beugung: R 0 und R, ψ vernachlässigbar. Gebeugte Intensität U P (α,β) enthält nur Terme, die in Koordinaten ξ und η linear sind Diese Gleichung kann mit dem Zusammenhang zwischen den Wellenvektoren und den Richtungskosinus (k α = k x bzw. k β = k y bzw. k α 0 = k 0x bzw. k β 0 = k 0y )in eine neu Formgebracht werden, die in der Festkörperphysik sehr gebräuchlich ist: 19 W.Zinth Physik LMU

5 . Für senkrecht auf die Beugungsöffnung (Ω (ξ, η)) einfallendes Licht ergibt sich eine weitere Vereinfachung, da hier α 0 = β 0 = 0 ist: Fraunhofersche Beugung, senkrechter Lichteinfall + (4.8) U P (α,β) = V P0 - + Ω (ξ, η) exp (-ikαξ - ikβη) dξ dη - Funktion Ω (ξ, η) gibt die Transmission der Blende (damit Integrationsgrenzen ± ) Die gebeugte Intensität - als Funktion der beiden Raumfrequenzen k x = k α und k y = k β (bzw. des Streuvektors)- ist Betragsquadrat der zweidimensionalen Fouriertransformation der Blendenfunktion I(α,β) U P (α,β) 2 FT(Ω (ξ, η)) 2 Für endliche Abstände R bzw. R 0 muss man explizit Phasenfunktion ψ berücksichtigen: Fresnel'schen Beugung 21 W.Zinth Physik LMU

6 Fraunhofersche Beugung Lichtquelle und Beobachtungspunkt sehr weit vom beugenden Objekt entfernt In der Praxis: Beobachtung der Beugungsfigur hinter dem Objekt in der Brennebene einer Sammellinse L Gebeugtes Licht mit Richtungskosinus (α, β) wird in der Brennebene auf den Punkt (X, Y) = (α f, β f) abgebildet (paraxiale Strahlen, d. h. kleine Beugungswinkel α, β << 1) L L x x Y f Beugungsöffnung f X 22 W.Zinth Physik LMU

7 Beugung am langen Spalt Spalt der Breite b, dessen Höhe h sehr groß sei: h >> b der mit senkrecht einfallendem Licht beleuchtet wird: 1-d Problem: Ω Spalt (ξ, η) = Ω Spalt (η) Integration über ξ sofort auszuführen (Lösung der Integration gibt die δ- Funktion δ(α), d.h. keine Ablenkung des Lichtes in x bzw. ξ Richtung). Licht liegt auf einer Linie: X = 0: 25 W.Zinth Physik LMU

8 Beugung am langen Spalt Beugung am langen Spalt (4.9) I Spalt (β) I Spalt (0) = sin 2 (kβb/2) sin πb sinθ λ (kβb/2)2 = πb sinθ λ 2 = sin B B 2 Zusammenhang Richtungskosinus β und Ablenkwinkel θ in η-richtung: β = sin θ Bemerkung: FT einer Rechteckfunktion gibt sin(x) / x Verlauf!

9 Beugung am langen Spalt Lage der Minima (Nullstellen) bei Beugung am Spalt (4.14) sin (B) = sin (πb sinθ/λ) = 0 => πb sinθ/λ = n π sin θ Min = ± λ b, ± 2λ b,..., ± nλ b für n = 1, 2,..., n max Benachbarte Nullstellen haben Abstand λ/b mit Ausnahme der Nullstellen links und rechts des Hauptmaximums die 2λ/b voneinander entfernt sind.

10 Beugung am langen Spalt Lage und Intensität der ersten Maxima bei Beugung am Spalt (4.15) sin θ Max = ± 1,43 λ b, ± 2,46 λ b, I (θ Max )/I 0 = 0,047, 0,017 Für höhere Ordnungen: sin θ Max, n ± 2n λ b

11 Qualitative Betrachtung Geometrische Herleitung Nullstellen der Beugungsintensität treten immer in diejenigen Richtungen auf, für die der Spalt paarweise in gleich große Flächen aufgeteilt werden kann, deren Strahlen paarweise destruktiv interferieren: Für den Gangunterschied Δs entsprechender Strahlen gilt dann: Δs = λ/2 s = λ/2 θ 1. Ordnung: zwei Teilflächen interferieren 31 W.Zinth Physik LMU

12 Qualitative Betrachtung Geometrische Herleitung. θ s = λ/2 2. Ordnung: 4 Teilflächen interferieren Damit eine Beugungsnullstelle auftreten kann muss der Spalt eine Mindestbreite b = λ besitzen.

13 Beugung an der Rechtecksblende I(#,$) I = sin 2 A sin2 B 0 A2 B2 h h mit A = h 2 k# = h 2 k sin" ; B = b 2 k$ = b 2 k sin % Beugungsbild des langen Spalts liegt bei # = 0 Dieses Beugungssignal ist in X Richtung gemäß der Funktion sin2 A/A2 fortgesetzt. Gitterförmige Anordnung von Minima und Maxima Je größer die Rechteckseite des Spaltes (b oder h) desto kleiner wird der entsprechende Abstand benachbarter Maxima/Nullstellen

14 Beugung an der kreisförmigen Blende Kreisförmige Begrenzungen des Strahlenganges sehr häufig Mathematische Behandlung der Beugung an einer kreisförmigen Blende mit Durchmesser D führt auf eine Besselfunktion Aufgrund der rotationssymmetrischen Öffnung ergibt sich rotationssymmetrisches Beugungsbild Airy-Scheibchen: " I(%) = I(0) 2J 1 (kdsin(!) / 2) % $ ' # kdsin(!)/ 2 & 2 mit der Bessel-Funktion J 1 3 W.Zinth Physik LMU

15 . Beugung an der kreisförmigen Blende Sehr intensives Hauptmaximum ist ringförmig von Nebenmaxima umgeben Deren Amplitude fällt sehr schnell ab Nullstellen bei Beugung an einer Kreisblende (4.13) sin % min ~ 1,22 & D, 2,23 & D,..., " (n + 1/4) & D Durchmesser des Beugungshauptmaximums: 4 '% " 1,22 &/D W.Zinth Physik LMU

16 Beugung an der kreisförmigen Blende Beispiel: Beugung an der Iris des Auges Wellenlänge des Lichts von & = 600 nm Bei sehr hellem Licht: Pupillendurchmesser D " 1,5 mm und den typischen Augenparametern Augenlänge L ~ 20 mm Brechungsindex Glaskörper n gl ~ 1,33) Beugungsscheibchendurchmesser d = 1,22 & L/(D n g ) = 7 µm D. h. die Beugung an der Pupille erzeugt (bei sehr hellem Licht) ein Beugungsscheibchen, dessen Durchmesser (etwas) größer ist als der Abstand zweier Rezeptoren auf der Netzhaut. Das Auge ist beugungs-angepasst für mittlere Beleuchtungsstärken (mitlere Pupillendurchmesser). Frage: Wie könnte man in der Evolution das Sehvermögen verbessern?