Vorlesung Experimentalphysik Elektrizität&Optik. SS 2006/14 Universität Rostock Heinrich Stolz

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1 Vorlesung Experimentalphysik Elektrizität&Optik SS 2006/14 Universität Rostock Heinrich Stolz

2 Hier werden die Phänomene diskutiert, die auf der Wellennatur des Lichtes (bzw. der elektromagnetischen Wellen) beruhen. Dazu gehören 1. die Ausbreitung des Lichtes hinter Blenden bzw. räumlichen Strukturen: Beugung und 2. die Konsequenzen des Superpositionsprinzips das aus der Linearität der Maxwellschen Gleichungen folgt: Interferenz Letztendlich beeinflußt der Wellencharakter des Lichtes alle Phänome der Ausbreitung, insbesondere die optische Abbildung 4.7.

3 Beugung an Spalt, Lochblende, Scheibe und Kante

4 Erklärung der Beugungsphänomene: Maxwellsche Gleichungen: allgemeine Vektortheorie Huygenssches Prinzip von 1690 Christiaan Huygens Verallgemeinerung und mathematische Form: Fresnel, Kirchhof ( )

5 Experiment: Lichtdurchgang durch eine Blende Beobachtung: Mit Blende ist die Intensität größer als ohne

6 Betrachte Kugelwelle, die von L ausgeht Huygens: jeder Punkt S der Kugelfläche ist Ausgangspunkt einer neuen Kugelwelle, Amplitude und Phase im Punkt P hängen ab von : Abstand SP, Winkel θ, Wellenvektor k θ Kugeln um Pmit Radien r = r0 + m λ 2 Schnittkreise begrenzen Fresnelzonen m=1,2,

7 Beitrag der m-ten Fresnel-Zone zur Feldstärke am Punkt P 1 Neigungsfaktor K (cosθ + cos θ ) 2 Fläche der Fresnelzone mit Radius ρ Kosinus-Satz für Dreieck LSP

8 K 1 i = λ

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10 Wirkung eines Schirmes mit Radius = 1. Fresnelzone Objekt im unendlichen: Fresnelkugel Ebene

11 Zonenplatte wirkt als Linse mit der Brennweite

12 Fresnel-Kirchhoffsche Beugungstheorie C 1 = (cos θ + cos θ ) 2iλ θ θ Fresnel-Kirchhoffsches Beugungsintegral 6.7.

13 x, y, x, y z 0 cos θ,cosθ 1 C = 1 iλ Fresnel-Näherung

14 Vereinfachung für parallele Beleuchtung und rechteckige Blenden 2 ηx = ( x x ) λz 0 2 η y = ( y y ) λz 0 Blendenfunktion Exy (, ) = E0 τ ( x, y) = E0 τx( x) τ y( y) i ikz0 Ex (, y, z0) = E0e 2 iπ iπ dη τ x η dη τ y η x x( )exp( ( ) x) y y( )exp( ( ) y) iπ 2 C du π π u S du u 2 2 η 2 Fresnelintegral I( η) = duexp( ( ) u ) = C( η) is( η) 0 η η 2 2 ( η) = cos( ), ( η) = sin( ) 0 0

15 Spalt Höhe 2b 0 y 2 ηx = ( x x ) λz x y- Integration I( ) I( ) = 1 i x- Integration Untere Grenze Obere Grenze η η x,min x,max 2 = ( b x ) λz 0 2 = ( b x ) λz 0 i ikz0 Ex (, y, z0) = E0e (1 i) 2 C( ηx,max ) is( ηx,max ) C( ηx,min ) + is( ηx,min)

16 Beugung an einer Kante Untere Grenze η x,min 2 = ( x ) λz 0 Obere Grenze: 0 x i ikz0 Ex (, y, z0) = E0e (1 i) 2 1 (1 i ) C ( ηx,min ) + is ( ηx,min ) 2

17 Nur lineare Terme im Beugungsintegral! Mathematisch stellt dieses Integral eine Fourier-Transformation dar! Beugungsbild ist die Fourier-Transformation der Blende

18 < Fouriertransformierte von f(x) Umkehrung f( x), F( u ): Fourierpaar xu, : Fourier-konjugierte Variable

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20 Beugungstheorie: zweidimensionale Fourier-Integrale!

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22 u = x /( λz ) v= y /( λz ) i

23 τ ( x, y) = τ( x) τ( y) 1 wenn x a/ 2 τ ( x) = = spalt( x, a) 0 sonst

24 sinπua Ex (, y ) = ab πua sinπvb πvb I( x, y ) = ( ab) sinc( ua)sinc( vb) Merke: f ( x) = spalt( x, a) Fourier-Paar sin Fu ( ) = a ua = asinc( ua) ua

25 Beugung an kreisförmigen Blenden 1 wenn r a τ(, r φ) = 0 sonst Fouriertransformierte: Umrechnung auf dxdy = rdrdφ Zylinderkoordinaten [ ] [ i πrρ φ φ ] exp( i2 π ( ux+ vy)) = exp i2 πrρ(cosφcosφ + sinφsin φ ) a 0 0 = exp 2 cos( ) 2π [ ] x= rcos φ, y = rsinφ u = ρ cos φ, v= ρsinφ E( uv, ) = r exp i2π rρcos( φ φ ) dφdr w 0 1 2π Besselfunktion 0.Ordnung J 0( ρ) = exp[ i2πrρcos( φ φ )] dφ 2π 0 xj() x dx= wj( w) 0 1

26 2 J (2 πρa) 2πρa 1 = E E( ρ) (0) Poissonscher Fleck!

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28 Verschiebungssatz 2π xu f x x F u x = F u 0 ( - 0) (, 0) e ( ) 1. Spalt: x 0 = 0 i-ter Spalt: x0 = i d Superpositionsprinzip! N 1 i= 0 2πuid F ( u) = e a sinc( ua) gitter N 1 = a sinc( ua) e i= 0 ( 2πud ) i Geometrische Reihe 1 + q+ q q = 2 N 1 1 q 1 q N

29 2πudN 1 e FGitter ( u) = a sinc( ua) 2πud = 1 e sin( Nπu d) = a sinc( ua) e N sin( π u d ) 2 πud ( N 1)/2 2 2 sin( Nπu d) IGitter ( u) = a sinc ( ua) Nsin( πu d) 2

30 Bedeutung von u Exakte Definition: u x = = sinθ λz 0 sinθ Hier: θ = 0 λ Intensitätsmaxima sinθ = m m= 0, ± 1, ± 2,... d

31 Geblazte Gitter: Reflexionsgitter mit schrägen Furchen ˆn β > Konvention: 0 wenn αβ, gleiche Seite von nˆ Gittergleichung Blaze-Winkel

32 Interferenz Linearität I n t e r f e r e n z? 11.7

33 Zeitliche Kohärenz

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35 < π Wellenfeld räumlich kohärent Kohärenzvolumen Δ Vc =Δsc Fc F c Nur innerhalb des Kohärenzvolumens können Interferenzeffekte beobachtet werden

36 Mikrowellen, Laser Klassische Lichtquellen

37 Das Fresnelsche Biprisma δ = ( n 1) γ

38 Räumliche Kohärenz:

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